中科大2014矩阵分析期末试卷

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矩阵分析复习(最终版)

3 1 1 2.求 A 0 4 0 的最小多项式，并写出 A 的 Jordan 形. 1 1 5 0 4 0 1 A J 二、设 A 1 4 0 . （1）求 e A （2）求可逆矩阵 Q 和若当型 J A ，使Q e Q e 0 0 2
《矩阵分析》复习题目及参考答案
made by 寒烟
提示：参考答案为个人所做，仅供参考.
1 3 1 一、1. 设 A 4 1 5
1 3 2 4 3 5
1 3 1 . （1）求 || A ||1 和 || A || 4 1 5
（2）证明 A 的谱半径 ( A) || A ||
i
可求的 A 的特征值为 1 2 1 ，从而谱半径考虑到端点处的收敛性，可以判定 f ( A) 是收敛的. 进一步有，
当 1 ，有 rank ( A E ) 1 ,且可逆矩阵P，使得P AP J A ,
1
其中
- 1 1 JA= . -1
k k 1
从而，幂级数 f ( x) 的收敛半径 R 1 ，且收敛区间为 [1,1] .
再考虑矩阵幂级数 f ( A)
k
k 1

1
2
2 1 Ak ，其中 A 1 0
令 | E A |
2 1 ( 1)2 0 1
( A) max i 1 R
故最小多项式为 mA ( ) ( 4) 初等因子组为 4、 ( 4)2
2
4 4 1 从而 Jordan 标准形为 4
二、
4 0 1 0 2 （1） E A 1 4 2 0 0 2 ( 2)

中科大历年考研数学真题

直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对

矩阵分析习题及答案0 (1)

矩阵分析习题与解答1．名词解释：（1）单纯矩阵（2）正规矩阵(举3例) （3）向量范数（4）矩阵A 的最大奇异值2．设有Hermite 矩阵A . 试证：A 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵Q 使.H A Q Q =证明：必要性：设H A Q Q =, 则对0,n x x C ≠∈, 有(),0HHHx Ax x Q Qx Qx Qx ==>, 这里Q 可逆, 故正定.充分性：因为A 是Hermite 矩阵, 所以A 是正规矩阵, 因此存在酉矩阵U 使1,H n U AU λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中1n λλL ，，是A 的特征值; 又A 正定, 所以1L n λλ，，都大于0; 因此H A U U ⎫⎪= ⎪⎪ ⎝OO令H Q U ⎫⎪= ⎪ ⎝O则.HA Q Q =3．设矩阵x X y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 以及222()234Y f X x y z xy yz zx ==+++++,试求： (1)()()T dtr XX dX ; (2)T dY dX .解：222T x xy xz XX yxy yz zx zyz ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 222()T T tr XX x y z X X =++= ()()()()2(22)2T TTT tr XX d tr XX tr XX x x y y z z X dX tr XX ⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪⎛⎫⎪∂ ⎪= ⎪ ⎪∂ ⎪⎪⎝⎭⎪∂ ⎪∂⎭=⎝= ()224223234224,223,234TT T Y x x y z dY Y y x z dX y z y x Y z x y z y x z z y x ⎛⎫∂ ⎪∂++ ⎪⎛⎫∂ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪++⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭=++++++4．设A 为m m ⨯Jordan 块, 即1,1A λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O求矩阵指数Ate .解法一: 1111λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O OOO,记1,1H λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Λ== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OOO, 则 At t Ht =Λ+, 即Ht At t =-Λ 将x e 在t λ处展成Talor 级数,有()0!t nxn e e x t n λλ∞==-∑,因此有矩阵指数()00!!00001001!(1)!1000001!10000t nAtn t n nn m t e e At t n e H t n t t m e t λλλ∞=∞==-Λ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎛⎫ ⎪⎢⎥⎪-⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎪ ⎪=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑L L L L O M L L O MO M M O M L故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .解法二:00t t t tAt t t t t λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O O OOOO00t t t tt t t t At e ee eλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==O O O O O OOO()()000!!!nn t t n t n t n n tt n e t en e t n λλλλλλλλ∞⎛⎫⎪ ⎪= ⎪∞⎪ ⎪⎝⎭=∞=⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑O OO O OO OO2212200212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m tt t t t t t tt et t t ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O O OL L O M O O 故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .5．求常系数线性微分方程组在初始条件下的解.解：常系数线性方程组可以写为,()()X t AX t =&, 其中0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦, 12()()()x t X t x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 对其两端取Laplace 变换, 得()(0)()sX s X AX s -=,所以1()()(0)X s sI A X -=-, 取Laplace 反变换, 得11()()(0)X t L sI A X --⎡⎤=-⎣⎦,由于()(0)At X t e X =, 所以11(())At e L sI A --=-.由于123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦, ()131(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)2(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)s sI A s -+⎡⎤⎢⎥++++⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦2111s 1s 2s 1s 22221s 2s 1s 2s 1⎡⎤--⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦2212221112s 1s 2s 1s 22221222s 2s 1s 2s 1t tt t At t tt t e ee e e L e e e e ---------⎡⎤--⎢⎥⎡⎤--++++==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++++⎣⎦满足初始条件下的解为2222221232(0)122243t tt t t t At ttt t tt e e e e e e e x e ee e e e ------------⎡⎤⎡⎤---⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦6 任一方阵可以表示成两个对称矩阵乘积的形式。

