空间群的推导总结
合集下载
第十一讲—空间群(3)资料讲解
+ ,- -, + +, - - ,+
+ ,- -, + +, - - ,+
+ ,- -, + +, - - ,+
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置 (右)对称元素分布
8 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z;
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. 1 a mmm 0,0,0.
{R|} {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
点式空间群：由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。
۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
空间群点群相同的位置对称性
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
第十一讲—空间群(3)
第九讲 空间群(I)：点式空间群
晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体 微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体 宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。
点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对 称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。
空间群：结晶学空间群就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的所有几何对称操作的集合，
它构成数学意义上的群。
第十讲 空间群(II)：非点式对称操作
点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
第十一讲—空间群(3)1
的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群的确定
c/2
c hh.‐2h.l
c/2
c ‐2h.hhl
c/2
c h.‐2h.hl
c/2
c, n hhl,h‐hl
(a ± b ± c)/4 d hhl,h‐hl
a/2
a, n hkk,hk‐k
(±a + b± c)/4 d hkk,hk‐k
b/2
b, n hkh,‐hkh
(±a ± b+ c)/4 d hkh,‐hkh
表 3 螺旋轴与衍射条件的关系
方向 平移距离 符号
[100] a/2 [100] a/2 [100] a/4 [010] b/2 [010] b/2 [010] b/4 [001] c/2 [001] c/2 [001] c/4 [001] c/2 [001] c/3 [001] c/6
21 42 41, 43 21 42 41, 43 21 42 41,43 63 31, 32, 62, 64 61, 65
hkl 衍射条件 无限制
h + k + l = 2n k + l = 2n, h + l = 2n, h + k = 2n k + l = 2n h + l = 2n h + k = 2n ‐h + k + l = 3n (正定向) h ‐ k + l = 3n (负定向)
表 2 滑移面与衍射条件的关系
Left-hand page: (1) Headline (2) Diagrams for the symmetry elements and the general
position (for graphical symbols of symmetry elements see Chapter 1.4) (3) Origin (4) Asymmetric unit (5) Symmetry operations
2.4 空间群的推导
c c m ⋅ c⊥ = m ⋅ m'⋅ = 2 ⋅ = 21 2 2
3. 空间群的推导：以点群C2v为例 空间群的推导：以点群C
3 3. 空间群 C2 v − Pcc 2
c c c ⋅ c⊥ = m ⋅ m⊥ ⋅ ⋅ = m ⋅ m⊥ = 2 2 2
4 C2 v − Pma 2 4. 空间群
m⊥a ⋅ a⊥b
3. 空间群的推导：以点群C2v为例 空间群的推导：以点群C
在与点群C 在与点群C2v同形的空间群推导中，我们可 以只考虑滑移面组合的情况，因为2 以只考虑滑移面组合的情况，因为2次轴可 右滑移面组合产生。这里的滑移面包括反映 面，2次轴包括2次旋转轴。在晶体32个点群 面，2次轴包括2次旋转轴。在晶体32个点群 中， C2v属于正交晶系，有P、I、C、F四种 属于正交晶系，有P 布拉维格子。C 点群中有2 布拉维格子。C2v点群中有2个正交的反映面， 对应与微观上就表现为两个正交的滑移面， 滑移面有m 滑移面有m，n，a，b，c，d，6种。考虑2 种。考虑2 个正交滑移面的组合，如n 个正交滑移面的组合，如n和a的组合，根据 对称元素组合原理：
C2 v − Pna 21 9. 空间群
3. 空间群的推导：以点群C2v为例 空间群的推导：以点群C 9
b+c a c a+b n ⋅ a = m⊥a ⋅ ⋅ m⊥b ⋅ = 2 ⋅ ⋅ 2 2 2 2 a+b = 21 ⋅ = 2 a +b 1 2 4
1. 14种Bravais点阵类型 14种Bravais点阵类型
