7.4-整周跳变的探测与修复

7.4 整周跳变的探测与修复
GPS 载波相位测量，只能测量载波滞后相位1周以内的小数部分，不能测量载波滞后相位的整周数)(0N 。

其后的载波滞后相位整周数变化值（始后周数），是通过多普勒积分由电子计数器累计读得的。

由于GPS 信号接收机自身故障或GPS 信号意外中断，导致载波锁相环路的短暂失锁，而引起多普勒计数的短暂中断；当载波锁相环路重新锁定后，多普勒计数又重新开始，以致造成载波滞后相位整周数变化值（始后周数）的不连续计数。

这种多普勒计数的中断现象，称为整周跳变，简称为周跳（cycle slip ）。

当GPS 载波相位观测值没有发生周跳时，卫星一次通过的载波滞后相位整周数是连续的，各时元（历元）的观测值都会含有一个共同的整周未知数，即时元1t 的整周模糊度0N ，当发生周跳时，其后所有的载波相位观测值都会含有一偏差∆，该偏差就是中断期间所丢失的整周计数，即周跳后的载波相位观测中含有未知数∆+0N 。

所谓周跳的探测就是利用观测的信息来发现周跳。

在探测出周跳后，利用观测信息来估计丢失的周数∆，从而修正周跳后的载波相位观测值，称为周跳的修复。

在探测出周跳之后，也可将∆+0N 视为周跳后的整周模糊度而利用平差的原理解求出这个未知参数，这是一个整周模糊度的求解问题。

静态定位中，由于接收机静止不动，周跳的探测与修复问题已得到了很好的解决。

在动态环境下，由于动态接收机在不断地运动中，周跳的探测与修复比静态定位要困难得多。

由于GPS 信号接收机能提供多种观测信息，利用这些观测信息本身的相互关系（无需轨道信息），可以对周跳进行探测和修复，目前主要有下列方法。

（1）根据有周跳现象的发生将会破坏载波相位测量的观测值ϕϕ∆+)(Int 随时间 而有规律变化的特性来探测周跳（高次差或多项式拟合法）
（2）利用载波相位及其变化率的多项式拟合来探测、修复周跳（多项式拟合法）； （3）利用伪距和载波相位观测值组合来探测、修复周跳（伪距/载波组合法）； （4）利用双频载波相位组合观测值探测、修复周跳（电离层残差法）。

7.4.1用高次差或多项式拟合法
此种方法是根据有周跳现象的发生将会破坏载波相位测量的观测值ϕϕ∆+)(Int 随时间而有规律变化的特性来探测的。

GPS 卫星的径向速度最大可达s km /9.0．因而整周计数每秒钟可变化数千周。

因此，如果每15s 输出一个观测值的话，相邻观测位间的差值可达数万周，那么对于几十周的跳变就不易发现。

但如果在相邻的两个观测值间依次求差而求得观
测值的一次差的话．这些一次差的变化就要小得多。

在一次差的基础上再求二次差，三次差、四次差、五次差时．其变化就小得更多了。

此时就能发现有周跳现象的时段来。

四次、五次差已趋近于零。

对于稳定度为10
10
-的接收机时钟，观测间隔为15s ，1L 的频率为
Hz 91057542.1⨯，由于振荡器的随机误差而给相邻的1L 载波相位造成的影响为2．4周，
所以用求差的方法一般难以探测出只有几周的小周跳。

通常也采用曲线拟合的方法进行计算。

根据几个相位测量观测位拟台一个n 阶多项式： 据此多项式来预估下一个观测值并与实测值比较，从而来发现周跳并修正整周计数。

表5—1出了不同历元由测站k 对卫星j 的相位观测值。

因为没有周跳，对不同历元观 测值取至4至5次差之后的差值主要是由于振荡器随机误差而引起，具有随机特性。

如果在 观测过程中产生了周跳现象，高次差的随机特性受到破坏。

含有周跳影响的观测值及其差值 见表5—2。

载波相位及其差值
表5—1
含有周跳影响的载波相位及其差值
表5—2
由表5—2可见，历元：s 观测值有周跳，使四次差产生异常。

利用高次插值公式，可以外推该历元的正确整周计数．也可根据相邻的几个正确的相位观测值，用多项式拟合法推求整周计数的正确值。

7.4.2 多项式拟合法
从载波相位测量的特性可知，周跳前后，载波相位不再是连续函数，但其变化则是连续函数，且为载波相位的严格一阶导数。

利用载波相位变化率、载波相位观测值可对周跳进行探测和修复。

加拿大学者Canon 于1989年建议采用以下模型来探测周跳。

())1.4.7(2
11t
N k k k k ∆--
-=∆++ϕϕϕϕ&&
式中：k ϕ，1+k ϕ——载波相位观测值；
k ϕ&，1+k ϕ&——载波相位变化率。

