第8章 相关分析
第8章 相关分析-2. 离散相关
第8章 相关分析2. 离散相关与离散序列的卷积运算一样，离散序列的相关运算也可以分为线性相关和循环相关两种类型。
2.1 基本定义线性相互关的计算对应公式(8-1)的离散化形式，计算离散序列][n x 和][n y 的线性互相关，可得：∑+∞-∞=+⋅=i xy n i y i x n r ][][][ (8-6)对有限长度的离散序列][n x ，1,1,0-=L n 、][n y ，1,1,0-=P n ，且二者的长度分别为L 和P 。
那么，有如下公式成立：∑--=+⋅=nP i xy n i y i x n r 10][][][ (8-7)当P n i ≥+时，0][=+n i y ，所以公式(8-7)中的求和上限为n P --1。
因为序列][n r xy 下标n 的取值范围为：11-≤≤-P n M ，所以与线性卷积的长度一样，序列][n x 和][n y 的线性互相关序列的最大长度也是1-+P L 。
与离散Fourier 变换的相关特性对应的是循环相关(或称圆周相关)，循环互相关的定义已在第二章中出现过，笔者在下面重新书写一遍。
∑-=+⋅=10])[(][][N i N xy n i y i x n r (8-8)其中，N n i )(+表示)(n i +除以N 的余数，][n r xy 下标n 的取值范围为：2/2/N n N <≤-。
可以利用循环相关来计算两个序列的线性相关，只是要对原有序列进行补零处理。
把长度为L 的序列][n x 和长度为P 的序列][n y 补零后拓展序列长度为N 的新序列][n x 和][n y ，只要满足1-+≥P L N ，两个新序列的循环相关就等同于原有两个序列的线性相关。
与连续函数的互相关函数一样，互相关序列][n r xy 既不是偶序列，也不是奇序列，但满足等式：][][n N r n r yx xy -=。
2.2 快速算法计算两个长度相等的序列的循环相关时，如果直接采用公式(8-8)的定义，计算量是非常大的，尤其在N 较大的情况下。
第八章 相关分析与回归分析
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③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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第8章 回归分析
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④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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第8章 回归分析
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21
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
40
（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
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二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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第8章 回归分析
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（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
第八章 方差分析与相关分析
第八章方差分析与相关分析一．方差分析1．基本概念方差分析的概念：比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。
方差分析，又称为ANOVA（Analysis Of Variance）分析。
方差分析可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。
方差分析只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。
考察下列例子：某厂使用四种不同颜色对产品进行包装，经过在五个城市的试销，获得销售数据如下（单观察数据的列平均值，列平均值的差异反映出不同颜色包装的销售业绩差异。
此时，需要判断这种差异与同一颜色包装在不同城市间的差异相比，是否显著。
如果不显著，则这种2．方差分析原理计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。
●●建立原假设“H0：各组平均数相等”●●构造统计量“F＝组间方差／组内方差”●●在计算组间方差时，使用自由度为（r-1），计算组内方差时，使用自由度为（n-r）。
●●F满足第一自由度为（r-1），第二自由度为（n-r）的F分布。
●●查表，若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。
根据方差计算的原理，生成方差分析表如下：其中：组间离差平方和 SSA (Sum of Squares for factor A) ＝39.084误差项离差平方和 SSE (Sum of Squares for Error) ＝76.8455总离差平方和 SST (Sum of Squares for Total)＝115.9295P-value值为0.000466，小于0.05，所以拒绝原假设。
3．双因素方差分析观察下列销售数据，欲了解包装方式和销售地区是否对于销售业绩有影响，涉及到双因素的方差分析。
此时需分别计算SSA、SSB与SSE之间的比值是否超过临界值。
第8章 相关与回归分析
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估计标准误差
估计标准误差（standard error of estimate）是 对各观测数据在回归直线周围分散程度的一个度 量值，它是对误差项ε的标准差σ的估计。 估计标准误差Sy可以看作是在排除了X对Y的线性 影响后，Y随机波动大小的一个估计量。
33
从估计标准误差的实际意义看，它反映了用估计 的回归方程预测因变量Y时预测误差的大小。若 各观测数据越靠近回归直线，Sy越小，回归直线 对各观测数据的代表性就越好，根据估计的回归 方程进行预测也就越准确。
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值 与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。 当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变 量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定 的范围内变化，这种关系称为不确定性的相关关 系。
7
变量间的关系: 函数关系
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x
是一一对应的确定关系 记为 y = f (x)， x 称为自变 量，y 称为因变量 – 某种商品的销售额(y)与 销售量(x)之间的关系可 表示为 y = p x (p 为单 价) – 圆的面积(S)与半径之间 的关系: S = R2
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复相关系数和偏相关系数
复相关系数反映一个变量Y与其他多个变量X1， X2，…Xk之间的线性相关程度 偏相关系数 反映在X2，…Xk不变的情况下，变量 Y与X1之间的线性相关程度
20
第三节 简单线性回归分析
回归分析的内容
回归分析的特点
相关分析与回归分析的区别与联系
21
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度， 但是相关分析不能指出变量间相互关系的具体形 式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量 的变化情况。 回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式， 它对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测 定，确定一个回归方程，根据这个回归方程可以 从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供 了一个重要的方法。
[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT
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（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
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（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
第8章 直线回归与相关
散点图可直观地,定性地表示了两个变量之间 散点图可直观地, 的关系.为了探讨它们之间的规律性, 的关系.为了探讨它们之间的规律性,还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来. 根据观测值将其内在关系定量地表达出来.
