根轨迹的基本概念.
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第四章 根轨迹
① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞， ２条终止于开环零点。 ③在实轴上不同段上取试 验点
-4 -3 -2 -1
jω
×
o
×
o ×
σ
§４－２绘制根轨迹的基本规则
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
1 1
在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1 )( j 2 ) K j ( j
§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式
K1 G (S )H (S )
j 1 n
m
(s z
j
)
i 1
(s pi )
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
z j －开环零点．
p i －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
K
1
j 1 n
s 2 .3
2 . 3 0 . 7 1 . 64 1 . 64 4 . 33
６．求根轨迹在
p3
的出射角
p 180 ( 135 90 26 . 6 ) 431 . 6
( 减去 360 ，为 71 . 6 ）
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 ７．求根轨迹与虚轴的交点．
K1=6
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
第四章 根轨迹法(1)
第四章 根轨迹法
（1）当 K * = 0时，s1 = 0、s2 = －2， 此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜ K * ＜1时， s1 、 s2 均为负 实数，且位于负实轴的（－2，0） 一 段上。 （3）当K * = 1时，s1 = s2 = －1，两 个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜ K * ＜∞时， s1， 1 1 k * 2 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1 、 s2 的实部不随K * 变化，其位于过 （－1，0）点且平行于虚轴的直线上。 （5）当K * ＝∞时， s1 = －1+ j∞、 s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限 远处。
第四章 根轨迹法
② 位于s1左边的实数零、极 点： (S1 – P4 ) 、(S1 – Z1 ) 、 向量引起的相角为0°
∴ 判断 s1是否落在根轨迹 上，位于s1左边的零、极点不 考虑。
③ 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相 角，其代数和为奇数，则满足相角条件。
第四章 根轨迹法
a
(0) (1 j1) (1 j1) (4) (1) 5 4 1 3
60 180 2k 1 180 2k 1 a 180 nm 3 300
k 0 k 1 k 2
第四章 根轨迹法
五、法则五 根轨迹分离点和分离角
K G( s) H ( S )
* i 1 n j 1
(s z )
i
m
S (s p j )
-1
m个开环零点 n个开环极点 K *根轨迹增益
∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、 s∞，都 是闭环特征根，即闭环极点。
第四章 根轨迹法
第四章课件根轨迹
经整理得： 2 s3 1s2 1 2s 0 8 0 s0.55
法则6 根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹 角，称为起始角，以 p i 表示；
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以 z i表示。
起始角、终止角可根据下式求出：
pi
(2k1)
m
j1 zj
法则3 根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交a 点为 的一组 a 渐近线趋向于无穷远处，且有
a
(2k1)
nm
n
m
pi zj
σa
i1
j1
nm
(k0,1,2,,nm1)
证明：根轨迹方程式可写成如下形式：
m
G(s)H(s) K*
(s zj )
设系统的开环传递函数为： G(s)H(s)K* P(s)
系统的特征方程式为：
Q(s)
D (s) 1 G (s)H (s) 1 K * P (s) Q (s) K * P (s) 0 Q (s)
对上式求导，得到： D ( s ) Q (s ) K * P ( s ) 0
由以上两式消去 K *得到
Q (s )P (s ) Q (s )P (s ) 0
点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 证明：
设s0为实轴上的某一测试点； j是各个开环零点到s0点向量的相角； i是各个开环极点到s0点向量的相角。
因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点
的向量相角之和为2 ，因此在确定实轴上
的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。
