不等式解法学生
人教版高一必修一数学不等式解法步骤
人教版高一必修一数学不等式解法步骤高中数学不等式是数学学科的一个重要部分，不等式在实际生活和科学技术领域中都有着广泛的应用。
在高中必修一数学课程中，学生需要学习不等式的解法步骤，掌握不等式的基本概念和解题方法，提高解决实际问题的能力。
人教版高一必修一数学不等式解法步骤主要包括以下内容：1.不等式的基本概念和性质：首先，学生需要了解不等式的基本概念和性质。
不等式是指两个数或者两个代数式之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等式关系。
在学习不等式的过程中，学生还需要掌握不等式的可加性、可乘性等基本性质，这些性质是解不等式问题的关键。
2.不等式的解法方法：解不等式是数学学科中的一个重要问题，不等式的解法方法有很多种，包括直接法、间接法、分情况讨论法、参数法等。
学生需要掌握这些解法方法，根据不同的不等式问题选择合适的解法，并且要熟练运用这些解法方法解决实际问题。
3.一元一次不等式的解法：在学习不等式的过程中，学生首先需要掌握一元一次不等式的解法。
一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。
解一元一次不等式的关键是通过变形和等价变换将不等式化为标准形式，然后通过对不等式进行加减乘除等操作来求解未知数的取值范围。
4.一元二次不等式的解法：学生在学习一元一次不等式之后，需要进一步学习一元二次不等式的解法。
一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式。
解一元二次不等式一般需要借助图像或者特殊的代数方法来求解，学生需要掌握各种解法方法，并熟练应用到实际问题中去。
5.不等式组的解法：在学习一元不等式之后，学生还需要学习不等式组的解法。
不等式组是由多个不等式组成的一种复合不等式，解不等式组的关键是找出其解的交集或者并集，并求出满足所有不等式的未知数的取值范围。
学生需要通过练习不等式组的解题方法，提高解决实际问题的能力。
6.不等式问题的应用：在学习不等式的过程中，学生还需要了解不等式在实际问题中的应用。
第13讲 拓展一 一元二次(分式)不等式解法(学生版)-(人教A版数学必修一讲义)
没有实数根
( )的解集
( )的解集
知识点03：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程 ，计算判别式 ：
① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用十字相乘法）；
② 时，求根 ；
③ 时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点04：解分式不等式
2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程 的两根为 且 ，设 ，它的解按照 ， ， 可分三种情况，相应地，二次函数 的图象与 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集.
判别式
二次函数 ( 的图象
一元二次方程
( )的根
有两个不相等的实数根 ， ( )
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式 ．
【变式2】（2023春·辽宁沈阳·高二新民市高级中学校考阶段练习）已知不等式 的解集为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)解不等式 ．
题型05一元二次不等式（含参）的求解
（首项系数含参从0开始讨论）
【典例1】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数 ，解不等式 .
1、分式不等式定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如 或 （其中 , 为整式且 的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
二、题型精讲
题型01一元二次不等式（不含参）的求解（首项系数为正）
【典例1】（2023·上海金山·统考二模）若实数 满足不等式 ，则 的取值范围是__________.
高考数学复习讲义 不等式(学生版)
高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。
让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧(作为代表作预备)
让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧吴享平（福建省厦门第一中学）邮编361000有人说“基本不等式”可以与数学各分支的大部分知识相结合，从而产生许许多多的数学问题，如：比较大小，最值问题，取值范围等等，无不展示着这一不等式的功效与作用。
因此，让学生正确理解与掌握这一不等式的有关概念、形式与特点，并能灵活的加以运用是学好数学的必要条件之一，这里，从学生学习该不等式时容易产生的失误，以及在运用该不等式进行解题时，缺乏灵活性与创新性等现象，探索教学中的应对的方法与技巧，仅供教师与学生在教学与学习时参考和借鉴。
一.以“误”导“正”，防范在前在使用“基本值不等式”证题或求最值时，学生常常只注重这一不等式的形式，容易忽略它成立的条件与取等要求，于是在平时教学时，针对初学生这一特点，采用以“误”攻“误” 的策略，让学生加深映象、深化理解，从而使学生能够正确掌握和运用这一不等式进行解题。
1.引导注意正数条件例１.已知3,-≠∈a R a ，求31672+++=a a a u 的取值范围. 错解：由51)3(4)3(21)3(4)3(31621)3(7]3)3[(2=+++≥++++=++-++-+=a a a a a a a u ，当且仅当a=－１时，取到“＝”.),5[+∞∈∴u .剖析：（先引导学生展开判断，启发学生特值检验）如,5-=a 时，53<-=u ，显然，以上解法有错，（再带动学生进行“错因”分析）事实上，以上解法产生错误的根源就在“忽视了定理的正数条件”。
