人教版高中数学必修三单元测试直线和圆及答案
完整版)直线与圆综合练习题含答案
完整版)直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程训练题1.选择题:1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。
45,1B。
不存在C。
不存在D。
-12.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。
a+b=1B。
a-b=1C。
a+b=√2D。
a-b=√23.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。
2x+y-1=0B。
2x+y-5=0C。
x+2y-5=0D。
x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。
4x+2y=5B。
4x-2y=5C。
x+2y=5D。
x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。
平行B。
垂直C。
斜交D。
与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。
4B。
13√10C。
26√5D。
207.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。
-1/3B。
-3C。
1D。
38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。
2/3B。
-3/2C。
-2D。
-39.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。
3x+y-6=0B。
x-3y+2=0C。
x+3y-2=0D。
3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+2√512.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
高中数学 直线与圆-2021届高三 复习 带答案)
专题十六 直线与圆一、单选题1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【分析】利用垂径定理可求弦长. 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为d ==，故弦长为：= 故选：D.2．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）过点（5，2），且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --= D ．210x y --=或250x y -=【答案】B 【分析】根据截距是否为零分类讨论后可求直线方程. 【详解】若截距为零，则直线过原点，故此时直线方程为25y x =即250x y -=， 若截距不为零，设直线方程为：12x ya a +=，代入点()5,2可得：5212a a+=， 故6a =，故直线方程为2120x y +-=，故选：B.3．（2021·江西上高二中高二期末（理））已知圆C 与直线0x y +=及40x y +-=都相切，圆心在直线0x y -=，则圆C 的方程为（ ）A ．()()22112x y ++-= B ．()()22112x y -++= C ．()()22112x y -+-= D ．()()22112x y +++=【答案】C 【分析】由直线0x y +=与40x y +-=间的距离为圆C 直径，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心，进而得出方程. 【详解】由题意可知直线0x y +=与直线40x y +-=平行，且两直线都与直线0x y -=垂直由此可得圆C 的直径为两直线0x y +=与40x y +-=间的距离，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心d r ===由00x y x y -=⎧⎨+=⎩，040x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩ 即圆心坐标为0202,=(1,1)22++⎛⎫⎪⎝⎭即圆C 的方程为()()22112x y -+-= 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于看出直线0x y +=与直线40x y +-=平行，进而由两直线的距离得出半径.4．（2021·江苏南通市·高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2214x y -+=，若直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（ ）A ．1B ．C ．3D ．7【答案】C 【分析】根据四边形PMCN 为正方形可得=PC C 到直线l 的距离为. 【详解】由()2214x y -+=可知圆心(1,0)C ，半径为2，因为四边形PMCN 为正方形，且边长为圆C 的半径2，所以=PC所以直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P ，使得=PC PC ⊥l ，所以圆心C 到直线l 的距离为=3m =或5m =-（舍）. 故选：C 【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心C 到直线l 的距离为.5．（2021·重庆高二期末）已知圆2123:C x y +=和圆()()222:1312C x y ++-=，那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】C 【分析】利用两圆圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系可得答案. 【详解】由已知的()()12120,0,1,3,C C r r -==所以2112r r r r =+=-12C C == 所以211212r r C C r r <<+-，故两圆相交. 故选：C.【点睛】结论点睛：此题考查了圆与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定常用方法为：0d R r ≤<-时，两圆内含；d R r =-时，两圆内切；R r d R r -<<+时，两圆相交；d R r =+时，两圆外切；d R r >+时，两圆相离（d 为两圆心间的距离，R 和r 分别为两圆的半径）． 6．（2021·广东清远市·高二期末）已知P 为直线l ：60x y -+=上一个定点，M ，N 为圆C ：224210x y y ++-=上两个不同的动点.若MPN ∠的最大值为60，则点P 的横坐标为（ ）A ．4-B ．3-±C ．4-D ．3-±【答案】A 【分析】首先分析出当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大，过圆心C 作直线l 的垂线，垂足即为MPN ∠取得最大值时的点P ，可得30MPC ∠=，在Rt PMC 中，可得10PC =，设()00,P x y 可列方程，结合点P 满足直线l 的方程，即可求P 的坐标.【详解】由圆C ：224210x y y ++-=可得22(2)25x y ++=， 所以圆心为()0,2C -，半径=5r .因为点C 到l 的距离5d =>，所以l 与圆C 相离，由图知当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大， 若MPN ∠最大，则MPC ∠最大，因为5sin MC MPC PC PC∠==， 所以PC 最小时，MPC ∠最大，当PC l ⊥时，PC 最小，MPC ∠最大，则MPN ∠最大， 因为此时60MPN ∠=，所以30MPC ∠=， 在Rt PMC 中，210PC MC ==， 设()00,P x y ，则0060x y -+=①，10PC ==②，由0060x y -+=可得006y x =+代入②可得：2008180x x +-=解得：4x =-. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出PC l ⊥时，且PM ，PN 分别为圆C 的切线时MPN ∠最大，设()00,P x y 列方程，可求点P 的坐标.7．（2021·浙江温州市·高二期末）已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是直线30x y --=的动点，()0,1C ，则BA BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．7D ．5【答案】D 【分析】由题意可知点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，由于,A C 两点在直线30x y --=的同侧，所以求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则BA BC BA BD =++，然后利用两点间线段最短可得答案 【详解】解：由1:0()l kx y k R +=∈，得yk x=-，由2:220l x ky k -+-=，得22x k y -=-，所以22x yy x-=--，化简得22(1)(1)2x y -+-=， 所以点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点， 设点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则1113022n mm n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得43m n =⎧⎨=-⎩，即(4,3)D -因为CB DB =，所以当点,,A B D 共线，且过点(1,1)时，BA BC +取最小值， 所以BA BC +5=故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，将BA BC +的最小值转化为BA BD +的最小值，属于中档题 8．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））已知M经过坐标原点，半径r =2y x =+相切，则M 的方程为（ ）．A ．22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)2x y ++-=或22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += D ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += 【答案】A 【分析】设圆心坐标为(,)a b ，利用圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，求出,a b ，即可求出圆M 的方程. 【详解】设圆心坐标为(,)a b，半径r =因为圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，==所以1a b ==±，即圆心为()1,1或()1,1--，圆M 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=， 故选：A. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．9．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知直线:40()l kx y k ++=∈R 是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴，过点()1,P k 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则三角形P AB 的面积等于（ ）A B ．2C ．4D ．4【答案】D 【分析】由直线过圆心求出k ，由勾股定理求得切线长，利用切线与过切点的半径垂直求得切线夹角，从而可得三角形面积． 【详解】因为直线40kx y ++=是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴， 所以直线40kx y ++=过圆心()3,1C -，即3140k -+=，1k =-， 所以点()1,1P -，2PC =，因为圆C 的半径1r =，所以切线长PA PB ===，且在直角三角形中1sin sin 2r APC BPC PC ∠=∠==， 所以30APC BPC ∠=∠=︒，60APB ∠=︒，所以三角形P AB 的面积1sin 24S PA PB APB =⨯∠=， 故选：D ．10．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C 【分析】由题意可得出1211r C C r -≤≤+，进而可求得r 的取值范围. 【详解】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ， 所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.11．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知P 是直线210x y +-=上的一个动点，定点()1,2M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，则Q 点的轨迹方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．270x y ++=D ．270x y -+=【答案】C 【分析】设点(),Q x y ，根据已知条件可知点M 为线段PQ 的中点，求出点P 的坐标，代入直线210x y +-=的方程即可得出Q 点的轨迹方程. 【详解】设点(),Q x y 、()00,P x y ，由题意可知，点M 为线段PQ 的中点，所以，001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，可得0024x x y y =-⎧⎨=--⎩，由于点P 在直线210x y +-=上，则00210x y +-=，所以，()()22410x y -+---=， 化简可得270x y ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.12．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C 【分析】由题意判断两圆的位置关系为外离或者内含，根据圆与圆的位置关系列出不等式求解即可. 【详解】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<解得02a <<或4a > 故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题意判断两圆的位置关系，再由圆与圆的位置关系得出参数的范围.13．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））已知(1,0)A -，(1,0)B 和圆222:(2)(0)C x y r r +-=>，若圆C 上存在点P 满足0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,3]C ．[1,3]D ．[1,]+∞【答案】C 【分析】求得以AB 为直径的圆O 的圆心和半径，根据圆O 与圆C 有公共点列不等式，解不等式求得r 的取值范围. 【详解】由于圆C 上存在点P ，满足0PA PB ⋅=，故以AB 为直径的圆O 与圆C 有公共点，圆O 的圆心为()0,0，半径为1，圆C 的圆心为()0,2，半径为r ，所以11r OC r -≤≤+，而2OC ==，所以121r r -≤≤+，解得13r ≤≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，关键点是利用圆和圆的位置关系求出r 的范围，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．（2021·河南高一期末）过点()1,1A -的直线l 的倾斜角是直线1l 10y -+=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是（ ）A 10y -=B 10y ++=C 330y -+=D 330y ++=【答案】B 【分析】由2l 的斜率得倾斜角，从而得直线1l 的倾斜角，得斜率后可得直线方程． 【详解】1tan k α=60α=︒，所以tan120k =︒=l 的方程是： )11y x -=+10y ++=．故选：B ．15．（2021·山东枣庄市·高二期末）已知O ：221x y +=与C ：222410x y x y +--+=，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离C ．外切D ．内切【答案】A 【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项. 【详解】()()22:124C x y -+-=，故CO ==3，半径之差的绝对值为1，而13<<，故两圆的位置关系是相交，故选：A.16．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆()221:2C x y m ++=与圆()222:8C x m y -+=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m << B ．11m -<<C ．3m >D ．3<1m -<-或13m <<【答案】D 【分析】12C C <<. 