2019年中国科学技术大学自主招生试题

2019年中国科学技术大学自主招生试题

1.已知，则满足的点所构成的区域面积是,x y ∈R 2345x y x y +++≤(,)x y ________

2.方程在上所有根的和为________

sin 2cos30x x +=(0,2]x π∈ 3.平面上的点，则面积的最小值为1(0,1),(1,0),()(4)4A B C x x ≤≤ABC ∆________

4.设,，则的最大值为________3cos(),4cos(36

x t y t ππ

=+-=++t ∈R 22x y +5.数列满足：，则________{}n x 111,22(1)1n n n x x x n x +==++20191i i x ==∑6.已知，为原点，把绕原点按顺时针旋转至，记是点1(1,0)P O i OP θi OQ 1i P +i Q 关于轴的对称点，则点的坐标是________

y 2019P 7.已知复数满足是纯虚数，则的最小值为________z 11

z z -+23z z ++8.设，满足，则________

1234,,,x x x x ∈N {|1}{18,36,54}i j k x x x i j k ≤≤≤=41

i i x ==∑9.把沿三条中线折叠成四面体，其中，，123D D D ∆ABCD 1212D D =1310D D =，求四面体的体积.

238D D =ABCD 10.设是正整数，，求证：有且仅有唯一的解.

n 0()!k

n

x k x f x e k ==-∑()0f x =0x =11.设是正整数，证明：存在多项式，使得.n ()P x cos (cos )n P θθ=