高考数学复习全套课件(理) 第二章 第七节 幂函数与二次函数

()
解析：∵2x2－3x≤0，∴0≤x≤ ， 又∵f(x)＝(x＋ )2＋ ， ∴f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝f( )＝ . 答案：C
4.方程mx2＋2mx＋1＝0有一根大于1，另一根小于1，则实
数m的取值范围是
.
解析：令f(x)＝mx2＋2m＋1，
当m＞0时，f(1)＝3m＋1＜0，即m＜－ ，舍去；
即f(x)＝x2－x＋1.
答案：x2－x＋1
5.若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线
x＝1对称，则f(x)max＝
.
解析：由题知
∴
∴f(x)＝x2－2x＋6，x∈[－4,6]，∴当x＝－4或6时， f(x)max＝30. 答案：30
幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比 较复杂，一般可从三方面考查： (1)α的正负：α＞0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象
已知幂函数f(x)＝
(m∈N*)的图象关于y
轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足：
(a＋1) ＜(3－2a) 的a的范围.
[思路点拨]
[课堂笔记] ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1.
①当 ≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2. 由a2－2a＋2＝3，得a＝1± .
∵a＜0，∴a＝1－ .
②当0＜ ＜2，即0＜a＜4时，f(x)min＝f( 由－2a＋2＝3，得a＝－ ∉(0,4)，舍去.
)＝－2a＋2.
③当 ≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min ＝f(2)＝a2－10a＋18. 由a2－10a＋18＝3，得a＝5± ， ∵a≥4，∴a＝5＋ . 综上所述，a＝1－ 或a＝5＋ .
而f(x)＝x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，பைடு நூலகம்∴(a＋1) ＜(3－2a) 等价于a＋1＞3－2a＞0， 或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a. 解得a＜－1或 ＜a＜ . 故a的范围为 {a|a＜－1或 ＜a＜ }.
一元二次函数的三种不同解析式实质上是一样的，用 哪种形式的解析式，取决于不同的条件.求其解析式时一般 用待定系数法，经过三点用一般式；给出顶点坐标，用顶 点式；已知与x轴的两交点，用双根式.
论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；
3.顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数. 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数 的单调情况，从而确定函数的最值.
已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上 有最小值3，求a的值. [思路点拨]
[课堂笔记] ∵f(x)＝4(x－ )2－2a＋2，对称轴为x＝ .
【解】 (1)因为f(0)＝－a|－a|≥1， ┄┄┄┄┄(1分)
所以－a>0，即a<0.
┄┄┄┄┄┄┄(2分)
由a2≥1知a≤－1.
因此，a的取值范围为(－∞，－1].
(2)记f(x)的最小值为g(a).我们有
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|
＝
①
②
(i)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，
定点
幂函数的图象过定点 (1,1)
4.二次函数
1.下列函数中：①y＝ ②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；
④y＝ 是幂函数的个数为
()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由幂函数定义可知，y＝ ＝ 为幂函数. 答案：B
＝x－3，y＝
2.已知点M( 为 A.f(x)＝x2 C.f(x)＝
,3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式 ()
当m＜0时，3m＋1＞0，即m＞－ ，∴－ ＜m＜0.
答案：－ ＜m＜0
5.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，若α、β(α＜β)
是方程f(x)＝0的两个根，则实数a，b，α，β之间的大小
关系是
.
解析：已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，若α、β
(α＜β)是方程f(x)＝0的两个根，则实数a，b，α，β之
＝2 ·
＜ ，即f(0)f(1)－f(0)＜ .
法二： (2)∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，
由(1)知0＜a＜3－ ，
∴
－1＜
－17＜0，又
＋1＞0，于是
2a2－ ＝ (32a2－1)＝ (
－1)(
＋1)＜0，
即2a2－ ＜0，故f(0)f(1)－f(0)＜ .
1.若幂函数y＝(m2－3m＋3) xm2－m－2 的图像不经过原点，
1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
的图象，了解它们的变化情况.
，y＝
1.幂函数的定义 如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常数α ，即y＝ xα，这样的函数称为幂函数.
［思考探究1］ 幂函数与指数函数有何不同？
提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变 量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.
限的部分“上升”；α＜0时图象不过(0,0)点，经过(1,1) 点，在第一象限的部分“下降”； (2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时曲线下凹，0＜α＜1 时曲线上凸，α＜0时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式 形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.
[特别警示] 无论α取何值，幂函数的图象必经过第一象限， 且一定不经过第四象限.
解：令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a， 则由题意可得
或a＞3＋ ⇒0＜a＜3－ . 故所求实数a的取值范围是(0,3－ ).
(2)法一：f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，令h(a)＝2a2.
∵当a＞0时h(a)单调增加，
∴当0＜a＜3－ 时，
0＜h(a)＜h(3－2 )＝2(3－2 )2＝2(17－12 )
∵F(x)在(－1,1]上是增函数，
∴F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0在(－1,1]上恒成立，
即λ≤
在(－1,1]上恒成立.