例1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子 所以，在14种布拉维格子中，四方底心格子不需要保留。
1. 14种Bravais点阵类型 14种Bravais点阵类型
晶体点群、空间群简要归纳
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
第十一讲—空间群(3)资料讲解
Origin on 6
1/3+
1/2+
1/6+
+
2/3+ 5/6+
1/3+
1/2+
1/6+
+
2/3+ 5/6+
Origin on 61
P65 (C63, No. 170) P62 (C64, No. 171) P64 (C65, No. 172) P63 (C66, No. 173)
2/3+
1/2+
沿??bac滑移面的abn轴滑移如pban对称轴符号符号号对称轴图示符号沿轴向的右手螺旋平移特征一次旋转轴1一个反演轴二次旋转轴二次螺旋轴三次旋转轴三次螺旋轴三次反演轴2213313231无无无无无无平行于纸面无无平行于纸面无无无无c2a2或b2c32c3符号号对称轴图示符号沿轴向的右手螺旋平移特征四次旋转轴4四次反演轴四次螺旋轴六次旋转轴六次螺旋轴六次反演轴43661654无无无无6无无c4c65c641422c43c4626364无无2c63c64c6对称面符号符号对称面反映面镜面轴滑移面mabcnd对角滑移面网金刚石滑移面图示符号滑移特征垂直于投影面平行于投影面有没有如果平面在z14的的高度就在符号边标注14无无沿沿100滑移a2或沿010滑移b2或沿lt
43
3c/4
4 四次反演轴
无
+ +
+ +
1/2+ 3/4+
1/4+
+
4
41
+
1/2+
1/2+
+
1/2+
1/4+
1/3+
1/2+
1/6+
+
2/3+ 5/6+
1/3+
1/2+
1/6+
+
2/3+ 5/6+
Origin on 61
P65 (C63, No. 170) P62 (C64, No. 171) P64 (C65, No. 172) P63 (C66, No. 173)
2/3+
1/2+
沿??bac滑移面的abn轴滑移如pban对称轴符号符号号对称轴图示符号沿轴向的右手螺旋平移特征一次旋转轴1一个反演轴二次旋转轴二次螺旋轴三次旋转轴三次螺旋轴三次反演轴2213313231无无无无无无平行于纸面无无平行于纸面无无无无c2a2或b2c32c3符号号对称轴图示符号沿轴向的右手螺旋平移特征四次旋转轴4四次反演轴四次螺旋轴六次旋转轴六次螺旋轴六次反演轴43661654无无无无6无无c4c65c641422c43c4626364无无2c63c64c6对称面符号符号对称面反映面镜面轴滑移面mabcnd对角滑移面网金刚石滑移面图示符号滑移特征垂直于投影面平行于投影面有没有如果平面在z14的的高度就在符号边标注14无无沿沿100滑移a2或沿010滑移b2或沿lt
43
3c/4
4 四次反演轴
无
+ +
+ +
1/2+ 3/4+
1/4+
+
4
41
+
1/2+
1/2+
+
1/2+
1/4+
空间群
m[001]
|
1 2
,
1 2
,
0
r
金刚石滑移
空间群推导
点群
点阵 点阵对称性和点群的协调性
点式空间群 能否替换
用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群
非点操作的位置
5种平面点阵
矩形 (a≠b, 90°)
平面群：
pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
• 立方结构的晶体，其原子一般位于高对称 的位置上，如Au，Al等金属单质
平面群（自学）
• 10种平面点群，13种点式平面群 • 有滑移面非点式对称操作，17种平面群
国际表
提供的信息的是： 1. 空间群的国际符号 2. Schoenflies符号 3. 晶系 4. 晶类 5。一般等效点图： 单胞的投影，包含所有等效点位置。
一般等效位置 确定单胞内的原子数及位置
商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点 系
点阵类型加一般等效点系描述空间群
等效位置确定商群的对称性及所属的晶系 由点阵类型便知道平移群的对称性
国际表中对称操作的表示
对称操作的分类及几何符号
由对称操作的矩阵求对应的几何符号
1，查表确定对应点对称操作 2，确定对称元素的取向和位置 a，反映 b，纯旋转 c，旋转倒反
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
符号的意义：第一个字符表示布拉菲点阵， 后面的表示对称性，符号的顺序与轴的选 取有关
空间群的两个重要内容：一般等效位置的坐 标，相对特定原点的全部对称元素
空间群与点群的关系：
• 俯视图 • 矩阵
空间群的描述
• 一般等效位置及对称元素
第十一讲—空间群(3)
点式操作t = = 0
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
第十讲
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
Байду номын сангаас
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
第十讲
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
Байду номын сангаас
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
空间群
滑移反射
