中考数学复习考点知识专题讲义第25讲 与圆有关的计算

A．23π－
3 2
C．π－
3 2
B．23π－ 3 D．π－ 3
弧长的计算 例1 (2019·益阳模拟)一块等边三角形木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如 图)，那么点B从开始至结束所走过的路径长度为( B )
Aห้องสมุดไป่ตู้32π
B．43π
C．4π
D．2＋32π
【思路分析】图形在两次翻滚中，点B分别以点C，A为圆心，CB，AB长为半径旋 转了120°.
A．5 4 3－π2 C．2 3－π
B．5 4 3＋π2 D．4 3－π2
4．(2018·山西10题)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆 心，AC长为半径画弧，交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分 的面积为( A )
A．4π－4 C．8π－4
B．4π－8 D．8π－8
3．弓形的面积：
(1)由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
(2)弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得．如果弓形的弧是劣 弧，则弓形面积等于扇形面积 减减去 去 三角形面积；如果弓形的弧是优弧，则弓形面 积等于扇形面积 加加上上 三角形面积．
考点三 阴影部分面积的计算(高频考点) 1．直接用公式求解． 2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解． 3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解． 4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解． 5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
(3分)
︵ (2)在(1)中所作的图中，若BC＝3，∠A＝30°，求DE的长．
解：∵⊙C切AB于点D，
∴CD⊥AB．∴∠ADC＝90°.
∴∠DCE＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
(4分)
∴∠BCD＝90°－∠ACD＝30°.
在Rt△BCD中，cos∠BCD＝CBDC，
∴CD＝3cos 30°＝323.(8分)
︵ 与AD相交于点F.已知AB＝12，∠C＝60°，则FE的长为( C )
A．π3
B．π2
C．π
D．2π
2．(2015·山西21题)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
(1)尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不 写作法，请标明字母；
解：如解图，⊙C即为所求．
第25讲 与圆有关的计算
人教：九上第二十四章P92～P114； 北师：九下第三章P97～P102； 华师：九下第二十七章P58～P76.
1．会计算圆的弧长、扇形的面积． 2．了解正多边形的相关概念及正多边形与圆的关系． 3．会利用基本作图作圆的内接正方形和正六边形.
与圆有关的计算主要涉及弧长和扇形面积的计算，属于中考必考内 容，近年在填空、选择、解答题中均有出现，通常会与切线的性质、尺规作图以及正 多边形等知识综合考查，有一定难度．
阴影部分面积的计算 例2 如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC，AC于点F，E.若AB＝ 4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为( D )
A．2 3－23π C．43π－3 3
B．2 3 D．23π
【思路分析】如解图，取AB的中点O，连接AF，OF.证△CEF≌△BOF，从而把 阴影部分的面积转化为扇形OBF的面积．
A．32 C．10π＋2
B．2π D．8π＋1
4．(2019·太原二模)如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，OA＝2，以点C为圆
︵ 心，AC长为半径画弧，恰好经过点E，得 AE ，连接CE，OE，则图中阴影部分的面积
为( A )
A．103π－4 3
B．2π－2 3
C．83π－3 3
D．43π－2 3
5．(2019·阳泉一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，将△BCD绕点C顺时 针旋转得到△ECF，点E落在边AD上，则阴影部分的面积是 34π＋923－9 －9 ．
6．(2019·百校联考三)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且 ∠ABC＝60°，点D为AO上一点．将△DBC沿直线DC对折得到△DB′C，点B的对应点 为B′，且B′C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E.
法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部
分：“如图，已知AB是⊙O的直径，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交
︵ 于C，D两点，……”．若AB的长为2，则图中CAD的长为( C )
A．13π
B．23π
C．43π
D．83π
3．(2019·百校联考二)如图，正方形ABCD的边长为8，分别以正方形的三边为直径 在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是( A )
考点四 圆与正多边形 1． 各各边边 相等， 各各角角 也相等的多边形叫做正多边形．任何正多边形都有一 个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆．
2．把圆分成 n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形， 这个圆叫做正 n 边形的 外外接接圆圆 ；正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的 中中心心 ， 外接圆的半径叫做正多边形的 半半径径 ，正多边形的中心到其一边的距离叫做正多边形 的 边边心心距距 ；正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的 中中心心角 角 (如图
所示)．
3．正多边形都是轴对称图形．一个正n边形共有 nn 条对称轴，每条对称轴都通 过正n边形的 中中心心 ；边数为 偶偶数数 的正多边形还是中心对称图形，它的对称中心 是正多边形的 中中心心 .
