数学中的有限和无限
数学中的“有限与无限思想”及典例分析
数学中的“有限与无限思想”及典例分析作者：童其林来源：《广东教育·高中》2013年第03期一、知识概述1. 有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2. 把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3. 积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4. 数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5. 有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查，所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1. 在函数中的应用.例1. 函数y=■的图像大致为（）解1：函数为奇函数，所以图像关于原点对称，排除A，令y=0得cos6x=0，所以6x=■+k？仔，x=■+■？仔，函数零点有无穷多个，排除C，且y轴右侧第一个零点为（■，0），又函数y=2x-2-x为增函数，当00，cos6x>0，所以函数y=■>0，排除B，选D.解2：函数为奇函数，所以图像关于原点对称，排除A；当时x→0+，2x-2-x=■→+0，cos6x→+1，所以 f（x）→+∞；当x→+∞时，2x-2-x→+∞，而cos6x≤1，所以 f（x）→0，故选D.点评：本题考查了函数的图像以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考察其余的性质，其中的有限与无限的思想给了我们一种思路.说明：有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查，所以我们考前应该予以重视.比如，在函数问题中，2012全国高考卷新课标理第10题，2012年高考辽宁卷文科数学第8题，有限与无限的思想都有了用武之地.2. 在不等式中的应用.例2. 求证：20122013>20132012 .分析：这是一个有限的问题，我们可以升格为无限的问题来研究. 实际上，只需证明：n∈N，n？叟3时，nn+1>（n+1）n，再令n=2012即可.证明：设 f（n）=■，其中n∈N 且n？叟3.∵■=■·■=■·[■]n>1，∴ f（n+1）> f（n），即 f（n）是单调递增函数，因此，对任意n∈N 且n？叟3，有f （n）？叟f（3）=■>1.∴nn+1>（n+1）n，∴当n=2012时，便可得20122013>20132012.说明：这是一个特殊与一般的问题，当然也是有限与无限的问题，特殊与一般、有限与无限往往是纠缠在一起的.再比如，均值不等式也含有有限与无限的味道：不等式等号是有限的，往往只有一个值，而不等是无限的，有无限个值.3. 在立体几何中的应用.例3. 正三棱锥S-ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则EFGH的面积的取值范围是（）A. （0，+∞）B. （■a2，+∞）C. （■a2，+∞）D. （■a2，+∞）解析：因为S-ABC是正三棱锥，所以四边形EFGH为矩形，∴ SEFGH=HG·EH，HG=■AB=a，是确定的，EH=■SC，是变化的，考虑EFGH的面积的取值范围，其实质是SC的变化范围.因为S-ABC是正三棱锥，S点在过？驻 ABC的中心且垂直于面ABC的直线上运动，当S点处于无穷远的“极限位置”时，SC趋近于无穷大，此时，SEFGH→+∞.当S点处于平面内的“极限位置”时，SC→■·■ ·（2a）=■a，SEFGH→■a2，所以EFGH的面积的取值范围是（■a2，+∞）.点评：“化静为动，以动制静”，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径.例4. 直三棱柱ABC—A′B′C′的体积为V，P、Q分别为侧棱AA′、CC′上的点，且AP=C′Q，则四棱锥B-APQC的体积是（）A. ■VB. ■VC. ■VD. ■V通解：把四棱锥B—APQC的体积用原三棱锥的来表达，进一步找四棱锥B-APQC与三棱柱ABC-A′B′C′的体积V之间的关系，得到四棱锥B—APQC的体积.优解：令P→A，则Q→C′，所以四棱锥B-APQC的体积为■V.点评：P，Q的位置有无限个，但通过转化为有限的点来研究，问题迎刃而解，显示了比通法更大的优势，这是对有限与无限思想深刻理解基础上的结果.4. 在平面几何中的应用.例5. 假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域. 如图，■是平面？琢内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：①过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域■；②过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域■；③区域■ 内的任意一点至少存在两条直线平分区域■；④平面内存在互相垂直的两条直线平分区域■成四份 .其中正确结论的序号是 .解析：依第一个图，定义平面内直线的方向，其方向角0≤x如第二个图，将方向角x的直线l，从区域的一侧平移至另一侧，则区域A的面积从0→S；区域B的面积从S→0（S为区域■ 的面积）. 定义：y=A-B，则-S？燮y？燮S，由连续性和零点存在定理，至少存在一条直线lx，使得y=0.事实上，y的单调性，可知，对给定的x，lx存在且唯一的.过平面内的某一点，旋转直线，同理可证至少存在一条直线平分区域■，只是，此时符合条件的直线可能不唯一.如第三、第四个图中，由x，则存在且唯一lx平分区域■，由x+■，存在且唯一lx+■平分区域■，则有：A1+A2=A3+A4，A1+A4=A2+A3 .相减得A2=A4，代入A1=A3，下证，存在一个x0，使得lx0与lx0+■平分区域■成四份.事实上，构造函数 f（x）=A1-A2（即A1=A1（x）， A2=A2（x）），则不难知 f（0），f■互为相反数，故由连续性和零点存在定理，存在一个x0，使得A1=A3，这时l■与l■+■平分区域■ 成四份.（其实是x从0→■，lx与lx+■旋转了各相应转了■，恰好在某个位置，两直线平分区域■ 成四份.）由以上可知，②③是错误的.所以正确答案是应填①④.5. 在解析几何中的应用.例6. 过圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正轴于点A、B，？驻AOB被圆分成四部分（如图）若这四部分图形面积满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，则这样的直线AB 有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条解析：设OA=x则x>1，SⅡ与SⅣ均为常数.设SⅠ=f（x），SⅢ=g（x），则f（x）在（1，+∞）上为增函数， g（x）在（1，+∞）上为减函数.故函数y=f（x）-g（x）+SⅣ-SⅡ为（1，+∞）上的增函数，且x→1时f（x）→0， g（x）→+∞，∴y→-∞；同理x→+∞时，y→+∞.因此，有且仅有一个下x值使y=0，故应选B.例7. 已知抛物线方程为y2=2px（p>0）.求证：在x轴正方向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有■+■为定值.分析：假设点M确实存在，因为过点M的任意一条弦PQ均有■+■为定值，因此对过点M的一条特殊弦——垂直于x轴的弦P0Q0也应该有■+■为定值.设M（x0，0），P0（x0，y0），Q0（x0，-y0），则■+■=■+■=■=■，但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点.下面再考查弦的一个极限情形——x轴的正半轴，它过点M，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是无穷远处的极限点P∞（假想的点），它是弦的一种极限情形，显然有MP∞→+∞，所以■+■→■，它也应该是定值，且■=■，由此可得x0=p，于是可以猜想定点M （p，0）.下证过点M（p，0）的任一弦PQ均有■+■=■（定值）.