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行与镜面的方向平移
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;
• 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移分量为对角线一半;
• 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移， 平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心 点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所 以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
Wyckoff位置 （2）
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
空间群的描述
• 俯视图 • 矩阵 • 一般等效位置及对称元素
熊夫利推导230个空间群
• （1） 推导73个点式空间群 • （2） 分析可能的滑移面和螺旋轴 • （3) 把各种可能的布拉菲格子和h个点式 或非点式对称操作结合起来，推导可能的 非点式空间群
三斜晶系
单胞俯视图
新的反演中心是-1和单位平移操作组合而得
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0， 另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z
第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0
或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
在非对称基元内任何一点不会再有对称 相关的位置
空间群的推导总结
●在证明P与G/T之间同构关系时，实际上也证明了： 旋轴的轴次与旋转轴的轴次是一样的。 ●空间群的点群就是让空间群对称操作中的所有平移 （包括点阵平移tj与小于初基平移的wi）都等于0 之后剩下的点对称操作的集合。 显然，空间群的点群必为32个晶体学点群之一。 ●空间群G与它的商群G/T同态，商群G/T与空间群的点 群P同构，则空间群G与它的点群P同态。 即每一个空间群总是与一个晶体学点群同态的。 ●空间群的点群P中的操作不一定是该空间群的对称操 作。如G中有41，但点群P中的4不一定是G中的 对称操作。
P4
I4
P4
P41
P42 P43
I4
I41 I42=I4 I41=I43
例二：单斜晶系13种空间群的推导 单斜晶系：P，C b∥2，b⊥m 同态的点式空间群：P2, C2, Pm, Cm, P2/m, C2/m 2→21, m→a, c, n a P2 →P21 C2 →C21 = C2 Pm →Pc (Pa, Pn) C2 c Cm →Ca=Cm，Cc=Cn P2/m →P21/m，P2/c，P21/c C2/m →C21/m=C2/a=C21/a=C2/m C2/m →C2/c=C2/n=C21/c=C21/n a ¼ ¼ a ¼ a 1/4 1/4
方法：把点式空间群中的点操作(Wi,0)依次换成(Wi,wi), 2→21, 4 →41, 42, 43, m→a, b, c, n, d 抛弃其中不可能的组合，归并其中相同的， →230种空间群 例一：与点群4（C4）同态的空间群的推导 同态的点式空间群：P4，I4 →P41，P42，P43，I41，I42，I43
1/4 1/4
c Cm
c Cc
c
1/4
1/4
空间群
空间群：是指所有宏观对称性与微观 对称性的总和。
宏观对称性：在晶体的宏观观察（目测或显微 镜）中所表现的对称性。 八种宏观对称元素：1,2,3,4,6, m,1, 4 微观对称性：在晶体的微观结构中所表现出来 的对称性。 闭合性对称元素： 开放性对称元素：平移，螺旋（旋转+平移） 滑移（镜面+平移） a，b，c，n，d
空间群的推导：
将各种点阵与其相容的点群 一一考虑推出有73种点式空间群； 考虑滑移面与螺旋轴又推出157 种非点式空间群。使得空间群总 共有230种。
费德洛夫（俄）
（1853.12.22–1919.5.21）
圣佛利斯（德）
(1853.4.17—1928.5.27)
空间群的国际符号
P-简单 F-面心立方 I-体心立方 A，B，C-底心立方 R-菱形 例： P 2/m表示
单斜初基点阵，具有垂直于镜面的二次旋转轴。
小 结
空间群： 是指所有宏观对称性与微观对 称性的总和，共有230种。晶体的 空间群中对称元素分布也呈周期 性旋轴
43螺旋轴
Back
空 间 群
空间群的引出： 点群一般用于研究有限图形的对 称性—对称元素有限且必相交于一 点。但晶体的构造可以认为是沿三 维空间延伸的无限图形，所有对称 元素(包括对称元素的交点)在三维 空间作平行排列，也并不交于一点。
空间群的引出： 在晶体构造的无限图形中，除了 有限图形的宏观对称元素外，还有 其特有的平移、螺旋和滑移对称元 素。若去除空间对称操作，则晶体 内部的微观对称元素与宏观晶体的 对称元素一致，空间群变成点群。
第十讲—空间群(2)
6, 62m, 6/mmm
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
第九讲
空间群(I)：点式空间群
对称轴符号
符 号 对称轴
一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴
平行于纸面
图示 符号
无