研究生期末试题矩阵论a及答案

计算 ,
,
可得谱分解式（10分）
六、当时，；当时，存在与使得，从而有
，（4分）
对于，有
，（7分）
对于，有
所以是中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
，，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为，所以，于是
由此知的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当时，，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间中任意矩阵，规则，分别为
，问，是否为上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基，，，下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因，，故为上的变换，不是上的变换。（4分）
又对于线性空间中任意矩阵，，，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中，试求，，， .
八、(10分)已知矩阵，写出矩阵函数的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长春理工大学
研究生期末考试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第一学期□开卷√闭卷
长春理工大学
研究生期末考试试题
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：理工科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第一学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间中任意矩阵，规则，分别为，问，是否为上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基，，，下的矩阵．

中科大2014矩阵分析期末试卷

矩阵试卷 2014-1-5by 苏肖龙李德方1、判断题（20分）1)矩阵的初等行变换可以改变矩阵的列秩？2)是格的一组约化基，那么是的判别ω1,ω2,……ωn ΛLLL ‖ω1‖≤2n ‒38d (Λ)1n，其中d(Λ)Λ式？3)酉方阵的特征值的绝对值一定等于1？4)给定一个矩阵，它的广义逆矩阵不存在或者是唯一的？5)不是中的本原多项式？x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x 1+1F 2[x ]2、（15分）给出课堂上提到过的矩阵之间的所有的等价关系，并给出详细解释。

3、（15分）1)将如下二次型化为标准型：x 1x 2+x 2x 3+x 1x 4+x 3x 42)是如下的对称矩阵，求出一个可逆方阵,使得是对角形：A P P T AP A =(‒23631‒16‒14)4、10分）是如下的n 阶循环矩阵A 000a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦１ｎ－１１２ｎ－１ｎ－２．．．．．．．．． 1）给出可逆的条件；A 2）在可逆的情况下，求出的你方阵。

A A 5.（20分）1）画出以为反馈多项式的的框图；３２＋＋１x x LFSR 2）该输出序列的周期为多少？是否为序列？如果是，给出详细的游程分布LFSR {}S=s i m （各种长度的0游程和1游程的个数）。

3）令，T 称为S 的一条采样序列，T 是否为m 序列？如果是，求出T 的线性递归{}M T s =方程；4）两条序列S 和T 的互相关定义为：，其中N 为和的周1S,T 0C ()(1)N S T ττττ-+==-∑S T 期，对于，求出的值，并解释你发现的规律。