正确解法１：１）当3->a 时，有03>+a ，于是,51)3(4)3(≥++++=a a u 当且仅当a ＝－１时，取到等号；２）当3-<a 时，有03<+a ，于是=++++=1)3(4)3(a a u 341]})3(4[)]3({[1-=-≤+-++--a a ，当且仅当a ＝－５时，取到等号.∴u 的取值范围为),5[]3,(+∞--∞ . 正确解法２：,1)3(4)3(++++=a a u 令)3(4)3(+++=a a t 由同号与)3(4)3(++a a ，∴ 4|3|4|3|2|3|4|3||)3(4)3(|||=+⋅+≥+++=+++=a a a a a a t ，44≥-≤∴t t 或∴3-≤u 或 5≥u ，∴u 的取值范围为),5[]3,(+∞--∞ .2.引导注意取等条件例２.已知函数34)(22+-+=x m x x f 的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法不等式是数学中的重要概念之一，通过不等式可以描述数值之间的大小关系。
在高中数学中，学生将接触到基本不等式的概念和解题方法，这是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，帮助学生更好地掌握不等式的知识。
一、基本不等式的概念在数学中，不等式是指两个数或表达式之间的大小关系。
基本不等式是指形如a < b、a > b、a ≤ b、a ≥ b这样简单的不等式，其中a和b是实数。
不等式的解集是所有满足不等式关系的实数集合。
在高一阶段，学生将学习不等式的基本性质、解法和应用。
掌握不等式的基本概念是解决各种不等式问题的重要基础。
二、不等式的解法不等式的解法主要有两种：代入法和图像法。
1.代入法代入法是解决不等式问题的常用方法，它的基本思想是根据题目的给定条件，找到合适的实数值代入不等式进行验证，从而确定不等式的解集。
例如，对于不等式3x + 5 > 1，可以通过代入x的不同取值进行验证。
找到一个合适的x值，使得3x + 5 > 1成立，这样就确定了不等式的解集。
2.图像法图像法是通过解不等式对应的方程，将不等式表示的数学关系用图像表示出来，从而直观地看出不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 ≤ 5，可以将不等式表示的数学关系用数轴上的图像表现出来，找出满足不等式关系的实数解。
通过代入法和图像法，可以有效地解决各种不等式问题，帮助学生更好地理解不等式的概念和解题方法。
三、常见的基本不等式题型在高一数学中，常见的基本不等式题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只有一个变量，并且变量的次数是一次的不等式。
解决一元一次不等式的关键是要找到不等式的解集，通常可以通过代入法或图像法来解题。
例如，解不等式2x - 3 > 5，可以通过将给定条件代入不等式进行验证，找到满足不等式关系的实数解。
求解不等式的方法
求解不等式的方法在数学学习中，不等式是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有广泛的应用，而且在生活中也有很多实际的应用。
因此，掌握解不等式的方法对于中学生来说是至关重要的。
本文将介绍一些常见的解不等式的方法，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。
解一元一次不等式的方法与解方程的方法类似，可以通过移项、合并同类项等步骤来求解。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以先将3移到等式的另一边，得到2x > 7 - 3，即2x > 4。
接着，我们将不等式两边都除以2，得到x > 2。
因此，不等式的解集为{x | x > 2}。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要考虑不等式的开口方向以及二次函数的图像。
对于形如ax^2 + bx + c > 0的一元二次不等式，我们可以先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以先求出二次函数x^2 - 4x + 3 = 0的零点，得到x = 1和x = 3。
然后，我们可以绘制二次函数的图像，根据图像可以确定不等式的解集为{x | 1 < x < 3}。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
解绝对值不等式的方法比较灵活，可以根据不等式的形式来选择不同的解法。
对于形如|ax + b| > c的绝对值不等式，我们可以分两种情况讨论。
当ax + b > 0时，不等式可以化简为ax + b > c，解得x > (c - b)/a；当ax + b < 0时，不等式可以化简为-(ax + b) > c，解得x < (b - c)/a。
因此，绝对值不等式的解集为{x | x < (b - c)/a 或 x > (c - b)/a}。
解绝对值不等式_涵盖高中所有绝对值不等式解法(学生)。
（2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a的解集非空，求a的取值范围。
3．已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|<
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋
解题技巧：
技巧一：凑项
例1：已知 ，求函数 的最大值。
技巧二：凑系数
例1. 当 时，求 的最大值。
技巧三： 分离
例3. 求 的值域。
技巧四：换元
求 的值域。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。例：求函数 的值域。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.
（1） （2） (3)
2．已知 ，求函数 的最大值.；3． ，求函数 的最大值.
条件求最值
1.若实数满足 ，则 的最小值是.
