4常见曲线的极坐标方程
极坐标方程
Q
P(ρ,θ) x O(F)
设P(ρ,θ)是曲线上任 P(ρ 意一点,由定义: 意一点,由定义: FP = e QF 故所求轨迹方程为: 故所求轨迹方程为: ep ρ= 1 - ecosθ
0<e<1 椭圆
e=1 抛物线
e>1 双曲线 返回
4..三叶玫瑰线 三叶玫瑰线 3.心脏线 心脏线 ρ=sin2θ ρ=4cos3θ ρ=2(1+cosθ)
返回上层
返回
返回
返回
M
l
ρ sinΘ=b
x
O
返回
圆的极坐标方程
若圆心的坐标为M( ),圆 若圆心的坐标为M(ρ0, θ0),圆 M( 的半径为r 的半径为r,求远的极坐标方 程.
ρ0 θ0 θ O M r P ρ x
由余弦定理, 由余弦定理,得:
PM =OM +OP -2OM OPcos∠POM
2 2 2
故,圆的极坐标方程是: 圆的极坐标方程是:
曲线的极坐标方程
姓名 学号
梁盛楠
0807105
4.2曲线的极坐标方程 4.2曲线的极坐标方程
4.2.1 曲线极坐标方程的意义 4.2.2 几种常见曲线的极坐标方程 1.直线 直线 2.圆 圆 3.圆锥曲线 圆锥曲线 4.2.3 极坐标下特殊曲线的欣赏
4.2.1 曲线极坐标方程的意义
什么是极坐标? 什么是极坐标
首先,在平面直角坐标系内, 任意一点A (x,y)我们用 x y两个量表示.
ρ
在平面极坐标中,同样有两 个量表示A(ρ,θ)表示 一个 点. ρ表示点A到原点的距离— 极径. Θ表示OA与极轴的夹角.
θ
极坐标常用方程
极坐标常用方程极坐标是一种二维坐标系统,与我们常见的直角坐标系有所不同。
在极坐标系统中,一个点的位置由它的极径和极角确定,而不是由它的x坐标和y坐标确定。
极坐标常用方程是一种描述极坐标系中曲线的数学表达式,本文将介绍一些常见的极坐标常用方程。
矩形方程与极坐标方程转换要将直角坐标系中的一个方程转换为极坐标系中的方程,需要使用以下公式:•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中,(x, y)是直角坐标系中的点,(r, θ)是极坐标系中的点。
举例来说,我们有一个方程 x^2 + y^2 = 4,要将它转换为极坐标系中的方程。
首先,我们可以使用换元法将直角坐标系中的x和y表示为极坐标系中的r和θ:* x = r * cos(θ) * y = r * sin(θ)将上述方程代入原方程,得到:* r^2 * cos^2(θ) + r^2 * sin^2(θ) = 4再进行化简,可以得到:* r^2 * (cos^2(θ) + sin^2(θ)) = 4 * r^2 = 4因此,极坐标系中的方程为 r = 2。
这个方程描述了以极径为2的圆。
常见的极坐标常用方程1.极坐标方程 r = a这是一个描述以极径为常数a的圆的方程。
圆心位于原点,半径为a。
2.极坐标方程r = a * cos(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a * cos(θ)的螺线的方程。
3.极坐标方程r = a * sin(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a * sin(θ)的螺线的方程。
4.极坐标方程r = a / cos(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a / cos(θ)的双曲线的方程。
5.极坐标方程r = a / sin(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a / sin(θ)的双曲线的方程。
6.极坐标方程r = a * e^(bθ)这是一个描述以极径可变的曲线的方程,其中a和b是常数,e是自然对数的底。
这个方程可以描述出多种不同的曲线,如指数增长曲线。
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法可以用来解析表示圆锥曲线的方程。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
下面将分别介绍极坐标法在解析这些曲线方程中的应用。
1.圆:圆的极坐标方程为 r = a,其中 a 为圆的半径。
在极坐
标系下,圆心位于原点,以原点为中心半径为 a 的圆。
2.椭圆:椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e*cosθ),其中 a 为长
轴的一半,e 为离心率,θ 为极角。
通常情况下,取e < 1,这样才能得到椭圆。
如果 e = 0,则表示一个圆。
3.抛物线:抛物线的极坐标方程为r^2 = 2a*p,其中a 为焦
点到抛物线顶点的距离,p 为焦距的一半。
抛物线沿着对
称轴对称。
4.双曲线:双曲线的极坐标方程为 r^2 = 2a p cosθ,其中 a 为
焦点到双曲线顶点的距离,p 为焦距的一半。
双曲线有两
个分支,分别向外延伸。
对于给定的圆锥曲线方程,你可以将其转化为极坐标方程进行分析和绘制。
通过改变参数 a、e 和 p 的值,可以调整曲线的尺寸、形状和位置。
请注意,极坐标法的应用需要对极坐标系和常见曲线方程有一定的数学理解。
在进行计算和绘制时,确保使用正确的公式和技巧,以获得准确的结果。
曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系,它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中,点的位置由半径和角度来确定,而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。
在极坐标系中,我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。
二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为:r=f(θ)其中r表示极径,θ表示极角,f(θ)表示关于θ的函数。
这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。
