(完整版)椭圆知识点及经典例题汇总,推荐文档

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（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2
②椭圆
y2
1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
a2 b2
A1 (a,0) ， A2 (a,0) ， B1 (0,b) ， B2 (0,b)
③线段 A1 A2 ， B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A1 A2 2a , B1B2 2b 。 a 和 b 分
( BF1 BF2 a) ； ( OF1 OF2 c) ； A1B A2 B a 2 b2 ；
（3） A1F1 A2 F2 a c ； A1F2 A2 F1 a c ； a c PF1 a c ；
知识点四：椭圆第二定义
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ，那么这个点的轨
1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
我知去识点人七也：椭就圆 x有2 人y2 ！1 与为yU2 R扼x2 腕1 入(a 站b 内0) 的信区别不和存联系在向你偶同意调剖沙
a2 b2
a2 b2
3
标准方程
x 2 y 2 1 (a b 0) a2 b2
y 2 x 2 1 (a b 0) a2 b2
当焦点在 y 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (0, c) ， (0,c)
知识点三：椭圆的简单几何性质
x2
椭圆：
y2
1 (a b 0) 的简单几何性质
a2 b2
x2
（1）对称性：对于椭圆标准方程
y2
1 (a b 0) ：说明：把 x 换成 x 、或把 y 换成
a2 b2
y 、或把 x 、 y 同时换成 x 、
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：
(a b 0) ， (a c 0) ，且 (a 2 b2 c 2 ) 。
可借助右图理解记忆：
显然： a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条
直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
x2 y 、原方程都不变，所以椭圆 a 2
y2 b2
1是以 x 轴、 y 轴为
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
1
对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x a ，
我例去11人、椭也圆 ax就22 有by22 人1 (a！ b为 0)U与Rx扼轴正腕向交入于点站A内，若信这个不椭圆存上总在存在向点 P你，使偶同意调剖沙
7
OP AP ( O 为坐标原点)，求其离心率 e 的取值范围．
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 四、最值问题
例
12、椭圆
x2 4
y2
1 两焦点为
x2
例 2、椭圆
16
y2 9
1 左右焦点为 F1、F2，CD 为过 F1 的弦，则⊿CDF2 的周长为______
二、椭圆的标准方程
例 3、已知方程 x2 y2 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是(
)
1k 1k
A -1<k<1
B k>0
C k≥0
D k>1 或 k<-1
例 4、已知方程 x2 + y2 =1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围为
7．判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据： ① 若把曲线方程中的 x 换成 x ，方程不变，则曲线关于 y 轴对称； ② 若把曲线方程中的 y 换成 y ，方程不变，则曲线关于 x 轴对称；
我③去若人把曲也线方就程中有的 人x 、！y 同为时换U成R扼x 、腕 y 入，方站程不内变，信则曲不线关存于原在点对向称。你偶同意调剖沙
5
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2 有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾
股定理）、三角形面积公式 S PF1F2
1 2
PF1
PF2
sin F1PF2 相结合的方法进行计算解题。
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 将有关线段 PF1 、PF2 、F1F2 ，有关角F1PF2
F , F （ 其中 1
分别是椭圆的下上焦点） 2
新疆 王新敞
奎屯
其中 e 是离心率新疆 王新敞 奎屯
知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
弦长公式：若直线 l : y kx b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点， A（x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 则 弦长 AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 x1 x2
若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 a2 b2
2．当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 ； a2 b2
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图形
焦点
F1 (c,0) ， F2 (c,0)
F1 (0,c) ， F2 (0, c)
焦距
F1F2 2c
F1F2 2c
范围
对称性
性质
顶点 轴长
离心率
x a， y b 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 (a,0) ， (0,b) 长轴长= 2a ，短轴长= 2b e c (0 e 1)
CC
CC
AB
且 A B 时，方程表示椭圆。当 C C 时，椭圆的焦点在 x 轴上；当 C C 时，椭圆的焦点在
AB
AB
y 轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再
由条件确定方程中的参数 a, b, c 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
x2 y2 a 。
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2
x2
注意： 椭圆
y2
1的图像中线段的几何特征（如下图）：
a2 b2
建议收藏下载本文，以便随时学习！ （1）( PF1 PF2
2a) ； PF1 PM 1
PF2 PM 2
e；
( PM1
PM 2
2a2 ) ； c
.