变式：若 ，求 的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
［请你试试4—4］
1．对任意实数 ，若不等式| +1|－| －2|> 恒成立，求 的取值范围。
2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
高中数学-学生-一元二次不等式的解法
教学内容【知识精要】一、一元二次不等式及解法1、设不等式错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
）的解集为一切实数，则错误!未找到引用源。
设不等式错误!未找到引用源。
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2、设不等式错误!未找到引用源。
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3、已知一元二次不等式的解集，确定原不等式中字母系数的大小设不等式错误!未找到引用源。
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，则错误!未找到引用源。
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为对应方程错误!未找到引用源。
的两个根，可用韦达定理求出不等式中所含系数的值4、已知不等式的解集，构造一元二次不等式二、关于一元二次方程根的分布问题一元二次方程错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
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、错误!未找到引用源。
且错误!未找到引用源。
)两实根为错误!未找到引用源。
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函数错误!未找到引用源。
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轴交点为(错误!未找到引用源。
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用源。
的取值范围4、解关于错误!未找到引用源。
的不等式：错误!未找到引用源。
5、求不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集【自我测试】1、不等式错误!未找到引用源。
的解集为_________________2、若一元二次不等式错误!未找到引用源。
的解集为R ，则错误!未找到引用源。
的取值范围__________3、已知一元二次方程错误!未找到引用源。
一元二次不等式及其解法(学生版)
第9讲 一元二次不等式及其解法一、知识梳理：一.解不等式的有关理论（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3） 解不等式时应进行同解变形；（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。
c三.解一元二次不等式的基本步骤：（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式； （2） 计算ac b 42-=∆（3） 结合二次函数的图象特征写出解集。
四.高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解 （注意每个因式的最高次项的系数要求为正数） 五.分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.二、基础检测：1.下列结论正确的是 .①不等式x 2≥4的解集为{x |x ≥±2}，②不等式x 2-9＜0的解集为{x |x ＜3}，③不等式(x -1)2＜2的解集为{x |1-2＜x ＜1+2}，④设x 1,x 2为ax 2+bx +c =0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}2. 关于x 的不等式(m x -1)( x -2)＞0，若此不等式的解集为{x |＜x ＜2}，则m 的取值范围是 ( )A.m ＞0 B.0＜m ＜2 C. m ＞ D. m ＜03.关于x 的不等式226320x mx m --<的解集为( )A.(,)97m m -B.(,)79m m -C.(,)(,)97m m-∞-+∞ D.以上答案都不对 4.不等式（a －2）x 2+2(a －2) -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2) 5.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．a ≥0B ．a ≥–2C ．a ≥-52D ．a ≥-36. 已知g(x)=|x-1|-|x-2|,2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．7.已知3222)(a b x a ax x f -++=当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，则)(x f 的解析式为 ；8.已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集.9.若关于x 的不等式0(3)(1)x ax x +>++的解集是(3,1)(2,)--+∞ ,则a 的值为_______10. 已知函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 则不等式x +(x +1)·f (x +1)≤1的解集是11.已知函数f (x ）的定义域为（-∞，+∞），f ′(x )为f (x )的导函数，函数y =f ′(x )的图象如右图所示，且f (-2)=1,f (3)=1,则不等式f (x 2-6)＞1的解集为 .12.若关于x 的不等式：x 2-ax -6a ＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 .三、典例导悟：12. 设0>a ，解关于x 的不等式 11log 2<-x ax13.已知f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈［-1，+∞）时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围.14.若不等式2x -1＞m (x 2-1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.15.已知二次函数),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有2)2(81)(+≤x x f 成立。
探索小学生数学学会使用方程组和不等式解决问题
探索小学生数学学会使用方程组和不等式解决问题数学是一门广泛应用于生活和工作中的学科，对于学生来说，学习数学并掌握其解决问题的方法至关重要。
在小学阶段，学生开始接触方程组和不等式，这是他们学习代数的重要内容。
本文将探索小学生学会使用方程组和不等式解决问题的方法。
一、什么是方程组和不等式方程组是由一组方程组成的集合，其中每个方程都具有相同的未知数。
对于小学生来说，常见的方程组可以是两个或三个方程，其中未知数的个数与方程的个数相同。
不等式是数学中的一个概念，表示两个数之间的关系。
常见的不等式包括大于、小于、大于等于和小于等于等。
二、方程组的解法1. 图解法小学生学会使用图解法解决方程组问题是一个很好的起点。
他们可以在坐标系中绘制方程所代表的直线或曲线，然后通过观察交点的位置来确定方程组的解。
例如，有一个方程组：2x + y = 4x - y = 2学生可以绘制两条线，一条是第一个方程所代表的直线，另一条是第二个方程所代表的直线。
两条直线的交点就是方程组的解。
2. 替换法替换法是另一种解决方程组问题的方法。
它通过将一个方程的解代入另一个方程中，从而求得未知数的值。
以同样的方程组为例：2x + y = 4x - y = 2学生可以通过解第二个方程得到 x 的值，然后将这个值代入第一个方程中解出 y 的值。
三、不等式的解法1. 图解法对于简单的不等式问题，学生可以使用图解法来解决。
他们可以在数轴上标记出不等式所代表的区域，并找到符合条件的数的范围。
例如，解决不等式 2x + 1 > 5，学生可以绘制一条直线，标记出大于5的范围。
2. 代入法代入法是解决不等式问题的另一种常见方法。
学生可以通过试探法，将符合条件的数代入不等式中，判断是否满足不等式。
以同样的不等式为例，2x + 1 > 5，学生可以将 x 的值依次替换为符合条件的数，例如 x = 2，然后判断是否满足不等式。
四、实际应用方程组和不等式在实际问题中具有广泛的应用。
不等式及其解集(学生)
不等式复习一一、双基回忆1、不等式：用等号〔＜、≤、＞、≥〕连接起来的式子，叫做不等式。
〔1〕用不等式表示：①x与1的差是负数：；②a的1/2与b的3倍大于2 ；③x、y的平方和是非负数。
2、不等式的解和解集使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。
