定积分的应用

第十章 定积分的应用应用一 平面图形的面积1、积分()ba f x dx ⎰的几何意义我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()baf x dx ⎰<0时，定积分表示的是负面积，即()b af x dx ⎰表示的是f 在[a,b]上的正负面积代数和。

例如5522202sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππππ=++=-=⎰⎰⎰⎰。

若计算sinx 在[0，52π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππππππ=+-=+=⎰⎰⎰⎰。

2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积由几何意义得()()[()()]bb baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|baS f x g x dx =-⎰。

如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b]内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|baS f x g x dx =-=⎰21|()()|x x f x g x dx -⎰。

所以此时求f(x)和g(x)在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。

例1、求2y x =，2x y =所围的面积S 。

例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。

例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？例4、求抛物线22y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。

例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ）3、参数方程形式下的面积公式若所给的曲线方程为参数形式：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公式为||()S y dx t βα=⎰。

（αβ<） 例1、求旋轮线：(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。

例2、求椭圆cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩（a>0，b>0）的面积S 。

4、极坐标下的面积公式设曲线的极坐标方程是：()r r θ=，αθβ≤≤，()[,]r C θαβ∈，则由曲线()r r θ=，射线θα=及θβ=所围的扇形面积S 等于21()2S r d βαθθ=⎰。

例1、求双纽线222cos 2r a θ=所围图形面积S 。

例2、求由2sin3r θ=，03θπ≤≤，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S 。

例3、求三叶形成曲线sin 3r a θ=（a>0）所围图形面积。

应用二 曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。

设平面曲线C 由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（t αβ≤≤）给出，设01{,,,}n P t t t = 是[,αβ]的一个划分[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<= ，它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =，111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。

从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ，1M ，…，nM 得到曲线的一条内接折线，用1i i M M -来表示1i i M M -的长度，则内接折线总长度为111n nn i i i i S M M -====∑曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→ 时的极限：1011lim lim n ni i p p i i S M M -→→====∑如果S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。

2、弧长公式设曲线C ：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤），且()x t ，()y t 在[,αβ]上可微且导数()x t '，()y t '在[,αβ]上可积，曲线C 在[,αβ]无自交点，则曲线C 的弧长S 为：S ββαα==⎰⎰注：其它形式的弧长公式（1）设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积，则曲线()y y x =（a ≤x ≤b ）的弧长S 为：aS =⎰（2）若曲线极坐标方程()r r θ=，αθβ≤≤，则当()r θ在[,αβ]上可微，且()r θ'可积时，S βαθ=⎰（3）空间曲线()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（t αβ≤≤），弧长S 为S βα=⎰其中x(t)，y(t)，z(t)在[,αβ]上可微，导数()x t '，()y t '，()z t '在[,αβ]上可积且曲线C 在 [,αβ]上无自交点。

例1、求圆周cos x R t =，sin y R t =，02t π≤≤的弧长S 。

例2、求抛物线212y x =，01x ≤≤的弧长S 。

例3、求椭圆22221x y a b+=（b>a>0）的弧长S 。

3、弧长的微分设C ：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（t αβ≤≤）是光滑曲线（()x t '，()y t '在[,αβ]连续且2()x t '＋2()0y t '≠）；且无自交点。

若把公式中的积分上限β改为t ，就得到曲线C ，由端点0M 到动点((),())M x t y t 的一段弧长。

tS =⎰由上限函数的可微性知()S t '存在，()dS t dS dt ==4、平面曲线的曲率曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度ϕ∆的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S ∆有关，并且曲率与ϕ 成正比，与S 成反比。

即一般曲线的弯曲程度可用k Sϕ∆=∆，其中k ：曲线段AB 的平均变化率；ϕ∆：曲线段AB 上切线方向的角度；S ∆：曲线段 AB 的弧长。

例1、半径为R 的圆：1k S S R Rϕααα∆∆∆====∆∆∆⋅。

对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？0lims k S ϕ→∆=∆ ，称为曲线在A 点的曲率，即0lims d k dSS ϕϕ→∆==∆5、曲率的计算记()y y x =二阶可微，则在点x 处的曲率为： 因为tg y ϕ'=，arctgy ϕ'=，所以2211d y y d dx dx y y ϕϕ''''=⇒=''++，又因为dS =所以 ()3/221d y k dS y ϕ''=='+ 例1、求212y x =在任一点的曲率。

6、曲率圆和曲率半径过点（x ，y(x)）且与y ＝y （x ）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆222()()x a y b R -+-=称为曲率圆。

曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。

如何求曲线上一点（x ，y(x)）处的曲率圆呢？因为1R k =，()3/221y k y ''='+，则（a,b ）在过（x ，y(x)）的法线上：1()()()Y y x X x y x -=--'。

例1、求212y x =在点（0,0）的曲率圆方程？ 应用三 旋转体的体积和侧面积（一）一般体积公式：设一几何体夹在x ＝a 和x ＝b （a<b ）这两个平行平面之间，用垂直于X 轴的平面去截此几何体，设载面与X 轴交点为（x ，0），可得的截面面积为S （x ），如果S(x)是[a,b]上的（R ）可积函数，则该几何体的体积V 等于：()baV S x dx =⎰。

例1、求底面积为S ，高为h 的斜柱体的体积V 。

例2、求底面积为S ，高为h 的圆锥体的体积V 。

例3、求由椭球面2222221x y z a b c++=所围的几何体体积。

(a,b,c>0)（二）旋转体的体积设y ＝y(x)于[a,b]（R ）可积，曲线y ＝y(x)，a ≤x ≤b ，绕x 轴产生旋转体的截面积为S(x)＝2()y x π，则V 旋体＝2()b baaS x dx y dx π=⎰⎰例4、求抛物线22y x =，0≤x ≤1分别绕x 轴和y 轴所产生的旋转体体积。

（三）旋转体的侧面积设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：2baS π=⎰例5、求半径为r 的球面面积S 。

应用四 物理方面（一）质量有一根不均匀的细棒，常b －a ，密度为ρ，求棒的质量M ，则M ＝()bax dx ρ⎰（二）质心（重心）重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。

从最简单的两个质点的系统说起。

设质点1M ，2M 的质量分别为1m ，2m ，想像它们为一细杆所连接，这时若重心在点C ，则C 点用一物支起来，杆是平衡的。

这不难理解。

为计算重心，不妨把杆放在x 轴上，设1M ，2M 和C 点坐标依次为1x ，2x ，C x ，在C 点所用支起的力应等于作用在1M ，2M 处的重力1m g ，2m g 的和1m g ＋2m g 。

因此它们为原点O 的力矩之和应为0，即1m g 1x ＋2m g 2x －12()C m g m g x +＝0，所以112212C m x m x x m m +=+如果不是两个原点，而是有限多个1M ，2M ，…，n M ，质量分别为1m ，2m ，…，n m ，横坐标分别为1x ，2x ，…，n x 则重心112212n nC nm x m x m x x m m m +++=+++ 。

如果原点不是放在X 轴上，而是在平面上，并设坐标为(,)i i i M x y ，原量分别为i m ，则该重心为（,C C x y ），有以下公式：11ni ii C nii m xx m===∑∑，11ni ii C nii m yy m===∑∑下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心：设曲线方程为()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（t αβ≤≤），()x t '，()y t '存在且22()()0x t y t ''+≠（设原心为均匀分布，即密度为常数ρ，这时重心由圆形的形状完全决定，所以均匀物体的质心也叫形心）。