角平分线、中线、高线
9.3 三角形的角平分线、中线和高 课件 (共30张PPT) 数学冀教版七年级下册
高(D) C
AD
D
BC B
B C
CA B
A.
B.
AD C.
D
A
D.
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角 形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
3、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长
为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，
知识点1 三角形的角平分线
1.复习用量角器或折纸的办法画出或折出 一个角的平分线。
角平分线的定义及画法： 从一个角的顶点引出的一条射 线把这个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
2.什么是三角形的角平分线？
定义：在三角形中，一个内角的平分线与
这个角的对边相交，这Байду номын сангаас角的顶点和交点
A
之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，
EF 交AD 于点O，请问DO 是△DEF 的角平分线吗？说明理由．
导引：要知道DO 是不是△DEF 的角平 分线，只需要知道∠EDO 与 ∠FDO 是否相等．若相等，根 据三角形的角平分线的定义即 可判定．
解：DO 是△DEF 的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC 的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC (角平分线定义)．
若和“DE∥AB ”交换． 理由如下：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.
∵AD 是∠CAB 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD.∴∠FAD＝∠FDA. ∵DO 是∠EDF 的平分线， ∴∠EDA＝∠FDA.∴∠EDA＝∠FAD.
∴DE∥AB.
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
数学高线中线角平分线的三条概念
数学高线中线角平分线的三条概念数学中，线是指无限延伸的一维物体，可以用来连接两个点。
平面几何中，线是由点组成的集合，而空间几何中，直线可以看作是不受限制的无限延伸。
高线、中线和角平分线是几何中的三个重要概念，它们在解决几何问题中起到了关键的作用。
下面将分别介绍这三个概念。
一、高线：高线是指从一个点到与其所在平面垂直的直线段的长度。
在三角形中，高线指的是从一个顶点到对边的垂直线段。
一个三角形可以有三条高线，分别从三个顶点到对边。
这些高线交于一个点，被称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个重要特征点，它有很多有趣的性质。
例如，三角形的三条垂线（垂直于三个边并通过垂心的直线）相交于一点，且这个点是三角形外接圆的圆心。
此外，垂心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离。
垂心还与三角形的其他特征点（如重心、外心和内心）之间存在特殊的关系。
除了三角形，其他多边形（如正方形、长方形和菱形）也有高线的概念。
在任意多边形中，高线指的是从一个顶点到与其所在边垂直的线段。
二、中线：中线是指连接多边形的两个非相邻顶点并通过多边形的重心（或中点）的线段。
在三角形中，中线指的是连接两个顶点和对边中点的线段。
三角形有三条中线，分别连接两个顶点和对边中点。
这些中线交于一个点，称为三角形的重心。
重心具有很多有趣的性质。
例如，三角形的重心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离的两倍。
重心还与三角形的其他特征点（如垂心、外心和内心）之间存在特殊的关系。
除了三角形，其他多边形也有中线的概念。
在任意多边形中，中线指的是连接两个非相邻顶点并通过多边形的重心的线段。
三、角平分线：在平面几何中，角平分线指的是把一个角分为两个相等的角的线段。
角平分线分为内角平分线和外角平分线两种。
内角平分线指的是从一个角的顶点出发并通过角的内部，将角分为两个相等的角的线段。
对于任意角而言，都存在一条内角平分线。
内角平分线具有许多重要的性质。
例如，一条内角平分线将角分为两个相等的角。
3 三角形的高线中线角平分线
C A D D C B (A) A (B) A (C) D B B B C D (D) A
C
三角形的中线
A 如左图，连接△ABC的顶点和它 所对的边BC的中点D，所得线段 AD叫做△ABC的边BC上的中线。
.
B D
C
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对 边中点的线段叫做三角形的中线。
A A A
G
F D C B C B F C E D
B
E
三角形的高
①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都 有高线，三角形的三条高线所在直线相交与 一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点。 直角三角形高线交于直角顶点。钝角三角形 高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
练一练
×)
F
A 12 G E
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×) ③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) ④CH是⊿ACD边AD上的高 ( √ )
H B
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A)
D
A (B)
三角形的高
⑴ 什么是三角形的高？（定义）
如右图，从△ABC的顶点向它所对的边 BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线 段AD叫做△ABC的边BC上的高.