【详解】由题可得圆1C 的圆心为()0,m -，圆2C 的圆心为()0m ,，半径为，两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，12C C <<12C C m ==，m <<3<1m -<-或13m <<.故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查根据公切线条数求参数，需根据公切线条数得出圆的位置关系，若两圆有0条公切线，则两圆内含；若两圆有1条公切线，则两圆内切；若两圆有2条公切线，则两圆相交；若两圆有3条公切线，则两圆外切；若两圆有4条公切线，则两圆外离.17．（2021·河南高一期末）已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中作出曲线y =23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 【详解】曲线y =2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．18．（2021·浙江舟山市·高二期末）已知圆()()2211x y a ++-=与圆()()222416x y -+-=相切，则实数a 的取值个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆外切和内切的条件可得答案. 【详解】设()()2211x y a ++-=的圆心为()11,C a -，半径11R =，()()222416x y -+-=的圆心为()22,4C ，半径24R =，当两圆外切时，有1212C C R R =+5=，解得0a =或8a =， 当两圆内切时，有1221C C R R =-3=，解得4a =， 综上所述，0a =，或8a =，或4a =. 故选：C. 【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，其中熟记两圆的内切和外切的条件，列出相应的方程求解是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题．19．（2021·安徽池州市·高二期末（文））圆22:2C x y +=关于直线250x y -+=对称的圆的方程为（ ）A ．()()22242x y ++-= B ．()()22242x y -++= C ．()()22462x y ++-= D ．()()22462x y -++=【答案】A 【分析】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2502ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解出即可.【详解】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2,50,2ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得24a b =-⎧⎨=⎩，故所求圆的方程为()()222+4=2x y +-， 故选：A20．（2021·江西上饶市·高一期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()1,4B --，若将军从点()1,2A -处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=.则“将军饮马“的最短总路程为（ ） ABC．D ．10【答案】C 【分析】作出图形，求出点B 关于直线3x y +=的对称点C 的坐标，在直线3x y +=上取点P ，利用A 、P 、C 三点共线时PA PB +取得最小值即可得解. 【详解】如下图所示，设点B 关于直线3x y +=的对称点为(),C a b ，由题意可得14322411a b b a --⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得74a b =⎧⎨=⎩，即点()7,4C ，在直线3x y +=上取点P ，由对称性可得PB PC =，所以，PA PB PA PC AC +=+≥==当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.21．（2021·河南郑州市·高一期末）阿波罗尼乌斯（Apollonius ，约前262~约前190）是古希腊时期的数学家、天文学家.师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》.该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明.在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆.现在已知两个定点的坐标分别为()1,0A -，()2,0B ，动点P 满足2PA PB=，则P 点轨迹方程为（ ） A ．22650x y x +-+= B ．22670x y x +-+= C ．221070x y x +-+= D ．2214503x y x +-+= 【答案】A 【分析】设(),P x y ，由两点间距离公式即可化简得出. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB=，即2PA PB =，=22650x y x +-+=.故选：A.22．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数. 【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线， 故选：B.23．（2021·合肥市第六中学高二期末（文））直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于E ，F两点，则ECF △的面积为（ ）A ．32B ．34C ．5D ．【答案】D 【分析】根据圆的方程先确定圆心和半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线230x y --=的距离，根据几何法求出圆的弦长，进而可到三角形的面积. 【详解】因为圆22:(2)(3)9C x y -++=的圆心为()2,3C -，半径为3r =，所以圆心()2,3C -到直线230x y --=的距离为d ==则弦长4EF ==，因此ECF △的面积为11422ECFS EF d ==⨯=. 故选：D.二、多选题24．（2021·重庆高二期末）已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．过与直线l 20y --=C ．点(到直线l 的距离是2D ．若直线:10m x +=则l m ⊥ 【答案】BC 【分析】根据条件一一判断即可得出正确选项. 【详解】A 选项：直线:10l y -+=故倾斜角是3π，A 错；B 选项： 20y --=，且过点，故B 正确；C 选项：点(到直线l 的距离2d ==，故C 正确；D 选项：直线:10m x +=的斜率为3k =11=≠-故l 与m 不垂直，D 错.故选：BC25．（2021·福建漳州市·高二期末）已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，则（ ）A ．两圆有两条公切线B ．PQ 垂直平分线段OMC ．直线PQ 的方程为240x y +-=D ．线段PQ 【答案】ACD 【分析】根据圆O 和圆M 的位置关系判断A ；数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减判断C ；先求得圆心O 到直线PQ 的距离，再利用弦长公式求解判断D. 【详解】对于A ：因为圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B ：数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，故错误；对于C ：圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减得：240x y +-=，所以直线PQ的方程为240x y +-=，故正确；对于D:圆心O 到直线PQ 的距离为：d ==，所以线段PQ 的长为||5PQ ===故选：ACD.26．（2021·山东临沂市·高二期末）已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】ACD 【分析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD 的正误，根据圆心到直线的距离可判断B 的正误，根据两圆外切可判断C 的正误. 【详解】直线():34330l m x y m ++-+=可化为：():34330l x y m x +-++=，由343030x y x +-=⎧⎨+=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确.当0m =时，直线:3430l x y +-=，圆心到该直线的距离为003355d +-==， 因为715R d -=>，故圆C 上有且仅有四个点到直线l 的距离都等于1，故B 错. 因为圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，故两圆外切， 故252CO ====+16m =，故C 正确.当13m =时，直线:490l x y ++=，设(),49P a a --， 则以OP 为直径的圆的方程为()()490x x a y y a -+++=， 而圆22:4C x y +=，故AB 的直线方程为()4940ax a y -+++=，整理得到()4940a x y y -+++=，由4=0940x y y -+⎧⎨+=⎩可得16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.第II 卷（非选择题）三、双空题27．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线10x y ++=和圆222210x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，则该圆的圆心坐标为___________，弦长AB =___________.【答案】()1,1-【分析】将222210x y x y ++-+=化为标准方程可求出圆心的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出弦长 【详解】解：由222210x y x y ++-+=，得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆心为()1,1-，半径为1，所以圆心到直线10x y ++=的距离2d ==所以AB ===故答案为：()1,1-28．（2021·湖北宜昌市·高三期末）若一个圆的圆心是抛物线28x y =的焦点，20y --=相切，则该圆的标准方程为__________．过点()2,2P --作该圆的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________．【答案】22(2)4x y +-= 220x y +-=【分析】求出圆心坐标，再利用d r =列式求解半径，即可得圆的标准方程；根据,,,F A B P 四点共圆，FP 为该圆的直径，写出该圆的方程，再与圆F 联立即可得直线AB 的方程. 【详解】由题意，圆心坐标为(0,2)F 20y --=相切，所以2222--===d r ，所以圆的标准方程为22(2)4x y +-=；因为π∠+∠=FAP FBP ，所以点,,,F A B P 四点共圆，又因为2π∠=∠=FAP FBP ，所以FP 为该圆的直径，所以圆的方程为22(1)5x y ++=，又因为22(2)4x y +-=，联立求解得220x y +-=，所以直线AB 的方程为220x y +-=. 故答案为：22(2)4x y +-=；220x y +-=.四、解答题29．（2021·安徽黄山市·高二期末（文））已知斜率为1的直线l 与圆心为1(1,0)O 的圆相切于点P ，且点P 在y 轴上.（1）求圆1O 的方程；（2）若直线l '与直线l 平行，且圆1O 上恰有四个不同点到直线l '，求直线l '纵截距的取值范围.【答案】（1）22(1)2x y -+=；（2）()2,0-. 【分析】（1）由题意可知1O P l ⊥，从而可得101t -=--，求出1t =，再由1||r O P ==.（2）设l '：y x b =+，由题意可得圆心到直线y x b =+的距离d =<，解不等式即可. 【详解】解：（1）依题意，设点P 的坐标为(0,)t .1O P l ⊥，∴101t -=--，解得1t =， 即点P 的坐标为(0,1)，从而圆1O的半径1||r O P =故所求圆1O 的方程为22(1)2x y -+=. （2）因为//l l '，设l '：y x b =+， 由圆1O 上恰有四个不同点到直线l '距离等于2， 得圆心到直线y x b =+的距离2d =<， 解得20b -<<.即直线l '纵截距的取值范围为()2,0-.30．（2021·广西河池市·高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)1x y -+=，M 为圆C的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 两点均不在x 轴上）． （1）若60AMB ∠=°，求直线l 的方程； （2）求ABM 面积的最大值． 【答案】（1）y =；（2）12. 【分析】（1）设直线l 的方程为y kx =，利用点到直线的距离及222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简计算即可得解； （2）根据弦长公式及三角形面积1()2S k =⨯，设21(1)t k t =+>，化简面积可得S =利用二次函数性质即可求得最值.【详解】解：由直线l 与圆C 相交于两点，直线l 的斜率必定存在，设直线l 的方程为y kx = （1）当 60AMB ∠=︒时，ABM 为等边三角形，由圆C 的半径为1，可知1AB =． 圆心(2,0)M 到直线l有222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得13k =± 故直线l的方程为13y x =±． （2）由圆心(2,0)M 到直线l，可得AB ==设ABM 的面积为()S k ，有1()2S k =⨯==设21(1)t k t =+>，可得21k t =-，有()S k======可得当87t =时，k=，max 1()2S k == 故ABM 面积的最大值为12． 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式12|||AB x x =-.31．（2021·江西景德镇市·高一期末）已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=. （1）求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距高为85；（2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程. 【答案】（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-， 因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+=△，当且仅当2k =-时等号成立， 故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-= 【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.32．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））如图，ABC 中，顶点()1,2A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点D 在y 轴上.（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程. 【答案】（1）10x y -+=；（2）350x y +-=. 【分析】（1）由题意可知，点B 在直线310x y ++=上，可设点()31,B a a --，根据已知条件求出a 的值，可得出点B 的坐标，进而可求得直线AB 的方程；（2）由题意可知点C 在线段AB 的中垂线上，联立线段AB 的中垂线与直线BC 的方程，求出点C 的坐标，即可求得直线AC 的方程. 【详解】（1）因点B 在直线310x y ++=上，不妨设()31,B a a --， 由题意得：()3110a --+=，即0a =，所以B 的坐标为()1,0-，AB 边所在直线的方程为121102x y --=---，即10x y -+=； （2）因AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线上， 直线AB 的斜率为20111AB k -==+，线段AB 的中点坐标为()0,1， 所以，线段AB 的中垂线方程为1y x =-+，即10x y +-=，联立10310x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得21x y =⎧⎨=-⎩，即C 的坐标为()2,1-，又点()1,2A ，AC ∴边所在直线的方程为122112x y --=---，即350x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的求解，关键就是求出相应的点的坐标，本题第（2）问要分析出点C 在线段AB 的中垂线，进而联立两直线方程求出点C 的坐标，即可得解. 33．（2021·重庆高二期末）已知圆22:8C x y +=内有一点()1,2P -，直线过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α.（1）当135a =︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.