中国陈小明博士于1993对上述模型进行适当扩充，而可得到多项式拟合法。

它基于周跳前后载波相位观测值符合如下多项式模型
)2.4.7()()(3
322103
32210⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧∆+++++++=周跳后周跳前N t a t a t a a t a t a t a a ϕ
式中：ϕ——以周表示的载波相位观测值；
N ∆——周跳数；
3210a a a a ，，，——待求系数。

载波相位变化率是载波相位的一阶导数，故载波相位变化率可写为
)3.4.7(322321t a t a a ++=ϕ
&
现选取5个时元的载波相位观测值及其变化率：
()5544332211,,,,,,,,,,ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ&&&&&&
并假设前4个时元的载波相位观测值),,,(4321ϕϕϕϕ没有周跳，而用它们来探测和修复第5和时元的载波相位观测值5ϕ的周跳，依次列如下误差方程：
)4.4.7(v
AX F +=
式中：[]T
N a a a a X ∆=,,,,3210
[]T F 5432154321,,,,,,,,,ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ&&&&&=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0321
032100321003210032101101010101
25
5
24
42332222113525534244332333222231211
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t A 根据最小二乘原理可解得
()
)5.4.7(1
F
A A
A X T T -=
若解得的ε>∆N (ε为给定限值)，则说明第5个时元的载波相位观测值5ϕ存在周跳，其周跳估值为N ∆。

这种方法假定孜给定区间内载波相位变化率为匀加速变化，在实际动态定位中，若目标动态变化较大，则会产生较大的模型误差。

现据1996年3月18日在海南省海口市所作的机载GPS 测量成果，对上述多项式拟合进行解算实践。

该次机载GPS 动态载波相位测量采用1s 数据采样率（更新率），依次用多项式拟合法探测25号卫星L1载波相位测量的周跳；图7.4.1、图7.4.2、图7.4.3分别表示
飞机处于静止待飞、常规直线飞行和加速起飞段的周跳探测结果（数据本身没有周跳）。

图7.4.2、图7.4.3中黑线为飞机速度。

从图7.4.1可见，对于GPS 静态数据，多形式拟合法所得到的N ∆均小于0.1周，故可探测出GPS 静态定位的所有周跳。

图7.4.2的结果表明，当载体作近似匀速
直线运动时，多项式拟合法可以探测出大于2周德周跳。

图7.4.3的结果表明，由于飞机加速起飞时，特别是离地后，动态变化不稳定，N ∆计算值噪声较大，但对于大部分时元N ∆的计算小于2周，个别时元虽然大于2周，但小于5周。

因而可选取5>∆N 为判断是否有周跳的标准。

该方法的优点在于可分别对L1及L2非残差载波相位观测值或双频组合观测值进行周跳探测。

但该方法需用到载波相位变化率观测量，而不适用于不能提供载波相位变化率观测值的GPS 信号接收机。

7.4.3 电离层残差法
1989年美国学者Goad 提出用双频载波相位测量的电离层残差，探测和修复周跳。

称之为电离层残差法，它主要考察不同时元间电离层残差的变化。

若不考虑量测噪声和多路径效应，同一时元的双频载波相位测量之差则为
()()()()())6.4.7(2
2
2111222211f t A f t A N N t t t gf +-
-=-=Φλλϕλϕλ
将上式两端同除以1λ，则有
()
()()()()()())
7.4.7(1122
1
22212
11122122
1211121221
2
11
t N N f f f f f t A N N f f f t A f t A N N t t t ion gf ∆+-=
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---=+--=-
=Φλλλλλϕλλϕλ
式中：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
=∆22212
111f f f t A t ion λ
()t ion ∆表示用L1波长的双频载波相位测量电离层延迟的差值，称之为电离层残差。

若不
存在周跳，时元之间的()1t gf Φ之差为
()()()()()[]()())
8.4.7(1111222
1
111
1ε
ϕϕϕϕλλ+∆-+∆=-+-
-+=
Φ-+Φ=∆Φt t t t f f t t t ion ion gf gf gf
gf ∆Φ为时元间电离层残差的变化值。

当电离层比较稳定、采样间隔较短（几秒钟），电离
层延迟的变化为亚厘米级。

图7.4.4~7.4.7均为在海南省所作的机载GPS 动态载波相位测量成果，其数据采样率是一秒钟，且没有发生载波相位测量的整周跳变；图7.4.4和图7.4.6分别是地面基准接收机和机载GPS 信号接收机观测PRN29号卫星的电离层残差数据（用L1波长表示，单位为周），图中虚线为卫星的天顶距。