由图可见,s0点右边开 环实数零极点到s0点的向量 相角均为。
根轨迹的基本概念之根轨迹
根轨迹的基本概念之根轨迹
闭环系统时间响应的基本特性与其闭环极点(即闭环特征方程的根)的位置密切相关。
其中，系统的稳定性由闭环极点唯一确定，而过渡过程的基本特性也与闭环极点和零
点在
s平面上的分布位置有关。
所以对控制系统进行分析和设计时，都需要获得有关系统闭环
极点的信息。
为避免直接求解高阶特征根的困难，伊文思(w．R．Evans)于1g48年提出了一种求解
特征方程根的简单方法，即根轨迹法。
这是一种图解求根法，它简洁、有效地以图解
方式
给出了当系统某一参数(例如开环增益)变化时，系统特征方程的根在‘平面上的变化
轨
迹，故称之为根轨迹法。
尽管现在利用一些计算机软件(如MATLAB)可以非常方便地绘制系统的根轨迹，但
是，采用手工方法绘制根轨迹钽电容是应用计算机软件绘制根轨迹的基础，也能迅速
获得概赂根
轨迹。
根轨迹法是一种分析和设计控制系统的间接方法，它不适合于非线性系统
根轨迹
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从军变化到无穷时
在‘平面上变化的轨迹。
下面以图1为例说明根轨迹的概念。
图1所示系统的闭环传递函数为
如果令开环增益x由零连续变化到无穷大，就可以用解析的方法求出闭环极点的全
部数值。
表41是部分数值，将这些数值标注在，平面上并连成光滑曲线，此曲线即为系
统的根轨迹。
团中，根轨迹上的箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化
趋势。
而标AVX钽电容注的数值则代表与闭环极点位置相对应的开环增益x的数值。
cjmc%ddz。
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
根轨迹的基本概念
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
第四章根轨迹的基本概念
K
K 1
j1
K 0
1K 0
1 0 j1
③ 当K=1时，
s1, 2
1 2
3j 2
④ 当K=∞时，s1=-1/2+∞j, s2=-1/2-∞j
2020/4/12
6
① 当K=0时，闭环极点等于开环极点，即S1=P1=0，S2=P2=-1。 ② 当K由0逐渐增加时，两个闭环极点将分别由0和-1出发，沿着
8
第二节 根轨迹方程
采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根 轨迹图。用数学分析法去逐个求出闭环特征方程的 根，再绘制根轨迹图，特别是对于高阶系统是十分 困难的。重要的是找到一些规律，以便根据开环传 递函数与闭环传递函数的关系，以及开环传递函数 零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。 这种作图方法的基础就是根轨迹方程。
2020/4/12
9
根轨迹基本概念
系统的结构图如下：
R(s)
-
G(s)
C(s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s)
m
(s zi )
将Gk (s)写成以下标准型，得：Gk (s) kg
i 1 n
(s pj)
j 1
❖ 暂态性能
（1）当0＜K＜1/4时，闭环特征根为两个实根（不相等），系统呈 过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
（2）当K＝1/4时，闭环特征根为两个相等的实根，系统处于临界阻 尼状态。
（3）当K>1/4时，闭环特征根变成一对共轭复数，系统呈欠阻尼状 态，阶跃响应变为衰减振荡过程，有超调量出现。
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根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
根轨迹的知识点总结
根轨迹的知识点总结根轨迹的基本概念根轨迹理论的核心概念包括了无意识、防御机制、冲突、心理动力学和精神分析过程。
无意识是根轨迹理论的重要概念，指的是人类心灵中存在着一些无法察觉且不能轻易被察觉的思想、欲望和情感。
这些无意识的内容可能源自于童年时期的经历和后天的经历。
防御机制是人类心理保护自我免受无意识冲突的发生的方法，种类有很多，包括了压抑、退行、投射、转移等。
冲突是根轨迹治疗的核心，指的是患者心理内部的不同要求和愿望之间的矛盾，这些矛盾一旦不能得到合理的解决就会引起心理问题和精神压力。
心理动力学是指个体心理过程中的动力，包括了冲突、防御机制和深层心理过程，是根轨迹治疗理论的基础。
精神分析过程是根轨迹理论的治疗过程，包括了自由联想、潜意识材料解析、幻想解析和转移分析等。
根轨迹治疗的技术和方法根轨迹治疗的技术和方法主要包括了精神分析过程中的自由联想、潜意识材料解析、幻想解析和转移分析等。
在治疗过程中，治疗师主要通过与患者建立信任关系，让患者自由联想来探索其内心的无意识内容。
同时，治疗师会根据患者的自由联想和言语来对患者的潜意识材料进行解析，帮助患者理解自己的内心矛盾和冲突。
同时，治疗师还会对患者的幻想进行解析，帮助其从幻想中发现自己的内心真相。
最后，治疗师会对患者的转移情感进行分析，帮助患者解开内心的冲突和矛盾。
这些方法和技术帮助患者解决内心深层的矛盾和冲突，找到内心的平衡和和谐。
根轨迹治疗的应用领域根轨迹治疗主要适用于那些有内心矛盾和冲突，无法通过其他途径得到解决的患者。
其主要应用于心理疾病、人际关系问题、个人成长和发展问题等方面。
心理疾病包括了焦虑症、抑郁症、强迫症、创伤后应激障碍等心理疾病。
人际关系问题包括了婚姻问题、亲子关系问题、朋友关系问题等。