【答案】（1（2）250x y -+=. 【分析】（1）根据题意先求出直线l 方程10x y +-=，再求圆心到直线l 的距离2d =， 再结合垂径定理利用弦长公式即可得解；（2）根据垂径定理，弦AB 被点P 平分，则OP l ⊥，先求2OP k =-可得112k =，再利用点斜式即可得解. 【详解】（1）当135α=︒时，直线l 的方程为：()21y x -=-+即10x y +-=，圆心()0, 0到，直线l 的距离2d ==，所以||AB ==（2）当弦AB 被()1,2P -平分时，OP l ⊥， ∵2OP k =-，∴112k =， ∴直线l 的方程为：12(1)2y x -=+，即250x y -+=. 34．（2021·福建三明市·高二期末）已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在关于直线1y x =-对称的两点,M N ，使得以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22215x y -+-=；（2）存在，y x =-或3y x =-+.【分析】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，由题意可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩，解方程即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 的方程为y x t =-+，将直线与圆联立，消去y 整理得222(22)20x t x t t -++-=，从而可得12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩，由0OM ON ⋅=，结合韦达定理即可求解.【详解】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩解得21a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= （2）设()11,M x y ，()22,N x y 依题意，设直线MN 的方程为y x t =-+联立22(2)(1)5y x t x y =-+⎧⎨-+-=⎩， 消去y 整理得：222(22)20x t x t t -++-=所以12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩又()()()212121212y y x t x t x x t x x t =-+-+=-++依题，以MN 为直径的圆过原点 所以0OM ON ⋅= 所以12120x x y y +=所以()2121220x x t x x t -++=所以222(1)0t t t t t --++= 所以230t t -= 所以0t =或3t = 此时，都有0∆>所以存在满足条件的直线MN ：y x =-或3y x =-+.35．（2021·广东清远市·高二期末）已知直线1l ：43100x y -+=与直线2l ：70ax by +-=垂直，且2l 经过点()1,1. （1）求2l 的方程；（2）若2l 与圆C ：2211()252x y +-=相交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）3470x y +-=；（2）8. 【分析】（1）利用两直线垂直得到430a b -=及点代入直线建立方程组得解； （2）利用求得圆心到直线距离，利用勾股定理得解 【详解】 （1）依题意可得43070a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得3a =，4b =，故2l 的方程为3470x y +-=. （2）因为点11(0,)2C 到2l 的距离1535d ==，所以8AB ==. 【点睛】求圆的弦长，使用几何法简捷快速.36．（2021·浙江丽水市·高二期末）设圆C 的半径为r ，圆心C 是直线24y x =-与直线1y x =-的交点． （1）若圆C 过原点O ，求圆C 的方程；（2）已知点()0,3A ，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求r 的取值范围．【答案】（1）()()223213x y -+-=；（2）2⎡⎤⎣⎦.【分析】（1）联立两直线方程，可求得圆心C 的坐标，求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）设点(),M x y ，由2=MA MO 可求得点M 的轨迹为圆D ，利用圆C 与圆D 有公共点可得出关于r 的不等式，由此可解得r 的取值范围． 【详解】（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()3,2C .又圆C 过原点O ，r OC ∴==∴圆C 的方程为：()()223213x y -+-=；（2）设(),M x y ，由2=MA MO =()2214x y ++=.∴点M 在以()0,1D -为圆心，半径为2的圆上.又点M 在圆()()222:32C x y r -+-=上，22r CD r ∴-≤≤+，即22r r -≤≤+，22r ∴≤≤. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.37．（2021·山东济南市·高二期末）在①圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为 ②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由． 问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上． 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析. 【分析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程； 【详解】选择条件①：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为所以0a >，0b >，且2r a b == 由垂径定理得223r b =+解得1b =， 所以2a =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a = 因为圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ，AB 的中点()3,2M 所以AB 的中垂线方程为1y x =-联立直线12y x =解得21x y =⎧⎨=⎩即2a =，1b =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以2a b =r =，所以r =，因为圆C 与圆Q 相外切，所以||1CQ r =+1r =+可得：2145405b b --+=，因为该方程∆<0，所以方程无解 故不存在满足题意的圆C ． 【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.38．（2021·黄石市有色第一中学高二期末）已知圆E 经过点(0,0)A ，(1,1)B ，从下列3个条件选取一个_______①过点(2,0)C ；②圆E 恒被直线0mx y m --=()m R ∈平分；③与y 轴相切. （1）求圆E 的方程；（2）过点(3,0)P 的直线l 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）()2211x y -+=；（2）()223212x y x ⎛⎫-+=<⎪⎝⎭. 【分析】（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程；（2）先分析出EM AB ⊥，M 的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.。
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目（附答案）一、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2.(2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2.1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝－(－b )．④由③④联立，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23 ，b ＝2.注：已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0D ．－2解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝32.故选A.二、直线方程1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0.4.过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解] 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3， ∴B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |， ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1k ， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0，由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2.∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ， ∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k ， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．5．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 6．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.三、圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．7.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)． 又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5， 则△ABC 是等腰三角形， 所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2， 所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)， 所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．8．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.9．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为12 (5＋1)2＋(－6－2)2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.四、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，化成一般式kx －y ＋y 0－kx 0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k ；②当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0，求出k .当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解． (2)利用圆的弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(其中x 1，x 2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d 、圆的半径r 与弦长的一半l 2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l ＝2r 2－d 2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． (2)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．11.(1)直线x ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.22B.32C. 3D. 2(2)若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3(3)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)． ①若l 与圆C 相切，求l 的方程；②若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝22，求此时直线l 的方程． [解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝22，∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故选D.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m2＝1，解得m ＝±3. 答案：(1)D (2)C(3)解：①若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即|3k－4－k|k2＋1＝2，解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0.综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.②由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心(3,4)到直线l的距离为d，因为|PQ|＝24－d2＝22，所以d＝2，即|3k0－4－k0|k20＋1＝2，解得k0＝1或k0＝7，所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.注：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断．12．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2 2C.7 D．3解析：选C切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.13．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是()A. 2 B．2 2C. 3 D．2 3解析：选C圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.根据对称性可知四边形P ACB的面积等于2S△APC ＝2×12×|P A|×r＝|P A|＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形P ACB面积的最小值为4－1＝ 3.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋12，m －12，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝ 9－2×⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322， |ON |＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122.所以9－2×⎝⎛⎭⎪⎫3＋m 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．。
人教版高中数学必修二第三章直线与圆课后提升作业二十一 3.2.3 含解析