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无 无 无
符 号
对称轴
四次旋转轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无
1 1
4
2
21 3 31 32
41 42 四次螺旋轴 43
c/4
2c/4 3c/4 无 无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
x’ y’ z’
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
x y z
附录 1
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
三 斜
特点
a≠ b≠ c, ≠≠
全对称点群 1
2(C2)或2(m)
单 斜
a≠b≠c, = = 90o≠
a≠b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
m3m
(3L44L36L29PC)
m3m (3L44L36L29PC)
E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σd i, 8S6, 6S4,
附录 4
点群各符号的顺序
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
第九讲
空间群(I)：点式空间群
对称轴符号
符 号 对称轴
一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴
平行于纸面
图示 符号
无
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无 无 无
符 号
对称轴
四次旋转轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无
1 1
4
2
21 3 31 32
41 42 四次螺旋轴 43
c/4
2c/4 3c/4 无 无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
x’ y’ z’
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
x y z
附录 1
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
三 斜
特点
a≠ b≠ c, ≠≠
全对称点群 1
2(C2)或2(m)
单 斜
a≠b≠c, = = 90o≠
a≠b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
m3m
(3L44L36L29PC)
m3m (3L44L36L29PC)
E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σd i, 8S6, 6S4,
附录 4
点群各符号的顺序
晶体与空间群概述
aP
m
单斜
abc
90
mP,mC
o 正交 a bc 90 oP,oC,oI,oF
t 四方 a bc 90 tP,tI
h
a b, 120
三方
90 a bc
hP hR
六方
a b, 120 90
hP
c 立方 a bc 90 cP,cI,cF
简单、体心、 侧心和面心。
晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
c
群论应用-第3章 空间群(1)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
即
( - ) b tP
因此可选择 b , 以满足 ( - ) b = - t o ------------ (4)
将(4)代入(3)得(2) s ’ = s + t P = { | t P } s , 则目的达到 *
6 [ 提问: 满足 (4) 式 要求的 b 是不是唯一的? 请作图示意
1, 因 故
k v p = v p ( k = 1 ---- n ) [ 提问: 为什么? ] 10 [ 答案: v p ( ) 是沿 转轴方向的平移 ]
v p = n v p ------------- (9) [ 提问: 为什么? ] [ 答案: = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) ]
2, 因
=
[ 提问: 为什么? ]
[ 答案: = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) ]
故
vo = vo
( 对任何 )
又因 一般不等于 0
[ 提问: 由上式, v o 将如何? ]
则有两种情况: 第一种情况为 v o‖v p [ 提问: 这可能吗? ] 不可能, 只能是第二种情况 vo = 0 --- (10) [ 提问: 如何理解? ] [ 答案: v o = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) v o = 0, 水平力平衡 ] 3, 由 (9) 和 (10) 式可知 v = v p + v o = n v p -------------- (11) [ 提问: 如何理解? ]
第四节 晶体的230种空间群
黑体字的6种组合在其它3种格子中是没有的。
A格子有4种空间群：
Amm2、 Abm2、 Ama2、 Aba2。
44
C14 2v
Amm2
Amm2 = Amc21 = Anc2 = Anm21
m⊥
a
·(
b 2
+
c 2
)=
n⊥ a
m⊥
b
·(
b 2