命题点一 弧长的计算(8年2考)
1．(2016·山西9题)如图，在▱ ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，
面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近( C )
A．45
B．34
C．23
D．12
︵ 1．(2019·安徽模拟)如图，点A，B，C在半径为6的⊙O上， AB 的长为2π，则 ∠ACB的大小是( B )
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
2．(2019·太原一模)德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图
5．(2017·山西10题)如图是某商品的标志图案．AC与BD是⊙O的两条直径，首尾
顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中
阴影部分的面积为( B )
A．5π cm2 C．15π cm2
B．10π cm2 D．20π cm2
6．(2013·山西12题)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的 半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( B )
【跟踪训练】 1．如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以点B为圆心、BA为半径的弧AC，长度 不变，AB，BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为( D )
A．6π0°
B．9π0°
C．1π20°
D．1π80°
2．(2019·泰州)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段 弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为6 cm，则该莱洛三角形的周长为 66ππ cm.
(1)求证：B′D⊥AB；
证明： 连接OC，如解图． ∵B′C与半圆相切于点C， ∴∠B′CO＝90°. ∵OC＝OB，∠ABC＝60°， ∴△OBC是等边三角形．
∴∠OCB＝60°，∠B′CB＝∠B′CO＋∠BCO＝90°＋60°＝150°. ∵△DBC沿直线DC对折得到△DB′C， ∴∠DCB＝12∠B′CB＝12×150°＝75°. 在△DBC中，∠CDB＝180°－∠DBC－∠DCB＝180°－60°－75°＝45°，
∴D︵E的长为：60π1×803 2
3 ＝
3 2 π.
(10分)
命题点二 与扇形有关的阴影部分面积的计算(必考) 3．(2019·山西10题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2 3 ，BC＝2，以AB的 中点O为圆心，OA长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( A )
解图
学霸笔记 对于与扇形有关的阴影部分面积的计算，解答关键是利用转化思想将不规则图形 转化为规则图形．
【跟踪训练】 3．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边 形，则图中阴影部分的面积为( A )
A．6π
B．3 3π
C．2 3π
D．2π
4．(2019·云南模拟)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，将Rt△ACB绕
∴∠B′DB＝2∠CDB＝2×45°＝90°，即B′D⊥AB．
(2)当AB＝2时，求图中阴影部分的面积． 解：∵AB＝2，△OBC是等边三角形， ∴OC＝OB＝BC＝B′C＝1. ∵∠B′CO＝90°，∴∠B′OC＝45°. ∴S阴影＝S△B′OC－S扇形EOC＝12B′C×CO－45×3π6×0 OC2 ＝12×1×1－45×36π0×12＝12－π8.
考点一 弧长的计算
1．半径为R的圆的周长：C＝ 2π2πRR .
nπR
2．若一条弧所对的圆心角为n°，半径为R，则弧长l＝ 180 .
考点二 扇形的面积 1．半径为R的圆的面积：S＝ πRπR2 2 . 2．扇形的面积： (1)一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形． (2)在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积：S扇形＝n3π6R02＝12lR(其中l＝n1π8R0 ).
︵ 点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为 BE .将线段AB绕点A顺时针旋
转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为BF.则图中阴影部分的面积
是( A )
A． 23＋1π2
B． 23－1π2
C． 43＋1π2
D． 43－1π2
圆和正多边形 例3 (2019·雅安)如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该 圆的内接正三角形ACE的面积为( D )
A．2
B．4
C．6 3
D．4 3
【思路分析】如解图所示，连接OC，OB，过点O作ON⊥CE于点N.先证△COB是等边 三角形，求出OC的长，在Rt△OCN中求出CN的长，进一步可求出△ACE的面积．
解图
【跟踪训练】
5．(2019·自贡)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个
弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆)，正方形桌