A
从三角形一个顶点向它的对边所 在的直线做垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高线，简称 三角形的高
B
D
C
三角形的高
(2)怎样画三角形的高线？（画法）
2我的个性化教材--中线、高线、角平分线汇总
第二讲与三角形有关线段中考要求知识点睛1、三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
2、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
3、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线注：三角形的中线和角平分线都交于一点，且都在三角形的内部4、三角形的重心：三角形中三条中线的交点叫做三角形的中心.注：到顶点的距离：对边中点距离=2：15、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
6、四边形的不稳定性重、难点重点：三角形的中线、高线、角平分线；三角形的稳定性难点：三角形的中线、高线、角平分线例1、如图，在△ABC中，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，且△ABC 的面积为4，则图中阴影部分的面积是.例2、已知：在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠B=30∘，∠C=50∘ (1)求∠DAE 的度数。
(2)试写出∠DAE 与∠C −∠B有何关系?(不必证明)1、如图,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点,且ABC ΔS =82cm ，则阴影部分的面积等于______.3、如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且△ABC 的面积为8，则图形中阴影部分的面积是( )A.2B.1C.12D.144、如图，△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△例题精讲ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A. 2B. 3C. 6D. 不能确定6、如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长。
三角形的中线、高线、角平分线
三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线、中线、高线、角平分线、垂线都是常见的几何概念。
它们在不同的几何图形中具有不同的定义和性质。
下面将逐个介绍它们的定义和定理，并探讨它们的重要性和应用。
首先，中位线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，连接点A与边BC的中点D所得的线段AD即为三角形ABC的中位线。
同理，连接点B与边AC的中点E所得的线段BE以及连接点C与边AB的中点F所得的线段CF也都是三角形ABC的中位线。
中位线的定理是指中位线的三个交点构成一个等边三角形。
这意味着，无论三角形的尺寸和外形如何，它的三个中位线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
其次，中线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
与中位线相似，中线也有三个，分别是从顶点A到边BC的中点M，从顶点B到边AC的中点N，以及从顶点C到边AB的中点P所得的线段。
中线的定理是指它们的交点构成一个等边三角形。
这意味着，在任意三角形中，三个中线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
第三，高线是指在一个三角形中，从一个顶点向对边作垂直线段。
具体来说，对于三角形ABC，从顶点A向边BC作垂直线段AH，从顶点B向边AC作垂直线段BK，以及从顶点C向边AB作垂直线段CL，它们分别是三角形ABC的三条高线。
高线的定理是指三角形的三条高线交于一个点，这个点称为三角形的垂心。
垂心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的顶点和对边之间的距离满足最短距离的性质。
接下来，角平分线是指将一个角等分成两个相等的角的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线是从角BAC的顶点A出发，将角BAC 等分为两个相等的角的线段AD。
角平分线的定理是指三角形内的三个角的角平分线交于一个点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的三个边之间的距离满足最短距离的性质。
最后，垂线是指与另一条直线（边）垂直相交的线段。
三角形及其角平分线、中线和高线
三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。
2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。
角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。
边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。
3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。
典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。
例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。
求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。
例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。
例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。
解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
三角形高中线角平分线
三角形的高、中线与角平分线三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形的中线。
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段。
三角形角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段。
D C B A D C B A 21D CB A∵AD 是△ABC 的BC 的高线.∵AE 是△ABC 的BC 的中线.∵AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. ∴AD⊥___ ∴BE=EC=12____. ∴∠1=∠2=12∠_____.∴∠ADB=∠AD C=____°.1．以下说法错误的是（ ）A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．如图1，BD=12BC ，则BC 边上的中线为______，△ABD 的面积=_____的面积．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC 中，高CD 、BE 、AF 相交于点O ，则△BOC•的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．三角形D ．正方形6．如图3，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，已知AB=5cm ，AC=3cm ，求△ABD•与△ACD 的周长之差． 7．如图，∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，且BD=CD ．• 可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 8.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地， 如图所示，•由于引进四个优良品种 进行对比试验，需将这块土地分成面 积相等的四块，请你制定出两种以上 的划分方案供选择（画图说明）． 10．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ． 1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。
13.1.3三角形的角平分线、中线和高线
任意画一个三角形，你能画出它的 一个角的平分线吗？
A
B
D
C
A
三角形的角平分线
B
D C
三角形中，一个角的平分线与这个角 的对边相交，顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线
1 ∴∠ BAD = ∠ CAD = — ∠BAC 反之也成立 2
任意画出一个三角形，并画出它所有的角平分线，你 有什么发现？并与同学交流。
④三角形的三条高线的交点，叫做三角形的垂心。
本
三角形的 重要线段 概念
课 小 结
图形 表示法
三角形 的高线
从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连结一 个顶点和它对边 中的 线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段
5、如图，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC, DE交AB于E， DF∥AB ，DF交AC 于F，图中∠ADE与∠ADF有什么关系？为 什么？
A
E
B D
F C
张大爷有一块三角形的菜园， 想把它分成形状也是三角形的两块 给他的两个儿子，应该怎样分才公 平呢？
A
B
C
本节课 你学到了什 么？
任意画出一个三角形，并画出它所有的 中线，你有什么发现？并与同学交流。
O O O
●
●
●
三角形中线的性质: 一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内 部，并且相交于一点.