2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为:r=a其中a为圆的半径。
这种极坐标方程非常简单,它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。
3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为:r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离,α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。
4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为:r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离,e表示椭圆的离心率,α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。
三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。
例如,当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时,对应的曲线也具有相应的对称性。
另外,极坐标方程中的极角θ满足周期性,即一个周期内的曲线形状是相同的。
2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
通过一定的公式,我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标,或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。
四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线,它的极坐标方程为:r=aθ其中a为常数。
螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。
螺线是许多自然界中的现象的数学描述,例如螺旋形的贝壳、旋涡等。
极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一:极坐标与参数方程题型/考向二:不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系:极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ,即以极轴OX 为始边,OM 为终边的角2.极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,,则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限,所以πθ34=,⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3.常见曲线的极坐标方程4.常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是:cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是:cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为:00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5:直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为:00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0,记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ,则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ,如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=,③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩,④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注:①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程,则由韦达定理得出:abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式:过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式,此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ,参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化:直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量,即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程:①普通方程:②极坐标方程:③参数方程:1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程;(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2.在平面直角标系xOy 中,曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程;(2)若D 为曲线M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.3.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,直线l 与x 轴相交于点P ,求PA PB ⋅的值.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩(其中ϕ为参数).以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P 是曲线C 上的一动点,求PAB 面积的最大值.5.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点()1,0M ,且倾斜角为π4,以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ参数).(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ,B 两点,则AB 的值.6.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩(α为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)P 为l 上一点,过P 作曲线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,若3APB π∠≥,求点P 横坐标的取值范围.1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中,||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 交曲线C 于两点A ,B ,求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数).(1)若π4ϕ=,求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线,垂足为Q ,说明点Q 的轨迹为何种曲线.9.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩(ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为ρθ=.(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程;(2)直线l :()6πθρ=∈R 与曲线1C ,2C 分别交于M 、N 两点(异于极点O ),P 为2C 上的动点,求△PMN 面积的最大值.y =⎪⎩极点,x 轴为正半轴建立极坐标,椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=,其右焦点为F ,直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值;(2)若点P 是椭圆上任意一点,求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论:(1)222a b ab +≥(,a b R ∈),当且仅当a b =时,等号成立;(2)2a b ab +≥(,0a b >),当且仅当a b =时,等号成立;(3)33a b c abc ++≥a b c ==时,等号成立(4)2b a a b+≥(,a b 同号,a b =时取等号。
曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程是在平面直角坐标系中,通过极径和极角两
个参数来描述曲线的方程。
极坐标系一般用于描述圆形、环形等
具有旋转对称性的曲线。
下面,我们将详细介绍曲线的极坐标方程。
一、极坐标系的定义
极坐标系是由极轴、极点和极角三部分组成的平面直角坐标系,其中极轴是一条直线,极点是坐标系的原点,极角是从极轴到极
径所形成的角度。
二、极坐标系下的曲线
在极坐标系中,曲线的方程是通过极径和极角两个参数来确定的。
不同的曲线可能有不同的极坐标方程,例如:
1. 圆的极坐标方程是 r = a,其中 r 是极径,a 是常数,表示圆
的半径。
2. 椭圆的极坐标方程是 r = a(1 - ecosθ),其中 e 是离心率,a 是
长轴的一半。
3. 双曲线的极坐标方程是r = a secθ 或r = a cosecθ。
4. 阿基米德螺线的极坐标方程是r = a + bθ,其中 a 和 b 是常数,表示螺线的参数。
5. 伯努利双点曲线的极坐标方程是r = a /(1 ± εcosθ),其中 a 是
常数,ε 是参数,表示双点之间的距离。
三、极坐标系的应用
极坐标系在物理学、数学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如,在极坐标系下,可以更容易地描述圆形对象的运动和旋转。
此外,极坐标方程还用于工程学中的机器人设计,通过控制极径
和极角来控制机器人的运动轨迹。
总之,曲线的极坐标方程是一种在极坐标系中描述曲线的方法,具有广泛的应用价值。
无论在理论和实践中,它都是一种有效的
方式来描述和解决问题。
曲线的极坐标方程
1附录1 曲线的极坐标方程一. 极坐标我们知道,单元实函数()y f x =(x ∈()f D )的图形一般是平面上的一条曲线(段)L , 而()y f x =(x ∈()f D )就是L 的方程. 由给定曲线建立其方程是平面解析几何的基本任务之一,也是本课程所必须的. 但是,在直角坐标系中,对于许多曲线来说,要建立其方程是比较困难的,即使是常用曲线(如等速螺线)也是这样. 然而在极坐标系中,有些问题可以迎刃而解.极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法. 例如,炮兵射击时,以大炮为基点,利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的. 在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.在平面内取定一点O ,称之为极点,引一条射线Ox ,称之为极轴. 再选定单位长度和角的正向(通常取逆时针方向)(见图F-1).