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课后提升作业二十一直线的一般式方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选A.因为直线的倾斜角为120°，所以直线的斜率k=-，即-=-，所以a=.【补偿训练】平面直角坐标系中，直线x+y+2=0的斜率为( ) A. B.- C. D.-【解析】选B.将直线化为斜截式y=-x-.故斜率为-.2.(2016·海淀高一检测)已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x-y+2=0平行，那么直线l的方程是( )A.2x-y-3=0B.x+2y-4=0C.2x-y-4=0D.x-2y-4=0【解析】选A.由题意可设所求的方程为2x-y+c=0，代入已知点 (2，1)，可得4-1+c=0，即c=-3，故所求直线的方程为2x-y-3=0.3.直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( )A.，B.-，-C.-，-D.，【解析】选C.根据斜率公式k=-=-，令x=0，则y=-，即在y轴上的截距为-.4.若三直线l1：2x+3y+8=0，l2：x-y-1=0，l3：x+ky+k+=0能围成三角形，则k不等于( )A. B.-2C.，-1D.，-1，-【解析】选 D.由得交点P(-1，-2)，若P在直线x+ky+k+=0上，则k=-，此时三条直线交于一点；k=时，直线l1与l3平行；k=-1时，直线l2与l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠-，和-1.5.(2016·杭州高一检测)已知直线l：ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.当截距都为0时，-2-a=0即a=-2；当截距都不为0即a ≠-2时，直线方程可变形为：+=1，由已知有=a+2，得a=1.6.(2016·北京高一检测)已知直线ax+by+c=0的图象如图，则( )A.若c>0，则a>0，b>0B.若c>0，则a<0，b>0C.若c<0，则a>0，b<0D.若c<0，则a>0，b>0【解析】选D.由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如题图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0.7.(2016·威海高一检测)直线l过点(-1，2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0【解析】选A.由直线l与直线2x-3y+4=0垂直，可知直线l的斜率是-，由点斜式可得直线l的方程为y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0.【补偿训练】过点(1，0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0【解析】选A.设所求直线的方程为x-2y+m=0，把点(1，0)代入，得m=-1，故选A.8.已知m≠0，直线ax+3my+2a=0在y轴上的截距为2，则直线的斜率为( )A.1B.-C.-D.2【解析】选A.令x=0，得y=-，因为直线在y轴上的截距为2，所以-=2，所以a=-3m，原直线化为-3mx+3my-6m=0，所以k=1.【延伸探究】把题中的“在y轴上的截距为2”改为“在两坐标轴上的截距之和为2”，则直线的斜率为( )A.1B.-C.-D.2【解析】选D.令x=0，得y=-，令y=0，得x=-2，因为在两坐标轴上的截距之和为2，所以-+(-2)=2，所以a=-6m，原直线化为-6mx+3my-12m=0，所以k=2.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016·广州高一检测)垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.【解析】设直线方程是4x+3y+d=0，分别令x=0和y=0，得直线在两坐标轴上的截距分别是-，-.所以6=××=.所以d=±12，则直线在x轴上的截距为3或-3.答案：3或-310.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m的取值范围是______________.【解题指南】求x，y的系数不同时为0的m值即可，即先求出x与y 的系数均为零时m的值，再取补集即可.【解析】由得m=1，故要使方程表示一条直线，需2m2+m-3与m2-m不同时为0，故m≠1.答案：m≠1三、解答题11.(10分)求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.【解析】方法一：由题意知：可设l的方程为3x-4y+m=0，则l在x轴，y轴上的截距分别为-，.由-+=1知，m=-12.所以直线l的方程为：3x-4y-12=0.方法二：设直线方程为+=1，由题意得解得所以直线l的方程为：+=1.即3x-4y-12=0.【补偿训练】(2016·大连高一检测)已知直线2x+(t-2)y+3-2t=0，分别根据下列条件，求t的值.(1)过点(1，1).(2)直线在y轴上的截距为-3.【解析】(1)因为直线2x+(t-2)y+3-2t=0过点(1，1)，所以2+(t-2)+3-2t=0，即t=3.(2)令x=0，得y==-3，解得t=.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程+答案解析(附后)
3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离一、单选题（本大题共5小题，共25分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，则点M到直线NF的距离为( )A. B. C. D.2.点到直线的距离大于3，则实数a的取值范围为( )A. B.C. 或D. 或3.过点，且与点，的距离相等的直线的方程是( )A. B.C. 或D. 或4.点到直线的距离是( )A. 3B.C. 1D.5.直线与直线的距离为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）6.点到直线的距离为__________.7.已知点到直线的距离为，则__________.已知点到直线的距离不大于3，则a的取值范围是__________.8.若点到直线的距离等于4，则a的值为__________.9.直线与直线的距离为，则c的值为__________.10.已知动点P在直线上运动，动点Q在直线上运动，且，则的最小值为__________.11.两直线和平行，则它们之间的距离为__________.三、解答题（本大题共7小题，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.本小题12分求点到直线的距离的最大值.13.本小题12分已知的顶点为，AB边上的中线CM所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为求顶点B，C的坐标;求的面积.14.本小题12分已知直线恒过定点若直线l经过点A，且坐标原点到l的距离等于2，求l的方程.15.本小题12分已知两条平行直线与直线，求与间的距离.16.本小题12分已知直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，点到直线l的距离为，求直线l的方程.17.本小题12分如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕EF所在直线的斜率为求折痕EF所在直线的方程;若点P为BC的中点，求的面积.18.本小题12分已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点，其中，求点D的坐标及AD所在直线的方程;求平行四边形ABCD的面积.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，先求出N，F所在直线方程，属于基础题【解答】解析易知直线NF的斜率，故直线NF的方程为，即，所以点M到直线NF的距离为，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，列不等式求解即可，属于基础题【解答】根据题意得，即，解得或，故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式；根据题意分析直线斜率存在，设出直线方程，结合点到直线的距离公式，进而得到结果。
人教版高中数学必修3第三章单元测试(二)- Word版含答案
必修三第三章训练卷概率（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是（）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是（）①选出1人是班长的概率为140；②选出1人是男生的概率是125；③选出1人是女生的概率是115；④在女生中选出1人是班长的概率是0．A．①②B．①③C．③④D．①④3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．12B．13C．14D．184．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不是对立事件D．以上答案都不对A．110B．310C．710D．9106．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（）A．16B．16．32C．16．34D．15．968．在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17<a<20的概率是（）A．13B．12C．310D．7109．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0．23，则摸出黑球的概率为（）A．0．45B．0．67C．0．64D．0．3210．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（）A．9100B．350C．3100D．2911．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为（）A．710B．310C．35D．2512．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．4πB．12πC．14π-D．112π-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0．2，重量在[]200,300内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A B+发生的概率为________．(B表示B的对立事件)15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．将a，b，5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0．10．160．30．30．10．04（1（2）至少3人排队等候的概率是多少？18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂．（1）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．19．(12分)在区间(0，1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程20x m +=有实根的概率．20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x ，y )表示“甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车”． （1）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来； （2）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率； （3）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A类轿车10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4，8．6，9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．2018-2019学年必修三第三章训练卷概率（二）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】D【解析】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D选项，概率为90%，即可能性为90%．故选D．2．【答案】D【解析】本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为255 408=；“选出1人为女生”的概率为153408=，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0．故选D．3．【答案】C【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率14P=．故选C．4．【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．故选C．5．【答案】B6．【答案】A【解析】从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．A选项正确．7．【答案】B【解析】由题意204300SS=阴矩，∴204=24=16.32300S⨯阴．故选B．8．【答案】C【解析】∵(]15,25a∈，∴()201731720251510P a-<<==-．故选C．9．【答案】D【解析】摸出红球的概率为45.45100=0，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为10.450.230.32--=．故选D．10．【答案】A【解析】任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0，1，2，…，9)；(1，i)(i＝0，1，2，…，9)；(2，i)(i＝0，1，2，…，9)；…；(9，i)(i ＝0，1，2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9)．共有9种．故所求概率为9100．故选A．11．【答案】A【解析】建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形OABD内，所以所求事件的概率为7=10OABDOABCSPS=梯形矩形．故选A．12．【答案】C【解析】4144P--ππ===-正方形面积圆锥底面积正方形面积．故选C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0.3【解析】所求的概率10.20.50.3P =--=． 14．【答案】23【解析】事件A 包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；B 表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A 与B 是互斥的，故()()()112333P A B P A P B +==+=．15．【答案】718【解析】基本事件的总数为6×6＝36．∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5符合题意，有2种情况； 当a ＝5时，b ∈{1，2，3，4，5，6}符合题意， 即有6种情况；当a ＝6时，b ＝5或6符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种， 所求概率为1473618=． 16．【答案】1936【解析】基本事件总数为36个，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b 2≥4c ．当c ＝1时，b ＝2，3，4，5，6；当c ＝2时，b ＝3，4，5，6； 当c ＝3时，b ＝4，5，6；当c ＝4时，b ＝4，5，6； 当c ＝5时，b ＝5，6；当c ＝6时，b ＝5，6．符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x 2－bx ＋c ＝0有实根的概率为1936．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】（1）0.56；（2）0.44．【解析】记“有0人等候”为事件A ，“有1人等候”为事件B ，“有2人等候”为事件C ，“有3人等候”为事件D ，“有4人等候”为事件E ，“有5人及5人以上等候”为事件F ，则易知A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．（1）记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ， 所以()()()()()=0.10.160.30.56P G P ABC P A P B P C =++＝＋＋＝．（2）记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44． 也可以这样解，G 与H 互为对立事件， 所以()()110.560.44P H P G --===．18．【答案】（1）A ，B ，C 分别抽取2人，3人，2人；（2）1121． 【解析】（1）工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为71639=，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2人，3人，2人．（2）设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个， 全部可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为()1121P X =． 19．【答案】18．【解析】在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m ，n 的值，因为m ，n 在(0，1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m +=有实根，则事件()40,0101n m A m n m n ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为18，故()18S P A S ==阴影正方形，即关于x 的一元二次方程20x nx m +=有实根的概率为18．20．【答案】（1）见解析；（2）19；（3）23．【解析】（1）甲、乙两人下车的所有可能的结果为：(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．（2）设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A ，则()19P A =．（3）设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B ，则()121393P B =-⨯=．21．【答案】（1）0.05；（2）40元．【解析】（1）把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AB 3、AC 1、AC 2、AC 3、A 12、A 13、A 23、BC 1、BC 2、BC 3、B 12、B 13、B 23、C 12、C 13、C 23、123， 共20个．事件E ＝{摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123，()10.0520P E ==． （2）事件F ＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P (F )＝2/20＝0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F 发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元． 22．【答案】（1）400；（2）710；（3）34． 【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得5010100300n =+，所以n ＝2000． 则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得40010005a=，即a ＝2． 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故()710P E =，即所求概率为710． （3）样本平均数()19.48.69.29.68.79.39.08.298x =⨯+++++++=．设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有： 9．4，8．6，9．2，8．7，9．3，9．0，共6个，所以()6384P D ==，即所求概率为34．。