证明：设过点M（p，0）的直线参数方程为：x=p+tcos？琢，y=tsin？琢，（？琢为直线倾斜角，t为参数），代入抛物线方程得t2sin2？琢-2ptcos？琢-2p2=0，设此方程的两根为t1、t2，则t1+t2=■，t1t2=-■，而t1、t2的几何意义分别表示MP及MQ的值.∴■+■=■+■=■=■=■=■，因此点M（p，0）是满足题意的点.点评：通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，即而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸现了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性.6. 在数列的应用.例8. 设数列{an}中a1>2，且an+1=■，n∈N？鄢，求证：对任意n∈N？鄢，an>2.证明：（1）当n=1时，由已知有a1>2.（2）假设当n=k 时有ak>2成立，则当n=k+1时，ak+1=■=■=■ak+1+■=■[ak-1+■]+1？叟■·2■+1=2.∵等号成立的充要条件是ak-1=■，即ak=2或0，与ak>2矛盾，∴ak+1>2，即n=k+1时命题也成立.由（1）（2）知对任意n∈N？鄢，an>2成立.说明：我们要证的是对任意n∈N？鄢，an>2成立，是个无限的问题，但我们只用了有限个步骤，似乎是有限个n，就把问题解决了，这是数学归纳法的魅力所在.7. 在三角函数中的应用.例9. 设a>0，对于函数f（x）=■（0A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C. 有最大值且有最小值D. 既无最大值也无最小值分析：原不等式可化为f（x）=1+■，由已知00，所以■？叟a，故选B.其实，有限与无限思想方法还渗透在数学的其他领域.应该说，高考中对无限与无限的研究和考查现在还不是很成熟，但这种思想的运用，为考生数学思维的发展，数学能力的提高提供了广阔的空间，在教学中应潜移默化地渗透这种数学思想，提高考生对数学整体把握的能力.可以预测的是在今后的试卷中还会加大对有限与无限思想方法考查的力度，并逐步走向成熟. 总之，数学是研究数量关系和空间形式的科学，而这个数量关系是变化的，即一个量随另一个量而变化，这种变化可能是有限的，也可能是无限的，有限与无限的相互转化，往往能使问题豁然开朗.练习：1.过点（1，■）的直线l将圆（x-2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=______________.2.若实数x、y满足x-y+1≤0，x>0，则■的取值范围是（）A. （0，1）B. （0，1]C. （1，+∞）D.[1，+∞）3.在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A.（■？仔，？仔）B. （■？仔，？仔）C. （0，■）D.（■？仔，■？仔）4. 设05. 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10，是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列（d≠0）.（Ⅰ）若a20=40，求d；（Ⅱ）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（Ⅱ）类似的问题（（Ⅱ））应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案：1. 分析：将点（1，■）视为“圆”，点圆（x-1）2+（y-■）2=0在圆（x-2）2+y2=4内部，而过点（1，■）垂直于弦心距所在的直线的弦所对的圆心角最小，而这条直线既在点圆上又在已知圆上，所以两圆相减就是所求的直线. 本题是无穷小的灵活运用.解析：视点（1，■）为“圆”，则（x-1）2+（y-■）2=0…①又（x-2）2+y2=4…②两式相减得x-■y+■=0，所以k=■.2. 分析：本题以线形约束条件知识为载体，着重考查有限与无限思想.画出不等式组满足的可行域，设■=k，欲求k的取值范围，可转化为求可行域内任意一点P（x，y）与原点连线OP的斜率k的取值范围.由于点P可无限靠近y轴，所以k→+∞；若点P在直线y=x+1上，并沿该直线向右上方无限延伸，k逐渐减小，无限趋近于1，则k>1.选C.3. 解析：设正n棱锥为S-A1A2A3…An，由于n多变，所以底面正n边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化.本例中底面正n边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为∠A2HAn.当点S向下运动无限趋近底面正n边形的中心这个极限位置时，∠A2HAn趋于平角？仔；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时∠A2HAn无限趋于底面正n边形的内角∠A2A1An=■？仔，故二面角的取值范围是：■？仔4. 解析：已知等式可化为（cos？琢+sinβ+■）cosx+（cosβ -sin？琢）sinx=0，上式对任意x∈R恒成立的充要条件为：cos？琢+sinβ+■=0，cosβ-sin？琢=0，即sinβ=-cos？琢-■，cosβ=sin？琢，平方相加，得（-cos？琢-■）2+sin2a=1. 化简得cosa= -■.因为0又因为？仔说明：转化为关于三角函数（以cosx，sinx为未知）的方程，让系数恒等于0，正是无限成立的条件.5.解析：（Ⅰ）a10=10. a20=10+10d=40，∴d=3.a30=a20+10d2=10（1+d+d2）=10d+■2+■（d≠0）.（Ⅱ）当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）.（Ⅲ）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列.研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围.研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3）.a10（n+1）=10（1+d+…+dn）=10×■，d≠110（n+1）. d=1依次类推可得当d>0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等.说明：这是一个已知部分数列及续写已知数列的规律，要求解题者把已知数列推广为无穷数列，体现了有限与无限的数学思想.（作者单位：福建省永定县城关中学）责任编校徐国坚。
数学文化 数学中的有限与无限
数学文化数学中的有限与无限数学文化：数学中的有限与无限数学，这门古老而神秘的学科，如同一个深邃的宇宙，蕴含着无尽的奥秘和智慧。
在数学的广袤领域中，有限与无限是一对引人深思的概念，它们既相互对立，又相互依存，贯穿于数学的各个分支和层面，影响着我们对世界的理解和认知。
当我们初涉数学，首先接触到的往往是有限的数量和具体的对象。
比如，我们学会数 1、2、3 这些整数，计算 5 个苹果加上 3 个苹果的结果。
这些都是有限的、可以明确感知和计算的事物。
在日常生活中，我们也习惯于用有限的思维来解决问题，例如规划一周的预算、安排一天的行程。
然而，随着我们对数学的深入探索，无限的概念逐渐浮出水面。
比如，在数学中的数列，像等差数列 1，3，5，7，9……它可以一直延续下去，没有尽头。
再比如，数轴上的点是无限密集的，从负无穷到正无穷，包含了无数个实数。
有限与无限的区别不仅仅在于数量的多寡，更体现在其性质和规律上。
有限的集合，其元素个数是可以明确确定的，而无限的集合，其元素数量是无法通过常规的计数方法来确定的。
在数学计算中，有限与无限也表现出截然不同的特点。
对于有限的数值运算，我们可以通过明确的步骤和方法得到确切的结果。
但当涉及到无限的计算时，情况就变得复杂起来。
例如，计算一个无限级数的和，需要运用特殊的方法和定理。
数学中的极限概念，是连接有限与无限的桥梁。
通过极限，我们可以从有限的计算逐渐逼近无限的情况。
以圆的面积计算为例，我们可以将圆分割成无数个小的扇形，然后把这些扇形近似看作三角形来计算面积。
当分割的份数越来越多，也就是趋近于无限时，计算得到的结果就越来越接近圆的真实面积。
无限在数学中的表现形式多种多样。
有无穷级数、无限小数、无限集合等等。