图 F —1对于平面内任意一点M ,用ρ表示M 到O 的距离,即线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角度. 其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角,当M 为极点O 时,其极径0ρ=,其极角可取任意值. 于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了,有序对实数(, )ρθ称为点M 的极坐标.反过来,给定一对有序实数,ρθ(假定0ρ≥),以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角,在其终边上截取长为ρ的线段OM ,则M 是平面上极坐标为(, )ρθ的唯一的点.2极坐标为(, )ρθ的点M 也可表示为(,)M ρθ. 这样建立起来的坐标系称为极坐标系.例1 在极坐标系中画出下列各点:.()()()()()π5π4π5π2π1,,(2,0), 1.5,,3,,2,,3,.46333A B C D E F −解图 F —2注意:()()4π2π3,3,33D F −与是同一点.上例表明,平面上点的极坐标不是唯一的. 事实上,一个点的极坐标有无穷多,因为始边为Ox 、终边为OM 的角有无穷多个. 例如,()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+−,以及()π2,2π()4k k +∀∈Z 等,都是同一点A 的极坐标.不仅如此, 在某些情况下,允许ρ取负值,是方便的. 当0ρ<时,点.(, )M ρθ可按下列规则确定:作射线OP ,在OP 的反向延长线上取一点M ,使得OM ρ=,则点M 就是极坐标为(, )ρθ的点(见图F —3 ).例如,上例中的点()π2,4A 也可以表示为()π2,(21)π()4M k k −++∀∈Z .3图F —3如果限定0, 02πρθ≥≤<(或πθπ−<≤),则除极点外,平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.二. 曲线的极坐标方程在极坐标系中,曲线L 可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程(,)0F ρθ=来表示. 这种方程叫做曲线L 的极坐标方程. 此时,以这个方程的每一组解为坐标的点都在曲线L 上,然而曲线L 上每个点的极坐标有无穷多个,故可能不全满足这个方程,但其中至少有一个坐标能满足这个方程. 这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.求曲线的极坐标方程的方法与步骤,同直角坐标方程类似,即视曲线为满足某种条件的点的集合(或动点的轨迹),将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来,就得到曲线的极坐标方程.例2 (1)求从极点出发、倾角为π4的射线的极坐标方程;(2)求过极点且倾角为π4解 (1)设(,)M ρθ(图F —4),由条件得π4θ= (0ρ≥).图F —4这就是所求射线的方程,因为对于任意0ρ≥,坐标为()π,4ρ的点均在此射线上,另一方面,在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ(0ρ∀≥)来4表示,故其至少有一个坐标满足方程π4θ= (0ρ≥).(2)易知所求直线的极坐标方程为π4θ= (ρ∀∈R )(见图F —4 ).图F —5例 3 求中心在极点、半径为 (0)a a >的圆的极坐标方程.解 设(,)M ρθ为圆上动点,由轨迹条件OM a =,得所求圆的方程为a ρ= (θ∀∈R ).如果限制02πθ≤<,则此圆上的点的极坐标与方程a ρ=(02πθ≤<)的解是一一对应的.图F —65例4 求圆心在点(,0) (0)a a >其中、半径为a 的圆的极坐标方程. 解 由条件知,圆心在极轴上,且圆经过极点O . 设圆与极轴的另一交点为A (见图F —7),则2OA a =.设(,)M ρθ是圆上任意一点,则OM MA ⊥,于是有 cos OM OA θ=. 所以此圆的极坐标方程为2cos a ρθ= (ππ22θ−≤≤).图F —6 例5 阿基米德螺线由极坐标方程a ρθ= (0a >为常数)确定的曲线,通常称为阿基米德螺线(或等速螺线).请画出基米德螺线. 解 在极坐标系中作图的方法和步骤,同直角坐标系中是一样的. 给出θ的一系列允许值,通过()ρρθ=算出ρ的对应值(可列成表格),再根据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点,然后依次将这些点连成平滑的曲线,便得到()ρρθ=的图形.对于a ρθ=(0a >为常数)有:O6图F —7如果允许ρ取负值,则当,ρθ是方程a ρθ=的解时,,ρθ−−也是a ρθ=的解. 因为在极坐标系中,点(,)ρθ−−与点(,)ρθ关于过极点且垂直于极轴的直线对称,故a ρθ=的图形也关于该直线对称. 同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分,而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M 的轨迹:以点O 为端点的射线l ,绕点O 作等角速度的转动,而l 上的点M 从O 出发沿l 作等速直线运动. 因此,阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线. 在机械传动的凸轮装置中,将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线,以使从动杆作等速直线运动.例6 心脏线用同样的方法,可画出由极坐标方程(1cos )a ρθ=+ (0a >为常数)确定的曲线(见图F —8),称为心脏线 (或心形线),它是外摆线的一种.更多曲线的极坐标方程请见同济附录II7三. 直角坐标与极坐标的转换关系为了研究的方便,有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种坐标系下的方程. 