05τ≤≤,()S T C Γ6、（20分）是一个的矩阵（），是一个的对角方阵，找到和使H 0M ×K M >K D 0K ×K H 1D 1得 =，其中的行数为，列数不定，的列数为，行数不定，而且的H 0×D 0D 1×H 1D 1M H 1K D 1元素只和有关，与无关，要求：的列数（即的行数）越小越好。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，；显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

中国科学技术大学考试试卷集(二)

三、证明Hausdorff-Young不等式：f 2 Lp; 1 Ä p Ä 2; p0为p的对偶指标，则kfOkp0 Ä kf kp.
四、考虑仿射群.R2C; / WD f.b; a/ W b 2 R; a > 0g赋予运算.b1; a1/ .b2; a2/ D .b1 C a1b2; a1a2/.
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中科大2016 年复分析（H）期中试题
1、（24 分）计算下列积分。
（1）
∫ |dz|
|z|=2 z − 1
（2）
∫ dz
|z|=2 (z − 3)2(z4 − 1)
（3）
∫ +∞
ex 2
−∞ 1 + ex dx
2、（40 分）判断下列说法是否正确，说明理由。
（1）全纯函数一定有原函数；
（2）调和函数 log|z| 没有共轭调和函数；
2、（2 分）设 f (z) = z−1(1 − z)3(1 + z)−1，求 f (z) 在扩充的复平面上的所有支点，并求 f (z) 在 [0, 1] 上岸取正值的单值分支在点 z = i 的值。
3、（2 分）
叙述有界单连通区域的柯西定理，并对三角形区域给出详细证明。
4、（2 分）计算题
（1）计算留数
（4）设 f 为整函数且 Re(f ) < 0，则 f 为常数；
（5）设 f 为增长阶数有限的整函数，如果存在复数 a, b，使得对任意的 z ∈ C，都有 f (z) ̸= a，
f (z) ̸= b，则 f 为常数；
2、（20 分）计算下列积分。
（1）
∫ +∞ cosx −∞ a2 + x2 dx, where a > 0;

2014线性代数与解析几何期末试卷(A)含参考答案

装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊)(A 2)(2121211ββααα-+++k k )(B 2)(2121211ββααα++-+k k )(C 2)(2121211ββββα-+++k k )(D 2)(2121211ββββα++-+k k4．设矩阵21407003A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000b ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则a ，b 满足（ C ）)(A 1,3a b =-= )(B 1,3a b ==- )(C 1,3a b == )(D 1,3a b =-=- 5．若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是（ C ）（A）0t << （B ）22t -<< （C）t << （D）22t -<<三、(本题10分)设2XA X B =+，其中311010003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，101321B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求X .解由2XA X B =+得1(2)X B A I -=-110100(2)010*********A I I ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭100110010010001001⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭1110101111(2)010*********X B A I -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭四、(本题10分) 求向量组()11,1,1,1T α=--，()20,1,0,1Tα=-，()33,2,1,4T α=--，()44,5,2,7Tα=--的秩和它的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量. 解103410341034101112501110111010210120022001100111147011300220000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换初等行变换所以1234(,,,r αααα)=3，向量组123,,ααα是一个极大线性无关组，41232αααα=++五、(本题10分)求通过点(2,0,1)P -且又通过直线12213x y z +-==-的平面方程. 解已知直线过点(1,0,2)M -，方向向量{2,1,3}s =-，所求平面的法向量{3,15,3}n MP s ⨯=---，取{1,5,1}n = 所求平面方程为(1)5(0)(2)0x y z ++-+-=，即510x y z ++-=六、(本题12分) λ取何值时，线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解.解 2112112112011011301133A λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭初等行变换112011000(1)(2)3(1)λλλλλλ-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪--+-⎝⎭初等行变换 (1) 当2λ≠-且1λ≠时, 原方程组有唯一解. (2) 当2λ=-时，原方程组无解.(3) 当1λ=时, 原方程组有无穷多解， 111200000000A -⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭通解为12(2,0,0)(1,1,0)(1,0,1)TTTx k k =-+-+-，12,k k 为任意常数.七、(本题12分)求一个正交变换x Qy =，将二次型22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++化成标准形，并指出123(,,)4f x x x =表示的曲面名称. 解二次型的矩阵 200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，232(2)(1)(5)0023I A λλλλλλλ--=--=---=--得特征值为11λ=，232,5λλ== 对11λ=，由1()0I A x λ-=得()10,1,1Tξ=-，单位化得)10,1,1Te =- 对22λ=，由2()0I A x λ-=得()21,0,0Tξ=，单位化得()21,0,0Te =，对35λ=，由3()0I A x λ-=得()30,1,1Tξ=，单位化得)30,1,1Te =取01000Q ⎛⎫ ⎪=，由x Qy =得222123123(,,)25f x x x y y y =++ 曲面123(,,)4f x x x =表示椭球面.八、（本题6分）设n 阶实对称矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ，α是A 的对应于特征值1λ的单位特征向量，矩阵1TB A λαα=-，证明：B 的特征值为20,,,n λλ. 证明因为A 为n 阶实对称矩阵，且有特征值12,,,n λλλ所以存在正交矩阵12(,,,)n P p p p =，使得12(,,,)T n P AP diag λλλ=因为α是A 对应于特征值1λ的单位特征向量，取1p α=，且(,)0,2,3,,i p i n α==1110TB A ααλαααλαλα=-=-=，所以0是B 的特征值 10,2,3,,T i i i i i i i Bp Ap p p p i n λααλλ=-=-==，所以,2,3,,i i n λ=也是B 的特征值综上，B 的特征值为20,,,n λλ.。