m 1 2 m
例 5、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10，短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)
例 6、若⊿ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB 边上的中线长之和为 30，求 ⊿ABC 的重心 G 的轨迹方程。
别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 e 2c c 。 2a a
②因为 (a c 0) ，所以 e 的取值范围是 (0 e 1) 。 e 越接近 1，则 c 就越接近 a ，从而
b a 2 c 2 越小，因此椭圆越扁；反之， e 越接近于 0， c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a ，这 时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a b 时， c 0 ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x 2 ， y 2 的分母的
大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程 Ax 2 By 2 C( A, B, C均不为零）是表示椭圆的条件
方程 Ax 2 By 2 C 可化为 Ax 2 By 2 1，即 x 2 By 2 1，所以只有 A、B、C 同号，
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
x2
共焦点，则 c 相同。与椭圆
y2
1 (a b 0) 共焦点的椭圆方程可设为
a2 b2
x 2 y 2 1 (m b2 ) ，此类问题常用待定系数法求解。 a2 m b2 m
3.椭圆的参数方程
x
y
a b
cos sin
(为参数)
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆
的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有 (a b 0) 和 c 2 a 2 b2 ；
3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在 x 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (c,0) ， (c,0) ；
迹叫做椭圆 新疆 王新敞
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数
e
就是离心率
新疆 王新敞
奎屯
奎屯
左准线
l1
:
x
a2 c
右准线 l2
:
x
a2 c
知识点五：椭圆的焦半径公式：
（左焦半径） r1 a ex0
（右焦半径） r2 a ex0
焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：
MF1 MF2
a ey0 a ey0
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6
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例 7、 已知动圆 P 过定点 A 3，0，且在定圆 B：x 32 y2 64 的内部与其相内切，求动圆
圆心 P 的轨迹方程．
45 25 例 8、已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 和 ，过
33 P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
三、离心率
例 9、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别是
F1、F2，过点
F1 作 x 轴的垂线交椭圆于
P
点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________
例 10、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为______
( F1PF2 F1BF2 )结合起来，建立
PF1 PF2 、 PF1 PF2 之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 e c (0 e 1) ，因为 c 2 a 2 b2 ， a
a c 0 ，用 a、b 表示为 e 1 ( b )2 (0 e 1) 。 a
椭圆知识点
知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 平面内一个动点 P 到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于常 ( PF1 PF2 2a F1F2 ) ,这个动
点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ；
a
x b， y a (0,a) ， (b,0)
准线方程
x a2 c
y a2 c
焦半径
PF1 a ex0 ， PF2 a ex0
PF1 a ey0 ， PF2 a ey0
x2
注意：椭圆
y2
1，
y2
x2
1 (a b 0) 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关
a2 b2
a2 b2
4
坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三百度文库条件：两个定形条件 a, b ；一个定位条件焦点坐标，由焦
点坐标的形式确定标准方程的类型。
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c 的几何意义
椭圆标准方程中， a, b, c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
系都有 (a b 0) 和 e c (0 e 1) ， a 2 b2 c 2 ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的 a
焦点坐标也不相同。
规律方法：
1．如何确定椭圆的标准方程？
我 去 任人何也椭圆就都有有一个人对称！中心为，两U条R对扼称轴腕。当入且仅站当内椭圆信的对不称中存心在在坐标向原点你，对偶称轴同是意调剖沙
显然：当 b 越小时， e(0 e 1) 越大，椭圆形状越扁；当 b 越大， e(0 e 1) 越小，椭圆形
a
a
状越趋近于圆。
经典例题：
一、椭圆的定义
例 1、已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为( )
A圆
B 椭圆
C 线段
D 直线