如图F —9所示,把直角坐标系 的原点为极点,Ox 轴的正半轴作为极 轴,并在两种坐标系中取相同的单位 长度.设M 为平面上任意一点,其直角 坐标为(,)x y ,极坐标为(,)ρθ. 则有“极—直”关系转换式:cos sin (0)x y ρθρθρ⎧≥⎨⎩==. 图F —9 由此也有关系转换式:,tan (0)yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定θ时,可根据点M 所在的象限取最小正角. 例7 (1) 将点M 的极坐标()π5,6化为直角坐标; (2)将点P 的直角坐标()1−化为极坐标.解 (1)x = π55sin ,62y ==即点M 的直角坐标为)52.(2)2, tan ρθ====因为点P 在第三象限,而20,ρ=> 故最小正角为7π6θ=. 因此,P 的极坐标为()7π2,6.例8 化圆的直角坐标方程2220(0)x y ay a +−=>为极坐标方程.8解 将cos (0)sin x y ρθρρθ=⎧≥⎨=⎩2222cos sin 2sin a ρθρθρθ+−即 2sin a ρθ=(0θπ≤≤).图F —10*例9 广义极坐标变换co s n s i x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩将椭圆22221y x a b+=变换成极坐标系中的单位圆 1 (02π)ρθ=≤≤.习题F-11. 极坐标方程22cos 2 (0)a a ρθ=>的图形称为双纽线. 请描绘出双纽线.2. 指出下列极坐标方程表示什么曲线,并画图:(1)3ρ=; (2)π ()3θρ=−∞<<+∞;(3)cos 2ρθ=; (4)10sin ρθ=; (5)10(1cos )ρθ=+.。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离:r2.与正半轴的夹角:θ3.线段:r=ar=a表示距离原点为a的一个圆,其中a是一个常数。
如果a>0,圆心在极坐标系的原点;如果a<0,圆心在原点的反向。
4. 线段:r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线,其中a是一个常数。
当a>0时,曲线是两半心脏形状;当a<0时,曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段:r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线,其中a是一个常数。
当a>0时,曲线有两个极大值和一个极小值;当a<0时,曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段:r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线,其中a和b是常数。
当a=0时,曲线是一个标准椭圆;当a≠0时,曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段:r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线,其中a和b是常数。
当a>0时,曲线有两个分支;当a<0时,曲线只有一条分支。
8. 曲线:r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线,其中a是一个常数。
9. 曲线:r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线,其中a是一个常数。
10. 曲线:r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心,顶点在极轴上,具有n个叶片的曲线,其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例,用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状,从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线,极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
极坐标系下的曲线方程
极坐标系下的曲线方程极坐标系是一种以极点为中心,以极轴为基准,描述平面上点位置的坐标系。
在极坐标系中,点的位置由两个参数r 和θ 描述,其中 r 表示点到极点的距离,θ 表示点与极轴的夹角。
极坐标系常用于描述环形物体、旋转对称图形等。
在极坐标系中,曲线的方程可以用极坐标参数 r 和θ 表示。
下面介绍几种常见的曲线方程。
1. 极轴和极点如果一个点的 r 坐标为 0,则该点位于极轴上;如果一个点的θ 坐标为 0,则该点位于极点上。
因此,极轴和极点可以用下面的方程表示:极轴:θ = k (k 为常数)极点:r = 02. 圆的方程在直角坐标系中,圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²,其中 (a,b) 表示圆心坐标,r 表示半径。
在极坐标系中,圆的方程可以表示为:r = a cos(θ) + b sin(θ)其中 (a,b) 表示圆心坐标,r 表示半径。
这个方程的具体形式可以通过将圆心坐标和半径代入得到。
例如,以圆心为 (2,3),半径为 4 的圆的方程为:r = 2 cos(θ) + 3 sin(θ) + 43. 椭圆的方程在直角坐标系中,椭圆的方程为 (x-a)²/a² + (y-b)²/b² = 1,其中(a,b) 表示椭圆中心坐标,a 和 b 分别表示横向半轴长度和纵向半轴长度。
在极坐标系中,椭圆的方程可以表示为:r = (a b) / √((b cos(θ))² + (a sin(θ))²)其中 (a,b) 表示椭圆中心坐标。
这个方程的具体形式可以通过将椭圆中心坐标代入得到。
例如,以中心为 (2,3),横向半轴长度为4,纵向半轴长度为 3 的椭圆的方程为:r = (12) / √(9 cos²(θ) + 16 sin²(θ))4. 双曲线的方程在直角坐标系中,双曲线的方程为 (x-a)²/a² - (y-b)²/b² = 1,其中(a,b) 表示双曲线中心坐标,a 和 b 分别表示横向半轴长度和纵向半轴长度。