〔2〕判断以下说法是否正确：①4是不等式x＋3＞6的解；②不等式x＋2＞1的解是x＞－1；③3是不等式x＋2＞5的一个解；④不等式x＋1＜4的解集是x＜2.3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
〔3〕以下不等式是一元一次不等式的是.①3x+5=1；②2y-1≤5；③2/x+1＞3；④5+2＜8;⑤3+x2≥x.4、不等式的性质：〔1〕不等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.〔2〕不等式两边乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).〔3〕不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c＜0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解不等式的依据。
〔4〕a＞b，填空：①a+3 b+3,②2a 2b,③- a/3 －b/3，④a－b 0.5、解一元一次不等式〔5〕解一元一次不等式: 2x≥5x+6，并在数轴上表示解集。
二例题导引例1 判断正误：①假设a＞b,那么 ac2＞bc2；②假设ac2＞bc2,那么a＞b；③假设2 a+1＞2b+1,那么a＞b；④假设a＞b,那么1－2 a＞1－2b.例2 解以下不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
〔1〕3〔1－x〕＜2(x+9); (2)112132x x ---≤.例3 a取什么自然数时，关于x的方程2－3x= a解是非负数？例4 小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来，这个月小明顾虑了168元，小丽顾虑了85元，从下个月开始小明每月顾虑16元，而小丽每月存25元，问几个月后小丽的存款数能超过小明？三、练习提高夯实根底1、x的1/2与5的差不小于3，用不等式表示为。
常用不等式求解技巧 (学生版)
考点一：和定积最大，积定和最小（1）．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) （2）．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)． 那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)例1、(1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)（配系数）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)（配项）已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)（配项，调整项的符号）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
变式训练1. （1）已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；（2）已知x < 3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； （3）当时，求(82)y x x =-的最大值。
（4）设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
变式训练2. (2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.考点二：“1”的代换例1、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．4.已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________.变式训练1. 已知x ，y ∈(0，＋∞)，且1x ＋4y ＝1，求x ＋y 的最小值．2. 已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．3. 设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．4． 函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．5.(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6例2、已知x 、y ＞0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6变式训练2（1）已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.（2）已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.考点三：利用对号函数的单调性求不等式最值注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合对号函数()af x x x=+的单调性。
2022年暑假初升高数学第15讲：不等式的解集 一元二次不等式的解法(学生版)
2022年暑假初升高数学第15讲：一元二次不等式的解法学习目标核心素养1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．2．解绝对值不等式．(重点、难点)3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1.通过数学抽象理解绝对值不等式．2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1．不等式的解集与不等式组的解集一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．2．绝对值不等式一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？提示：不等式|x|＜a |x|＞a解集{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}3.一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝a＋b 2.4.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c 是常数，而且a≠0.5．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．6．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．7．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像思考4：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎨⎧a >0，1＋4a <0，解得a ∈∅，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R .1．不等式组⎩⎨⎧2x ＋1＞0，3x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ≤23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ≤23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ≤232．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅ D ．R3．不等式|x |－3＜0的解集为________．4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．求不等式组的解集【例1】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，x ＋3＞0的解集是( ) A ．x ＞－3 B ．－3≤x ＜2 C ．－3＜x ≤2 D ．x ≤2一元一次不等式组解集的求解策略(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．1．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5＞3x ＋2，x ＋43≤3x ＋34＋1，并在数轴上表示该不等式组的解集．解绝对值不等式【例2】 不等式|5－4x |＞9的解集为________．1．(变设问)不等式|5－4x |≤9的解集为________．2．(变设问)若不等式|kx －5|≤9的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72，则实数k ＝________.1．