以无限小数为例，像圆周率π，它是一个无限不循环小数，其小数位的数字无穷无尽。
但尽管如此，我们通过数学方法能够对其进行研究和应用。
在数学证明中，有限与无限的思想也常常发挥着关键作用。
中学数学思想方法之有限与无限思想
从感性到理性、从具体到抽象————谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量，有限与无限的对立统一的关系.借助有限与无限思想，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从量变认识质变，从近似认识精确.在初等微积分的学习中应抓住基本概念，突出内在的联系，贯穿基本思想方法.具体说来，以数列极限为基础，突出微分、积分及其内在联系.极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养，贯穿了微积分的全部内容.从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看，已开始摆脱具体事物的形式，进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段，开始向更高级的思维——辩证思维形式发展. 其本质问题是对无限的认识，让学生从感性材料中去感受和体验。
提炼和概括，逐步上升到理性认识，感受抽象思维的过程和辩证思维的体现.《新课标》倡导数学课程“强调本质，注意适度形式化”.高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质，由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语，这些词语都比较抽象.因此在极限的概念教学过程中，我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限.内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁，尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上，可以使解法简化，并能使问题的研究更为深入全面.以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时，更多的是对不等式的研究，从某种意义上来说，不等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式来证明，往往需要恒等变形，而运用微积分的知识和方法，如函数单调性、极值判定法，可以简化不等式的证明过程，降低技巧性. 例题已知函数1()ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值．分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式，复合函数的求导法则，考查导数的几何意义，导数的正负和函数单调性的关系.也考查了转化与化归及分类讨论的思想方法.本题背景是将函数1()ln1xf x x+=-在0x =附近用多项式近似的问题，题目中涉及到线性近似、3次近似和最佳下界估计的问题.题目叙述简洁，设问由易到难、层次清晰、阶梯合理，为不同水平的考生提供了展示的平台.第（Ⅰ）问通过学生熟悉的切线方程问题考查导数的运算和导数的几何意义，考查运算求解能力. 在这一问中在先求导函数时有两类办法，一是利用对数运算将已知函数转为两个函数的差再来求导函数，二是利用复合函数的求导公式求导函数第（Ⅱ）问中的函数不等式问题考查导数正负与函数单调性的关系，考查转化与化归的思想方法和分析问题解决问题的能力.（Ⅱ）问在讨论构造的新函数的单调性上是有三类办法，一是通过整理导数式说明，二是利用二阶导数来说明，三是利用均值定理来说明第（Ⅲ）问中的最大值问题在第（Ⅱ）问的基础上进一步考查转化与化归的思想方法，考查推理论证的能力.（Ⅲ）问在新构造函数的导函数的讨论上有两类办法，一是利用第二问的结论分成两类和，二是利用最高次项的系数分成和：k>2;或k>0解：（Ⅰ）因为()ln(1)ln(1)f x x x =+--，所以11()11f x x x'=++-，(0)2f '=． 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =．（Ⅱ）解法1：令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x''=-+=-． 因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增． 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法2：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)41g x f x x x x''=-++--- 而2222(1)41x x+-≥-，01x <<. 则()0g x '>，01x <<. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法3：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)1g x f x x x x''=-+-+-. 因为222241()4=410(1)(1)xg x x x x x ⎡⎤''=-->⎢⎥--⎣⎦，01x <<. 所以()g x '在区间()0,1上单调递增，(0)0g '=.所以()(0)0g x g ''>=，01x <<.所以()g x 在区间()0,1上单调递增. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法4：设3()2()3x g x x =+.因为22()01f x x '=>-，2()2(1)0g x x '=+>，(0,1)x ∈. 所以函数()f x 与函数()g x 在(0,1)上单调递增.又422()()01x f x g x x ''-=>-， 则()f x '>()g x '，(0,1)x ∈.所以()f x 比()g x 在(0,1)上增长得快. 又因为(0)(0)0f g ==，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2k ≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立．当2k >时，令3()()()3x h x f x k x =-+，则422(2)()()(1)1kx k h x f x k x x --''=-+=-．所以当0x <()0h x '<，因此()h x 在区间(0,上单调递减．当0x <()(0)0h x h <=，即3()()3x f x k x <+．所以当2k >时，3()()3x f x k x >+ 并非对(0,1)x ∈恒成立．综上可知，k 的最大值为2．小结：本题学生常见的错误有:(1)表述不准确，如(0,1)x ∈时，()(0)0g x g >=. (2)逻辑推断错误，如：因为(0)0h =，所以()0h x >，(0,1)x ∈等价于()0h x '>，(0,1)x ∈；()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min ()f x >()g x ，(0,1)x ∈； ()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min max ()()f x g x >.(3)论证不充分，如因为()0h x >，(0,1)x ∈且(0)0h =，所以(0)0h '≥. 通过本题的学习，提醒教学中需注意的问题：（1） 强调对数学本质的认识.要把微积分作为一种重要的思想、方法来学习.如经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，加强对导数几何意义的认识和理解. （2） 强调导数在研究事物变化快慢中的一般性和有效性这是对导数本质认识的一个具体体现，也是优于初等方法的体现.以往的教学中更多的要求学生会按步骤求极大（小）值，最大（小）值，而忽视了导数作为一种通法的意义和作用.