集合与容斥原理

解:设x1=a2+b2,x2=c2+d2,a,b,c,d∈A,则有
x1x2=(a2+b2) (c2+d2)= (ac+bd)2 +(ad-bc)2,
显然x1x2 ∈A.
第一讲 集合与容斥原理
例2、已知A={y|y=x2-4x+3,x∈R}, B={y|y=-x2-2x+2,x ∈ R}, 求A∩B. 分析：画出两抛物线的图象，观察可知， 两条抛物线没有交点，这是否意谓 A∩B = ? 解;A={y|y≥－1}，B={y|y≤3}, 它们的元素都是“实数”， 从而有A∩B={y|－1≤y≤3}
第一讲 集合与容斥原理
三、有限集元素的个数(容斥原理)
请看以下问题： 开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游 泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加 游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的 有3人，没有人同实参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类 比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题。 我们用|A|或 card(A)表示集合A中元素的个数，（例如若A={1，2 3}，则|A|=3）可以证明： 1、|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 2、∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣|C∩A|+|A∩B∩C∣
第一讲 集合与容斥原理
例5、 学校教导处对100名同学进行调查，结果有 58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人 喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢 看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看 电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人， 三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电 影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但 不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）
第一讲 集合与容斥原理
例6、一个集合含有10个互不相同的两位数。试 证，这个集合必有2个无公共元素的子集合， 此两子集的各数之和相等。 分析：两位数共有10,11，…,99，计99－9＝ 90个，最大的10个两位数依次是 90,91，…,99，其和为945，因此，由10个 两位数组成的任意一个集合中，其任一个子 集中各元素之和都不会超过945，而它的非 空子集却有个，这是解决问题的突破口。
第一讲 集合与容斥原理
例7．设A＝{1,2，3，…，n}，对XA，设X中 各元素之和为Nx，求Nx的总和
分析：注意 A中每一个元素在其非空子集中都 出现了2n-1次。
第一讲 集合与容斥原理
解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含 有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中 非空子集有1023个，每一个子集内各数之和 都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023，根 据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元 素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交 集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子 集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有 的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其 所含参数之和相等。
第一讲 集合与容斥原理
主 讲：张 贵 学
第一讲 集合与容斥原理
• 集合是一种数学语言、一种基本的数学工具。它 不仅是高中数学学习的第一课，而且是整个数学 的基础，对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高 中数学起始课的水平上，而应随着数学学习的进 程而不断深化，自觉使用集合语言（术语与符号） 来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示 各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关 系，表示平面轨迹及其关系，表示方程（组）或 不等式（组）的解，表示充要条件，描述排列组 合，用集合的性质进行组合计数等。
第一讲 集合与容斥原理
四、 有限集合子集的个数 这里介绍两个重要的结论： 1、n个元素的有限集合的子集共有2n个，其中非 空子集有2n －1个；真子集也有2n －1个，非空 真子集有2n －1－1＝ 2n －2个。 2、鸽笼原理(抽屉原理)：有n+1件或n+1件以上的 物品要放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉里有 两个或两个以上物品。
第一讲 集合与容斥原理
解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏 剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条 件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里 加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的 两种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再 设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12
第一讲 集合与容斥原理
解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含 有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中 非空子集有1023个，每一个子集内各数之和 都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023，根 据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元 素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交 集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子 集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有 的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其 所含参数之和相等。
第一讲 集合与容斥原理
例4、设A={x|x2+ax+b=0}B={x|x2+cx+15=0}， 若A∩B＝{3}，求a,b,c的值。
解：由 A∩B＝{3}知3∈B,由韦达定理知此时， B＝{3,5}＝A∪B. 又由A∩B＝{3}知5A；故A={3}，即二次方 程x2+ax+b=0有二等根，根据韦达定理,有 x1+x2=-6=a，x1x2=9=b,所以a=-6，b=9,c=-8.
第一讲 集合与容斥原理
一、 学习集合要抓住元素这个关键。 遇到集合问题，首先要弄请：集合里的元素是什 么。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就 要确定集合里的元素是什么。
例1、设A={x|x=a2+b2,a,b∈Z} ,x1,x2∈A 求证： x1x2∈A
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第一讲 集合与容斥原理
分析:根据集合A的特性,只要证明x1x2能表示 成两个整数的平方和的形式即可.
第一讲 集合与容斥原理
二、 集合中待定元素的确定 例3、已知M={x,xy,lg(xy)}，S={0,|x|,y},M=S, 则(x+1／y)+(x2+ 1／y2)+…+(x2010+ 1／y2010) 的值等于( )。
解：由M=S知，两集合元素完全相同。这样,M 中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和 负数没有对数，所以xy，故x,y均不为零，所以 只能有lg(xy)=0，从而xy=1，再由两集合相等 知x=-1,M=S={-1,1,0}.此时y=-1,所求代数式的 值为0.
第一讲 集合与容斥原理
解：法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如 图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由 于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内 （图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同 爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的 计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这 样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即 16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100 解得 χ=14.只喜 欢看电影的 人数为36-14=22
第一讲 集合与容斥原理
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巩固提高： 1、 设集合A＝{1，a,b},B={a,a2,ab},且A＝B，求实数a,b 2、 高一(1)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22 人，既参加语文小组又参加数学小组的有15人，既未参加语文小组又未参加数学 小组的有15人。问高一(1)班共有学生几人？ 3、 设非空集合A{1,2，3,4，5,6，7}，且当a∈A时必有（8－a）∈A，这样的A共 有( )个。 4、 已知A＝{296的约数}，B＝{999}的约数，则card(A∩B)＝( ) 5、 对于集合A＝{X∣X＝3n,n=1,2,3,4}， B＝{X∣X＝,k=1,2,3} 若有集合M满足A∩BMA∪B，则这样的M有多少个？ 6、设＝{1,2,…,100},是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是 ____________. 7、设，，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 ． 8、求的所有子集元素的和之和。 9、给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有 一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。 提示：这种题目最怕把它想难了，想得太难了，就会觉得无从下手，做数学竞赛 题就需要一方面在做题之前选好方向，另一方面就是大胆尝试去做。本题我们可 以先去找一个属于很多个集合的元素，最好它就是我们要找的那一个。
第一讲 集合与容斥原理
现在我们可以来回答刚才的问题了： 设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径 比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学} 则|A|=15，|B|=8，|C|=14，|A∪B∪C|=28， 且|A∩B|=3，|A∩C|=3，|A∩B∩C|=0 由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－|B∩C|+0， 即|B∩C|=3 所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而 只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人)