|x |＜a 与|x |＞a 型不等式的解法不等式 a ＞0 a ＝0 a ＜0 |x |＜a{x |－a ＜x ＜a }∅∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0}R2.|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ＜12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ≤－52或－12＜x ≤12一元二次不等式的解法【例3(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图像写出不等式的解集.3．解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.含参数的一元二次不等式的解法2解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．4．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．三个“二次”的关系[1．利用函数y＝x2－2x－3的图像说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？【例5】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x 的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a ， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．不等式(组)的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．2．解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．3．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．4．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.5．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()(4)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()2．已知数轴上A(3)，B(－5)，则线段AB中点M的坐标为________．3．如果1x＜2和|x|＞13同时成立，那么x的取值范围是________．4．解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；(2)x2>2(x－1)．第11 页共11 页。
不等式[1].01不等式的性质及解法(B级).学生版
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一、 不等式的定义与性质 1．不等式的定义用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式，记作()()()()f x g x f x g x >，≥．用“<”或“>”表示的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”表示的不等式叫严格不等式；2．同向不等式和异向不等式按不等式的开口方向分：在不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫做同向不等式． 3．实数的特征与实数的大小比较：（1）实数的特征：①任意实数的平方不小于０，即20a R a ∈⇔≥②任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数．（复数不可以比较大小，这个我们以后会学到）（2）实数比较大小的依据：对于任意两个实数a b ，，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．可以看出a b ，具有以下的性质：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．4．比较两数大小的方法（1）作差比较法：将两个数做差后应变形为：①常数；②常数与几个平方和的形式；常用配方法或实数特征20a ≥判断差的符号；③几个因式积的形式，常用因式分解法． （2）作商比较法：：两个数是同号，即作商后看是大于1，等于1，还是小于1． （3）特殊值法知识内容不等式的性质及解法（4）函数的性质 5．不等式的性质性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：（可加性）如果a b >，则a c b c +>+．推论1（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2（同项可加性）如果a b c d >>，，则a c b d +>+． 说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1ab >，且0b >，则a b >；若1a b>，且0b <，则a b <．推论1如果00a b c d >>>>，，则ac bd >． 推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2如果0a b >>，则(1)n n a b n n +>∈>N ，．推论3如果0a b >>1)n n +>∈>N ，．二、 不等式的解法1. 一元一次不等式的解法一元一次不等式ax b >的解集为（1）当0a >时，解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）当0a <时，解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．（3）当0a =时，若0b ≥，则x ∈∅；若0b <，则x R ∈． 2. 一元二次不等式的解法：3. 分式不等式的解法（1）()()()()()00()()0()0000()f x f x f x g x f x g x g x g x g x ⎧⎧⋅⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨≠><⎪⎪⎩⎩⎩或≥≤≥≥ 2）()()()()00()0()()0()00f x f x f x f x g x g x g x g x ⎧>⎧<⎪⎪>⇔⋅>⇔⎨⎨><⎪⎪⎩⎩或 3）()()()(00()[()()]0()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-> 4. 无理不等式的解法（1）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪>⇔≥⎨⎪>⎩或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩（2）2()0()()0()[()]f xg x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪⎩≤（3）()()()0,g x f x g x ⎧⎪⎨>⎪⎩≥5. 绝对值不等式1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两点间的距离 2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．3）绝对值不等式的解法①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<②平方法：()()()()22f x g x f x g x >⇔> ③分情况讨论法 6. 指数不等式：（a a f x g x ()()> (0a >且1)a ≠1）当1a >时，()()f x g x > 2）当01a <<时，()()f x g x <）7. 对数不等式log ()log ()a a f x g x >1）当1a >时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩ 2）当01a <<时，()0()0()()f xg x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩ （8）高次不等式（穿线法：）一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1） 将()f x 最高次项的系数化为正数；2） 将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3） 将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过， 奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）； 4） 根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律，写出不等式的解集．1． 