不等式解法学生

不等式的解法举

解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1ax +b >0

(1)若a >0时,则其解集为{x |x >-a b } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-a

b

}

(3)若a =0时,b >0,其解集为R ≤0,其解集为2c bx ax ++2

>0(a ≠0)

高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2

<0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关

(1)若判别式Δ=b 2

-4ac >0,设方程c bx ax ++2

=0的二根为x 1,x 2(x 1

①a >0时,其解集为{x |x x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1

①a >0时,其解集为{x |x ≠-

a

b

,x ∈R }；②a <0时,其解集为 (3)若Δ<0,则有:

①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为类似地,可以讨论c bx ax ++2

<0(a ≠0)的解集3．不等式|x |a (a >0)的解集

1x |0)的解集为:{x |-a

2x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:

二、讲解新课： 不等式的有关概念

1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式

2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形

过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解

由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形3．(1)

)()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))

()

(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩

⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f

三、讲解范例：

例1 解不等式|552

+-x x |<1

分析:不等式|x |0)的解集是{x |-a

+-x x 替换|x |0)的解集中的x ,原不等式转化为-1<552

+-x x <1

即⎩⎨⎧->+-<+-1

5515522x x x x 解这个不等式组,其解集就是原不等式的解集 解:原不等式可转化为

-1<552

+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-1

5515522x x x x ②①

解不等式①,得解集为{x |13}

原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即

{x |13}={x |1

点评：解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系在本例中,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集

例2 解不等式3

22

322--+-x x x x ＜0

分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：

⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-.

032,

023 033023222

2x x x x x x x x 或 因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到

另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为 （x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0 即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0 令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0 可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）

由数轴标根法可得所求不等式解集为：

{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}

说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考3

32

322--+-x x x x ≤0

的等价变形

例3 解不等式2

31

5222+---x x x x ＞1

分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解

解：原不等式等价变形为：231

5222+---x x x x －1＞0

通分整理得：2

33

222+---x x x x ＞0

等价变形为：

（x 2－2x ＋3）(x 2－3x ＋2)＞0

即 （x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＞0

由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞3} 说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解 四、课堂练习：

1解下列不等式:

(1)|3x -4|≤19；(2)|

2

1-x +4|>3；(3)30+7x -2x 2

<0 (4)3x 2

-5x +4>0；(5)6x 2

+x -2≤0