交点O叫做三角形的重心
如图在△ABC中，AD是BC 边上的中线
猜想:△ABD的面积和△ADC的面积有什么 关系？试说明。 A
B D
E
《三角形的角平分线、中线和高》课件解析
1.你能把这个三角
形的面积四等分吗
A
C B
回顾 回 顾 思 思考 考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
0 42 5 3 4 5 1 2
3
4
5
6
A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 7
0 1 2 3 4 5 8 9 10
利用量角器 三条角平分线 画角的平分 相交于三角形 线的一部分 内一点，且这 C 点到三边的距 离相等
中线
A
B
D A
C
角平 分线
B
D
这节课你有那些收获?
当堂测试
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A)
D
A (B)
B
C
B A (C) D
B C D (D) A
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个 顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 3.三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ） A. 三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的边上 D. 不能确定
• 4.如图,在ΔABC中,角平分线BD、CE 相交于点O, 计算: • (1)当∠A=50°时,求∠BOC; • (2)当∠BOC=130°时,求∠A. (3)如果设∠A为α,求∠BOC(用α表示)
E AB边上的高是 CE
BC边上的高是 AD
CA边上的高是 BF
;
;
2. AG是∠BAC的角平分线,G是AD的中点,AH⊥CF 则你能得到哪些正确的结论？ A
角平分线、中线、高线
当两个三角形的高线相等时，可以证明两个三角形全等或相似。
解决与三角形相关的问题
在解决与三角形相关的问题时，高线可以作为辅助线，帮助我们找到解决问题的思路和方 法。例如，在证明三角形的内角和定理时，可以通过作高线将三角形分为两个直角三角形 来证明。
角平分线、中线、高
05
线的综合应用
定义和性质
01
02
03
角平分线
从一个角的顶点出发，将 这个角平分为两个相等的 小角，所得到的射线叫做 这个角的平分线。
中线
连接三角形任意两边中点 的线段叫做三角形的中线。
高线
从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高线。
角平分线
02
定义与性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线， 把这个角分成两个完全相同的角 ，这条射线叫做这个角的角平分 线。
高线
从三角形的一个顶点向它的对边所 在的直线做垂线，顶点和垂足间的 线段叫做三角形的高线。
学习方法建议
理解定义与性质
首先要理解角平分线、中线、高 线的定义和性质，这是掌握这些
知识点的基础。
多做练习题
通过大量的练习，可以加深对知 识点的理解和记忆，提高解题的
熟练度和准确性。
结合图形理解
在学习过程中，可以结合图形来 理解相关概念和性质，这样更加
应用一
在解决三角形面积问题时， 中线可用于将三角形划分 为两个等面积的小三角形， 从而简化计算。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，中线可以作为一条重 要的辅助线，帮助构建所 需的几何关系。
应用三
在解决三角形内部点问题 时，中线可用于确定点的 位置或性质，如重心、外 心等。
(完整版)三角形的中线、高线及角平分线
●
B
C
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流. D
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O
F
B
C
E
三角形的高的 表示法
叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个
锐角△ABC,
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明
垂直的记号
和垂足的字母.
B
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
D
C
A
D
C
每个人画一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
线有什么区别？
思
考
三角形的角平分线是一 条线段 , 角的平分线是 一条射线
知识归纳
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
从三角形的一个
三角形 的高线
顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之
B
间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高
A 线.