比较大小【例1】设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例2】已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-．【例3】设x R ∈,比较11x +与1x -的大小【例4】已知324log 0.3log 3.4log 3.61555a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【例5】已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T > B ．0T = C ．0T < D ．以上都可能例题精讲【例6】已知x R ∉，试比较2233x x -+与222x x-+的大小【例7】若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【例8】a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【例9】已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a bc d>D ．a b c d<【例10】设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ） A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >2． 不等式的解法【例11】已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集．【例12】已知{}21023x ax bx c ⎛⎫++>=- ⎪⎝⎭，，则关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集是【例13】01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ．10a -<<B ．01a <<C ．13a <<D ．36a <<【例14】求不等式22(1)40ax a x -++>的解集．【例15】解不等式()21410m x x +-+≤．【例16】设00a b >>，，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．【例17】若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ．【例18】已知函数()21010x x f x x ⎧+=⎨<⎩，≥，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是 ．【例19】若函数212log 0()log ()0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是A ．(10)(01)-，， B ．(1)(1)-∞-+∞，，C ．(10)(1)-+∞，， D ．(1)(01)-∞-，，【例20】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【例21】设m k ，为整数，方程220mx kx -+=在区间()01，内有两个不同的根，则m k +的最小值为（ ）A ．8-B ．8C ．12D ．13【例22】设二次函数()()20f x ax bx c a b c a =++∈≠R ，，，满足条件：（1）当x ∈R 时，()()42f x f x -=-，且()f x x ≥；（2）当()02x ∈，时，()212x f x +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤ （3）()f x 在R 上的最小值为0．求最大的()1m m >，使得存在t ∈R ，只要[]1x m ∈，，就有()f x t x +≤．【例23】设a 为实数，函数()()22f x x x a x a =+--．（1）若()01f≥，求a的取值范围；（2）求()f x的最小值．（3）设函数()()()h x≥的，，，直接写出h x f x x a=∈+∞．．．．（不需给出演算步骤）不等式()1解集．【习题1】设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b<【习题2】正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【习题3】若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则a b c d ，，，的大小关系是（ ） A ．a b c d <<< B ．d b c a <<< C ．d c b a <<< D ．c d a b <<<【习题4】（1）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是 ；（2）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式 ()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是 ．课后检测【习题5】解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>．【习题6】设m ∈R ，解关于x 的不等式22230m x mx +-<．【习题7】解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-。
不等式的求解
不等式的求解不等式的求解是数学中的重要内容之一。
它们在实际问题中的应用非常广泛。
解不等式的过程需要运用数学知识和逻辑推理能力，对于学生来说是一项很重要、也很有挑战性的任务。
不等式可以分为一元不等式和多元不等式。
一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，而多元不等式则是含有多个未知数的不等式。
解不等式的方法也因不等式的形式而有所不同。
对于一元不等式，我们先来看一下一元一次不等式的解法。
一元一次不等式形如ax + b < c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
我们可以按照以下步骤解决这种不等式：1.将不等式转化为等价的形式。
例如，将上述不等式转化为ax + b -c < 0。
2.确定不等式的解集。
根据一元一次不等式的性质，我们知道当a > 0时，不等式解集为x < (c - b)/a；当a < 0时，解集为x > (c - b)/a。
然而，当不等式的次数超过一次时，解的方法就变得更加复杂。
一元二次不等式形如ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解决这种不等式的方法有两种常见的途径。
第一种方法是使用图像法。
我们可以将二次函数y = ax^2 + bx + c的图像画出来，然后观察图像与x轴的交点，从而确定不等式的解集。
第二种方法是使用判别式法。
我们可以计算二次方程ax^2 + bx + c= 0的判别式Δ = b^2 - 4ac的值，根据Δ的正负来确定不等式的解集。
当Δ > 0时，方程有两个实根，解集为x < x1或x > x2；当Δ = 0时，方程有一个重根，解集为x = x1；当Δ < 0时，方程无实根，解集为空集。
对于多元不等式，解的方法更加复杂。
我们需要运用数学知识和逻辑推理能力，将多元不等式转化为一元不等式的形式，并利用已有的解不等式的方法进行求解。
不等式的求解在实际问题中具有重要的应用价值。
不等式的解法举例教案
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质和概念。
2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的概念与基本性质2. 不等式的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到3. 实际问题举例：不等式在生活中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的解法及实际应用2. 教学难点：不等式解法的灵活运用四、教学方法1. 采用案例教学法，以实际问题为例，引导学生理解和掌握不等式的解法。
2. 运用讨论法，让学生在课堂上互相交流、探讨，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 利用多媒体辅助教学，生动展示不等式的解法过程。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解不等式的基本性质和概念，让学生掌握不等式的基本知识。
3. 讲解不等式的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，并通过例题进行演示。
4. 学生练习：让学生独立解决一些不等式问题，巩固所学解法。
5. 实际问题举例：不等式在生活中的应用，引导学生将所学知识运用到实际生活中。
7. 布置作业：布置一些有关不等式解法的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂练习、课后作业和实践应用相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：（1）不等式的基本性质和概念掌握情况；（2）不等式解法的运用能力；（3）实际问题解决能力。