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若呈因果关系的两个相关变量y 依变量) 若呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与 x(自变量)间的关系是直线关系,,那么,根 自变量)间的关系是直线关系,,那么, ,,那么 据n对观测值所描出的散点图,如图6-1(b)和 对观测值所描出的散点图,如图6 所示. 图6-1(e)所示. 由于依变量y 由于依变量y的实际观测值总是带有随机误 差,因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的 因而依变量y的实际观测值y 可用自变量x 实际观测值x 表示为: 实际观测值xi表示为:
统计学上采用相关分析 统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 的关系. 的关系. 对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为简单相关分析 也叫直线相关分析 简单相关分析( 直线相关分析); 称为简单相关分析(也叫直线相关分析); 对多个变量进行相关分析时,研究一个 对多个变量进行相关分析时, 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析; 分析;研究其余变量保持不变的情况下两 个变量间的线性相关称为偏相关分析 偏相关分析. 个变量间的线性相关称为偏相关分析.
二, 直线回归
1 直线回归方程的建立 2.1.1数学模型 2.1.1数学模型
对于两个相关变量,一个变量用x表示,另 对于两个相关变量,一个变量用x表示, 一个变量用y表示, 一个变量用y表示,如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值:( 个变量的n对观测值:(x1,y1),(x2, :(x ),(x y2),……,(xn,yn) ),……,( ,(x 为了直观地看出x 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将 间的变化趋势, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点,作出散 见图6 点图 (见图6-1).
第8章 相关与回归分析
4、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。 、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。
而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。 而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。
8-9
统计学
STATISTICS
8.2 简单线性相关与回归分析
8 - 10
STATISTICS
8-5
统计学
STATISTICS
（三）从变量相关关系变化的方向看 从变量相关关系变化的方向看 变化的方向 正相关： A 正相关：变量同方向变化 ， 即同增同减 (A) 同增同减 负相关：变量反方向变化， 负相关：变量反方向变化， 即一增一减 (B) B 一增一减 从变量相关的程度 相关的程度看 （四）从变量相关的程度看
完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
8-6
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
C
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
统计学
STATISTICS
三、回归分析
回归一词的由来： 回归一词的由来：
8 - 13
见第218页例题 页例题 见第 页例
统计学
STATISTICS
相关系数的特点： 相关系数的特点：
1、r 的取值范围是 − 1 ≤ r ≤ 1 。 、 2、r<0时，β<0 为负相关；r>0时， β>0 为正相关。 为负相关； 为正相关。 、 时 时 3、|r|=1，为完全相关。r =1，为完全正相关；r = -1， 、 ，为完全相关。 ，为完全正相关； ， 为完全负正相关。 为完全负正相关。 4、r = 0，不存在线性相关。 、 线性相关。 ，不存在线性相关 5、|r|越趋于 表示两变量线性关系越密切；|r|越趋于 、 越趋于 表示两变量线性关系越密切； 越趋于 越趋于1表示两变量线性关系越密切 越趋于0 表示两变量线性关系越不密切。 表示两变量线性关系越不密切。 线性关系越不密切 6、r是一个随机变量。 、 是一个随机变量 是一个随机变量。