D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的高线、中线与角平分线
三角形外角性质1
三角形的外角和为360°。
三角形外角性质2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角之和。
三角形外角性质3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
02 高线性质与应用
高线定义及性质
性质
三角形的高垂直于对应的底边。
定义：从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的 高线，简称为三角形的高。
重心坐标
在平面直角坐标系中，若三角形三 个顶点的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2)、(x3,y3)，则重心的坐标为 ((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。
中线在解题中应用举例
利用中线性质求三角形面积：已知三 角形两边a、b及夹角C，则三角形面积 为S=1/2absinC。若C为直角，则 S=1/2ab。此时，若知道一条中线m， 则S=1/2m^2sin2A（A为与中线m所 对的角）。
三角形内角和定理
01
02
03
04
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于 180°。
推论1
直角三角形的两个锐角互余。
推论2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角之和。
推论3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
三角形外角性质
三角形外角定义
三角形的一边与另一边的延长 线组成的角，叫做三角形的外
综合应用
在解决三角形问题时，可以综合应用高线、中线和角平分线的性质。例如，利 用高线求三角形的面积，利用中线证明线段相等或平行，利用角平分线证明角 度相等或求解角度问题等。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理简介
三角形的高线、中线、角平分线
C
顶点和垂足间的线段叫做
三角形的高线，简称三角 形的高
三角形的高
(2)怎样画三角形的高线？（画法
）A
A
A
G
F
D
F
B
E
CB
CB
CD E
三角形的高
①锐角三角形、直角三角形、钝角三角 形都有高线，三角形的三条高线所在直 线相交于一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部 一点。直角三角形高线交于直角顶点。 钝角三角形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
①AD是⊿ABE的角平分线 ( × ) ②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( × )
A
③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( × ) 1 2 E
④CH是⊿ACD边AD上的高
(√
)F G H
B
DC
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C AD
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、 高这三种线段。
2、会画任意三角形的角平分线、中 线和高。
3、了解三角形的角平分线、中线、 高会相交于一点。
相关知识回顾
1.垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有
：
一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直
线的垂线。
2.线段中点的定义 把一条线段分成两条相等的
练一练
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的
高( D )
C
AD C
B (A)
B D
A (B)
CB
AD (C)
B
C
D
三角形的高中线和角平分线的性质
三角形的高中线和角平分线的性质三角形是几何学中最基本且重要的图形之一，它有许多性质和定理。
在这篇文章中，我们将讨论三角形中高中线和角平分线的性质和特点。
1. 高中线的性质在任意三角形中，高是从一个顶点到对边的垂直线段。
三角形的任意两条高线都相交于同一点，该点被称为垂心。
这是三角形的一个重要性质。
2. 高中线的长度关系对于任意三角形ABC，设AD、BE和CF分别是三角形ABC的三条高线（D、E和F分别是三角形ABC对边上的高线足点）。
根据高的性质，D、E和F是共线的，且它们交于垂心H。
我们可以证明以下结论：（1）在任意三角形中，垂心到顶点的距离等于顶点到对边的距离，即DH=EH=FH。
（2）垂心将三角形的三条高线等分，即AH=DH=EH=FH。
3. 角平分线的性质角平分线是从一个角的顶点到对边上的点，将该角分成两个相等的角。
在三角形中，任意两条角平分线相交于同一点，该点被称为内心。
这也是三角形的一个重要性质。
4. 角平分线和边的关系对于任意三角形ABC，设AD、BE和CF分别是三角形ABC的三条角平分线（D、E和F分别是三角形ABC的顶点所在边上的点）。
根据角平分线的性质，D、E和F是共线的，且它们交于内心I。
我们可以证明以下结论：（1）三角形的内心到三条边的距离相等，即ID=IE=IF。
（2）内心到三边的距离和等于内心到三边所对应的角的角平分线长度之和，即ID+IE+IF=AD+BE+CF。
5. 高中线和角平分线的关系在某些三角形中，高线和角平分线有一些特殊的关系。
我们来看以下两个例子：（1）等腰三角形：对于等腰三角形ABC（AB=AC），由于两条边相等，所以角平分线也是高线，且垂心和内心重合。
（2）直角三角形：对于直角三角形ABC（∠ABC=90°），角平分线等于斜边的一半，且角平分线与斜边垂直。
综上所述，我们介绍了三角形中高中线和角平分线的性质和特点。
高中线通过三角形的一个顶点，垂直于对边，其长度有一定的关系；角平分线从一个角的顶点出发，分割该角成两个相等的角，且和其他角平分线相交于内心。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
D
C
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高是
B
在三角形的内部还是外部?
A
F E
O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
A
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线，顶点 和垂足 之间的线段叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。 B
如图, 线段AD是BC边上的高.