图7.4.5和图7.4.7分别是地面基准接收机和机载GPS 信号接收机接收观测PRN29号卫星的时元间电离层残差的变化。

由图7.4.5可知，对于静态观测的GPS 信号接收机时元间电离层残差变化较小，其值均小于0.005周。

而图7.4.7表明，对于机载GPS 信号接收机，由于多路径效应和测量误差的影响，电离层残差的变化较大，但其都小于0.05周。

因而在电离层较稳定时，短时间内载波相位测量电离层残差的变化很小。

若相邻两历元间电离层残差发生突变，则说明L1或L2的载波相位观测值可能存在周跳。

若设L1，L2的周跳分别为1N ∆，2N ∆，则有
()()[])
9.4.7(60
771121221122
1
N N N N f f t t N N f f ion ion gf ∆-∆=∆-∆≈∆-+∆+∆-∆=
∆Φ
此时，gf ∆Φ是L1，L2周跳的线性组合。

显然，如果L1，L2得周跳使()[]
126077N N ∆-∆等于或接近于零，从而使时元间电离层残差观测值的变化gf ∆Φ很小，则用该法无法探测出周跳；亦即，当217760N N ∆=∆时，有()0607712=∆-∆N N ；此外，当41±=∆N ，
32±=∆N ；51±=∆N ，42±=∆N 。

91±=∆N ，72±=∆N 。

141±=∆N ，112±=∆N ，
Λ时，()126077N N ∆-∆均小于15.0±周，特别是当91±=∆N ，72±=∆N 时，
()126077N N ∆-∆仅为0.0167周，几乎和量测噪声相当（见表7.4.1）。

根据上述机载GPS 测量成果，选取05.0>∆Φgf 周为探测周跳的标准，对于大部分周跳均可探测出来。

但对一些特殊的周跳组合，如771=∆N ，602=∆N ；91=∆N ，72=∆N 等，则难以探测出周跳。

尽管如此，电离层残差法仍然是一种极好的双频周跳探测方法。

若能联合应用其他周跳探测方法（如多项式拟合法），将周跳修复至7周以内，电离层残差法，则可正确探测出
所有周跳。

7.4.4 伪距/载相组合法
从GPS 卫星测量误差特性可知，除电离层延迟、多路径效应、量测误差之外，其他误差源对伪距和载波相位测量的影响是相同的，故可用伪距和载波相位观测值的组合来探测和修复周跳。

单频伪距和载波相位测量的观测方程可表述如下：
)10.4.7(R
R R dm dI R ερ+++= )11.4.7(ϕ
ϕϕϕελρλ++++=dm dI N
式中：R ——伪距观测值；
ϕ——载波相位观测值； λ——载波波长；
N ——载波相位整周模糊度；
R dI ，ϕdI ——分别为伪距和载波相位测量的电离层效应偏差；
R dm ，ϕdm ——分别为伪距和载波相位测量的多路径效应偏差；
R ε，ϕε——分别为伪距和载波相位的量测噪声。

将式（7.4.10）和式（7.4.11）相减可以得到：
()()()[]
)12.4.7(λ
εελϕϕϕϕ
R R R dm dm dI dI R N -------=
将式（7.4.12）在时元间相减，由于时元间电离层延迟和多路径效应变化较小时，可以得到周跳的估值：
()()()()()()
)13.4.7(121212λ
ϕϕt R t R t t t N t N N --
-=-=∆
式（7.4.13）可用于单频、非差数据。

其估计精度取决于电离层延迟和多路径效应在时元之间的变化，以及伪距和载波相位测量的量测噪声、载波波长λ的大小。

在相同的观测条件下，波长越长，则对周跳的估计越精确。

基于上述思想中国韩绍伟博士于1995年提出利用双频组合观测值9,71,1,--ϕϕ来探测和修复周跳的方法（此处1,1-ϕ表示其测距等效波长为86.2cm ，9,7-ϕ表示其测距等效波长为1465.3cm ）。

每时元双频组合观测值的整周模糊度可用下式来估计：
)14.4.7(21
,,,γλϕf A
R
N j
i j i j i +
-
=
式中：j
i j i R
,,λαγ+=
()⎪⎩
⎪
⎨⎧+====++=
2
323.1647.11
36004620592946202121,R R R R R R R j
i j i j i βα
式（7.4.14）中的R 可选择为L1或L2的伪距1R 或2R ，也可选择1R ，2R 的平均值，根据不同接收机类型以及可用的伪距观测值，应选择量测噪声较小的伪距观测值作为R 代入式中计算。