[精品]新人教版必修二高中数学第三章直线与圆拔高习题二十3.2.2和答案
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拔高习题二十直线的两点式方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为( )A.+=1B.+=1C.+ =1D.+=1【解析】选A.由题意知M(2，4)，N(3，2)，故直线MN为=，即+=1.2.过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为( )A.x=2B.y=2C.x=3D.x=6【解析】选B.由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y=2，故选B.3.(2016·衡阳高一检测)过两点(-1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为( ) A.- B.- C. D.2【解析】选A.直线方程为=，化为截距式为+=1，则在x轴上的截距为-.4.(2016·长沙高一检测)直线-=1在y轴上的截距为-3，则q= ( )A.3B.-3C.-D.【解析】选A.直线-=1化为截距式方程为+=1，由题意知-q=-3，所以q=3.5.直线l过点A(-4，-6)，B(2，6)两点，点C(1006，b)在直线l上，则b的值为( )A.2012B.2013C.2014D.2016【解析】选C.因为直线l过A(-4，-6)，B(2，6)两点，所以直线l的方程为=，即y=2x+2.又点C(1006，b)在直线l上，所以b=2×1006+2=2014.【一题多解】选C.由题意三点A(-4，-6)，B(2，6)，C(1006，b)三点共线，故k AB=k BC即=，故b=2014.6.两直线-=1与-=1的图象可能是图中的哪一个( )【解题指南】将两直线方程化为斜截式，根据斜率之间的关系判断. 【解析】选B.由-=1，得y=x-n；由-=1，得y=x-m，即两直线的斜率同号且互为倒数.7.过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为+=1.由题意得解得或综上，符合题意的直线共有3条.8.(2016·深圳高一检测)直线+=1在y轴上的截距是( )A.|b|B.-b2C.b2D.±b【解析】选C.由直线的截距式方程特点知该直线在y轴上的截距为b2.二、填空题(每小题5分，共10分)9.过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.【解析】由直线的两点式方程得=，或=.答案：=10.过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB 的中点，则直线l的截距式方程是________.【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由点P(1，3)是AB的中点可得m=2，n=6，即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).则l的方程为+=1.答案：+=1三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·郑州高一检测)已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(-1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标.(2)求直线MN的方程.【解析】(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式得解得所以点C的坐标为(1，-3).(2)由(1)知：点M，N的坐标分别为M，N，由直线方程的截距式，得直线MN的方程是+=1，即y=x-.12.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l的方程.【解析】方法一：设直线l的点斜式方程为y+2=k(x-6)(k≠0).令x=0，得y=-6k-2；令y=0，得x=+6.于是-(-6k-2)=1，解得k1=-或k2=-.故直线l的方程为y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即y=-x+2或y=-x+1. 方法二：设直线l的斜截式方程为y=kx+b.令y=0，得x=-.依题意，得⇒或故直线l的方程为y=-x+1或y=-x+2.【能力挑战题】为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大？【解题指南】求出点E，F的坐标，利用直线方程的两点式，写出直线EF的方程，在线段EF上取点P(m，n)，利用点P的坐标表示出草坪的面积，从而得出答案.【解析】如图建立坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，所以线段EF所在的直线方程为+=1(0≤x≤30)，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，做PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n)，又因为+=1(0≤x≤30)，所以n=20，所以S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30)，于是当m=5，即=时，草坪面积最大.。
人教版数学高一第三章直线与方程单元测试精选(含答案)3
d
Ax0 By0 C A2 B2
.已知点 P1, P2
到直线 l
的有向距离分别是 d1, d2 ，给出以下命题：
试卷第 6页，总 10页
①若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ②若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ③若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 垂直；④若 d1d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 相交；
25．直线 l1：x＋my＋6=0 与 l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，若 l1//l2 则 m =__________;
【来源】[中学联盟]山东省栖霞市第一中学 2017-2018 学年高一上学期期末测试数学试 题
【答案】 1 1
26．直线 y= x 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________；
则 m 的倾斜角可以是：①15°;② 30°;③ 45°;④ 60°;⑤ 75°. 其中正确答案的序号是______.(写出所有正确答案的序号） 【来源】2011 届陕西省师大附中、西工大附中高三第七次联考文数
【答案】①或⑤
30．定义点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0( A2 B 2 0) 的有向距离为
评卷人 得分
二、填空题
22．在四边形 ABCD 中,AB = DC = (1,1),且 BA + BC =
|BA| |BC|
|B3BDD| ,则四边形 ABCD 的面积
为
．
【来源】2015 高考数学（理)一轮配套特训：4-3 平面向量的数量积及应用（带解析)
【答案】 3
23．直线 ax+2y-4=0 与直线 x+y-2=0 互相垂直，那么 a=______________ ;
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
直线与圆单元测试题及答案
直线与圆单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直线与圆相切时，直线与圆心的距离等于（）。
A. 圆的半径B. 圆的直径C. 圆的周长D. 圆的面积2. 圆的方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( a \) 和\( b \) 分别代表（）。
A. 圆的半径和直径B. 圆的中心坐标C. 圆的周长和面积D. 圆的直径和面积3. 如果直线 \( y = mx + c \) 与圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) 相切，则直线到圆心的距离是（）。
A. \( \sqrt{m^2 + 1} \cdot r \)B. \( \frac{|ma - mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)C. \( \frac{|ma + mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)D. \( \frac{|ma - mb - c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)4. 直线 \( x = 3 \) 与圆 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 \) 的位置关系是（）。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 圆心在原点，半径为 \( \sqrt{5} \) 的圆的方程是（）。
A. \( x^2 + y^2 = 5 \)B. \( x^2 + y^2 = 3 \)C. \( x^2 + y^2 = 4 \)D. \( x^2 + y^2 = 2 \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线 \( y = kx + 1 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 相切，则\( k \) 的值为________。
7. 圆 \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0 \) 的圆心坐标是________。
8. 若直线 \( x - 2y + 3 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 相切，则圆心到直线的距离是________。
人教版高中数学必修三单元测试直线和圆及答案
（8）直线和圆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如图所示，直线l 1，l 2，l 3，的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则（ ）A ． k 1< k 2< k 3B ． k 3< k 1< k 2C ． k 3< kk 2< k 1D ． k 1< k 3< k 22．点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ）A ．25 B ．5C ．23 D ．25 3．经过点P （3，2），且倾斜角是直线x -4y +3=0的倾斜角的两倍的直线方程是（ ）A ．8x -15y +6=0B ．x -8y +3=0C ．2x -4y +3=0D ．8x +15y +6=0 4．方程| x |+| y |=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．25．过点P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）A ．x +y -5=0或x -y +1=0B ．x -y +1=0C ．3x -2y =0或x +y -5=0D ．x -y +1=0或3x -2y =06．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x +a y +c=0与b x -sinB ·y +sinC=0的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直7．直线x -y +4=0被圆(x +2)2+(y -2)2=2截得的弦长为（ ）A ．2 B ．22 C ．32D ．42 8．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）A ．| x |-| y |=1B ．x -y =1C ．( | x |-| y | )2=1D ．| x -y |=19．若集合,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且 则a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．5≥aC ．51≤≤aD ．5≤a10．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0111y x y x 下，目标函数y x z2+=的最小值和最大值分别是（ ）A ．1，3B ．1，2C ．0，3D ．2，3二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．如果直线l 与直线x +y -1=0关于y 轴对称，那么直线l 的方程是 ．y xl 2l 1l 3o12．直线3x +y -23=0截圆x 2+y 2=4，得劣弧所对的圆心角为 ．13．过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 ． 14．如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x -4y =0平分，且不经过第四象限，则l 的斜率的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围．（12分）16．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l １，l ２，若l １交x 轴于A 点， l 2 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． （12分）17．已知圆的半径为10，圆心在直线x y 2=上，圆被直线0=-y x 截得的弦长为24，求圆的方程．（12分）18．已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），求P 点的轨迹方程.（12分）xy oABC D EFG P19．要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：规格类型A 规格B 规格C 规格 甲种钢管 2 1 4 乙种钢管231今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少． （14分）20．已知圆的参数方程)20(sin 2cos 2πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x （1）设πθ34=时对应的点这P ，求直线OP 的倾斜角；（2）若此圆经过点（m,1），求m 的值，其中)2,0[πθ∈；（3）求圆上点到直线0543=++y x 距钢管类型离的最值．（14分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBAACCBCDA二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．x - y +1=0 12．3π13．