个人成长和发展问题包括了青少年问题、职业发展问题、自我认识问题等。
在这些领域中，根轨迹治疗可以帮助患者解决内心的矛盾和冲突，找到内心的平衡和和谐，从而使其生活更加健康和愉快。
根轨迹的基本概念
0.1
0.113
0.887
0.25
0.5
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
由于系统的闭环极点是连续变化的，将它们表示在s平面上就是该系统的根 轨迹，如图所示
图中箭头方向表示当开环增益K增大时闭环极点移动的方向，开环极点用
“ ”来表示，开环零点用“ ”来表示（该系统没有开环零点），粗实线即
设系统的开环传递函数为 m
K* (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj )
j 1
式中 K* ——根轨迹增益；
zi ——开环零点；
p j ——开环极点。
则系统的根轨迹方程（及闭环特征方程）为
1 G(s)H (s) 0
所以 G(s)H (s) 1 ，即根轨迹方程为
m
K* (s zi )
例如，系统的特征方程为 (0.5s 1)(Ts 1) 10(1 s) 0
即
Ts(0.5s 1) (11 9.5s) 0
方程的两边除以其中不含T的项，得
1 Ts(0.5s 1) 0 11 9.5s
该方程可进一步改写成
1 T *s(s 2) 0 s 11 9.5
其中，T *
i 1 n
1
(s pj )
j 1
显然，满足上式的复变量s为系统的闭环特征根，也就是根轨迹上的点。当 K*
从0到 变化时，n个特征根将随之变化出n条轨迹。这n条轨迹就是系统的根轨迹。
根轨迹方程可分解为相角方程和幅值方程，其中相角方程为
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)180 (k 0 ，1，2 )
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
第四章 根轨迹法
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
自动控制原理根轨迹规划知识点总结
自动控制原理根轨迹规划知识点总结自动控制原理是研究将系统的输入、输出和功能关系用数学模型表示，并利用控制理论方法分析和设计自动控制系统的学科。
而根轨迹规划是自动控制原理中的重要内容，用于描述系统的稳定性和动态性能。
本文将对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行总结，包括根轨迹的概念、绘制方法、性质以及应用等方面。
一、根轨迹的概念根轨迹是指在特定范围内改变系统的参数，并以参数为变量绘制出的所有系统传递函数零点或极点的轨迹。
通过观察根轨迹可以直观地了解系统的稳定性和动态性能。
根轨迹通常绘制在复平面内，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。
二、根轨迹的绘制方法1. 绘制根轨迹的步骤a) 通过给定系统的传递函数，确定系统的极点和零点。
b) 根据系统的极点和零点的数量和位置，确定根轨迹的起点和终点。
c) 确定根轨迹在实轴和虚轴上的对称性。
d) 确定根轨迹的趋近线和远离线。
e) 根据根轨迹的特性进行绘制。
2. 根轨迹的特性a) 以实负轴和虚轴上的极点、零点为轴心的圆形称为拐点圆。
b) 根轨迹在实轴上的起点和终点分别由零点和极点所决定。
c) 根轨迹不可交叉，且对称于实轴。
d) 根轨迹的趋近线和远离线的夹角决定了系统的快速响应性能。
三、根轨迹的性质1. 根轨迹的边界a) 根轨迹上的极点和零点均在左半平面时，根轨迹边界为实轴。
b) 根轨迹上存在部分极点或零点位于虚轴上时，根轨迹边界沿离心线和连接极点的径线绘制。
2. 根轨迹与系统稳定性和动态性能的关系a) 系统稳定性：若根轨迹上的极点都在左半平面，则系统是稳定的。
b) 系统动态性能：可通过根轨迹的形状和位置来评估系统的超调量、上升时间、稳态误差等指标。
四、根轨迹的应用根轨迹广泛应用于自动控制系统的分析与设计中。
在系统分析方面，可以通过根轨迹来判断系统的稳定性和动态响应特性。
在系统设计方面，可以根据根轨迹的要求和设计指标进行参数调整和优化，以满足系统的性能需求。
结语：本文对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行了总结。
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
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本章主要内容
根轨迹的基本概念
根轨迹的绘制准则
特殊根轨迹
利用根轨迹分析闭环系统 用MATLAB绘制根轨迹
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根轨迹意义
概述
我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布， 其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分 布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复 平面上由开环零、极点确定闭环极点的图解方法—根轨迹法。 将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特 征根的关系表示在一张图上。
[讨论]：① kg 0时，s1,2 0和-1，是开环系统的极点；
② kg 时，s1从0沿负实轴向左移动 ，s2从 -1沿负实轴向右移动。