3. 评价标准：（1）课堂练习和课后作业：正确解答题目，得分；（2）实践应用：能够灵活运用不等式解法解决实际问题，得分。
七、教学反思2. 根据学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
八、教学拓展1. 引导学生探索不等式与其他数学知识之间的联系，如代数、几何等。
2. 介绍不等式在实际应用中的广泛性，如科学、工程、经济等领域。
3. 引导学生关注不等式在生活中的重要作用，提高学生的数学素养。
经典(超越)不等式(学生版)
经典(超越)不等式一、结论(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x >x +1>x >1+ln x (x >0且x ≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：e x=1+x +x 22!+⋯+x n n !+e θx(n +1)!x n +1；ln (1+x )=x -x 22+x 33-⋯+(-1)n x n +1n +1+o (x n +1)；截取片段：e x ≥x +1(x ∈R )ln (1+x )≤x (x >-1)，当且仅当x =0时,等号成立；进而：ln x ≤x -1(x >0)当且仅当x =1时,等号成立二、典型例题1(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知a =25,b =e -35,c =ln5-ln4，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -x -1.(1)证明：f (x )≥0；(2)证明：1+121+122 ⋯1+12n <e ．三、针对训练举一反三一、单选题1.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)设a=12022，b=tan12022⋅e12022，c=sin12023⋅e12023，则()A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c2.(2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末)a=e0.2，b=log78，c=log67，则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b3.(2023·云南曲靖·统考一模)已知a=e-2，b=1-ln2，c=e e-e2，则()A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b4.(2023·全国·高三专题练习)已知a=e sin1-1,b=sin1,c=cos1，则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b5.(2023·全国·高三专题练习)已知a>b+1>1则下列不等式一定成立的是()A.b-a>b B.a+1a>b+1bC.b+1a-1<e bln aD.a+ln b<b+ln a6.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln a+b，则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a7.(2023·全国·高三专题练习)若正实数a，b满足ln a+ln b2≥2a+b22-2，则()A.a+2b=2+14B.a-2b=12-22 C.a>b2 D.b2-4a<08.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4二、填空题9.(2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意x，都有xe2x-ax-x≥1+ln x，则实数a的取值范围是.三、解答题10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =e x-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.。
小学生数学问题的方程与不等式解法
小学生数学问题的方程与不等式解法在小学生的数学学习中，方程与不等式是重要的数学工具，能够帮助他们解决许多实际问题。
这两种方法不仅有助于培养孩子们的逻辑思维能力，还为他们今后学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。
方程，简单来说，就是含有未知数的等式。
通过设立未知数，根据题目中的条件列出等式，然后求解未知数的值。
例如，小明有一些糖果，小红的糖果数比小明的 2 倍还多 5 颗，他们俩一共有 35 颗糖果，那么小明有多少颗糖果？我们可以设小明有 x 颗糖果，那么小红就有2x ＋ 5 颗糖果。
根据他们糖果总数是 35 颗，可以列出方程：x ＋（2x ＋ 5) ＝ 35 ，然后解方程得到 x ＝ 10 ，即小明有 10 颗糖果。
对于小学生来说，学会找等量关系是列方程的关键。
这需要他们认真读题，理解题目中的数量关系。
比如“比……多”“比……少”“是……的几倍”等等，这些表述都蕴含着等量关系。
不等式呢，则是用不等号（大于＞、小于＜、大于等于≥ 、小于等于≤ ）连接两个式子的数学表达式。
例如，商店里的书包每个价格不超过 50 元，小明带了 80 元，问他至少能买几个书包？设能买 x 个书包，可列出不等式50x ≤ 80 ，解得x ≤ 16 。
因为书包个数必须是整数，所以小明最多能买 1 个书包。
在解决不等式问题时，需要特别注意不等号的方向以及取值范围。
比如，在不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。
方程与不等式在解决实际问题时有很多应用。
比如行程问题，已知速度和时间，求路程；或者已知路程和速度，求时间。
再比如工程问题，知道工作效率和工作时间，求工作总量等等。
以行程问题为例，小明和小红同时从学校出发去图书馆，小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 50 米，经过 10 分钟后，小明比小红多走了多少米？设小明比小红多走了 x 米，可列出方程 60×10 50×10 ＝ x ，解得 x ＝ 100 米。
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不等式的解法举解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1ax +b >0(1)若a >0时,则其解集为{x |x >-a b } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-ab}(3)若a =0时,b >0,其解集为R ≤0,其解集为2c bx ax ++2>0(a ≠0)高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab,x ∈R }；②a <0时,其解集为 (3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集3．不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集1x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为:2x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:二、讲解新课： 不等式的有关概念1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f三、讲解范例：例1 解不等式|552+-x x |<1分析:不等式|x |<a (a >0)的解集是{x |-a <x <a },这时,我们用552+-x x 替换|x |<a (a >0)的解集中的x ,原不等式转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x 解这个不等式组,其解集就是原不等式的解集 解:原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②①解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4} 故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}点评：解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系在本例中,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集例2 解不等式322322--+-x x x x ＜0分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-.032,023 0330232222x x