y =33 x 14． [0，2]三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π(2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m当m ＞2时，k ＞0． ∴α=arctan 21-m ,α∈（0，2π），当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan 21-m ，α∈(2π,π)．16．（12分）[解法1]：设点M 的坐标为(x ,y ),∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x ,0)，B 的坐标为(0，2y )， ∵l １⊥l ２，且l １、l ２过点P (2，4)， ∴PA ⊥PB ,k PA ·ｋＰＢ＝－１． 而)1(,0224,2204≠--=--=x yk x k AB PA).1(11212≠-=-⋅-∴x y x 整理，得x +2y -5=0(x ≠1)∵当x =1时，A 、B 的坐标分别为(2，0)、(0，4)． ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x +2y -5=0， 综上所述，点M 的轨迹方程是x +2y -5=0．[解法2]：设M 的坐标为(x ,y )，则A 、B 两点的坐标分别 是(2x,0)、(0,2y )，连接PM ， ∵l １⊥l ２，∴2｜ＰＭ｜＝｜ＡＢ｜，而｜ＰＭ｜＝22)4()2(-+-y x 22)2()2(y x AB +=222244)4()2(2y x y x +=-+-∴化简，得x +2y -5=0,为所求轨迹方程． 17．（12分）[解析]：设圆心坐标为（m ，2m ）,圆的半径为10，所以圆心到直线x -y=0的距离为2||2||m m =-由半径、弦心距、半径的关系得228102±=∴+=m m∴所求圆的方程为10)4()2(,10)4()2(2222=+++=-+-y x y x18．（12分）[解析]：根据题设条件可知，点P(x ，y)的轨迹即直线GE 与直线OF 的交点. 据题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ） 设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(20420040=-+⇒---=--y k ax k x a y ， ①直线GE 的方程为：02)12()2(2)2()44(4)44(=-+--⇒----=----a y x k a x ak a ak ak a y . ② 从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）的轨迹方程是：022222=-+ay y x a ，19．（14分）[解析]：设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+001841631322y x y x y x y x 作出可行域(如图)： 目标函数为z =x+y , 作直线l 0：x+y=0，再作一组平行直线l ：x+y=t ，此直线经过直线4x+y =18和直线x +3y =16的交点A (1146,1138)，此时，直线方程为x+y =1184．由于1138和1146都不是整数，所以可行域内的点(1146,1138)不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y =8,经过的整点是B (4，4)，它是最优解．答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根． 20．（14分）[解析]：（1）因为圆上任一点的坐标为（θcos 2，θsin 2），所以当πθ34=时，对应的点P 的坐标为（cos2π34，sin2π34），即（-1，-3）．所以直线OP的斜率为30103=----=k ，所以直线OP 的倾斜角为60° （2）因为圆经过点（m,1），所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⇒∈=⇒==656)2,0[,21sin sin 21cos 2ππθπθθθθ或m 3±=⇒m （3）设圆上的点P 的坐标为（θcos 2，θsin 2），点P 到直线0543=++y x 的距离为55)s in 54c os 53(10435sin 24cos 2322++=++⨯+⨯=θθθθd 1)sin(2++=θϕ，其中53sin =ϕ，54cos =ϕ 故最大值为3，最小值为0。
人教版高中数学必修二检测：第三章直线与圆课后提升作业二十322含解析.doc
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课后提升作业二十直线的两点式方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1 •已知ZXABC三顶点坐标A(l, 2), B(3, 6), C(5, 2), M为AB的中点,N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为()A. +二1B・+=lC. + 二1D. +二1【解析】选A•由题意知M(2, 4), N(3, 2),故直线MN为匕二口，即2-4 3-2+二1・2 •过M(3, 2)与N(6, 2)两点的亡线方程为()A. x=2B. y=2C. x=3D. x二6【解析】选B.由M, N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y二2,故选B.3. (2016 •衡阳高一检测)过两点(-1, 1)和(3, 9)的直线在x轴上的截距为() A. - B.- C・ D. 2【解析】选A.直线方程为二二上1—今—1—3化为截距式为弓+=,则在X轴上的截距为-・24. (2016 •长沙高一检测)直线-二1在y轴上的截距为-3,则q二( )A. 3B. -3C. -靑D.翻【解析】选A.直线-二1化为截距式方程为十"2--1,由题意知-q二-3,所以-qq 二3.5•直线/过点A(-4, -6), B(2, 6)两点，点C(1006, b)在直线/上，则b的值为()A. 2012B. 2013C. 2014D. 2016【解析】选C.因为直线/过A(-4, -6), B(2, 6)两点, 所以直线/的方程为■——,即y二2x+2.S4-6? 2 4*4-又点0(1006, b)在直线/上，所以b=2X 1006+2=2014.【一题多解】选C.由题意三点A(-4, -6), B(2, 6), 0(1006, b)三点共线，故k AB=k B c即兰二上故b二2014.2 十4 1 ^046.两直线兰-二1与-乂二1的图象可能是图中的哪一个()m inA【解题指南】将两直线方程化为斜截式，根据斜率之间的关系判断.【解析】选B.由=1,得y=—x~n;m m由-丄二1,得y=—x-m,m n即两直线的斜率同号且互为倒数.7•过点P(l, 4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有A. 1条B.2条C. 3条D. 4条【解析】选C.当直线经过原点时，横、纵截距都为0,符合题意，当直 线不经过原点时，设直线方程为+二1. 由题意得片It|a| = |b|,综上，符合题意的直线共有3条.8. (2016 •深圳高一检测)直线合+占二1在y 轴上的截距是() A. |b|B. -b 2C. b 2D. ±b【解析】选C ・由直线的截距式方程特点知该直线在y 轴上的截距为bl 二、填空题(每小题5分，共10分)9•过点(0, 1)和(-2, 4)的直线的两点式方程是 _________________10•过点P(l, 3)的直线/分别与两坐标轴交于A, B 两点，若P 为AB 的中点，则直线/的截距式方程是 __________ 【解析】设点A(m, 0), B(0, n),由点P(l, 3)是AB 的中点可得m 二2, n=6, 即A, B 的坐标分别为(2, 0), (0, 6). 则/的方程为+二1・ 答案：+=1三、解答题(每小题10分，共20分)解得霍了或 fa= 5, 詬=5. 【解析】由直线的两点式方程得艺 答案:y —1_ X —014—1 —2—011.(2016 -郑州高一检测)已知在ZXABC中，A, B的坐标分别为(-1, 2), (4, 3), AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标.(2)求直线MN的方程.【解析】(1)设点C(m, n), AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，所以点C的坐标为(1, -3).⑵由⑴知：点M, N的坐标分别为M O L-由直线方程的截距式，得直线MN的方程是+厶二1,即y二x-・12.已知直线/在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过点(6, -2), 求直线/的方程.【解析】方法一：设直线/的点斜式方程为y+2=k(x-6) (k#=0).令x 二0,得y 二-6k-2;令y 二0,得x 二+6.于是(彳十(-6k-2) =1,解得ki二-或k2-_.故直线/ 的方程为y+2二-(x~6)或y+2二-(x-6),即y二-x+2 或y二-x+1. 方法二：设直线/的斜截式方程为y二kx+b.令y—0,得X——.依题意，得厂匚八十匚今(6k + b = -2辰一打卜=-|， 屁=1 (b? = 2.故直线/的方程为y 二-x+1或y 二-x+2.【能力挑战题】为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，另外AAEF 内部 有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m, BC=80m, AE=30m, AF=20m, 应如何设计才能使草坪面积最大？【解题指南】求出点E, F 的坐标，利用直线方程的两点式，写出直线 EF 的方程，在线段EF 上取点P(m, n),利用点P 的坐标表示出草坪的 面积，从而得出答案.【解析】如图建立坐标系，则E(30, 0), F(0, 20),所以线段EF 所在的直线方程为冷汁1 (O0W3O),在线段EF 上取点P(m, n),作PQ 丄BC 于点Q,做PR 丄CD 于点R,设矩 形 PQCR 的面积为 S,则 S 二|PQ| -|PR| = (100-m) -(80-n),又因为巴+亘1 (030 20W X W 30), 所 以n 二 20 (1 — 負)S- (100_m) i 80 — 2C 十—m )二一(m-5)'+ ----- (0WmW30),J3/3于是当m 二5,即半二时，草坪面积最大.IPFI关闭Word 文档返回原板块v80DR ------- !—400(A) 20£40 60 8() B。
人教版高中数学必修三单元测试线性规划及答案
人教版高中数学必修三单元测试线性规划及答案 The document was prepared on January 2, 2021（6）线性规划一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设直线l 的方程为：01=-+y x ，则下列说法不．正确的是 （ ）A ．点集{01|),(=-+y x y x }的图形与x 轴、y 轴围成的三角形的面积是定值B ．点集{01|),(>-+y x y x }的图形是l 右上方的平面区域C ．点集{01|),(<+--y x y x }的图形是l 左下方的平面区域D ．点集{)(,0|),(R m m y x y x ∈=-+}的图形与x 轴、y 轴围成的三角形的面积有最小值2．已知x , y 满足约束条件,11⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤y y x xy y x z +=2则的最大值为（ ）A ．3B ．－3C ．1D ．23 3．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为 （ ）A ．B ．C ．D ． 4．图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为 （ ） A ．20≤≤x B ．⎩⎨⎧≤≤≤≤1020y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+yx y x 022D ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00022y x y x x1201-y5．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<31y y x xy ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则（ ）A ．D P D P ∉∉21且B ．D P D P ∈∉21且C ．D P D P ∉∈21且D ．D P D P ∈∈21且6．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ）A ．02300>+y xB ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x7．已知点P （0，0），Q （1，0），R （2，0），S （3，0），则在不等式063≥-+y x 表示的平面区域内的点是（ ）A ．P 、QB ．Q 、RC ．R 、SD ．S 、P8．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤--011x y x y x 下，则目标函数y x z +=10的最优解是（ ） A ．（0，1），（1，0） B ．（0，1），（0，-1） C ．（0，-1），（0，0）D ．（0，-1），（1，0）9．满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．1310．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2、3 m 2，用A 种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B 种金属板可造甲、乙产品各6个，则A 、B 两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省 （ ）A ．A 用3张，B 用6张 B ．A 用4张，B 用5张C ．A 用2张，B 用6张D ．A 用3张，B 用5张二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．表示以A （0，0），B （2，2），C （2，0）为顶点的三角形区域（含边界）的不等式组是12．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 13．已知点（x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x 表示的平面区域内，则y x +的取值范围为．14．不等式1≤+y x 所表示的平面区域的面积是三、解答题（本大题共6题，共76分）15．画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≥+-02042x yx y x 所表示的平面区域．（12分）16． 求由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x 确定的平面区域的面积阴影部分S 和周长阴影部分C ．（12分）17．求目标函数y x z 1510+=的最大值及对应的最优解，约束条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+01001232122y x y x y x ． （12分）18．设y x z +=2，式中变量y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+≥≥66311y x y x y x ，求z 的最小值和最大值．（12分）19．A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台．已知从A 市调运一台机到D 市、E 市的运费分别为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元．设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最小值和最大值．（14分）20．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1 吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大（14分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-020y x y x 12．)21,23(-- 13．[2，4] 14． 2三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）16．（12分）[解析]：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），其四个顶点为O （0，0），B （3，0），A （0，5），P （1，4）．过P 点作y 轴的垂线，垂足为C ． 则AC=|5-4|=1，PC=|1-0|=1，OC=4，OB=3，AP=2，PB=52)31()04(22=-+-得PC AC S ACP ⋅=∆21=21，8)(21=⋅+=OC OB CP S COBP 梯形所以阴影部分S =ACP S ∆+COBP S 梯形=217，阴影部分C =OA+AP+PB+OB=8+2+5217．（12分）[解析]：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1），作直线l 0：10 x +15 y =0，再作与直线l 0平行的直线l ：10 x +15 y =z ， 由图象可知，当l 经过点（10，1）时使y x z 1510+=取得最大值，显然1151151010max=⨯+⨯=z ，此时最优解为（10，1）． 18．（12分）[解析]：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的四个顶点为（1，35），（1，5），（3，1），（5，1）， 作直线l 0：2 x + y =0，再作与直线l 0平行的直线l ：2 x + y =z ， 由图象可知，当l 经过点（1，35）时 使y x z+=2取得最小值，31135112min =⨯+⨯=z 当l 经过点（5，1）时使y x z +=2取得最大值，111152max =⨯+⨯=z 19．（14分）[解析]：由题意可得，A 市、B 市、C 市调往D 市的机器台数分别为x 、y 、（18- x - y ），调往E市的机器台数分别为（10- x ）、（10- y ）、[8-（18- x - y ）]．于是得 W=200 x +800(10- x )+300 y +700(10- y )+400(18- x - y )+500[8-（18- x - y ）]=-500 x -300 y +17200设Ｗ＝17200－100T ，其中Ｔ＝5 x +3 y , 又由题意可知其约束条件是⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤1810100100818*******y x y x y x y x 作出其可行域如图： 作直线l 0：5 x +3 y ＝０，再作直线l 0的平行直线l ： 5 x +3 y ＝Ｔ 当直线l 经过点（０，10）时，Ｔ取得最小值， 当直线l 经过点（10，8）时，Ｔ取得最大值， 所以，当x =10，y =8时，W min =9800（元）xy O 1166x+3y=6x+y=6y=1x=1l当x =0，y =10时，W max =14200（元）． 答：Ｗ的最大值为14200元，最小值为9800元．20．（14分）分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y xz =600x +900y ．作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．作直线l ：600x +900y =0，即直线l ：2x +3y =0,把直线l的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +900y 取最大值．解方程组⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ,得M 的坐标为x =3350≈117，y =3200≈67． 答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大．。