为了使学生真切地感受导数在研究函数性质中的意义和作用，尤其是作为通法的一般性和有效性，以及导数在处理和解决客观世界变化率问题，最优问题的广泛应用，可以通过较丰富的实际问题和优化问题举例，感受和体验导数在研究事物的变化率、变化快慢以及研究函数基本性质和优化问题的广泛应用.(3)强调几何直观在导数学习中的作用在教学中要反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用.一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用. 练习题1.证明以下不等式：求证：e 1xx >+和2e 12xx x >++.(0)x > 设()e 1x f x x =--，则()e 10xf x x >'=->，0，所以函数()f x 递增，又(0)0f =，所以()e 10xf x x =-->，即e 1x x >+.设2()e 12xx y x x =---，则()e 1xy x x '=--，由上面已证得的结果，可得()0y x '>.所以函数()y x 递增，又(0)0y =，则()0y x >，即2e 12xx x >++. 2.已知函数()cos sin f x x x x =-，π[0,]2x ∈．（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x <<对π(0,)2x ∈恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得 ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0f x f =≤．（Ⅱ）当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”．令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立．当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．()g x 与()g x '在区间π(0,)2上的情况如下：因为()g x 00“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．3.设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．解：（Ⅰ）由2()ln 2(0)x f x k x k >=-得2()k x kf x x x x-'=-=．由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=． 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而e k ≥．当e k =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1,上的唯一零点．当e k >时，()f x 在区间(0,上单调递减，且1(1)02f =>，e02kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．4.设L 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解：（Ⅰ）设ln ()x f x x =，则21ln ()xf x x -'=． 所以(1)1f '=．所以L 的方程为1y x =-．（Ⅱ）令()1()g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()0g x >（0x ∀>，1x ≠）． ()g x 满足(1)0g =，且221ln ()1()x xg x f x x -+''=-=． 当0<<1x 时，21<0x -，ln <0x ，所以()<0g x '，故()g x 单调递减； 当>1x 时，21>0x -，ln >0x ，所以()>0g x '，故()g x 单调递增． 所以，()(1)0g x g >=（0x ∀>，1x ≠）． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．。
有限与无限思想在高考数学解题中的应用-最新教育文档
有限与无限思想在高考数学解题中的应用有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。
高考试题中运用有限与无限思想来解题的有很多，比如说极限、导数、数学归纳法等这些都是典型的有限与无限思想方法的应用。
下面结合高考例题谈谈有限与无限思想在高考数学解题中的具体应用。
一、在极限中的应用近几年，高考对数列和函数极限的考查有所加重，题型主要以选择填空为主，难度在中等以下。
数列极限主要以■型为主，或是在解答题中与数列问题相结合。
函数极限主要考查四则运算和函数连续性的概念，或是与导数问题结合出现在解答题中。
例1：（2011年重庆卷理科3题）已知■(■+■)=2，则a=( )。
A.-6B.2C.3D.6分析：本题考察的是函数极限的概念及运算，已知当x→∞时函数的极限值求a，属于简单题。
例2：（2010年湖北卷理科7题）在半径为r的圆内做内接正六边形，再做内接正六边形的内接圆，又在此内接圆内做内接正六边形，如此无限继续下去。
设Sn为前n个圆的面积之和，则■Sn=( )。
A.2πr2 B.■πr2 C.4πr2 D.6πr2分析：先求出这n个圆各自的半径rn=(■)n-1r，得到圆的面积Sn关于rn的表达式Sn=π[(■)n-1r]2，我们知道Sn是随着n的变化而变化的，n的变化是无限的。
各个圆的面积Sn组成了一个无穷递缩等比数列，此题研究的是n无穷大时数列极限的问题，它将圆的面积之和转化为当n→∞时Sn的极限值，是有限与无限思想的典型应用。
极限研究的是数列和函数在无限过程中的变化趋势，从无限回归到有限或将有限化为无限是解决这类问题的指导思想。
二、在导数中的应用导数是高考必考的知识，对导数的运算及其实际意义和几何意义的考查主要以选择填空为主，难度适中。
解答题的难度一般在中等以上，主要考查导数在函数的极值、最值和单调性中的应用，常与不等式、三角函数、解析几何、平面向量等内容相结合。
第四章 有限集和无限集
有限集 性质1：如果A和B是分离的有限集合，则有 |A∪B|＝|A|＋|B|。
A B
性质2：如果A和B是有限集合，则有 |A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|。
A B
有限集
性质3：如果A、B和C是有限集合，则有 |A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|A∩C| －|B∩C|＋ |A∩B∩C|。
无限集的这个特性可以用来区分有限集和无限集。 性质2：一集合为无限集的充分必要条件是有与其等 势的真子集。
无限集的性质
定义：一集合若存在与其等势的真子集称为无限集； 否则，称为有限集。
定义：凡与自然数集N等势的集合称为可列集。
也可以将有限集与可列集合称为可数集，
故可列集也可称为可数无限集。
性质：可列集的无限子集仍为一可列集。
A C
B
有限集
例：120个学生中有100个学生至少要学法、德、英三 种语言中的一种，假定有65人学法语，45人学德语， 42人学英语，20个人学法语和德语，25人学法语和 英语，15人学德语和英语，请问同时学三种语言的 有多少人？ 解：令A、B、C表示学法语学、德语和英语的人数 100＝65＋45＋42－20－25－15＋|A∩B∩C| 所以 |A∩B∩C|＝8。
可列集是无限集中的最小集合。
无限集的性质 例如：整数集I是可列集。 N={0,1, 2, 3, 4, 5, 6……}
有限与无限数列的定义及分类
有限与无限数列的定义及分类数列是数学中一类重要的序列，其由一系列有序的数所构成。
数列在许多领域中有着广泛应用，例如在计算机科学、物理学、工程、金融学等领域中都有着重要地位。
本文将介绍数列中的两种重要类型：有限数列与无限数列。
一、有限数列的定义及分类有限数列是指由一定个数所组成的数列，其中每个数之间都存在前驱和后继。
例如，下面是一个由10个数所组成的有限数列：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19。
在有限数列中，可以根据各数之间的关系进行分类。
例如，对于一个有限数列，如果相邻两个数之间的差值恒为常数，则称该数列为等差数列。
上述10个数所组成的数列就是一个等差数列，其公差为2。
另外，如果相邻两个数之间的比例恒为常数，则称该数列为等比数列。
