电磁场习题解答

⎞ ⎟⎠
e
y
+
⎛ ⎜ ⎝
∂f ∂x
Fy
−
∂f ∂y
Fx
⎞
⎟ ⎠
ez
=
f
∇×F
+∇
f×F
。
1.11
（
1）
( A ⋅ ∇)
B
=
Ax
∂B ∂x
+
Ay
∂B ∂y
+
Az
∂B ∂z
≠
A(∇
⋅
B)
。
（
2）
( A⋅∇)ϕ
=
Ax
∂ϕ ∂x
+
Ay
∂ϕ ∂y
+
Az
∂ϕ ∂z
=
A ⋅ ∇ϕ
。
1.12
当
ρ
≤
a
时，
B
=
μ0 I ρ 2 π a2
定律的积分形式，当
r
<
a
时，
E
=0；当
r
>
a时，
E
=
Q 4πε 0 r 2
er 。
2.2 建 立 圆 柱 坐 标 系 ，原 点 O 位 于 长 直 导 线 中 心 ， z 轴 与 长 直 导 线 重 合 。设 l = 2a ，
r = xex + yey + zez ， r′ = z′ez ， 则
E
=
( ) y 为 变 量 的 方 程 组 是
dx = ( x − a) R13 + ( x + a) R23
dy
y R13 + R23
和
dz dy
=
z（通解为 y
z
= C1 y
）。此
方 程组的图 形见习题 1.13 图， 要注意零 点附近电 场线的变 化。
+q
+q
习 题 1.13 图
2.1 作 以 点 O 为 球 心 ，以 r 为 半 径 的 球 面 S 。球 面 上 电 场 可 写 为 E = E er 。根 据 高 斯
=
−4π m δ(r )
。
1.9 对 于 图（ a），作 以 点 P 为 球 心 的 球 面 S ， v∫S F ⋅ dS > 0 ， ∇ ⋅ F > 0 。对 于 图（ b），
作以点 P为几何中心的直圆柱面 S，取圆柱的轴线与矢量 F 的方向平行，
v∫ ( ) F ⋅ dS = πa2 S
F右底面－F左底面
⎞ ⎟⎠
+
1 sinθ
∂ ∂θ
⎛ ⎜⎝
sinθ
∂ϕ ∂θ
⎞ ⎟⎠
+
1 sin 2θ
∂2ϕ ∂φ 2
⎤ ⎥ ⎦
，得
（ 1）
ρv
=
0 ，（ 2）
ρv
=
ε0
A cos3θ sinφ sin 2θ
，（ 3）
ρv
=
q
⎛ ⎜
δ
(
r
)
−
⎝
a2 4π r
⎞ ⎟
e−
ar
⎠
。
( ) ∫ 2.4
根 据 ϕ (P) −ϕ (Q) =
习题参考解答
( ) 1.1
v = dr = −ω dt
exsinω t− eycosωt
，
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a = d2r = −ω2r 。 dt2
1.2
T = dr ， T D = T
dt
T
= −sinω t ex + cosω t ey 。
1.3 这 是 平 行 平 面 场 ， 矢 量 线 方 程 为 v × dr = −ez ( x dx + y dy) = 0 ， 积 分 后 y2 + x2 = C2 。
eφ
，
∇×B
=
μ0 I πa2
ez
；当
ρ
>
a
时，
B
=
μ0 I 2πρ
eφ
，
∇×B
= 0。
1.13 选 取 直 角 坐 标 系 ， 取 两 个 点 电 荷 分 别 位 于 点 ( − a,0,0) 和 ( a,0,0) 。 点 P ( x, y,z) 处
的电场强度
E
=
q 4πε 0
⎡⎛ ⎢⎜ ⎢⎣⎝
=
0
，
vn
=
v
⋅
∇F ∇F
= v ⋅ ∇F ∇F
=− 1 ∇F
∂F 。 ∂t
1.7 在 a (t ) ⋅ a (t ) = a2 两 端 对 时 间 t 求 导 数 ， 得 2a ⋅ da = 0 ， 即 a ⊥ da 。
dt
dt