+
c 2
)=
cb/4
垂直于b, c滑移面和m每隔b/4交替存在
(2) 当m和b 垂直时
m ⊥b 与a滑移面共存
(3)
C⊥a ·(
a+b 22
)=
m
·
c 2
·(
a+b 22
)= ma/4 ·(
b+c )
22
=na/4
(4) 同理： C⊥b ＝ nb
4
35
¾在C格子中
m⊥a 与b滑移面共存 m ⊥b 与a滑移面共存 n ⊥b 与c滑移面共存 n ⊥a 与c滑移面共存
从某一点群出发而得到的种种可能的微观对称类型– 空间 群时，相应对称元素之间的角度关系是与该点群相同的。
4
•空间群的国际符号
空间群的国际符号由两部分构成，第一个大写字母表示点 阵格子类型，第二部分标明空间群的特征对称元素，其定 向和符号形式与点群相同，但增加了螺旋轴和滑移面。如 果空间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代，则 得到晶体的点群。
20
16种正交滑移面组合在P格子中
Pmc21 = Pcm21 Pma2 = Pbm2 Pca21 = Pbc21 Pnc2 = Pcn2 Pmn21 = Pnm21 Pna21 =Pbn21
A格子有4种空间群：
Amm2、 Abm2、 Ama2、 Aba2。
44
C14 2v
Amm2
Amm2 = Amc21 = Anc2 = Anm21
m⊥
a
·(
b 2
+
c 2
)=
n⊥ a
m⊥
b
·(
b 2
+
c 2
)=
cb/4
垂直于b, c滑移面和m每隔b/4交替存在
(2) 当m和b 垂直时
m ⊥b 与a滑移面共存
(3)
C⊥a ·(
a+b 22
)=
m
·
c 2
·(
a+b 22
)= ma/4 ·(
b+c )
22
=na/4
(4) 同理： C⊥b ＝ nb
4
35
¾在C格子中
m⊥a 与b滑移面共存 m ⊥b 与a滑移面共存 n ⊥b 与c滑移面共存 n ⊥a 与c滑移面共存
从某一点群出发而得到的种种可能的微观对称类型– 空间 群时，相应对称元素之间的角度关系是与该点群相同的。
4
•空间群的国际符号
空间群的国际符号由两部分构成，第一个大写字母表示点 阵格子类型，第二部分标明空间群的特征对称元素，其定 向和符号形式与点群相同，但增加了螺旋轴和滑移面。如 果空间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代，则 得到晶体的点群。
20
16种正交滑移面组合在P格子中
Pmc21 = Pcm21 Pma2 = Pbm2 Pca21 = Pbc21 Pnc2 = Pcn2 Pmn21 = Pnm21 Pna21 =Pbn21
8-晶体定向与空间群汇总
目前 , 习惯上倾向于令 ao > co 来安排 a 轴和 c 轴。单斜晶系的定向实例及其晶面符号如图 3.19
〈 g 〉所示。
〈 g 〉榍石 , 单斜晶系; 〈 h 〉钠长石 , 三斜晶系
6. 三斜晶系 : 该晶系除了一次轴〔 L1 和Li1 〈对称中心〉〕之外 , 无任何其它对称元素。因此 只能选取三个相交且不在同一平面内的晶棱方向作 为 a,b,c 轴. 选轴时应留意尽量使α , β, γ接 近于 900 ; 安置晶轴时 , 习惯上按 bo > ao > co 确定 , 让 c轴直立 , a 轴大体位于前后并向 前下倾斜 ,b 轴则大体位于左右并向左下倾斜 , 其 轴角及轴单位关系为 : α≠β≠γ , ao ≠ bo ≠ co 。
我们规定晶体中晶胞的单位长度 a0, b0 ,c0 (晶胞参数)分别为三个结晶学坐标轴 〈结晶学轴〉的单位长度 , 三个结晶学轴的 方向分别平行于单胞中相交于一点的三条棱 的方向 , 这与晶体的微观构造全都。
由于一个晶面总可以与一个、两个或全 部三个结晶学轴相截 , 所以其轴截距可以用 各轴的单位周期a0, b0 ,c0来度量。
h,k,l 称为面指数或米勒〈 Miller 〉指数。 通常将这三个指数依次写进圆括弧内 , 而不 用比例号” : ”, 即写成 (h k l) 的形式标记 晶面或面网,这种符号叫晶面符号.
图 3.18 表示一原始的单斜格子 a 轴和 c 轴所在的平面。 b 轴方向与图面垂直 直线 “ 面 1” 代表一个垂直于画面的面网 , 它和 b 轴相交于无限远〈即平行于 b 轴〉 , 因此在 b 轴上的截距∞ , 该面网在 a 轴上所 截长度为 2a0, 在 c 轴上所截长度为 3c0 。 同样 , 可以测出平行于面 1 的其它面网如 1’, 1’’, 1’’’ 具有的轴截距 :
〈 g 〉所示。
〈 g 〉榍石 , 单斜晶系; 〈 h 〉钠长石 , 三斜晶系
6. 三斜晶系 : 该晶系除了一次轴〔 L1 和Li1 〈对称中心〉〕之外 , 无任何其它对称元素。因此 只能选取三个相交且不在同一平面内的晶棱方向作 为 a,b,c 轴. 选轴时应留意尽量使α , β, γ接 近于 900 ; 安置晶轴时 , 习惯上按 bo > ao > co 确定 , 让 c轴直立 , a 轴大体位于前后并向 前下倾斜 ,b 轴则大体位于左右并向左下倾斜 , 其 轴角及轴单位关系为 : α≠β≠γ , ao ≠ bo ≠ co 。
我们规定晶体中晶胞的单位长度 a0, b0 ,c0 (晶胞参数)分别为三个结晶学坐标轴 〈结晶学轴〉的单位长度 , 三个结晶学轴的 方向分别平行于单胞中相交于一点的三条棱 的方向 , 这与晶体的微观构造全都。
由于一个晶面总可以与一个、两个或全 部三个结晶学轴相截 , 所以其轴截距可以用 各轴的单位周期a0, b0 ,c0来度量。
h,k,l 称为面指数或米勒〈 Miller 〉指数。 通常将这三个指数依次写进圆括弧内 , 而不 用比例号” : ”, 即写成 (h k l) 的形式标记 晶面或面网,这种符号叫晶面符号.