例如，下面是一个由4个数所组成的等比数列：1, 2, 4, 8。
二、无限数列的定义及分类无限数列是指由无穷多个数所组成的数列，其中每个数之间都存在前驱和后继。
例如，下面是一个由自然数所组成的无限数列：1, 2, 3, 4, 5, …（其中“…”代表无穷多个自然数）。
在无限数列中，同样可以根据各数之间的关系进行分类。
例如，对于一个无限数列，如果相邻两个数之间的差值恒为常数，则称该数列为等差数列。
例如，下面是一个以2为公差的等差数列：2, 4, 6, 8, 10, …。
另外，如果相邻两个数之间的比例恒为常数，则称该数列为等比数列。
例如，下面是一个以2为公比的等比数列：2, 4, 8, 16, …。
总之，无限数列和有限数列在数学中皆有着广泛的应用。
在实际问题中，往往通过对数列的分类，来更好地理解其规律，进而更好地解决问题。
有限与无限思想的应用举例
有限与无限思想的应用举例
一、有限思想的应用举例：
1. 费米原理确定惰性气体的结构：费米原理是微观物理理论，它告诉
我们，只有一个原子的气体，它的状态和特性（温度，压强，结构等）受这一原子的有限状态所限制。
例如某一种气体，只有一种状态对应
最低能量，因此气体的结构是有限的。
2. 量子力学解决物理量之间的有限关系：以某一物理量为变量，另一
物理量随之变化的关系及其特性就形成了有限的函数关系，其参数用
量子力学的方法解决，从而确定出有限的结果。
3. 力学方程限制运动律的存在：力学方程就是对物体在等式表达式中
加以描述，它限制物体某一运动特性的存在性，根据这些方程，可以
解答有关力学问题，准确地预测运动性质，以及得出运动特性的有限
结果。
二、无限思想的应用举例：
1. 史特拉兹曲线及其他分形图形：史特拉兹曲线是一种无限微小的螺
旋曲线，它的通过一种简单的算法就可以表示出来，且属于无限分形
结构，其特点是具有多重近似性，即不管多么细小的片段，它们和原
来的曲线都保持几乎完全相同。
2. 累加试验：累加试验涉及连续地把一些数值累加相加，而且每次只
累加一个有限的数值，但是最终的累加和会是无限的，例如，将
4+4+4+4+4+4等及无穷此计算，最后的和将达到无穷大，而本身4是
有限的数字。
3. 函数的无限级数：数学里函数的表达式大都是通过无限级数的方式表示出来的，通过不断的重复，得到更加准确的结果，以此来表达函数的性质，从而得出最终的结论。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9， ,n , ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这 ”1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568样迫切需要澄清年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子再如著名的康托（Cantor）集的构造6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理 第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193；第n 次 我们挖去n 12个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，而长度相对越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，而这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似0.5，0.05，，0.1，0.01 这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.” 7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数|1时，→lim n 7.2 有限转化为无限和二项式定理，那我们能走多远呢？”7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some referencesfor a better understanding of the finite and the infinite relationship Keywords:finite, infinite11。
例谈中学数学中的有限与无限
范围是（一∞，－１．二与该例类似的问题在各种期刊和教辅资料中均能见到，且解法与该例的“正确解答”相同．但笔者对上述解法存在不同看法．为方便说明现将有关教材中的内容摘录如下１．《初二代数》（人民教育出版社数学室编，１９８９年１２月第二版）设口＜ｂ，那么：１．不等式组｛戈＞？的解集是石＞ｂ；２．不等式组ｆ戈＜？的解集是菇＜口；３．不等式组ｆｚ＞？的解集是口＜ｘ＜６；４．不ｔＸ＜ｂ等式组｛“、“的解集是空集．ｔｘ＞ｂ２．全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（上）ＰⅧ：设ａ，ｂ是两个实数，而且口＜ｂ．我们规定：（１）满足不等式口≤ｚ≤ｂ的实数戈的集合叫做闭区间，表示为［１７，，ｂ］；（２）满足不等式ｔ／，＜戈＜ｂ的实数戈的集合叫做开区间，表示为（口，６）；（３）满足不等式口≤并＜ｂ或ｏ＜戈≤ｂ的实数ｘ的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［ａ，ｂ），（口，ｂ］．３．人教Ａ版新教材必修ｌ与上述规定相同，这里从略．４．全日制普通高级中学数学（必修）第一册（上）《教师教学用书》ｐⅦ：某些以实数为元素的集合有三种表示方法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法．例如，大于３而小于７的实数的集合可表示为如下三种形式｛ｘ３＜戈＜７｝，３＜聋＜７，（３，７）．对于具体问题，教材中并不要求固定采用哪种表示方法，可根据习惯或简明的原则来采用．由上述规定可知①｛算Ｉ口＜菇＜ｂ｝，ａ＜算＜ｂ，（口，ｂ）是同一集合的三种表示，②集合的三种表示方法的前提都是口＜ｂ．③若一个集合为｛髫Ｉｔ／，＜ｘ＜６｝，意味着ｎ＜ｂ且｛ｘ＞口．④空集是不能表示Ｉ．ｘ＜ｂ为上述三种中的任何～种形式．由此上例的“正确解答”是错误的，正确解答如下ｒ口一１≥一ｌｆｏ≥ｏ解由题意得｛２ａ一３≤４所以｛口≤ｉ／所。
ｏ—ｌ≤２ａ一３【口≥２以２≤ｏ≤÷因此ｎ的取值范围是［２，÷］．例谈中学数学中的“有限＂与“无限＂浙江省湖州二中３１３０００陆丽滨沈恒浙江省金陵高级中学３１３１００李云日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率仃的末位小数”，盯是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于０．９＝ｌ对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．在新课标教学中，笔者发现从必修１集合中的元素个数比较到必修３新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．１比较两个集合的元素个数人民教育出版社高中数学Ａ版《必修１》第１４页（２００７年１月第２版，２００８年５月浙江第６次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出６３万方数据来，而对于元素个数无限的集合，例如：Ａ＝｛１，２，…，ｎ，…｝，Ｂ＝｝２，４，…，２ｎ。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9，Λ,n,Λ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它Λ”[]1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～这样迫切需要澄清Λ568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子π=++++=+++=+++=+++=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ001.004.01.03;91101101101;71818181;41515151;31003.003.03.0323232 我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础3. 