中国科学技术大学2014年线性代数与解析几何考研试题及解答

(A α, A β)
(α, β)
xTATAy
xTy
=
, =⇒ √
=√
,
|A α| |A β| |alpha| |β|
xTATAx yTATAy
xTx yTy
特别地, A 保持向量的正交关系, 取 y = e1, x = ei, i 2, 可以得到 ATA 的第一列为 λ1e1, 类似地推导最终得到 ATA = diag{λ1, . . . , λn}, 这些 λi 都是平方和, 故非零. 如果有确实为零的, 则 A 不是可逆矩阵, ker A = {0}, A 将不会保持 ker A 中两向量夹角不变, 矛盾! 最后只需要说明这些 λi 都相等, 则 ATA = λE, 从此可得结论成立. 证明那些 λi 都相等可以取特殊值计算得到, 如取 y = e1 + e2, x = e1, 计算可得 λ1 = λ2.
5. 通过施密特正交化可以找到我们想要的结果. 把 A 的列向量看作酉空间中的元素, 把它用施密特方法变成标准正交基, 过程略, 计算结果写成矩阵为:
0 √2 i√−1
6
6
B
=
√i
√1
1√−i
,
2 6 6
√1 √i i√+1
2
6
6
你可以验证 BT 为所求的酉矩阵.
2
极大线性无关组为 A α1, . . . , A αs. 令 W = Span(α1, . . . , αs), 则 dim W = dim ImA , 从
而 W 与 ImA 同构. ∀α ∈ W ∩ ker A , 则 α = k1α1 + · · · + ksαs, 用 A 作用到两边并

2014矩阵分析试卷

2014矩阵分析试卷一、判断题（不要求证明）（20分）1.设n 是大于1的整数，{()|()}V f x f x n F =是次数小于的域上的多项式，V 关于多项式的加法与数乘是一个域F 上的线性空间。

（ √ ）2.设a r 为XOY 面上的非零向量，V 为XOY 面内所有不平行于a r的向量构成的集合，V 关于向量的加法与数乘是一个域R 上的线性空间。

（ × ） 3.设V 是域F 上的线性空间, V α∈不是零向量，映射:,()V V ξξα→=+A A 是V 上的线性变换。

（ × ）4. 设A 是数域R 上的对称阵，映射:,()n n R R A αα→=A A 是nR上的对称变换。

（ √ ）二、计算题 1. （1,1,1,1）T 2. 已知112212W={,},W ={,}Span a a Span b b ，而1212(0,1,1,1),(1,0,2,0);(0,3,3,1),(1,2,0,0)a a b b =-==-=。