图 3.18 表示一原始的单斜格子 a 轴和 c 轴所在的平面。 b 轴方向与图面垂直 直线 “ 面 1” 代表一个垂直于画面的面网 , 它和 b 轴相交于无限远〈即平行于 b 轴〉 , 因此在 b 轴上的截距∞ , 该面网在 a 轴上所 截长度为 2a0, 在 c 轴上所截长度为 3c0 。 同样 , 可以测出平行于面 1 的其它面网如 1’, 1’’, 1’’’ 具有的轴截距 :
磁群和空间群
磁群和空间群
磁群和空间群是晶体学中的两个重要概念。
磁群是描述具有磁性的晶体结构的群。
晶体的磁性可以来源于电子的自旋或轨道运动，也可以是原子之间的磁偶极相互作用。
磁群描述了晶体中磁性原子排列的对称性操作，包括平移、旋转、镜面反射和滑移等。
磁群通过点群（描述晶体中原子位置的对称性）和空间群（描述晶体中整个晶胞的对称性）来进行分类和命名。
空间群是描述晶体结构的对称性的群。
它是由空间操作（平移、旋转和镜面反射）和点群操作（旋转和反演）组成的。
空间群可以完整地描述晶体中原子的排列方式，并可以反映出晶格中的对称性。
通过对称性分析，我们可以推导出晶体的物理性质和对应的晶体结构。
总结起来，磁群和空间群是描述晶体结构的两个不同但相关的概念。
磁群描述了具有磁性的晶体中磁性原子的排列对称性，而空间群描述了晶体中整个晶胞的对称性。
它们对于理解晶体的结构和性质具有重要意义。
空间群、点群
一些物理对象能够在一定的操作下保持不变，这种性质称为对称性，使物理对象保持不变的操作O叫做对称操作。
按顺序先做对称操作O1，再做对称操作O2，显然物理对象保持不变，因此连做两次对称操作是一个新的对称操作O3，可以记为O3 O2O1，O2O1称为对称操作的乘积。
对称操作O的逆操作也保持物理对象不变，因此也是一个对称操作，记为O−1，按照数学上的定义，对称操作全体关于前面定义的乘法成为一个群，称为对称群，对称操作O称为对称元素。
使晶体保持不变的空间变换构成的群称为空间群。
空间群的元素一般写成 R| ，其中R是一个3 3矩阵，代表对称操作的旋转部分（包括空间反演）， 是一个矢量， R| 把空间矢量r 变为 R| r Rr 。
乘法规则R2| 2 R1| 1 r R2| 2 R1r 1R2R1r R2 1 2R2R1|R2 1 2 r就是说R2| 2 R1| 1 R2R1|R2 1 2因此R−1|−R−1 R| I|0R| −1 R−1|−R−1一般来说即使 R| 是一个对称操作，单纯的转动R也不是对称操作，但是按照上面的乘法和取逆规则，空间群元素的旋转部分全体也构成一个群，这个群叫做点群。
晶体的点群的元素R一般不能保持晶体不变，点群一般不是晶体的空间群的子群。
下面证明几个基本事实：1.对任意格矢l 和对称操作 R| ，都有Rl l ′，也就是说虽然 R|0 一般不能保持晶体不变，但是 R|0 可以保持空间点阵不变。
证明： R| 、 I|l 和 R| −1 R−1|−R−1 都是对称操作，因此它们的乘积也是对称操作，按照上面的乘法规则，我们有R| I|l R−1|−R−1R|Rl R−1|−R−1I|Rl这是一个单纯的平移，因此Rl l ′必定是一个格矢。
2.对称操作的旋转角只能取0，60∘，90∘，120∘，180∘及其整数倍。
证明：首先任取一个不平行于转轴的格矢l ，按照上面的结论，Rl 也是格矢，因此非零矢量Rl −l （如果det R −1，R包含空间反演或镜面反射，则取Rl l ）也是格矢，且从几何关系易知格矢Rl −l （如果det R −1，R包含空间反演或镜面反射，则取Rl l ）垂直于转轴。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、与简单点群同态的空间群 可以由(Wi, 0)换成(Wi, wi)方法推导出来非点式空间群
三、空间群同形不变引伸原理简介 点群H
用点群P={Wi}中 的操作Wi引伸
点群Gp=H∧P
①查与Gp相协调的平移群T ②G=T∧Gp ③非点式替换
与点群Gp同态 的空间群G 与点群H同态 的空间群GH
用(Wi, wi)不变引伸