令u＝
－1，由u＝
－1在(－1,1]上为减函数可知，
当x＝1时u取最小值0，
故λ≤0，即所求λ的取值范围是(－∞，0].
若将例(2)中的“增函数”改为“单调函数”，求实数λ的
二次函数是一种常考常新的“老函数”，特别是二 次函数的图象以及单调性是高考的常考内容，09年江 苏高考将二次函数的概念、性质、图象与一元二次不 等式的解法相结合，考查学生灵活运用数形结合、分 类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的能力， 符合新课标的要求，是一个新的考查方向.
[考题印证] (2009·江苏高考)(12分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋ (x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋ ∞)，直接写出(不需给出 演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.
答案：C
2.设α∈
，则使函数y＝xα的定义域为R
且为奇函数的所有α值为
()
A.1,3
B.－1,1
C.－1,3
D.－1,1,3
解析：∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴α＝－1不合题意.排除B、C、D，故选A.
答案：A
3.已知2x2－3x≤0，那么函数f(x)＝x2＋x＋1 A.有最小值 ，但无最大值 B.有最小值 ，有最大值1 C.有最小值1，有最大值 D.无最小值，也无最大值
取值范围. 解：F(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x.
当1＋λ＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x在(－1,1]上为单调
函数.
当1＋λ≠0时，函数图象的对称轴为x＝
,
则
≥1或
≤－1，
解之得λ＜－1或－1＜λ≤0，
综上所述，λ的取值范围为λ≤0.
二次函数求最值问题，首先采用配方法化为y＝ a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程 x＝m，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型： 1. 顶点固定，区间也固定； 2. 顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨
┄┄┄(3分)
由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2. ┄┄┄(4分)
(ⅱ)当a<0时，f( )＝ a2.
若x>a，则由①知f(x)≥ a2；┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)
若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2> a2. ┄(6分)
此时g(a)＝ a2.
综上得g(a)＝
┄┄┄┄┄┄┄(7分)
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)由题意知：
解得
∴f(x)＝x2＋2x.
设函数y＝f(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称 点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y. ∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图象上， ∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，∴g(x)＝－x2＋2x.
(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x.
答案：C
4.若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，
则f(x)＝
.
解析：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
∵f(0)＝1，∴c＝1，
即f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1，
则实数m的值等于
()
A.1
B.2
C.1或2
D.0
解析：由于函数y＝(m2－3m＋3) xm2－m－2 是幂函数，
所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2.
当m＝1时y＝(m2－3m＋3) xm2－m－2＝x－2，
定义域是{x|x∈R，x≠0}，图像不经过原点； 当m＝2时，y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2＝x0， 定义域是{x|x∈R，x≠0}，图像不经过原点.
B.f(x)＝x－2 D.f(x)＝
解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝( )α， ∴α＝－2，∴y＝x－2
答案：B
3.函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是( )
A.－
B.3
C.－1
D.不存在
解析：函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝ ＞1， ∴函数y＝2x2－6x＋3，在x∈[－1,1]上为单调递减函数， ∴ymin＝2－6＋3＝－1.
2.幂函数的图象
[思考探究2] 在上图第一象限中如何确定y＝x3，y＝x2，y＝x，y
＝ ，y＝x－1的图象？
提示：画出直线x＝x0，当x0＞1时， ，即当x＞1时，从上到下依次为y＝x3，y＝x2，y＝x，y ＝ ，y＝x－1的图象，在(1,1)点处相交.当x0＜1时，
,即当x＜1时，从上到下依次为y ＝x－1，y＝ ，y＝x，y＝x2，y＝x3的图象.
(3)(ⅰ)当a∈(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)时，
解集为(a，＋∞)； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)
(ⅱ)当a∈[－ ， )时， ┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)
解集为[
，＋∞)；
(ⅲ)当a∈(－ ，－ )时， ┄┄┄┄┄┄┄┄(11分)
解集为(a，
]∪[
，＋∞).(12分)
[自主体验] 设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根 x1和x2满足0＜x1＜x2＜1. (1)求实数a的取值范围； (2)试比较f(0)f(1)－f(0)与 的大小，并说明理由.
[特别警示] 二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵 活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定 系数法来求解.在具体问题中，常常会与图象的平移、对称， 函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起.
已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且 f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x) 与y＝f(x)的图象关于原点对称. (1)求f(x)与g(x)的解析式； (2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ 的取值范围.
3.幂函数的性质
函 特征 数 性质 定义域
值域 奇偶性
单调性
y＝x
R R 奇
增函 数
y＝x2
R [0，＋∞)
偶
在 (－∞， 0] 上减； 在 (0，＋ ∞) 上增
y＝x3 y＝
R [0，＋∞) R [0，＋∞) 奇 非奇非偶
增函 增函数 数
y＝x－1
{x|x≠0} {y|y≠0}
奇
在 (－∞，0) 上减； 在 (0，＋∞) 上减