12W W ⋂的基为(1,1,3,1)T --与维数1；12122212W +W ={,,}={,,}span span ααβαββ的基122,,ααβ或212,,αββ与维数33.23:,()R R Aββ→=A A ，基123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1)ααα===及基12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵为110=211TB ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

4. （10分）设线性变换22:R R →A，在基12(1,0),(0,1)ββ==的矩阵为12=24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求A的核为{k(-2,1)| k}T ∀、值域的基12+2ββ，维数1。

6.（8分）求矩阵11010=0111123131A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解7.（24分）设矩阵308=3-16-20-5A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，求可逆矩阵P ，使得1P AP -为约当阵。

2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

矩阵分析所有习题及标准答案

于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(源自1,…,an)T.1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
2
2 2
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
3
3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.

中国科学技术大学数学科学学院2018～2019 学年《线性代数》第 2 学期考试试卷

总分
说明：从 5、6 两题中选做一题，从 7、8 两题中选做一题，多做不得分．
1．求所有实方阵
A
使得
A2019
0 1
10 ．
（装
2．设实方阵 A 的特征多项式 A (x) x2019 x 1 ．求 A2 的特征多项式．
订
1 2 3 n
线
2 2 3 n
内
3．设
n
阶实方阵
A
3
3
3
n
．求
P
0 1
1 0
P
1
0 1
1 0
，得
A
cos sin
sin cos
．
2．设 A
(x)
(x
1 )( x
2019
)
，
B
A2
，则 B
(x)
(x
12 )(x
2 2019
)
．
由B (x2 ) A (x) A (x) x4038 2x2020 x2 1 ，得B (x) x2019 2x1010 x 1．
解． AX XB B ( A) X XB (B) O X O ．（2） AT A 的奇异值 AT A 的特征值 A 的奇异值的平方．
（3） PA B 2 A 2 B 2 2 tr(PABT ) ．设UV 是 ABT 的奇异值分解．当 P V TU T
F
F
F
时， tr(PABT ) tr(VPU) 取得最大值 tr ， PA B 取得最小值 A 2 B 2 2 tr ．
中国科学技术大学数学科学学院 2018～2019 学年第 2 学期考试试卷
A卷
课程名称：开课院系：姓名：
线性代数 A1 数学科学学院学号：

14-15 线代期末考试卷 A(4)