必修三直线方程测试卷含答案(K12教育文档)
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高二年级第三次周考试卷一、选择题（12＊5=60分）1、已知直线经过点)5,1(-A 和点)2,1(B ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．0 B ．—3 C ．2 D ．不存在 【答案】D2、过点P(1-，3），且倾斜角比直线(2y x =45°的直线的方程是 （ ）【答案】CA ．30y +++=B ．(330x y -+++=C ．30y -+=D ．(360x y +-++3、直线y =+ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 【答案】C3、直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点,且点(5,1)到直线l ,则直线l 的方程是（ ）A ． 3x ＋y ＋4＝0B ． 3x －y ＋4＝0C ． 3x －y －4＝0D ． x －3y －4＝0 【答案】C5、下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程xayb+=1表示 D经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示【答案】D6、已知直线1:20l mx y +-=与直线()2:240l m x my -+-=垂直，则m =（ )A ．0B ．1C ．1-或0D ．0或1 【答案】D7、已知直线1l 的方程是y ax b =+，2l 的方程是(0,)y bx a ab a b =-≠≠，则下列各图形中，正确的是（ )A ．B ．C ．D ．【答案】D8、设点()()2,3,3,2A B -,若直线20ax y ++=与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( ）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B 9、如图，已知()()4,0,0,4A B ，从点()2,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．6B ．210．33．5【答案】B10、已知动点P （x ，y ）满足，22224613641326x y x y x y x y +-++++++=13y x --取值范围（ ）A ．[)1,4,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．[)1,24⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ C ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C11、已知实数,x y 满足250x y ++=,那么22x y +的最小值为（ )A ． 5B ． 10C ． 25D ． 210 【答案】A 12、当点到直线的距离最大时,的值为A ．B ． 0C ．D ． 1 【答案】C二、填空题（4＊5=20)13、过点()12，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 方程为_______________。
高中数学第三章直线与圆单元质量评估(三)(含解析)新人教版必修
单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知点A(1，)，B(-1，3)，则直线AB的倾斜角是( )°°°°【解析】=-，则直线AB的倾斜角是120°.2.(2016·兰州高一检测)直线-=1在y轴上的截距为( )A.|b| 22 D.±b【解析】选B.令x=0，则y=-b2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误，出现这种错误的原因是对直线截距的定义理解不准确.3.过点P(-1，3)，且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0【解析】选A.根据垂直关系可知k=-2，所以y-3=-2(x+1)，即2x+y-1=0.【延伸探究】本题中条件“垂直于直线x-2y+3=0”若换为“平行于直线x-2y+3=0”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】选D.设所求直线方程为x-2y+m=0，因为直线过P(-1，3)，故-1-6+m=0，所以m=7，即所求直线方程为x-2y+7=0.4.(2016·武汉高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为( )【解析】AB==-2，所以m=-8.因为B(-8，4)不在直线2x+y-1=0上，所以m=-8符合题意.5.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则a的值为( )C. D.【解析】·(-1)-2×3=0，所以a=-6.【补偿训练】直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0垂直，则m的值为( ) A. B.- C.或-【解析】l1⊥l2，所以2m+3(m+1)=0，所以m=-.6.(2016·长沙高一检测)直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=，b=2【解析】选C.直线方程一般式化成斜截式，3x+2y+6=0可化为y=-x-3，所以k=-，b=-3.7.(2016·成都高一检测)点A(1，3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2，1)，则直线y=kx+b在x轴上的截距是( )B. D.【解析】解得k=-，b=，所以直线方程为y=-x+，其在x轴上的截距为.8.(2016·许昌高一检测)直线x+2y-5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于( )【解析】选C.直线2x+4y+a=0可化为x+2y+=0，由题意得：=，即a=0或a=-20.9.实数x，y满足方程x+y-4=0，则x2+y2的最小值为 ( )【解析】选C.令t=x2+y2，则t表示直线上的点到原点距离的平方，所以t min=8.10.(2015·郑州高一检测)已知两点A(3，2)和B(-1，4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值等于( )【解析】=，所以|3m+5|=|m-7|，所以3m+5=m-7或3m+5=7-m，所以m=-6或m=.△ABC的一个顶点是A(3， -1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程为( )A.y=2x+5B.y=2x+3C.y=3x+5D.y=-x+【解题指南】分别求出点A关于∠B，∠C的平分线的对称点坐标，再利用角平分线的性质及两点式得BC的方程.【解析】选A.点A(3，-1)关于直线x=0，y=x的对称点分别为A′(-3，-1)，A″(-1，3)，由角平分线的性质知，点A′和点A″都在直线BC上，故得直线BC的方程为y=2x+5.12.已知直线y=x+3k-2与y=-x+1的交点在第一象限，则k的取值范围是( ) A. B.C.(0，1)D.【解析】解得所以直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点坐标为.要使交点在第一象限，则解得-<k<1.所以k的取值范围是.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016·北京高一检测)若直线m被两平行线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是__________.(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d==.由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.答案：①⑤14.过点P(3，4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________.【解析】当直线过原点时设y=kx，因为3k=4，故k=，即y=x.当直线不过原点时设+=1，因为+=1，故a=7，即x+y-7=0.答案：y=x或x+y-7=015.若直线ax+by+16=0与x-2y=0平行，并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点，则a=________，b=________.【解析】若直线ax+by+16=0与直线x-2y=0平行，则a=-. ①由得因为点(4，-2)在直线ax+by+16=0上，所以4a-2b+16=0，②由①②可解得a=-2，b=4.答案：-2 416.不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第__________象限.【解析】直线方程可变形为：(3x-y+7)+a(x+2y)=0，由得所以直线过定点(-2，1).因此直线必定过第二象限.答案：二三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线y=x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M(2，-1)，求l的方程.【解析】因为已知直线的斜率为，即tanα=，所以α=30°，所以直线l的斜率为k=tan2α=tan60°=.又l过点(2，-1)，所以l的方程为y-(-1)=(x-2).即x-y-2-1=0.18.(12分)已知三角形的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3).求：(1)AB边上的中线CM所在直线的方程.(2)△ABC的面积.【解析】(1)由题意有M(1，1)，CM所在直线的方程为2x+3y-5=0.(2)点A到CM所在直线的距离为d=，|CM|=，所以S△ABC=2S△ACM=d·|CM|=11.【补偿训练】如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x-y-2=0，点C(2，0).(1)求直线CD的方程.(2)求AB边上的高CE所在直线的方程.【解析】(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD.所以k CD=k AB=2.所以直线CD的方程为y=2(x-2)，即2x-y-4=0.(2)因为CE⊥AB，所以k CE=-=-.所以直线CE的方程为y=-(x-2)，即x+2y-2=0.19.(12分)已知直线l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它们相交于点A.(1)判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由.(2)求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程.【解析】l1的斜率k1=-，直线l2的斜率k2=2，因为k1k2=-×2=-1，所以l1⊥l2.(2)由方程组解得点A的坐标为，直线l3的斜率为-3，所以所求直线方程为：y-=-3，化为一般式得：3x+y-1=0.20.(12分)已知直线l1：ax+by+1=0(a，b不同时为0)，l2：(a-2)x+y+a=0，(1)若b=0，且l1⊥l2，求实数a的值.(2)当b=3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离.【解析】(1)当b=0时，l1：ax+1=0，由l1⊥l2，知a-2=0，解得a=2.(2)当b=3时，l1：ax+3y+1=0，当l1∥l2时，有解得a=3，此时，l1的方程为3x+3y+1=0，l2的方程为x+y+3=0，即3x+3y+9=0，则它们之间的距离为d==.21.(12分)(2016·德州高一检测)已知A(4，-3)，B(2，-1)和直线l：4x+3y-2=0，求一点P，使|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离等于2.【解题指南】解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|=|PB|”和“到直线的距离为2”，列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解.【解析】方法一：设点P(x，y).因为|PA|=|PB|，所以=.①又点P到直线l的距离等于2，所以=2.②由①②联立方程组，解得点P(1，-4)或点P.方法二：设点P(x，y).因为|PA|=|PB|，所以点P在线段AB的垂直平分线上，由题意知k AB=-1，线段AB的中点为(3，-2)，所以线段AB的垂直平分线的方程是y=x-5.所以设点P(x，x-5)，因为点P到直线l的距离等于2，所以=2.解得x=1或x=.所以点P(1，-4)或点P.22.(12分)已知A-，0，B0，-，其中k≠0且k≠±1，直线l经过点P(1，0)和AB 的中点.(1)求证：A，B关于直线l对称.(2)当1<k<时，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.【解析】(1)因为直线l经过AB的中点，所以只需再证AB⊥l即可.因为A-，0，B0，-，所以AB的中点为-，-.k AB==-k，k l==，所以k AB·k l=(-k)·=-1，所以AB⊥l，所以A，B关于直线l对称.(2)k l=，所以直线l方程为y=(x-1)，其在y轴的截距b=-，因为y=-在(0，+∞)上是单调增函数，所以1<k<时，-1<-<-即-1<b<-.所以直线l在y轴上的截距b的取值范围是-1，-.。
人教高中数学必修三单元测试(5)直线及答案