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，ΛΛ,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. []64 有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须通过AB的中点.从A到AB的中点，其中间还有中点……[]9如此考虑下去，从A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成“一尺之锤，日取其半，万世不竭”[]2.说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，……依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.再如著名的康托（Cantor）集的构造[]6即我们所谓的三分点集构造：第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193=； ΛΛΛΛ 第n 次 我们挖去n 12-个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似，，，，ΛΛ这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）[]1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”[]7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明k n =的方法.数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当1n =和k n =时命题成立，然后推导出当1k n +=时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用[]4数学归纳法证明在自然数的序ΛΛΛΛ287654321216543211554321104321632132111=++++++=+++++=++++=+++=++=+= 在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和∑=（首项+末项）⨯项数÷2，但这只是()()()()()()()()()[]21k 1k 12k 2k 121k 2k k 11k 2k k 11k k 54321++⨯+=+⨯+=+⨯+⨯+=++⨯+=++++++++Λ今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具” []8.看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归纳法却有着本质的区别， 即使从名义上看它们都是归纳法的一种.经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受.6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.[]7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立.”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无限集中却找不到，像()+∞∞-,中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：767117151513131171515131311=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：()()()1747453533232174535332321n ,1n 21-n 21751531311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：()()()()()()()()21n ,n121n ,12n n n ,12n 1n 1n ,12n 1n 1-2n n 1-2n n 7474535332321n ,12n 1n 1-2n n 74535332321n ,1n 21-n 21751531311=∞∈+=∞∈+=∞∈++-=∞∈++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 另外，再举一个例子()()()()()()()()21s 12s s-1s s 11111-1s 31s 0-1s 011111-1s 200001-11-11-1s 111111111s ===-+-+-==-+-+-==+++=+++=+-+-+-+-=所以那么，，所以上式中的因为右端括号内的值为为所以答案，故上式由上可知右端括号内为的种种答案ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 从上面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢[]5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多.这种方法推广到无限集中呢正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：2n n ,,63,42,21↔↔↔↔ΛΛ.任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2n n n 28642+=+++++ΛΛ对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数()ΛΛΛΛ++++⨯+⨯+⨯1n n 1431321211 解：级数的第n 个部分和 ()1n 111n 1n 131212111n n 1431321211n +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛs 由于11n 11lim lim n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→s .还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出[]3有限项之和 qq a aq aq a s --=+++=11.n1-n n ΛΛ 当||1q <时，qa q q a s -=--=∞→∞→111.lim lim n n n n 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：[]3()()ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++++=+-+++-=-+n 4321n 21n 5321212121211!1-n 21!5!3sin x x x x x在《自然辩证法》恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢”[]7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords:finite, infinite。
有限集和无限集
✓定理0
集合A为无限集，当且仅当有A的真 子集A0及双射函数f：A→A0。
.
有限集和无限集
1.2 无限集的特性
选择公理（choice axiom）
对任何一个集合族A = {Ad dD}， 总有集合B，使B与诸Ad的交均为 单元素集合。常称B为A的代表元素集。
离散数学导论
离散数学导论
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有限集和无限集
1.1 有限集、可数集与不可数集
➢定义
集合A称为有限集，如果存在集合
{0，1，2，…，n-1} （自然数n）到A，或A到该集合的双射；
否则称A为无限集。
.
有限集和无限集
1.1 有限集、可数集与不可数集
✓定理
任何有限集的任意子集为有限集。
✓定理7.2
任何含有无限子集的集合必定 是无限集。
✓定理7.5
有理数集是可数集。
➢定理7.6
可数个可数集的并集是可数的。
.