安徽师范大学 2014-2015 学年第一学期化学与材料科学学院化学(非师范)、应用化学、材料化学、化学工程与工艺专业2014级《线性代数（化材学院）》课程期末考试试卷（(A 卷) 120分钟闭卷）一、单选题（5小题，每小题4分，共20分）1、设A , B 均为n 阶方阵，且A (B -E )=O ，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A =O 或B =E (B)0=A 或0=-E B (C) 0=A 或1=B (D)A =BA2、用A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛872113112左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，结果相当于进行对A 实施⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) r 1↔r 2 (B) r 2↔r 3 (C) c 1↔c 2 (D) c 2↔c 33、设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021α, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3002α，下列向量中哪个是α1, α2的线性组合⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-403 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011 (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1104、已知向量组α1, α2, …, αs 的秩为4，则下列论断中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 如果α1, α2, …, αs 的一个部分组所含的向量个数不超过4，则这个部分组一定线性无关 (B) α1, α2, α3, α4是α1, α2, …, αs 的一个最大无关组(C) 如果α1, α2, …, αs 的一个部分组是线性无关的，则这个部分所含的向量个数一定不超过4(D) 如果α1, α2, …, αs 的一个部分组是线性相关的，则这个部分所含的向量个数一定大于45、若n 阶方阵A 相似于某个对角阵Λ，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) R (A )=n(B) A 有不同的特征值(C) A 是实对称矩阵 (D) A 有n 个线性无关的特征向量二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）1、设A 是可逆矩阵，且∣A ∣=3，则∣A -1∣=__________；∣AA T ∣=__________.2、矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000500021201011的秩为__________. 3、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-+=+-+λ222 553 43 243243214321x x x x x x x x x x x ，则该方程组有解的充分必要条件是 λ = __________.4、设向量组α1, α2, α3线性无关，而p α1-α2, s α2-α3, t α3-α1线性相关，则p , s , t 应该满足关系式 __________.5、矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A 的非零特征值为__________.第 3 页共 8 页第 4 页共 8 页三、计算题（5小题，每小题7分，共35分）1、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵B 满足A *B =A -1+2B ，其中A *是A 的伴随矩阵. 求矩阵B .2、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=204020101A ，解矩阵方程2AX +3E =2A 2+X .3、已知向量组α1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21146, α2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43201, α3=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2216941, α4=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31017. 求向量组的秩.4、已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312α, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221β. 求α, β, [α, β], βα+5、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=53342111x Α，且A 的特征值为λ1=6，λ2=λ3=2，求x 的值.四、证明题（2小题，每小题8分，共16分）1、设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，且m >n ，证明：⎪AB ⎪=0.2、证明：n 维列向量α1, α2, …, αn 线性无关的充分必要条件是0212221212111≠nT n T n T n nT T T nT T T ααααααααααααααααααΛΛΛΛΛΛΛ第 7 页共 8 页第 8 页共 8 页五、综合题（1小题，每小题9分，共9分）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=142252001A .(1) A 是否能相似对角化. 若能，求可逆阵P 和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ；若不能，说明理由. (2) 求A n (n ∈N +)。

2013-2014-2-线性代数A卷答案及评分标准(1份)

k11 k2 2 , km ，使 kii
, m 是线性无关的向量组.
km m .……………………………（3 分）
, m) 左乘上式两端，得
不妨设向量为列向量，则以 iT (i 1, 2,
.0 ………………………（5 分） ki T , ) i i k ( i i i 因 i ，故 (i , i ) 0 ，从而必有 ki 0 (i 1, 2, 于是， 1 , 2 ,
…...................………………（4 分）
…………………………（5 分） ………………………...…（6 分） ………………...…………（8 分）.
1 , 2 是一个最大无关组；
（2）3 1 2 , 4 1 2
2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组 , , 证：设有 k1 , k2 ,
1 1 1 x
.
1
1 1 x 1 1 0 x 0 1 1 1
解: D
1 1 1 x 0 0 0
=x
1 x 1
……………（2 分）
0 x x
= x x 0 x ………………………… …（5 分）
=x
0 0 x
= x( x)
0 x x 0
= x 4 ………………………............………………（8 分）
A卷
2013—2014 学年第二学期《线性代数》期末试卷
答案及评分标准
专业班级 _____________________ 姓学名 _____________________ 号 _____________________ 应用数学系 2014 年 6 月 8 日

中科院矩阵论期末试题真题

一、填空
1、矩阵的LDU 分解，很简单
2、已知2A A =，求A I e
+α
3、求非零奇异值
二、三、证明2
22||||||||||||F A A A +=为矩阵范数，且与|| 2||相容。

四、线性子空间的证明题，和08年基本相同，有小的变化，但只要把线性空间的基本概念和计算掌握就行了
五、计算题：
（1）求Hermite 标准型，FG ，A +
（2）Ax = b,求x
以下内容不在期末考试范围内：
第一章：矩阵相似于Jordan标准型的计算；
第二章：近似逆矩阵的误差-----逆矩阵的摄动；
第三章： 3.5节矩阵函数的一些应用；
第四章：§4.2中的“三、矩阵与Hessenberg 矩阵的正交相似问题”
第五章：§5.1中从定理5.11（Ostrongski theorem 1）起至本节末的内容；§5.3中“二、广义特征值的极大极小原理”的所有内容；
第六章：§6.2中“三、Moore-Penrose逆的等价定义”，§6.3中“三、四、五、六和七”
的内容；从§6.5到本章末。