根的判别式与韦达定理

根的判别式ac b 42-

根的判别式的作用：

①判定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 例3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )

A.10≠≥且m m

B.0≥m

C.1≠m

D.1>m

例4、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x

(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

例5、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.

例6、已知关于x 的方程0k x 4k 2x 2=++-有两个不相等的实数根，

（1）求k 的取值范围。

（2）化简4k 4k 2k 2+-+--

针对练习：

1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

3.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞1且a ≠5

C ．a ≥1且a ≠5

D ．a ≠5

4．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根.

5．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根.

6. 已知a 、b 、c 是ABC ∆三条边的长，那么方程()04

2=+

++c x b a cx 的根的情况是

考点五、方程类问题中的“分类讨论”

典型例题：

例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m

⑴有两个实数根，则m 为 ,

⑵只有一个根，则m 为 。

例2、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。

考点六、根与系数的关系

⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时， 才能用韦达定理。

⑵主要内容：

⑶应用：整体代入求值。

几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形

①()212212221x x 2x x x x -+=+ ②()21212

21221x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅ ③()()()2212121a x x a x x a x a x +++⋅=++

④2

121

21x x x x x 1x 1⋅+=+ ⑤221112121212

22212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== ⑥()()2

2121221222122212221x x x x 2x x x x x x x 1x 1

⋅-+=⋅+=+ ⑦22121212()()4x x x x x x -=+- ⑧()()2122122121x x 4x x x x x x -+=-=-

说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握b a +、b a -、ab 、22b a +之间的运算关系.

【练习1】 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

【练习2】 一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.

【练习3】 已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为________．

典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）

A.3

B.3

C.6

D.6

例2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，

(1)求k 的取值范围；

(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；

若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a

变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则

a

b b a +的值为 。

例5、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .

针对练习：

1、若x1 ，x2 是方程x2 －6x+k －1=0的两个根，且242221=+x x ，则k 的值为（ ）

A.8

B. －7

C.6

D.5

2.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）