若精确已知式（7.4.14）中的电离层延迟，则波长越长，N 确定精度越高。

每一时元的j i N ,均可用（7.4.14）来估计，当时元间电离层延迟等变化较小时，时元间周跳可用下式估计。

()()()()()()
)15.4.7(,12,1,2,1,2,j
i j i j i j i j i j i t R t R t t t N t N N λϕϕ--
-=-=∆
对于9,71,1,--ϕϕ分别有
()()()()
1
,1121,111,121,1-------=∆λϕϕt R t R t t N
()()()()
9
,7129,719,729,7------
-=∆λϕϕt R t R t t N
根据1,1-N ，9,7-N 的定义有以下关系：
如果1,1-N 为奇数→9,7-N 为奇数； 如果1,1-N 为偶数→9,7-N 为偶数。

这一奇偶关系表明：当其中一个整周模糊度确定后，则另一个的等效波长变为原波长的两倍，因而更容易求解，对于周跳也存在同样的关系：
当1,1-∆N 为奇数→9,7-∆N 为奇数； 当1,1-∆N 为偶数→9,7-∆N 为偶数。

显然如果求得1,1-∆N 则9,7-∆N 的确定变得更容易，反之亦然。

若确定9,71,1,--ϕϕ的周跳后，则21,ϕϕ周跳可用下式确定：
)
16.4.7(2
72
99
,71,129,71,11----∆+∆=
∆∆+∆=∆N N N N N N
图7.4.8~图7.4.11分别为一次机载GPS 动态定位中1,19,7,--ϕϕ周跳探测的结果（GPS 信号接收机为Trimble 4000SSE ，数据采样率为1s ，卫星号PRN25，()221R R R +=，无周跳），从图7.4.8和图7.4.10可见，无论是对静态GPS 信号接收机，还是对机载GPS 信号接收机，
9,7-∆N 的噪声不到0.25周，因此，除),2,1(7,921Λ±==∆=∆n n N n N 外所有的周跳都可
用9,7-ϕ来探测到，从图7.4.9和图7.4.11可知；对于静态GPS 信号接收机，1,1-∆N 不难确定到2周左右的水平。

若设真实跳周数分别1N ∆、2N ∆，且9,7-∆N ，1,1-∆N 的估值分别为9,7-∆N ，1,1-∆N ，则有
2
,0,2)17.4.7(,
1,11,19,79,7-=+∆=∆∆=∆----δδN N N N
故知，
)18.4.7(27
2
772
721,19,79
,71,12δ
δ
+∆=+∆+∆=
∆+∆=
∆----N N N N N N
)19.4.7(2
9
2
992
921,19,79
,71,11δ
δ
+∆=+∆+∆=∆+∆=
∆----N N N N N N
从式（7.4.18）和式（7.4.19）可以得到3组1N ∆和2N ∆的估值，亦即
)7,9(),7,9(),,(212121-∆-∆+∆+∆∆∆N N N N N N 。

对于1N ∆和2N ∆分别为9和7的整
数倍，且1,1-∆N 估计精确度为2周时周跳无法探测。

如果进一步提高伪距观测量精度，使1,1-∆N 能确定到一周以内的水平，则根据前述奇偶关系，可以唯一确定21,ϕϕ的周跳。

综上所述，上列3种方法都可用于单站星非差观测值（图7.4.1~图7.4.11中均采用非差观测值）的周跳探测和修复，且可用于在预处理阶段的周跳探测和修复。

多项式拟合法主要用于探测L1和L2的周跳，并可将L1的周跳修复到5周的水平。

当动态较稳定时，可修复到2周的水平。

对于GPS 静态测量数据，则可完全修复周跳。

电离层残差法，是探测GPS 双频测量数据周跳的强有力武器。

但存在对一些周跳组合不敏感的问题。

伪距/载波组合法，虽也用于GPS 单频测量数据的周跳探测，但精度较低。

采用9,71,1,--ϕϕ组合的方法，虽难以唯一确定21,ϕϕ的周跳，但很容易将周跳值限制在有限的几个组合内。

由于这3种方法分别采用不同的观测量里探测和修复周跳，实际应用中，集3种方法之长，综合使用上述3种方法探测和修复周跳。

对于GPS 双频测量数据不难在预处理阶段探测和修复绝大部分的周跳。

对于GPS 单频测量数据，特别是GPS 动态测量数据，仅利用站星观测值，难以完全探测出
一些小周跳，完全修复则更不可能，因而还需辅以其他信息来探测和修复周跳。