极坐标和参数方程知识点总结
千里之行,始于足下。
极坐标和参数方程知识点总结极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统,它是由点到原点的距离(称为极径)和点与极轴的夹角(称为极角)所确定的。
在极坐标系中,每个点的坐标可以表示为(r,θ)的形式,其中r为极径,θ为极角。
参数方程是一种用一对参数变量来表示曲线上的点的坐标的方法。
对于平面上的曲线,常用的参数方程形式为x=f(t)和y=g(t),其中t为参数变量,f(t)和g(t)分别表示x和y的函数关系。
以下是极坐标和参数方程的一些重要知识点总结:1. 极坐标的转换关系:- 直角坐标到极坐标的转换:x=r*cos(θ),y=r*sin(θ)- 极坐标到直角坐标的转换:r=sqrt(x^2+y^2),θ=tan^(-1)(y/x)2. 常见曲线的极坐标方程:- 直线:θ=常数- 圆:r=常数- 椭圆:r=a*b/sqrt(b^2*cos^2(θ)+a^2*sin^2(θ))3. 参数方程的表示方式:- 曲线方程:(x,y)=(f(t),g(t))- 曲线长度的计算公式:L=∫sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt4. 参数方程的性质:- 曲线方向:随着参数变量的增大,曲线的运动方向- 曲线对称性:参数方程对称性特点取决于函数f(t)和g(t)的对称性第1页/共2页锲而不舍,金石可镂。
- 曲线切线方向:曲线上某点的切线方向由参数方程的导数决定5. 参数方程与极坐标之间的关系:- 参数方程可以转换为极坐标方程,极径r=f(t),极角θ=g(t)- 极坐标方程可以转换为参数方程,x=f(θ)*cos(θ),y=f(θ)*sin(θ)需要注意的是,极坐标和参数方程在一些问题中可以更方便地描述曲线的特性,而在其他问题中直角坐标系可能更适用。
因此,在应用中需要根据具体问题选择合适的坐标系表示。
常见的极坐标方程
常见的极坐标方程极坐标方程是描述平面直角坐标系中的点在极坐标系中的位置和形状的一种方式。
极坐标方程通常表示为$r=f(\theta)$,其中$r$表示点到原点的距离,$\theta$表示点与$x$轴正半轴之间的夹角。
常见的极坐标方程包括:一、基本形式1. $r=a$:表示以原点为中心,半径为$a$的圆。
2. $r=a\cos\theta$:表示以原点为焦点,以$x$轴正半轴为对称轴,离心率为$\frac{1}{2}$,长轴长度为$a$的椭圆。
3. $r=a\sin\theta$:表示以原点为焦点,以$y$轴正半轴为对称轴,离心率为$\frac{1}{2}$,长轴长度为$a$的椭圆。
4. $r=a\cos n\theta$或$r=a\sin n\theta(n\in N^*)$:分别表示以原点为中心,半径分别是$a,a/2,a/3,\cdots,a/n$等等的$n$个同心圆。
这些圆上有$n$个等分点,在这些等分点上分别作切线,则这些切线所组成的$n$边形叫做正$n$边形。
二、特殊形式1. $r=\dfrac{a}{1\pm\cos\theta}$:表示以原点为焦点,离心率为$1$,长轴长度为$a$的双曲线。
2. $r=\dfrac{a}{1\pm\sin\theta}$:表示以原点为焦点,离心率为$1$,长轴长度为$a$的双曲线。
3. $r=a(1+\cos\theta)$:表示以原点为焦点,以$x=-a/2$为对称轴,离心率为$\frac{1}{2}$,长轴长度为$a$的摆线。
4. $r=a(1-\cos\theta)$:表示以原点为焦点,以$x=a/2$为对称轴,离心率为$\frac{1}{2}$,长轴长度为$a$的摆线。
5. $r=a(1+\sin\theta)$:表示以原点和$(a,0)$两个焦点确定的椭圆上沿着逆时针方向运动的一个质点在$x$轴正半轴上留下的投影长度。
6. $r=a(1-\sin\theta)$:表示以原点和$(a,0)$两个焦点确定的椭圆上沿着顺时针方向运动的一个质点在$x$轴正半轴上留下的投影长度。
双曲线的四种参数方程
双曲线的四种参数方程双曲线是数学中的一种曲线,它可以通过四种不同的参数方程来描述。
在本文中,将分别介绍四种参数方程,并详细讨论每种方程的特点和性质。
第一种参数方程是极坐标方程。
极坐标方程是用极坐标系中的径向距离r和偏离角度θ表示双曲线的方程。
对于双曲线,极坐标方程可以表示为:r = c / cos(θ)其中c是双曲线的焦点到中心的距离。
这个方程表示了极坐标系中距离焦点一定距离的点在角度θ上的位置。
通过选择不同的θ值,可以得到双曲线上的所有点。
第二种参数方程是直角坐标方程。
直角坐标方程是用直角坐标系中的x和y坐标表示双曲线的方程。
对于双曲线,直角坐标方程可以表示为:(x/a)^2-(y/b)^2=1其中a和b是双曲线的参数,它们分别表示x和y轴上的方向对曲线的影响程度。
这个方程表示了满足双曲线定义的所有点。
第三种参数方程是参数化方程。
参数化方程是通过引入参数t,用参数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。
对于双曲线,参数化方程可以表示为:x = a * cosh(t)y = b * sinh(t)其中cosh和sinh是双曲函数。
这个方程表示了通过参数t控制双曲线上的点。
第四种参数方程是参数值方程。
参数值方程是通过引入参数t,用参数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。
x = a * sec(t)y = b * tan(t)其中sec和tan是三角函数。
这个方程通过三角函数来描述双曲线的形状。
以上是四种常见的双曲线的参数方程。
每种方程都有其独特的数学性质和几何特征。
它们在不同的数学和物理领域中有广泛的应用,例如椭圆轨道的描述、反应堆中的粒子运动等。
同时,通过这些参数方程,我们可以更加深入地研究和理解双曲线的形态和性质。
简单曲线的极坐标方程课件
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