第8章 相关分析
8.3.2 偏相关分析的步骤
利用偏相关系数进行变量间关系分析，通常需要完成以下两大步骤： 1. 计算样本的偏相关系数 使用样本数据计算样本的偏相关系数，它反映了两变量间净相关的程度强弱。 在分析变量 x1和y 之间的净相关时，当控制了x2 和 y之间的一阶偏相关系数定义为：
精通SPSS统计分析
2. 对样本来自的两总体是否存在显著的净相关进行推断
精通SPSS统计分析
8.2 二元定距变量的相关分析
二元定距变量的相关分析概念
散点图 二元定距变量的相关分析应用实例
精通SPSS统计分析
8.2.1 二元定距变量的相关分析概念
定距变量又称为间隔变量，它的取值之间可以比较大小，可以用加减法计 算出差异的大小，如，收入、成绩、身高等变量都是典型的定距变量。
1. 对连续变量的样本进行距离相关分 析 对连续变量的样本进行距离相关分析时，常用的统计量有以下几种： （1）欧氏距离 （2）欧氏距离平方 （3）Chebychev距离 （4）Block距离 （5）Minkowski距离 （6）Customized距离
精通SPSS统计分析
2. 对顺序或名义变量的样本进行Байду номын сангаас离相关分析
8.4.1 距离分析的概念
距离分析可用于同一变量内部各个取值间，以考察其相互接近程度；也可以用于 变量间，以考察预测值对实际值的拟合优度。 距离分析的结果可以用于其他分析过程，如因子分析、聚类分析等，有助于分析 复杂的数据集合。
8.4.2 距离分析的计算公式
在不相似性测量的距离分析中，根据不同类型的变量，采用不同的统计量进行计 算。
对顺序或名义变量的样本（x，y ）进行距离相关分析时，常用的统计量有如下 几种： （1） Chi-square measure （2）Phi-square measure
相关 分析与回归分析
第二节 相关关系的判断
2.相关表 相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表
格。如某地区工业劳动者人数和增加值的历史资料对应排列 如表8-1所示。 相关表中的两行数据叫相关数列，它有别于变量数列。相关 表中的数值是变量的观测值，是实际资料，是样本数据，它 是判别相关关系的基础。在相关表中，如果观测值的分布呈 现一定的规律性，则表明现象间存在相关关系。如随着一个 变量数值的增加或减少，另一个变量的值也大致以某一固定 的速率和数量增加或减少，这就可以初步判别现象间存在相 关关系。如果两个变量的观测值不表现出任何规律性，则可 以判定现象间不存在相关关系。
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第一节 相关分析的一般问题
2.判定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间
确实存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对社 会经济现象进行预测、推算和决策。因此，判定现象间存在相 关关系后，需要进一步确定相关关系的表现形态和密切程度。 统计上，一般是通过编制相关表、绘制相关图和计算相关系数 来做出判断的。根据相关图表可对相关关系的表现形态和密切 程度做出一般性的判断，依据相关系数则能做出数量上的具体 分析。在我们判断中学生的学习成绩和身高之间有无相关性时， 如果我们发现有部分相关联的点，我们还要进行相关程度的判 断，看两种现象之间的相关程度的高低，以此来判定其是否具 有研究相关性的必要。
除上例外，在其他方面也都可以编制类似的双变量分组相关 表。如工业企业按产量和成本水平同时分组；对同行业的商 业企业，按企业规模和流通费水平同时分组等。这种双变量 分组相关表，可作为探寻最佳方案、提高经济效益的一种工 具。但是，根据双变量分组表的资料来计算相关分析指标比 较复杂，所以，在相关分析中较少使用。
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
第8章 相关与回归分析
8.1.1 相关关系
（3）相关分析：对于现象间是否存在相关关系、相
关关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称为
相关分析。 2.相关关系的种类
完全相关时 是函数关系
（1）按相关关系的形式不同分：线性相关与非线性 相关
（2）按相关关系的方向不同分：正相关与负相关
（3）按相关关系涉及变量（因素）的多少分：单相 关与复相关
下图中，钢产量与吨钢利润之间存在明显的正相 关，相关形式基本呈直线形式。
相关表和相关图，只适合用来考察两个现象之间 的相关关系，不能用于考察多个变量间的相关关系。
作业1：要求手写截图，包含题目、名字、学号