有限集和无限集
1.1 Байду номын сангаас限集、可数集与不可数集
✓定理7. 7
如果A是有限集，B是可数集，那么A 到B的全体函数的集合BA为可数集。
✓定理7.8
实数集的子集[0，1]区间是不可数集。
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有限集和无限集
1.2 无限集的特性
✓定理7.9
.
有限集和无限集
1.1 有限集、可数集与不可数集
➢定义 7.2
集合A称为可数无限集（countable infinite sets），
如果存在双射f：N→A（或双射f：A→N）。其它无 限集称为不可数无限集。有限集和可数无限集统称为
可数集（countable sets）。因此，不可数集即不
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+L ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅L 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1K 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=Q34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b Θ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a Λ. 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a Λ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+-Q 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=Q 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a .3．在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a+=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++L ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==L ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-g ．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+g≥。
有限数和无限数的概念
有限数和无限数的概念有限数和无限数是数学中的重要概念。
在数学中，数可以分为有限数和无限数两种。
有限数是指可以被计数且数量有限的数，而无限数则是指数量无限的数。
有限数的特点有限数有以下几个特点：1. 可以被计数：有限数是可以被计数的，因为它们的数量是有限的。
例如，我们可以数到10，这是一个有限数。
2. 数量有限：有限数的数量是有限的，即它们不会无限增长。
无论有限数的大小如何，它们的数量总是有限的。
3. 可以进行基本运算：有限数可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。
我们可以对有限数进行各种数学操作。
无限数的特点无限数具有以下几个特点：1. 数量无限：无限数的数量是无限的，即它们没有终止点。
例如，正整数的数量是无限的，没有最大的正整数。
2. 不能被计数：无限数不能被计数，因为它们的数量是无限的。
我们无法精确地数到无限数的数量。
3. 无法进行准确的计算：由于无限数的数量是无限的，因此无法进行准确的计算。
我们无法通过简单的运算得到准确的结果。
有限数和无限数的应用有限数和无限数在数学和现实生活中都有重要的应用。
在数学中，有限数和无限数是研究其他数学概念和理论的基础。
例如，在微积分中，我们使用无限数的概念来研究极限和导数等概念。
在现实生活中，有限数和无限数的应用广泛。
例如，在金融领域，我们使用有限数进行投资和计算利息。
而在物理学中，我们使用无限数来描述连续变化和无限小量的概念。
结论有限数和无限数是数学中重要的概念。
它们具有不同的特点和应用，对于我们理解数学和应用数学知识都具有重要意义。
了解有限数和无限数的概念有助于我们深入理解数学的本质和应用领域。
参考文献:。
数学文化--数学中的有限与无限
伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）， 意大利物理学家、天 文学家和哲学家，近 代实验科学的先驱者。
7
2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立:
(a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c
3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的
结果，如
4）递推公式
1 i
i1 2
1
an an1 d ,
a1 = *
12
3. 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
5
当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 …
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]
8
在“无限”的情况下，加法结合律不 再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 0 1 [(1) 1] [(1) 1] [(1) 1] 1
9
（2）有限级数一定有“和”。 √
n
ai 是个确定的数
i 1
无穷级数一定有“和”。 ×
13
3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的
离散数学第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
④ 定理： 两个可列集的并集是可列集。
证明： 设 S1={a0, a1, a2, a3, a4, …}, S2={b0, b1, b2,
b3, b4, …}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。
S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …， 所以 S1∪S2={a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …}是 可列集。
0
2、定理：实数集R是不可列集。实数集的基数为 1 3、：对任意集合A，有 |A| < |ρ(A)| 由此可得： (1) 无限集也有大小，最小的无限集是 可列集，其 次是实数集。 (2) 对任一无限集，总存在一个基数大于这个集合
的集合，即无限集的“大小”也是无限的，没有最
大的无限集。
有限集a的元素个数称为a的基数记为2基数的有关定义设有集合ab第四章有限集与无限集则称集合a的基数小于等于b的基数记为若从a到b存在单射但不存在满射则称集合a的基数小于b的基数记为第四章有限集与无限集43无限集的性质1定义
第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
4.1 有限集与无限集基本概念
1、定义1：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在
则 f 是一一对应的关系，所以A B。
第四章 有限集与无限集
例2：设N = { 0, 1, 2, 3, … }，其子集A = { 1, 3, 5,
7, … }，B = { 2, 4, 6, 8, … }均为无限集且N A，
N B。 因为它们间存在一一对应的关系： N：0 1 2 3 …… f： A：1 3 5 7 …… N：0 1 2 3 …… g： B：2 4 6 8 ……
有限集、无限集概念
讲义一、教材与考点分析：本节课学习的内容是了解有限集、无限集概念掌握表示集合方法．了解空集的概念及其特殊性。
这是步入高中的第一个知识点，理解集合是理解函数的基础，所以要学好本节课内容，为以后学习新的内容奠定基础。
二、学生情况分析：目前对高中数学很多知识点把握的不够扎实，有些知识点已经暂时的忘记，现在需要通过复习，来巩固以前没有抓牢的知识，并做些相关练习。