（5）直线一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．和直线3x 4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是（ ）A ．3x +4y 5=0B ．3x +4y +5=0C ．3x +4y 5=0D ．3x +4y +5=02．若直线的斜率k = 5，则倾斜角α=（ ） A ．arctan(5) B ． πarctan(5) C ．arctan5D ． πarctan53．若直线ax +b y +c=0过第一、二、三象限，则（ ） A ．a b>0, bc>0 B ．a b>0, bc<0 C ．a b<0, bc>0D ．a b<0, bc<04．如图，直线l 1的倾斜角a 1=30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为（ ）A ．33B ． 33C ．3D ．35．若斜率为2的直线l 经过点（0，8），则l 与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．646．若A （2，3），B （3，2），C （21，m ）三点在同一直线上，则m 的值为 （ ）A ．2B ．2C ． 21D ． 217．两条直线A 1x +B 1y +C 1=0, A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是（ ）A ． A 1 A 2+B 1 B 2=0 B ． A 1 A 2 B 1 B 2=0C ．2121B B A A = 1 D ．2121A A B B =1 8．已知两条直线l 1：y = x , l 2：ax y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12）内变动时，a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．(33, 3)C ．(33, 1) ∪(1, 3)D ．(1,3)9．已知直线l 1：y =2x +3，l 2：y ==x23，则l 1、l 2的夹角是A ．arctan3B ．arctan(3)C ．πarctan3D ． πarctan(3)10．已知直线l 1：sin θ·x +cos θ·y +m=0， l 2：x +cot θ·y +n=0 (θ为锐角，m ，n ∈R 且m ≠n)则l 1y xl 2l 1a 2a 1与l 2的位置关系是 （ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知直线l 的方程是kxy +2+3k =0(k ∈R)，则直线l 必经过点 ． 12．若直线的倾斜角为πarctan21，且过点（1，0），则直线l 的方程为 ． 13．直线 2xy 4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转45°所得的直线方程是 ． 14．两条平行线3x +4y 12=0和6x +8y +6=0间的距离是 ． 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21=--=+-y x l y x l ．(12分)16．△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x 2y +1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y =0，若点B的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．(12分)17．已知两点A (－1,－5)，B (3,－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率． (12分)18．在△ABC 中，已知顶点A (1，1)，B (3，6)且△ABC 的面积等于3，求顶点C 的轨迹方程．(12分)19．光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线01:=++y x l 上，反射线经过 B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．（14分）20．如图，根据指令（γ，θ）（γ≥0，180°<θ≤180°），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离γ．（1）现机器人在平面直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）．（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球 正向坐标原点作匀速直线滚动．已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果用反三角函数表示）．（14分）y4A B （1，2）O xy参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDCBDACAA二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．（3，2） 12．x +2 y 1=0 13．3 x + y 6=0 14． 3 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．(12分)[解析]:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22 022022y x y x y x 得所以, l 1与l 2的交点是(2,2)． 设经过原点的直线方程为kx y =,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得1=k ,所以所求直线方程为.x y =（另：求直线交点与求直线方程的综合,求解直线方程也可应用两点式:020020--=--x y ,即.x y =）16．(12分)[解析]：由 ⎩⎨⎧==+-0012y y x 得顶点A （1，0）又，AB 的斜率1)1(102=---=ABk因为x 轴是∠A 的平分线，故AC 的斜率为1，AC 所在直线的方程为y =( x +1) ①已知BC 上的高所在直线方程为x 2 y +1=0，故BC 的斜率为2，BC 所在的直线方程为y 2=2(x –1)② 联立①②解得顶点C 的坐标为（5，6）． 17．(12分)[解析]：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α．∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴σσ即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3． ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝31．因此，直线l 的斜率是3118．(12分)[解析]：设顶点C 的坐标为(x ,y ),作CH ⊥AB 于H ，则动点C 属于集合P =｛Ｃ｜321=⋅CH AB ｝，∵ｋＡＢ＝251316=--．∴直线AB 的方程是y 1=25(x 1),即5x 2y 3=0．∴｜ＣＨ｜＝29325)2(532522--=-+--y x y x329325292129)16()13(22=--⨯⨯∴=-+-=y x AB化简，得｜5x 2y 3｜=6,即5x 2y 9=0或5x 2y +3=0,这就是所求顶点C 的轨迹方程．19．（14分）[解析]：设点A 关于直线l 的对称点为),(00y x A 'l A A 被' 垂直平分 .34123012322000000⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++++∴y x x y y x 解得)1,1(),3,4(B A --'点 在反射光线所在直线上．∴反射光线的方程为0154414313=+-++=++y x x y 即解方程组⎩⎨⎧=++=+-010154y x y x 得入射点的坐标为)31,32(--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为02453223231331=+-++=++y x x y 即光线从A 到B 所走过的路线长为41)13()14(||22=--+--='B A20．(14分)xy44OPQ[解析]：（1）如图γ=24，θ= 45，所下指令为（24， 45）（2）设机器最快在点P （x ，0）处截住小球，则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有22)40()4(217-+-=-x x即73230161232=-==-+x x ，x x或得 因为要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，所以x =7, 故机器人最快可在点P （7，0）处截住小球， 又设Q （4，4），机器人在Q 点旋转的角度为α- 则PQ|5)40()47(222=-+-=1=OQ k ,344740-=--=PQ k（法一）：由1=OQk ⇒∠QOP=45°，34-=PQ k ⇒∠QPx=34arctan -π34arctan 45+=∴ α， )34arctan 45(+-=α（法二）： PQOQ PQ OQ k k k k ⋅+-=1tan α71341)34(1-=⋅---=7arctan 180-=∴ α，)7arctan 180(--=- α 故，所给的指令为（5，34arctan45--）或（5，7arctan 180+- ）。
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人教版高中数学必修三单元测试直线和圆及答案Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#（8）直线和圆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．如图所示，直线l 1，l 2，l 3，的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则（ ） A ． k 1< k 2< k 3B ． k 3< k 1< k 2C ． k 3< kk 2< k 1D ． k 1< k 3< k 22．点（0，5）到直线y =2x 的距离是 （ ）A ． 25B ． 5C ． 23D ．25 3．经过点P （3，2），且倾斜角是直线x -4y +3=0的倾斜角的两倍的直线方程是（ ）A ．8x -15y +6=0B ．x -8y +3=0C ．2x -4y +3=0D ．8x +15y +6=0 4．方程| x |+| y |=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是 （ ）A ．2B ．1C ．4D ． 25．过点P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）A ．x +y -5=0或x -y +1=0B ．x -y +1=0C ．3x -2y =0或x +y -5=0D ．x -y +1=0或3x -2y =06．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x +ay +c=0与b x -sinB ·y +sinC=0的位置关系是 （ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直7．直线x -y +4=0被圆(x +2)2+(y -2)2=2截得的弦长为（ ）A ． 2B ．22C ．32D ．42y xl 2l 1l 3o8．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是 （ ）A ．| x |-| y |=1B ．x -y =1C ．( | x |-| y | )2=1 D ．| x -y |=1 9．若集合,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且 则a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．5≥aC ．51≤≤aD ．5≤a10．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0111y x y x 下，目标函数y x z 2+=的最小值和最大值分别是（ ）A ．1，3B ．1，2C ．0，3D ．2，3二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．如果直线l 与直线x +y -1=0关于y 轴对称，那么直线l 的方程是 ．12．直线3x +y -23=0截圆x 2+y 2=4，得劣弧所对的圆心角为 ．13．过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 ．14．如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x -4y =0平分，且不经过第四象限，则l 的斜率的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围．（12分）16．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l １，l ２，若l １交x 轴于A 点，l 2 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． （12分）17．已知圆的半径为10，圆心在直线x y 2=上，圆被直线0=-y x 截得的弦长为24，求圆的方程．（12分）18．已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），求P 点的轨迹方程.（12分）xyoABC D EF G P19．要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少． （14分）20．已知圆的参数方程)20(sin 2cos 2πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x （1）设πθ34=时对应的点这P ，求直线OP 的倾斜角；（2）若此圆经过点（m,1），求m 的值，其中)2,0[πθ∈；（3）求圆上点到直线0543=++y x 距离的最值．（14分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBAACCBCDA二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．x - y +1=0 12．3π13．y =33 x 14． [0，2]三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π(2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m当m ＞2时，k ＞0． ∴α=arctan 21-m ,α∈（0，2π），当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan 21-m ，α∈(2π,π)．16．（12分）[解法1]：设点M 的坐标为(x ,y ),∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x ,0)，B 的坐标为(0，2y )， ∵l １⊥l ２，且l １、l ２过点P (2，4)， ∴PA ⊥PB ,k PA ·ｋＰＢ＝－１． 而)1(,0224,2204≠--=--=x yk x k AB PA).1(11212≠-=-⋅-∴x y x 整理，得x +2y -5=0(x ≠1)∵当x =1时，A 、B 的坐标分别为(2，0)、(0，4)． ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x +2y -5=0， 综上所述，点M 的轨迹方程是x +2y -5=0．[解法2]：设M 的坐标为(x ,y )，则A 、B 两点的坐标分别 是(2x,0)、(0,2y )，连接PM ， ∵l １⊥l ２，∴2｜ＰＭ｜＝｜ＡＢ｜，而｜ＰＭ｜＝22)4()2(-+-y x 22)2()2(y x AB +=222244)4()2(2y x y x +=-+-∴化简，得x +2y -5=0,为所求轨迹方程． 17．（12分）[解析]：设圆心坐标为（m ，2m ）,圆的半径为10，所以圆心到直线x -y=0的距离为2||2||m m =-由半径、弦心距、半径的关系得228102±=∴+=m m∴所求圆的方程为10)4()2(,10)4()2(2222=+++=-+-y x y x18．（12分）[解析]：根据题设条件可知，点P(x ，y)的轨迹即直线GE 与直线OF 的交点. 据题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ） 设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(20420040=-+⇒---=--y k ax k x a y ， ①直线GE 的方程为：02)12()2(2)2()44(4)44(=-+--⇒----=----a y x k a x ak a ak ak a y . ② 从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）的轨迹方程是：022222=-+ay y x a ，19．（14分）[解析]：设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+001841631322y x y x y x y x 作出可行域(如图)： 目标函数为z =x+y , 作直线l 0：x+y=0，再作一组平行直线l ：x+y=t ，此直线经过直线4x+y =18和直线x +3y =16的交点A (1146,1138)，此时，直线方程为x+y =1184．由于1138和1146都不是整数，所以可行域内的点(1146,1138)不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y =8,经过的整点是B (4，4)，它是最优解． 答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根．20．（14分）[解析]：（1）因为圆上任一点的坐标为（θcos 2，θsin 2），所以当πθ34=时，对应的点P 的坐标为（cos 2π34，sin2π34），即（-1，-3）．所以直线OP 的斜率为30103=----=k ，所以直线OP 的倾斜角为60° （2）因为圆经过点（m,1），所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⇒∈=⇒==656)2,0[,21sin sin 21cos 2ππθπθθθθ或m 3±=⇒m（3）设圆上的点P 的坐标为（θcos 2，θsin 2），点P 到直线0543=++y x 的距离为55)sin 54cos 53(10435sin 24cos 2322++=++⨯+⨯=θθθθd1)sin(2++=θϕ，其中53sin =ϕ，54cos =ϕ 故最大值为3，最小值为0。