1. 相关分析是研究现象(事物）间是否存在______ ， 相关 关系的______以及相关___ ___的分析。 2.变量间的关系一般分为几种？分别描述这几种关系。 3.相关关系的分类： 按相关关系的形式分为： ______与_____ ； 按相关关系的方向分为： ______与_____ ； 按相关关系的密切程度分： _____ 、 _____与_____。 4.可通过______与______方法来描述与直观判断相关关系
• 概念
因素（因子），指所要检验的对象。
水平：因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为水平。不同 水平可看作不同组（类）。 单因素方差分析：在实验中变化的因素只有一个。 多因素方差分析：在实验中变化的因素有两个或以上。
双因素方差分析，两个变化的因素即两个分类自变量A、B对某个
数值型因变量的影响。
• 单因素方差分 无交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。
8.1.2直线相关系数
1.直线相关系数的计算
直线相关系数通常采用积差法公式计算，由英国统计学
第8章 相关关系分析
∴b =
L xy L xx
11 .935 = ≈ 0 .2755 , 43 .315
10 .2 54 .2 a = y − bx = − 0 .2755 × ≈ − 0 .5918 8 8 ∴ 可得回归方程： y = − 0 .5918 + 0 .2755 x
18
∧
参数a=-0.5922的经济含义： 的经济含义： 参数 的经济含义 表明当国民生产总值为0时 表明当国民生产总值为 时，财政收入为负的 0.5922亿元（借钱财政） 亿元（ 亿元 借钱财政） 回归系数b=0.2756的经济含义： 的经济含义： 回归系数 的经济含义 国民生产总值每增加1亿元， 国民生产总值每增加 亿元，财政收入将增加 亿元 0.2756亿元 亿元
∧
∧
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ ( x − x)
2
16
例：某地区近8年的国民生产总值与财政收入的资料 某地区近 年的国民生产总值与财政收入的资料 如下（单位：亿元）（ 如下（单位：亿元）（抽样获得）：
国民生产 总值 财政收入 3.6 0.4 3.5 0.5 5.0 0.7 6.4 1.1 8.3 1.6 8.9 1.8 9.0 9.5 1.9 2.2
α=0.05。试:(1)建立回归方程；(2)求国民生产总值达 建立回归方程； 求国民生产总值达 。 建立回归方程 10亿元时财政收入的预测区间。 亿元时财政收入的预测区间。 亿元时财政收入的预测区间 解：1）通过散点图可知两者呈直线相关 ）
2）通过计算可得： x = 54 .2， x 2 = 410 .52， xy = 81 .04， ∑ ∑ ∑
( y − y ) = 0 , ∑ ( y − y ) 2 = min ∑ a = y − b x n ∑ xy − ∑ x ∑ y = ⇒ b = 2 2 n ∑ x − (∑ x ) = ∑ xy − n x y = L xy L xx x 2 − n( x) 2 ∑
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第8章 相关分析
相关分析(Correlations)是研究两个变量间。
或一个变量与多个变量间，或多个变量两两
变量间，或两组变量间，或多个变量组与组之间密切程度的一种常用统计学方法。
变量间的密切程度常用相关系数(Correlation Coefficients)或统计量描述。
SAS ／Win(v8)系统非编程有如下5种相关量度(Correlation Measure)。
(1)Pearson product-moment correlation ，皮尔逊积矩相关分析。
(2)Spearman coefficients ，斯皮尔曼相关系数s r
(3)Cronbach ’coefficient alpha ，克龙巴哈系数α
(4)Kendall ’s tan –b coefficient ，肯德尔b τ系数。
(5)Hoeffding ’s D statistic ，霍夫丁D 统计量。
同时将输出变量的简单统计量(Simple Statistics)，相关系数(Correlation Coefficients)，相
应的P 值与图形(P1ots)等。
8-1皮尔逊积矩相关分析
[例8-1] 已知5-6岁儿童体检数据的指标为编号(1x )，性别(2x )，月龄(3x )，体重(4x ，
kg)，身高(5x ，cm)，坐高(6x ，cm)，胸围(7x ，cm)，头围(8x ，cm)，左眼视力(9x )与右眼视力(10x )，并已建立SAS 数据集SASUSER.child 。
试对体重(4x )与身高(5x )做皮尔逊(Pearson)相关分析。
