求几何体体积的常用方法

A
B
C
A
C B
设侧面BC1C1B1的面积为S， P到侧面BC1C1B1的距离为h. Sh=36×2=72. V=Sh÷3=24.
V V三棱柱 VA1 ABC
2 V三棱柱 24 3
同步练习
6.已知四面体PABC的三组对棱分别相等，且依次为
5、 2 5、 13 ，求该四面体的体积. 8
D A
公式
2
E
C B 补形
B
2 3 2 6 h a ( a) a 3 2 3 1 3 2 6 2 3 V a a a 3 4 3 12
2 AB a, 2 V V正方体 4VB1 ABC
2 3 a 12
同步练习
1.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的 正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB， EF=2，求该多面体的体积. 2 3 1 分割 补形 F E H 2 F E G
A P
2 5 13 c
a
5
C
b
补形 1 VS ABD V长方体 6
同步练习
7.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、 F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1-EBFD1的 体积. 1 3 A1 D1 a 6 V VF A1EB VF A1ED1 B1 C1 2VF A1EB E
1 VP ABC V 2 2 VN ABC VP ABC 3 VN PAC VP ABC VN ABC
N D A B C
1 1 VP ABC V 3 6
同步练习
9.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为AB， AC的中点，平面B1C1FE将三棱柱分成两部分，求这两部 分的体积之比. 7 A1 C1 5 解：设三棱柱底面积为S, 高为h. B1 V1 VAEF A1B1C1
2
3
3
SABC
B
1
P
6 7
C
等积
同步练习
3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别 为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积. D1 1 3 C1 a 6 A1 B1 F E D C B 等积
A
同步练习
4.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V2，P、Q分 别是AA1、 CC1上的点，且PA= QC1.记四棱锥B-APQC 的体积为V1.求V1 :V2. 1
1 2 SA1 EB a 3 1 1 2 2 a a 3 4 1 3 a 6
F A D C
B 分割
同步练习
8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形， NB=2PN，求三棱锥N-PAC与四棱锥P-ABCD的体积 之比. 1 P 6 解：设四棱锥P-ABCD的体积为V.
3 2
D A
SBCH V 2 4
2 2
C
D
C
B
A
B
2 1 2 1 2 1 2 4 3 4 2 3
同步练习
2.已知三棱柱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且PB=1， PA= 3 ，PC= 6 . (1)求其体积；(2)求点P到平面 6 2 ABC的距离. 3 2 A
3 3 2
B1
D B
C 等积
例题讲解
例3 如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 N是棱AB上一点，M是棱C1D1上一点，求三棱锥CM MND的体积. D 1 1 C
1
6
A1
B1
D
A N 等积 B
C
例题讲解
例4 求棱长为a的正四面体的体积. D1 S A1 A H C
2 3 a 12
C1 B1
1 1
VB A1B1C VC A1BA VC A1BA :VC A1BB1 1: 2 VA1 ABC :VC A1B1C1 1: 4
A1
B
C1 B1
VA1 ABC :VB A1B1C :VC A1B1C1 1: 2 : 4
再 见！
1 S S 7 ( S )h Sh 3 4 2 12 7 5 V2 V V1 Sh Sh Sh 12 12 V1 : V2 7 : 5
A
F
C B
E
同步练习
10.如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，AB：A1B1=1：2， 求三棱锥A1-ABC， B-A1B1C ，C-A1B1C1的体积之比. 1:2:4 A C VA ABC VC A BA
D
A 分割 B
C H A
D
B 补形
C H
例题讲解
例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点 B、D、 A1截下一个三棱锥. 1 3 3 a , a (1)求此三棱锥的体积； 6 3 D1 (2)以A1BD为底面时，求高h. C1
1 1 2 1 3 A1 (1)V a a a 3 2 6 3 3 2 2 (2) SA1BD ( 2a ) a 4 2 1 3 2 1 3 a h a 3 2 6 A 3 h a 3
高中数学 必修2（BSD）
第一章 立体几何初步
1.7习题 求体积的常用方法
主讲教师：张 某某实验学校
例题讲解
例1 如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3 的正方形，EF∥AB，平面FBC ⊥平面ABCD. △FBC中 BC边上高FH = 2，EF = 1.5.求该多面体体积. 15 2 E F E F G
3来自百度文库
B
h A
B1
C P
Q A1
补 B 形 C1
A
C P
B1 等 积 C 1 Q A1
解：设侧面AA1C1C的面积为S， B到侧面AA1C1C的距离为h.
1 1 1 1 1 V1 S h Sh, V2 Sh, V1 : V2 3 2 6 2 3
同步练习
5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积是36，点P在侧棱AA1 上. 求四棱锥P-BCC1B1的体积. 24 A1 A1 C1 C1 B1 B1 P 补 等 P 形 积
解：a 2 b 2 5 2 a 4 2 由 b c 2 ( 13)2 得 b 3 2 c 2 2 2 c a (2 5) B V四面体 V长方体 4VS ABD
1 V长方体 4 V长方体 6 1 V长方体 8 3