极坐标系的极坐标方程的图形和曲线
极坐标系的极坐标方程的图形和曲线极坐标系是数学中常见的一种坐标系,高中数学课程中也有所涉及。
极坐标系常用于描述平面上的曲线、图形等。
极坐标系与直角坐标系相比,具有独特的优势,能够更加直观地表达曲线和图形,更加便于理解和计算。
极坐标系的基础知识:极坐标系是由一个点与一个极轴以及一个极角所确定的坐标系,可以表示为(r,θ),其中r表示极径,θ表示极角。
在极坐标系中,极轴是一个固定的直线,通常与x轴平行,极径则是一个变化的线段,通常从原点出发。
而极角则是极径与极轴之间的夹角,通常从极轴正方向开始顺时针旋转。
极坐标方程是一种以极坐标系表示的曲线方程,其形式为:r = f(θ)。
其中r和θ分别表示极坐标系中的极径和极角,f(θ)是一个关于极角θ的函数,其值通常为非负实数。
极坐标方程可以表示各种各样的曲线和图形,例如圆形、心形、螺旋线、星形等等。
以下是几种常见的极坐标方程及其图形:1. 圆形r = a圆形可以用极坐标方程r = a表示,其中a为圆的半径。
当θ从0到2π变化时,r保持不变,圆形被完整地表达出来。
2. 心形r = a(1 + sinθ)心形可以用极坐标方程r = a(1 + sinθ)表示。
当θ从0到2π变化时,r的值呈现出心形曲线,形状如同两个相交圆形组成的心形。
3. 螺旋线r = aθ螺旋线可以用极坐标方程r = aθ表示。
当θ从0到2π变化时,极径r的值随着θ的增加而不断变大,形成一个不断扩展的螺旋线。
4. 星形r = acos(θ/2)星形可以用极坐标方程r = a cos(θ/2)表示。
当θ从0到4π变化时,r的值呈现出如同五角星的形状,其中θ的变化导致了边缘出现凸起和凹陷的特征。
总结:极坐标系是一种具有独特优势的坐标系,能够更加清晰、直观地表达曲线和图形。
极坐标系中,极坐标方程是一种精确而便捷的表示方式,可以表示各种各样的曲线和图形,例如圆形、心形、螺旋线、星形等等。
掌握极坐标系的基础知识和极坐标方程的表示方式,对于数学学习和实际应用都非常有益。
高等数学18种曲线
高等数学18种曲线以下是高等数学中18种曲线的详细介绍:1.星形线:星形线是一种特殊的曲线,其极坐标方程为ρ=sinθ,直角坐标方程为x2+y2−x=0。
星形线是围绕原点对称的,并且在直角坐标系中呈现出类似于星形的形状。
2.心形线:心形线也是一种特殊的曲线,其极坐标方程为ρ=1+cosθ,直角坐标方程为x2+y2−2x=0。
心形线也是围绕原点对称的,并且在直角坐标系中呈现出类似于心形的形状。
3.摆线:摆线是一种在圆上运动的质点在直线上的轨迹曲线。
其极坐标方程为ρ=a+bθ,直角坐标方程为x=a(1−cos t)和y=b(1+sin t)。
摆线有许多有趣的性质,例如它的长度和圆的半径相等。
4.对数螺线:对数螺线是一种以原点为中心,向四周无限延伸的曲线。
其极坐标方程为ρ=eθ,直角坐标方程为x=et cos t和y=et sin t。
对数螺线的形状类似于螺壳,并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。
5.双曲螺线:双曲螺线是一种在双曲线上运动的点在直线上的轨迹曲线。
其极坐标方程为ρ=a2−b2sinθ,直角坐标方程为x=a cosh t cosθ和y=b sinh t sinθ。
双曲螺线的形状类似于螺线,但是它的曲率是负的。
6.阿基米德螺线:阿基米德螺线是一种在平面内无限延伸的曲线,其极坐标方程为ρ=aθ,直角坐标方程为x=a(1−os t)和y=a(1+sin t)。
阿基米德螺线的形状类似于螺线,并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。
7.伯努利双纽线:伯努利双纽线是一种特殊的曲线,其极坐标方程为ρ=±2a sin2θ,直角坐标方程为(x2+y2)2=4a2y2。
伯努利双纽线的形状类似于两个交叉的圆环,并且在不同的参数条件下表现出不同的性质。
8.三叶玫瑰线:三叶玫瑰线是一种具有三个叶子的特殊曲线,其极坐标方程为ρ=3a cosθ,直角坐标方程为x=3a cos3t和y=3a sin3t。
三叶玫瑰线的形状类似于三片叶子连接在一起,并且它的曲率随着半径的变化而变化。
空间曲线极坐标方程 知乎
空间曲线的极坐标方程是描述三维空间中的曲线的一种方式。
与平面极坐标方程类似,极坐标方程使用极径(radial distance)和极角(polar angle)来定义曲线上的点。
在三维空间中,通常使用极径、极角和高度(或Z坐标)来表示曲线上的点。
极坐标方程通常采用以下形式:
1. **极径(r)**:表示点到原点的距离。
2. **极角(θ)**:表示点在平面上的角度,通常以弧度为单位。
3. **高度(z)**:表示点在垂直方向上的位置。
具体的极坐标方程可以根据曲线的形状和位置而变化。
以下是一些常见的空间曲线的极坐标方程示例:
1. **圆柱坐标系中的圆锥**:
- 极径:r
- 极角:θ
- 高度:z
- 极坐标方程:r = z * tan(α),其中α是锥的半顶角。
2. **圆柱坐标系中的螺旋线**:
- 极径:r
- 极角:θ
- 高度:z
- 极坐标方程:r = a + bθ,其中a 和b 是常数。
3. **球坐标系中的球面**:
- 极径:r
- 极角:θ
- 高度:φ
- 极坐标方程:r = R,其中R 是球体的半径。
4. **球坐标系中的球面上的点**:
- 极径:r
- 极角:θ
- 高度:φ
- 极坐标方程:r = R * sin(φ),其中R 是球体的半径,φ是点与极轴的夹角。
这些是一些常见的空间曲线的极坐标方程示例。
具体的极坐标方程取决于曲线的几何形状和位置,你可以根据需要进行调整。
在数学和物理学中,极坐标方程用于描述各种曲线和三维形状的特性。
曲线的极坐标方程
上述方程统一表示椭圆,双曲线, 上述方程统一表示椭圆,双曲线,抛物线 当0<e<1时,方程表示 时 椭圆, 是左焦点 是左焦点, 椭圆,F是左焦点,L 是左准线. 是左准线. 当1<e时,方程表示双 时 曲线, 是右焦点 是右焦点, 曲线,F是右焦点,L 是右准线. 是右准线. 当e=1时,方程表示抛 时 物线, 是焦点 是焦点, 是 物线,F是焦点,L是 准线,开口向右. 准线,开口向右.