(1)进入SAS ／Win(V8)系统，单击So1utions->Analysis->Analyst ，进入分析家窗口。
(2)单击File->open By SAS Name->Sasuser->Child->OK ，调入SAS 数据集
SASUSER.child
(3)单击statistics->Descriptive->correlations ，得到图8-1所示对话框。
本例相关分析的变
量为4x ,5x 。
拖曳待选变量4x ,5x 到Correlate(相关变量)框。
图8-l Correlations ：Child(相关分析)对话框
图8-1的右下方有如下5个备选项。
Options ，选择项。
Plots ，图形。
Save Data ，保存数据。
Titles ，标题。
Variables ，变量。
(1) 单击OK->Options ，得到图8-2所示对话框。
图8-2 Correlations：Options(选择项)对话框
在Correlations: Options对话框中有如下选项区
Correlation types, 相关分析类型。
Pearson, 皮尔逊积矩相关分析
r
Spearman, 斯皮尔曼相关系数
s
Cronbach's alpha, 克龙巴哈系数α。
τ系数
Kendall's tau-b, 肯德尔
b
Hoeffding's D, 霍夫丁D统计量‘
Pearson options, 皮尔逊积矩相关分析。
Covariances, 协方差
CSSCP matrix, 经均数校正的平方和及交叉积矩阵。
SSCP matrix, 平方和及交叉积矩阵。
)
Print, 打印(显示)
P-values, P值
Descriptive statistics, 描述性统计量
Correlation format, 相关分析结果的输出格式
Rectangular table, 长方形表。
Highest to lowest, 从高到低的格式
Exclude missing values, 剔除缺失值
Pairwise, 配对剔除
Listwise, 串列剔除
(5)单击OK按钮，返回图8-1所示对话框。
单击P1ots按钮，得到图8-3所示对话框。
在图8-3中可以进行如下设置。
Types of plots，图形的类型。
Scatter plots，散点图。
Add confidence ellipses，对散点图加置信椭圆。
Confidence ellipses options，置信椭圆。
Probability value：0.95，概率值(用户可任选)。
图8-3 Correlations:P1ots(图形)对话框
(6)单击OK按钮，返回图8-1所示对话框。
单击Save Data按钮，得到图8-4所示对话框。
在Correlations data set (相关分析数据集的保存)选项区可进行如下设置。
Save correlations,保存相关分析结果。
Add correlations，加相关系数。
Add covariance，加协方差。
6
Add sum of squares ＆products，加平方和与交叉积。
图8-4 Correlations：Save Data(保存数据)对话框
(7)单击OK按钮，返回图8-1所示对话框，单击Titles按钮，得到图8-5所示对话框。
Titles(标题)对话框有如下3个标签(本例未选择)。
Global，全局性的标题
Correlations，相关分析的标题。
Settings，设置标题。
图8-5 Titles(标题)对话框
(8)单击OK按钮，返回图8-1所示对话框。
单击V ariables按钮，得到图8-6所示对话框。
在Correlations：Variables对话框可进行如下设置(本例未选择)。
Weight，权重。
Frequency ，频数。
By Group ，按组分。
Partial ，偏相关分析变量。
图8-6 Correlations ：Variables(变量)对话框
(9)单击OK 按钮，返回图8-1所示对话框。
单击OK 按钮，得到如下数值结果。
图形结果 如图8-7所示。
(10)由于在图8-2中选择了长方形相关分析表因此得到图8-8所示结果
结果分析与讨论
(1)本例的皮尔逊相关系数r ＝0.8261318097，P ＜0.0001。
相关有显著性意义。
(2)带置信椭圆的散点图(见图8-7，置信度为95％)表明，大部分散点落在椭圆内，或落在边界线上，只有2个散点在椭圆之外。
(3)如果在图8-6的By Group(按组分)选择性别1x (1x ＝1为男孩，2x ＝2为女孩)，而其余选择同上，可以得到图8-9所示结果。
可见，体重与身高男孩的相关系数1r ＝0.8643091327大于女孩的相关系数2r ＝0.798621605。
图8-9 长方形相关分析表(1x ＝1为男孩，2x ＝2为女孩)。