1.8
∇
⋅F
=
∇
⋅
⎛ ⎜⎝
−
mr r3
⎞ ⎟⎠
=
m∇
⋅
∇
⎛ ⎜⎝
1⎞ r ⎟⎠
u (r + Δr ) − u (r ) = ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz = ∇u ⋅ dr = 0 。
∂x ∂y ∂z
而 dr 是 曲 面 点 ( x, y,z) 处 的 切 向 方 向 ， 所 以 矢 量 ∇u 垂 直 于 等 值 面 u = C。
1.6
dF dt
=
∂F ∂t
+
(∇F ) ⋅ v
<0， ∇⋅F <0。
1.10
∇×(
f
F)=
f
⎛ ⎜ ⎝
∂Fz ∂y
−
∂Fy ∂z
⎞ ⎟ ex ⎠
+
f
⎛ ⎜⎝
∂Fx ∂z
−
∂Fz ∂x
⎞ ⎟⎠ ey
+
f
⎛ ⎜ ⎝
∂Fy ∂x
−
∂Fx ∂y
⎞ ⎟ ez ⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
∂f ∂y
Fz
−
∂f ∂z
Fy
⎞
⎟ ⎠
ex
+
⎛ ⎜⎝
∂f ∂z
Fx
−
∂f ∂x
Fz
切 向 矢 量 η ， 使 τ = n12 ×η ， 这 样 当 n12 × ( E1 − E2 ) = 0 时 ， 必 有 τ ⋅ ( E2 − E1 ) = 0 ； 反
这 是 平 面 z = z0 （ z0 是 任 意 常 量 ） 内 所 有 点 绕 z 轴 旋 转 的 圆 周 运 动 。
1.4 ∂f = ∇f ⋅ t° = 2(2x + 5y + 7z) ， ∂f
= 28 。
∂t
∂t (1,1,1)
1.5 在 曲 面 u = C 上 任 意 点 r = ( x, y,z) 的 邻 域 取 增 量 Δr = (Δx,Δy,Δz) ， 则
( ) 2.6 dF = (dp ⋅ ∇) E = ( P ⋅ ∇) EdV , ∇E2 = ∇ ( E ⋅ E ) = 2( E ⋅ ∇) E ， 体 积 受 力 f = ε − ε0 ∇ E2 。 2
2 .7 建 立 直 角 坐 标 系 ，令 n12 = ez ，坐 标 平 面 xOy 与 边 界 面 重 合 ，在 边 界 面 上 取 单 位
x+a R13
+
x−a R23
⎞ ⎟ ex ⎠
+
⎛ y⎜
⎝
1 R13
+
1 R23
⎞ ⎟ey ⎠
+
⎛ z⎜
⎝
1 R13
+
1 R23
⎞ ⎟ ez ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
其 中 ， R1 = ( x + a) ex + yey + zez ， R2 = ( x − a) ex + yey + zez ； 在 点 (0,0,0) 处 E = 0 。 以
ρl 4πε 0
⌠a ⎮ ⌡−a
r − r′ r − r′3
dz′ =
ρl 4πε 0 ρ
⎡ ⎢
(
z
+
a
)
eρ
⎢ ⎣
ρ2 +(z
− ρez
+ a)2
−
(z − a)eρ ρ2 +(z
− ρez
− a)2
⎤ ⎥。 ⎥ ⎦
2.3
利用
ρv
=
−ε 0 ∇ 2ϕ
=
− ε0 r2
⎡∂
⎢ ⎣
∂
r
⎛ ⎜⎝
r
2
∂ϕ ∂r
Q
P E0 ⋅ dr = E0 ⋅ rQ − rP
， 令 rQ = 0 ， ϕ (Q) = 0 ， 得 ϕ ( P) = −E0 ⋅ r 。
2.5
p1 在
r2 处 产 生 的 场 强 为
E1
( r2
)
=
3(
p1
⋅ R)R −
4πε0 R5
R2
p1
，
p2 受 力 为
F21 = ∇ ⎡⎣ p2 ⋅ E1 (r2 )⎤⎦ 。