自动化车床管理问题模型

自动化车床管理问题模型摘要本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检验和更换问题。

本文将生产该零件的效益作为衡量检查间隔和刀具更换策略好坏的标准，因此能否设计出最优的检查间隔和道具更换策略是解决这个问题的关键。

为此我们分别建立了三个模型来解决这个问题。

针对问题一：该问题属于优化问题中的数理统计问题。

通过对所给数据进行统计分析得知，在刀具发生故障时零件的完成个数符合正态分布。

因此我们建立了连续性随机模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元）525 263 2.3550 针对问题二：该问题间建立的也是随机优化模型。

和问题一不同的是工序正常时，会产生不合格产品，工序不正常时会产生合格产品。

因此工序正常时增加了因误检停机的费用，工序故障时增加了因误检而产生的次品损失费用。

通过MATLAB编程求解出最终的结果为工序检查间隔为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元）524 75 3.1831 针对问题三：该问题是在问题二的模型基础上将检查方式近一步优化。

我们在问题三中运用了连续检查法，每次连续检查两个产品，这样就会降低误判的概率，其他的条件不变，最终建立了以平均损失期望为目标函数的随机优化模型。

利用MATLAB编程求解出最后的结果为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元）521 58 3.00091.问题重述1.1问题背景自动化机床行业是国际公认的基本装备制造业，是国民经济的脊柱产业。

而其中数控技术的使用不但给传统制造业带来了革命性的变化使制造业成为工业化的象征，而且随着数控技术的不断发展和使用领域的扩大。

国内机床企业大力实施技术创新，在产品结构调整上取得了较大进展。

为适应市场需求变化，许多机床企业压缩了低档、普通产品生产，加快经济型数控机床升级换代步伐，着力发展中高档数控机床及生产线等。

在工业生产中，自动化车床刀具的检测和磨损是比较常检见的问题，如何测何时更换刀具将直接影响生产成本。

1.2问题的相关信息一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，其它故障仅占10%。

工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。

工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。

现积累有150次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数见表。

现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。

548 571 578 582 599 568 568 578 582 517 603 594 547 596 598 595 608 589 569 579 533 591 584 570 569 560 581 590 575 572 581 579 563 608 591 608 572 560 598 583 567 580 542 604 562 568 609 564 574 572 614 584 560 560 617 621 615 557 578 578 588 571 562 573 604 629 587 577 596 572 619 604 557 569 609 590 590 548 587 596 569 562 578 561 581 588 609 586 571 615 599 587 595 572 599 587 594 561 613 591 544 591 607 595 610 608 564 536 618 590 582 574 551 586 555 565 578 597 590 555 612 583 619 558 566 567 580 562 563 534 565 587 578 579 580 585 572 568 592 574 587 563 579 597 564 585 577 580 575 641 故障时产生的零件损失费用f=300元/件；进行检查的费用t=20元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）；未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1200元/次。

1.3所要解决的问题问题一：假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换+策略。

问题二：如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。

工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。

对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略问题三：在问题二的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。

2.问题假设和符号说明2.1问题假设假设一：其他故障的概率同刀具故障的概率相互独立；假设二：假定所有的检查都为等间隔检查；假设三：工序的检查和换刀时间忽略不记；假设四：每次检查都检查本周期内的全部产品。

()E s每个零件损失费用的期望()E w一个周期内损失费用期望总和()E n生产合格零件的期望值()1E w换刀前不出现故障的损失费用期望()2E w换刀前出现故障的损失费用期望1w换刀前不出现故障的损失费用2w换刀前出现故障的损失费用ip第i种情况发生的概率()1p x刀具损坏故障的概率密度函数()1E n换刀前不出现故障生产的合格产品的期望()2E n换刀前不出现故障生产的合格产品的期望in换刀前第i种情况生产的合格产品的件数n每生产n个产品检查一次sn换刀前出现故障是生产的零件数m每生产m个零件换一次刀，即换刀周期f故障时产生的零件损失费用t进行检查的费用d发现故障，进行调节使恢复正常的平均费用k未发现故障时，更新一把刀的费用()f x刀具寿命的概率密度函数22()21()2xf x eμδπδ--=()F x刀具寿命的分布函数22()21()2xxf x e dxμδπδ--=⎰h误检停机费用3.问题分析本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检验和更换问题。

题中给出了150次刀具的故障记录以及所需的一些生产工序的费用参数。

通过这些已知条件我们来建立数学模型来求解题目中的三个问题。

问题一的分析：问题一所要解决的是在工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品的条件下，设计出效益最好的检查周期和换刀周期策略的问题。

分析得刀具故障符合正态分布，因此我们建立了一个连续性随机模型。

问题一分换刀前工序正常和换刀前工序故障这两种情况。

分别求出两种情况下的一个周期内的损失费用总和和生产合格零件的期望值，在求和所出每个零件的损失费用。

然后通过MATLAB编程求解出每个零件的损失费用最小的情况下检查周期和换刀周期策略。

问题二的分析：问题二所要解决的是在无论工序正常还是故障时，都会产生合格品和不合格品的条件下，设计出效益最好的检查周期和换刀周期策略的问题。

问题一样，建立随机优化模型。

由题目可知，在工序正常时的不合格品有1%，而工序故障时的合格品有25%，所以在工序正常时会增加因误检停机的损失费用，在工序故障时也会产生误判，从而会增加次品损失费用。