例三：与Pmm2同态的空间群的推导 利用商群 G/T与点群P同构（乘法表相同） G/T={T, T(W2,w2), T(W3, w3), …, T(Wh, wh)} P={1, W2, W3, …,Wh} P={mm2}={1, m[100], m[010], 2[001]} 乘法表有：(m[100])(m[010])=2[001] 与mm2同态的空间群有四个陪集： T, T(m[100], w2), T(m[010], w3), T(2[001], w4) 由乘法表：[T(m[100], w2)][T(m[010], w3)]=T(2[001], w4)] 由乘法公式： [T(m[100], w2)][T(m[010], w3)]=T(2[001], (m[100])w3+w2) 则有：(m[100])w3+w2=w4 (以tj为模） 即：w2，w3，w4是相互关联的 w2=k2a+(0,1)b/2+(0,1)c/2 （镜面在k2/2处） w3=k3b+(0,1)a/2+(0,1)c/2 （镜面在k3/2处） w4=(0, c/2) （坐标原点在轴上）
●空间群 (1) 点式空间群 当选择适当坐标，G可以按其点阵平称群T展开得到 的陪集为 G=T+T(W2,0)+…+T(Wh,0) 其陪集的代表操作(I,0), (W2,0),..全是点操作. -----对点式空间群G，它的点群P的对称操作也是G 本身的操作. -----点式空间群也可能有螺旋或滑移操作 (2) 非点式空间群 若无论如何选择坐标原点，无论选择陪集中的哪个 操作作为它的代表操作(Wi,wi)，其中总有些wi不等于0.
(m[100])w3+w2=w4
四、11对相互对映的空间群 每对空间群中的一个是另一个的镜象（左右手关系）。 不含镜面或倒反，含有非中性螺旋轴。 相应晶体有旋光性（使偏振面旋转）。
§6-4 由与简单点群同态的空间群推导较复 杂的空间群
一、简单点群 即为32个点群中只含有一个对称元素的8个点群。 方法：通过往简单点群(H)上添加对称元素而得到其他点 群(Gp) Gp=H∧P
§6-2 点式空间群的推导
点式空间群G可表示为 G=T+T(W2,0)+T(W3,0)+…+T(Wh,0) 已知平移群T为G的不变子群，P为与G相对应的点群 则G是T与P的半直积群：G=T∧P T有14种，P有32种，但G并不是14X32个群元。 因为只能选取在P中的点群操作Wi的作用下，用平移群T 描述的晶体点阵不变。即平移群体T具有点群P所 描述的对称性。 ●与Bravais点阵相协调的点群之间相乘，如： 正交晶系的四种点阵P，C，I，F与三种点群222， mm2，mmm相乘，---12种空间群
方法：把点式空间群中的点操作(Wi,0)依次换成(Wi,wi), 2→21, 4 →41, 42, 43, m→a, b, c, n, d 抛弃其中不可能的组合，归并其中相同的， →230种空间群 例一：与点群4（C4）同态的空间群的推导 同态的点式空间群：P4，I4 →P41，P42，P43，I41，I42，I43
~ = (W,w ) x = Wx + w x
证明所有(W,w) 操作构成一个群. 封闭性；单位元；逆元；结合律。---------成群 实仿射群有一个由纯平移(I,t)组成的子群，为不变子群
(W,w )(I,t )(W,w )
−1
= ( I,Wt )
仍为一纯平移
二、空间群及其与点阵平移群和晶体学点群的关系 1、空间群 （1）定义：晶体学空间群就是使某个三维周期性的客体 （晶体）变换成它自己（复原）的几何对称操作（平 移，点对称操作及两者组合操作）的集合。 （2）空间群(G)是实仿射群的子群 ●晶体的平移周期性决定了空间群的对称操作(W,w) 中的不能是任意量的旋转操作，只能是1,2,3,4,6轴的 旋转或旋转倒反操作 ●(W,w)中的平移量w也不能是任意的. w=wl+wg 内 禀平移分量wg则与坐标原点选取无关，只能取一定的 值。
《晶体学中的对称群》 Crystallographic Symmetry Group
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
主要内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 对称操作 二维晶体学 群论初步 晶体学点群 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 空间群的推导 空间群图表的认识与使用 空间群与晶体结构及相变
¼ a
c