x x x x x x 或 因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为 （x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0 即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0 令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0 可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考332322--+-x x x x ≤0的等价变形例3 解不等式2315222+---x x x x ＞1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解解：原不等式等价变形为：2315222+---x x x x －1＞0通分整理得：233222+---x x x x ＞0等价变形为：（x 2－2x ＋3）(x 2－3x ＋2)＞0即 （x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞3} 说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解 四、课堂练习：1解下列不等式:(1)|3x -4|≤19；(2)|21-x +4|>3；(3)30+7x -2x 2<0 (4)3x 2-5x +4>0；(5)6x 2+x -2≤02解下列不等式:(1)|x 2-48|>16； (2)|x 2-3x +1|<53解下列不等式:（1）1272322+-+-x x x x ≥0；（2）x (x －3)(x ＋1)(x －2)≤0答案：（1）1272322+-+-x x x x ≥00)4)(3()2)(1(≥----⇒x x x x),4()3,2[]1,(+∞-∞∈⇒ x（2）x (x －3)(x ＋1)(x －2)≤0]3,2[]0,1[ -∈⇒x1．解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>- 讨论：当b a >时，ba b a ab x -+>)(当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，ba b a ab x -+<)(2．解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x3．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或，求关于x的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设0<a 且25-=-a b ， 1=ac 从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即 01252<+-x x ∴221<<x4．关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围．5．若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围6.解不等式0322322<--+-x x x x 略解一（分析法）3211312103202322<<<<-⇒⎩⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<-->+-x x x x x x x x x 或或或φ⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎩⎨⎧>--<+-312103202322x x x x x x x 或 ∴3211<<<<-x x 或 解二：（列表法）原不等式可化为0)1)(3()2)(1(<+---x x x x 列表（略）注意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”-1 01234-28．解不等式 62323+>+x x x解：原不等式化为 0)2)(2)(3(>-++x x x ∴原不等式的解为232-<<->x x 或9．解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x解：∵022>++x x 恒成立，∴原不等式等价于0542<--x x 即-1<x <5 10．解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x解：原不等式等价于0)2)(1)(1(<-+-x x x 且 1,2≠-≠x x ∴原不等式的解为}21221|{-<-<<-<<x x x x 或或 若原题目改为0)2)(1()1()2(32≤-+-+x x x x 呢？ 11．解不等式80)4)(1)(2)(5(-≤--++x x x x 解：原不等式等价于080)2)(20(22≤+-+-+x x x x即 0120)(22)(222≤++-+x x x x ⇒0)10)(12(22≤-+-+x x x x⇒0)2411)(2411)(3)(4(≤---+---+x x x x ∴3241124114≤≤+-+-≤≤-x x 或 12．解不等式1116-<-x x 解：原不等式等价于01)3)(5(>-+-x x x ，∴原不等式的解为：513><<-x x 或 13． k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x kkx x解：原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x 由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1<k <3补充例题1解下列不等式:(1)x 2-2|x |-3>0；(2)2-3x <|2x -1|解:(1)由x 2-2|x |-3>0⇔|x |2-2|x |-3>0⇔(|x |-3)(|x |+1)>0⇔|x |>3⇔x >3或x <-3 故原不等式的解集为{x |x <-3,或x >3}(2)2-3x <|2x -1|⇔2x -1>2-3x 或2x -1<-(2-3x )⇔x >53或x >1⇔x 5故原不等式的解集为{x |x >53} 2解不等式|x 2-9|≤x +3解:|x 2-9|≤x +3-(x +3)≤x 2-9≤x +3⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔⎩⎨⎧≤--≥-+⇔43230120622x x x x x x x 或 ⇔2≤x ≤4或x =-3故原不等式的解集是{x |2≤x ≤4,或x =-3}3解不等式|2x +1|+|x -2|>4分析:解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果解:|2x +1|+|x -2|>4⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔4)2()12(21x x x ⎩⎨⎧>-++>⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤≤-421224)2(12221x x x x x x 或或 ⇔x <-1或1<x ≤2或x >2⇔x <-1,或x >1故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}4解关于x 的不等式:(1)ax -2>3x +b (a ,b ∈R )；(2)ax 2-(a +1)x +1<0,其中a >0 解:(1)原不等式为:(a -3)x >2+b当a -3>0,即a >3时,不等式解集为{x |x >32-+a b} 当a -3=0,即a =3时,若2+b <0,即b <-2时,不等式的解集为R ;若2+b ≥0,即b ≥-2时,不等式无解当a -3<0,即a <3时,不等式解集为{x |x <32-+a b} (2)∵a >0 ∴原不等式⇔(x -1)(x -a1)<0 当a >1时,不等式的解集为{x |a1<x <1} 当0<a <1时,不等式的解集为{x |1<x <a1}当a =1时,不等式的解集为∅5定义在R 上的减函数f (x ),如果不等式组⎩⎨⎧-+>-+>-+)1()13()2()1(22x kx f kx f k f x kx f 对任何x ∈［0,1］都成立,求k 的取值范围解:原问题⎩⎨⎧-+<-+<-+⇔2211321x kx kx k x kx 在［0,1］内恒成立 ⎩⎨⎧<-+>++-⇔0220122kx x k kx x 在x ∈［0,1］内恒成立[][]⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=⇔上恒负在上恒正在1,022)(1,01)(2221kx x x f k kx x x f [][]⎩⎨⎧⇔上的最大值为负在上的最小值为正在1,0)(1,0)(21x f x f .211211为所求<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->⇔k k k。