A
0
1
01 23 4 5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
01 23 4 5
D
C
任意画一个锐角△ABC,
A
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明
垂直的记号 和垂足的字母.
在纸上画出一个直角三角形。
(1) 画出直角三角形的三条高.
A
(2)它们有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流. D
直角三角形的三条高
●
交于直角顶点.
B
C
直角边BC边上的高是____A_B_____;
直角边AB边上的高是 CB
;
斜边AC边上的高是___B__D_________.
议一议 钝角三角形的三条高
12 GE
A. 1个
B. 2个
B. C. 3个
D. 0个
B
H
D
C
通过这节课的学习你有哪些收获？
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
•高在三角形内部的数量 •高之间是否相交
•高所在的直线是否相交
•锐角三角形
人教版数学七年级下册
7.1.2三角形的高、 中线与角平分线
你还记得 “过一点画已知 直线的垂线” 吗?
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 03 14 205 31 42 53 4 5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
(2)它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流. D
钝角三角形的三条高
不相交于一点.
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点.
F
BCE来自O小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
课堂练习
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C AD
D
BC B
B C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶
点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.都对
例一: 如下图中,已知AD、AE分别是△ABC
3 相交 相交
•直角三角形
1 相交 相交
•钝角三角形
1 不相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
• 三角形的中线
• 三角形的角平分线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段 叫做这个三角形这边的中线
A
F
E
在三角形中，一个 内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段,
的 中 线 、 高 . 有 AB=5cm,AC=3cm, 则
△ABD与△ACD的周长之差为_____,
△ABD 与 △ ACD 的 面 积 关 系 为
_______.
A
分析(1)△ABD的周长=AB+AD+BD △ACD的周长=AC+AD+DC
△ABD的周长与△ACD的周长之差 = (AB+AD+BD)－(AC+AD+DC) 而BD=CD.所以上式=AB－AC=5－3=2B
三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= 12BC
A
●
F
E O
B
●
C
D
三角形的三条中线相交于一点,
交点在三角形的内部.
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出 这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
A
如右图
∵D是BC的中点
∴BD=DC 而△ABD的面积=
1 2
BD×AE
△ADC的面积=
•高在三角形内部的数量 •高之间是否相交
•高所在的直线是否相交
•锐角三角形
3 相交 相交
•直角三角形
1 相交 相交
•钝角三角形
1 不相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
DEC
1
(2) S△ABD=2 BD×AE
1
而BD=DC
△S △ AC2 D= DC×AE
例二 如下图，在△ABC中，∠1=∠2,G为
AD的中点，延长BG交AC于E,F为
AB上一点，CF⊥AD于H,下面判断
正确的有（ A ）
A
①AD是△ABE的角平分线； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③CH为△ACD边AD上的高。 F
角平分线的理解
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1 _∠_A_B__C
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_ B
D
C
三角形的角平分线与角的
思
平分线有什么区别？
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角 的平分线是一条射线.
叫做三角形的角平分线。
A
B D
C
B
C D
三角形的三条中线相交于一点, 交点在三角形的内部.
三角形的三条角平分线 相交于一点,交点在三角 形的内部
拓展练习
1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿 直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线
段AC具有D性质( )
A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一
1 2
DC×AE
B
ED
C
故△ABD的面积= △ADC的面积
也就是说：三角形的任意一条中线把这个 三角形分成了两个面积相等的三角形。
利用三角形的中线求面积
• 有一块三角形的土地，BC边与一水渠相邻，
现将它分成面积相等的四部分，种植不同
的作物，且还要利于每块的灌溉请你设计
方案。
A
C B
三角形的角平分线
4. 如图，在△ABC中，若AD 是BC边上的中线，则有 BD = =
若过A点作BC边上的高AE， 利用三角形的面积公式可求得 S△ABD= = S△ABC，
请将这个三角形的面积四等分。 同桌的同学看看分法是否一样
A
B
DE C
21
A
B C B' 19
拓展练习
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,
则下列说法不正确的C是( )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BD=EC
D.∠C的对边是DE
A
D
B
E
C
20
【四】拓展与延伸（选学、选 做）
3.在△ABC中AB=AC，AC上 的中线BD把三角形的周长分为 24cm和30cm的两个部分，求三角 形的三边长。
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线
A ●
∴∠ BAD = ∠ CAD = ２１∠BAC
︶1 2
B
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于
一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?