M y o x M
同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例 3 化圆的直角坐标方程 2+y2-2ax=0为 化圆的直角坐标方程x 为 极坐标方程. 极坐标方程. 解题时,应用公式,注意整体替代. 解题时,应用公式,注意整体替代.把 x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入直角坐标方程得 ρ ρ θ ρ2-2aρcosθ = 0ρ(ρ-2acosθ)=0 ρ θ ρ θ 所示的极坐标方程是ρ 或 所示的极坐标方程是ρ=0或ρ-2acosθ =0 θ 是极点, ρ =0 是极点, ρ=2acosθ θ 表示以(a, 为圆心 为圆心, 为 表示以 ,0)为圆心,a为 o (a,0) x , 半径,且过极点的圆, 半径,且过极点的圆,所以 不必写出来. ρ =0不必写出来. 不必写出来
o x
把极坐标方程ρ2sin2θ =2tgθ化为直角坐标方程 把极坐标方程ρ θ θ 解:把原方程化为ρsinθ ρcosθ = tg θ 把原方程化为ρ θ θ y x= ρcosθ ,y= ρsinθ ,— = tgθ θ θ θ x 它的直角坐标方程是 y xy= — y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 x 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线 是什么,化为直角坐标方程后知道它表示的 是什么, 是三条直线:y=0或x=1或x=-1 是三条直线: 或 或
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第4课时:常见曲线极坐标方程
教学目标
(1)了解曲线的极坐标方程的求法,
(2)了解简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆)的极坐标方程。
教学重难点:曲线的极坐标方程的求法
教学过程:
一、新课讲解
1、直线的极坐标方程
若直线l 经过点00(,)M ρθ,且极轴到此直线的角为α,则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=-
2、圆心是A (0ρ,0θ),半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+=
二、例题选讲:
例1、按下列条件写出直线的极坐标方程:
(1)经过极点,且倾斜角是π6的直线; (2)经过点 A(2, π4
),且垂直于极轴的直线;
(3)经过点 B(3, - π3),且平行于极轴的直线; (4)经过点C(4,0),且倾斜角是3π4
的直线.
例2、按下列条件写出圆的极坐标方程.
(1)以(2,0)为圆心,2为半径的圆; (2)以(4,π2
)为圆心,4为半径的圆;
(3)以(5,π)为圆心,且过极点的圆;
(4)以(2,π4
)为圆心,1为半径的圆。
例3、在圆心的极坐标为点A (4,0),半径为4的圆中,求过极点的O 的弦的中点的轨迹方
程。
例4. 已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩,直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=. ⑴.将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程;
⑵.设点P 在曲线C 上,求P 点到直线l 距离的最小值.
例5在极坐标系中,已知圆C 的圆心)6,
3(πC ,半径1=r ,Q 点在圆C 上运动. (1)求圆C 的极坐标方程;
(2)若P 在直线OQ 上运动,且3:2:=QP OQ ,求动点P 的轨迹方程.
课堂反馈:
1.两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 .
2.极坐标方程cos()4π
ρθ=-所表示的曲线是 .
3.极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是 .
4、 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 .
三、课堂小结:
第4课时:常见曲线极坐标方程作业(二 )
班级 姓名 学号
1.经过极点,且倾斜角是
6π的直线的极坐标方程是 . 2.直线)(4
3R ∈=ρπρ的直角坐标方程是 . 3.过点)(4
2,π
,且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 4.直线2cos =θρ关于直线4πθ=
对称的直线的极坐标方程为________________ 5.在极坐标系中,点)3,4(π
M 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离=d .
6.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos =于A 、B 两点,则=AB .
7.圆122=+y x 的极坐标方程是 .
8.曲线θρcos =的直角坐标方程是 .
9.设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π,则这个圆的极坐标方程
是 .
10.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+
πθρ,求点)47,2(πA 到这条直线的距离.
11.求点)(3,
4πM 到直线2)3cos(=-πθρ上的点的距离的最小值.
12.在极坐标系中,求适合下列条件的圆的极坐标方程:
(1)圆心在)4,
1(πA ,半径为1的圆; (2)圆心在)23,
(πa ,半径为a 的圆.
13、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=,求圆心的极坐标与半径。