三、教学目标：本节课的目标是理解有关集合的概念，表示方法，培养学生逻辑思维能力。
四、教学内容：重点：集合的表示方法，空集。
难点：正确表示一些简单集合。
考点1：集合的含义（1）把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
简称为集例:（2）集合的元素必须是确定的，集合的元素是互不相同的例:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由1.大于3小于11的偶数；2.我国的小河流。
考点2：与集合有关的符号集合是一个很大的概念，在高中数学里我们主要研究数集（集合的元素是数字的集合）。
一般用大写的字母表示集合，如A数学中常用集合表示法：非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作*N或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R我们一般用小写字母表示集合的元素，如a集合与元素的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A例：我们用A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合，则有3∈A,4∉A 考点3：集合的表示自然语言表示法，列举法，描述法是表示集合的一般方法。
列举法:把集合元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法例：{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}例：由方程x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为｛－1，1｝请用列举法表示下列集合： (1)小于5的正奇数(2)能被3整除且大于4小于15的自然数 (3)方程 x 2－9＝0的解的集合 (4)｛15以内的质数｝ (5)｛x ｜x-36∈Z ，x ∈Z ｝ 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
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数学中得有限与无限
得,只就是当
∞→n 时,部分与才超过任何一个指定得数,其她得发散级数通常也就是这样、数学分析中各种收敛性得判断我们都就是通过判断部分与来判断整体得收敛或发散、
4 有限由无限组成
公元前5世纪古希腊时代,在意大利半岛南部得埃利亚有一位叫芝诺得哲学家就留下一个很有意思得“二分说”论——为了从自己现处位置A,走向门得位置B,必须通过AB 得中点、从A 到AB 得中点,其中间还有中点……[]9如此考虑下去,从A 到B 得有无穷个这类中点、由此可见,有限得AB 段即使就是很短很短得一段线段也就是由无数个类似得中点组成得、
最近在书上瞧到这样得一句话,我觉得引用来这里就是一个很好得例子说明有限
就是由无限组成 “一尺之锤,日取其半,万世不竭” 2、说得就就是一尺之长得短棍,
今天取其中得一半,明天取其中得一半得一半,后天再取其中得一半得一半得一半,……依次类推下去,您就会发现这仅仅一尺之长得短棍竟然取不尽、 一尺之长得短棍本就是一个有限得物体,但它却可以无限地分割下去、这就给我们讲明了其实有限与无限就是统一,有限之中有无限,有限就是由无限组成得、用数学得语言去表示,那就更加得一目了然、
()+∞∈=+++++++=+++++++=+++=+n ,1n
1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 118
18181818181818114
141414112
121
再如著名得康托(Cantor)集得构造6即我们所谓得三分点集构造:
一段长度为一米得直线段,做以下处理
第一次 我们挖去一个,其长度31,而余下2个,长度3
1; 第二次 我们挖去两个,其长度91,而余下22个,长度21193; 第n 次 我们挖去n 12个,其长度n 31,而余下n 2个,长度n 3
1; 显然,如此继续下去,直到无穷次后,由于在不断地分割舍弃得过程中,所形成得线点集就就是一个无限集、显然,这构造理论再次说明了有限就是由无限组成得、
再如,我们所有人都认识得两个简单得自然数0与1,然而在它们之间,我们却可以
找得到无数个类似0、5,0、05,,0、1,0、01 这样得数字、另外,随意画出一个正三角形或者正方形或者圆,在其里面,我们可以做出无数个与之相似得正三角形或者正
方形或者同心圆,这就就是人们常说得无限封闭在有限里面(如下图)1、
人们对数学中有限与无限得普遍认识都就是,无限怎么都比有限广,比有限大,而无限由有限组成,但就是站在不同得角度上面去瞧待这个问题,我们就会发现有限其实也就是由无限组成,这一观点首先就是由数学家们提出来得、我们说无限包含有限就是无限存在于有限当中、恩格斯说:“无限纯粹就是有限组成得,这一近视矛盾,可事情就
就是这样、” 7无限性就是一个摸不着得、虚拟得东西,无限要通过有限展示出来,宇
宙中得万物都就是无数具体有限得事物构成、其次无限就就是内在于有限当中得元素 ,辩证地思考无限,就不能仅仅停留在“无限得有限就构成无限”这一点上,我们必须进一步充分地认识它、从社会哲学得角度上瞧,任何事物本身就就是一个矛盾体,所以任何事物都包含着突破自己、由此可见,离开有限,无限将不再存在、有限中包含着无限就是说任何有限得东西都可以无限地分割,从原子向粒子得无限分割,事物会由于自身得矛盾推动而处于不安分得状态当中,于就是不停地向比自己更小得事物转变、有限中存在着无限,在0到1得单位长度上存在着无数个有理数点,也存在着无数个无理数点、在整除得关系中约数就是有限得,而倍数得个数就是无限得,这就就是我们说得有限由无限组成、
5、无限就是有限得延伸
说到无限就是有限得延伸,那么首先我们要说得就就是大家都熟识得数学归纳法了、数学归纳法就是高等数学中一种有关于证明k n =得方法、数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛,它就是通过有限得步骤推出无限得结果、在数学归纳法中我们一般假定当1n =与k n =时命题成立,然后推导出当1k n +=时命题也成立时,该等
式命题就成立,否则不成立,下面我们来举个例子说明一下:用4数学归纳法证明在自然数得序列中,()2n n 1n 54321⨯+=++++++ 、
28
765432121
654321155432110
43216
3213
211
1=++++++=+++++=++++=+++=++=+=
在这里我们瞧到对于上面得每个等式都有总与∑=(首项+末项)⨯项数÷2,但这只就是
我们猜测得,于就是用数学归纳法证明如下:
当1n =时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立;
|1时,∞→lim n 2 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限得任一初等函数转化为无穷级数、例如
[2]华东师范大学数学系、数学分析上册[M]、北京:高等教育出版社,2001,23-24、
[3]华东师范大学数学系、数学分析下册[M]、北京:高等教育出版社,2001,2-54、
[4]葛军,涂荣豹、初等数学研究教程[M]、江苏:江苏教育出版社,2009,165-168、
[5]张永康、试论数学中得有限与无限[N]、工程兵工程学院学报,1989(1)、
[6]王仲英,郝祥辉、数学中得有限与无限[J]、高等数学研究,2007,10(1):77-82、
[7]刘大椿、自然辩证法概论[M]、北京:中国人民大学出版社,2008,100-250、
[8]李浙生、论数学中得有限与无限[N]、辽宁教育学院学报,1994(4)、
[9]仲田纪夫[日]著、丁树深译、无穷得奥秘及其演变[M]、北京:科学出版社,2001,32-54、
Mathematics of finite and infinite
Zhuang Qingqing
Abstract:This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is posed of a finite, finite is posed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationship
Keywords:finite, infinite。