1 1 1 ③ k g 时，s1, 2 - ，重根。可见当 0 k g 时，s1, 2 在负实轴上。 4 2 4 1 1 ④ k g 时，s1, 2为复根。在 - 点处分成两支，沿平行 于虚轴的 4 2 1 直线移动。 ⑤ k g 时， s1, 2 - j
开环传递函数为： Gk (s) G(s) H (s)
Gk ( s) k g 将 Gk (s)写成以下标准型，得：
式中： k g - 传递系数，或称为跟轨
-z i， -p j 为开环零极点。
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
迹增益；
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根轨迹定义
kg
j1
A
A'
B
A2
-1
0 .5 0 k g 0
A1
kg
复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中， - j1 A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为 A1和 A2 根据相角条件(试探法)： kg -s - ( s 1) - OA- BA A1 A2 (2k 1) s( s 1) A1 A2 ，A点在 显然，只有三角形OAB是等腰三角形时， ' 根轨迹上。 A点显然不在根轨迹上。
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根轨迹解析法绘制
[例4-1]如图二阶系统， 绘制系统的根轨迹。 当kg从0 时， kg kg R( s ) [解]闭环传递函数： (s) 2 s s kg s( s 1) 特征方程和特征根：
C (s)
s s k g 0，s1, 2
2
1 1 - 1 - 4k g 2 2
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[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。 180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨 迹方程，每一点对应一个 k g 。由于180度等相角根轨迹上的任意 一点都可通过幅值条件计算出相应的 k g值，所以直接称180度等 相角根轨迹为根轨迹。 在根轨迹上的已知点求该点的 k g 值的例子。上例中，若A点的坐 标是0.5+j2，则根据幅值条件：
称Gk ( s) -1或：k g
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
-1为根轨迹方程。
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根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk ( s )是复数，上式可写成： | G k ( s ) | Gk ( s ) - 1 或k g
| (s z ) |
利用根轨迹法，可以：
分析系统的性能
确定系统的结构和参数 校正装置的综合
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第一节 根轨迹的基本概念
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根轨迹基本概念
系统的结构图如下：
R( s )
-
G (s)
C (s)
闭环传递函数为： ( s)
G( s) 1 G( s) H (s)
H (s)
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根轨迹解析法绘制
[总结]当 k g 从0变化到 时，系统的根 轨迹是连续的。 k g 0 的点称为起点， k g 的点称为终点。本例中有两个分 支，终点都在无穷远处。 这里是用解析法画出的根轨迹，但对于 高阶系统，求根困难，需用图解法画图。
kg 0
s 1 s
i
m
| (s p ) |
j j 1 n j 1
i 1 n
1
( s zi ) - ( s p j ) (2k 1) , k 0,1,2...
m
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
i 1
”表示开环极点，“ ”表示 [一些约定]：在根轨迹图中，“ 开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的 方向。“ ”表示根轨迹上的点。 我们先以根轨迹增益 k g （当然也可以用其它变量）作为变化量 来讨论根轨迹。
1 Gk (s) 0 的根。 闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：
换句话说，满足： Gk ( s) -1或：k g 的极点，闭环特征方程 的根。
(s z )
i i 1 n j j 1
m
(s p )
-1的点就是闭环系统
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
kg s ( s 1) s -0.5 j 2
1， k g 4.25
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小结
根轨迹定义 根轨迹的幅值条件和相角条件 180度等相角根轨迹，等增益根轨迹 相角条件的表示，幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法
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