问题二在分析时同样分为换刀前工序正常和换刀前工序故障这两种情况。

分别求出在问题二条件下的一个换刀周期内总的损失费用和总的生产合格零件的期望值，由此来求出目标函数每个零件的平均最小损失费用。

然后就可通过编程求解出检查周期和换刀周期的最优方案。

问题三的分析：问题三所要解决的问题是在问题二所建立的优化模型的基础上近一步在检查方式上进行改进优化。

在这里我们建立了一个新的检查方法,即组合检查法。

先以两个零件为一个组合，如果两个零件均为合格，则认为是没有故障的；如果两个零件均为不合格品，则认为是有故障的；如果两个零件中有一个是合格的一个是不合格的，在这种情况下我们再将下一个零件纳入此组合内，看第三个零件是否合格，如第三个零件合格，这认为是没有故障的，如第三个为不合格则认为是有故障的。

这样就可以算出误检的概率。

在此检查法的基础上来建立以每个零件的平均最小损失费用为目标函数的数学模型。

然后通过MATLAB 编程求解出近一步优化后的检查间隔和道具更换周期。

4.数据分析通过对150次刀具故障的记录， matlab软件处理数据可得：图一由于在自动化车床连续加工零件的过程中，工序故障发生是完全随机的。

而故障出现时该刀具完成的零件数如上表。

我们在MATLAB中，用normplot命令画出样本图，在画出的样本图中，如果样本值都分布在一条直线上，则表明样本来自正态分布，否则是非正态分布。

数据用normplot中画出（源程序见附录一）得到的样本图4-1由图一可以假设刀具分布函数使服从正态分布的，由图二可以看出点绝大多数在一条直线上，进而可以验证刀具故障分布函数服从正态分布2~(,)x Nμδ。

根据记录数据可以求出15015011222581.18,()20.5115015011x x x xi ii iμδ====-=∑∑==，则有2()22()2xf xμδπδ--=发现这150次刀具故障时完成的零件数近似服从2~(581.18,20.51)x N的正态分布。

5．问题一模型的建立和求解在问题一中我们假定工序故障时产出的零件均是不合格品，正常时产出的零件均为合格品，在此基础上来设计出效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

为此我们需要设定一个评价指标，在此我们以在一个周期内的每个零件损失费用的期望值()E s 作为评价指标。

5.1模型一的建立目标函数的确定：确立的评价指标()E s 为一个换刀周期内的损失费用期望总和()E w 和生产的合格零件的期望值()E n 之比，而每个零件损失费用的期望是越小，则效益越好，即：()()()min E w E s E n = 损失费用的期望总和()E w 为换刀前不出现故障的损失费用期望和()1E w 和换刀前出现故障的损失费用期望和()2E w 之和：()22()11E w E w w p i i i i i ==∑∑== 同理得到换刀前生产合格零件的期望值()E n 的表达式为：()22()11E n E n n p i i i i i ==∑∑== 第一种情况：换刀前不出现故障，损失费用1w 为检查费m t n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和换刀费k 之和： 1m w t k n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦其中m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为一个换刀周期内的检查次数； 由题目所给的数据分析知：故障时生产的零件数近似服从2~(581.18,20.51)x N 的正态分布。

故刀具寿命的概率密度函数可表示为：2()22()2x f x μδπδ--=则第一种情况下的事件发生的概率为：2()2221110.9x m i p μδπδ--∑==-则换刀前不出现故障的损失费用期望为：()111E w w p = 第二种情况：即换刀前出现故障，设出现故障之前已经生产了s n 个零件，则损失费2w 为检查费1n s t n ⎛⎫⎡⎤ ⎪+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭、故障维修费d 和零件损失费1n s f n n s n ⎧⎫⎛⎫⎡⎤⎪⎪ ⎪+-⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭三者之和 ，其表达式为：112n n s s w t d f n n s n n ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪ ⎪ ⎪=++++-⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎩⎭第二种情况下发生的概率2p 也就是第1s n +个零件恰好为坏的概率，即2(1)22()22211220.92n sx e n s p n s μμδδπδπδ+----+=≈⎰则换刀前出现故障的损失费用期望为：2221()1m E w w p n s-=∑= 综上，一个周期内的损失费用的期望总和为：1211221()()()1m E w E w E w w p w p n s-=+=+∑=同理可得生产合格零件的期望值为：()()()()12121m E n E n E n mp n p s n s=+=+∑= 综上所述，问题一的最优模型为：()()()min E w E s E n = 1()11221..()()121m E w w p w p n s s t m E n mp n p s n s -⎧=+∑⎪⎪=⎪⎨⎪=+∑⎪=⎪⎩5.2模型一的求解通过对问题一在工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品的条件下进行分析建模，然后通过MATLAB 进行编程（程序见附录二）换刀周期（个） 检查周期（个） 平均费用（元）525 263 2.35505.3 由题意可知，在工序正常时生产出来的零件均为合格品，而工序故障时生产的产品均为不合格品。