●只要某空间群的点群是11个中心对称的点群之一，则 必有一个陪集 T( 1 , w ) 是的形式。 ●1与w+tj平移组合后，仍为倒反操作，但倒反中心移 至(w+tj)/2。tj为该空间群的任意一个点阵平移矢 量，可见该空间群有许多对称中心。 ●中心对称的空间群共有90种 ●对于中心对称的空间群，习惯把坐标原点放在对称中 心处。 对称中心位于：x/2, ¼+y/2, -¼+z/2 则有：x=0, y=-1/2, z=1/2 （以tj=uja+vjb+wjc为模） 即：21[010]位于：uj/2, 0, wj/2+1/4 c[010]位于：0, vj/2+1/4, 0
引伸时要求m,a,b,n,d能把与点群4同态的空间群分别变 换成它们自己，即只能将上述空间群中的对称元素配置所具备 的m, a, b, n, d对称性组合进去。 (1) 只含中性轴的空间群P4,P42,I4可与m,n组合，但不能与a,b 组合。且有I4/m=I4/n。 (2) 含有非中性轴的空间群I41不能与m,n组合(41→43)，但可与 a,b组合(41→43)。I41/a=I41/b。
2、点阵平移群 定义： 规定结合规则为矢量加法，规定零矢量为全同操作， 则平移操作的集合构成一个无限群---点阵平移群(T)
T = {( I , t j )}
t j = u j a + v jb + w j c
性质： （1）平移群是交换群（由于矢量加法遵从交换律） （2）平移群是空间群的一个子群，而且是不变子群 证明：空间群的点阵平移是该空间群G的一个不变子群 ---空间群中任一操作(W,w)变换(I, tj) ---仍是一个纯平移操作 ---由封闭性知，属于空间群的平移操作
P4
I4
P4
P41
P42 P43
I4
I41 I42=I4 I41=I43
例二：单斜晶系13种空间群的推导 单斜晶系：P，C b∥2，b⊥m 同态的点式空间群：P2, C2, Pm, Cm, P2/m, C2/m 2→21, m→a, c, n a P2 →P21 C2 →C21 = C2 Pm →Pc (Pa, Pn) C2 c Cm →Ca=Cm，Cc=Cn P2/m →P21/m，P2/c，P21/c C2/m →C21/m=C2/a=C21/a=C2/m C2/m →C2/c=C2/n=C21/c=C21/n a ¼ ¼ a ¼ a 1/4 1/4
●在证明P与G/T之间同构关系时，实际上也证明了： 旋轴的轴次与旋转轴的轴次是一样的。 ●空间群的点群就是让空间群对称操作中的所有平移 （包括点阵平移tj与小于初基平移的wi）都等于0 之后剩下的点对称操作的集合。 显然，空间群的点群必为32个晶体学点群之一。 ●空间群G与它的商群G/T同态，商群G/T与空间群的点 群P同构，则空间群G与它的点群P同态。 即每一个空间群总是与一个晶体学点群同态的。 ●空间群的点群P中的操作不一定是该空间群的对称操 作。如G中有41，但点群P中的4不一定是G中的 对称操作。
第六章 空间群的推导
§6-1 含有平移的操作构成的群 §6-2 点式空间群的推导 §6-3 由点式空间群推导非点式空间群 §6-4 由与简单点群同态的空间群推导较 复杂的空间群 §6-5 空间群的符号 §6-6 空间群的分类
§6-1 含有平移的操作构成的群
一、实仿射群：(Real affine group) 实仿射群是所有由点操作（包括纯旋转与非纯旋转） 与平移操作组成的复合操作 Seitz符号为 (W, w) 表示其中某一操作
§6-5 空间群的符号
一、Hermann-Manguin符号（国际晶体学表中采用） 由两部分组成： (1) 表示惯用晶胞有心类型的大写字母。 P，I，F，C或B或A，R，H → 14种Bravais点阵 (2) 表示空间群的对称元素的一组符号。 简略HM符号：尽可能略去对称轴。如：P bcn 完全HM符号：给出每一对称方向上的对称轴和对 21 2 21 称面两者。如： b c n ● 由简略HM符号的对称元素可以推导出完全HM符号中 那些多的对称元素。 ● 属于晶类 mmm, 4/mmm, 3m, 6/mmm, m3, m3m 的 空间群皆有简略HM符号。
⎛ a+b⎞ ⎜ I, ⎟ 2 ⎝ ⎠
2⊥有心面
⎛ b+c⎞ ⎟ ⎜ I, 2 ⎠ ⎝
2∥有心面
Cmm2与Amm2（或Bmm2）在物理上则是不同的空间群 此法可导出： 73个点式空间群，有*号的7个空间群是考虑到点群的对 称元素相对于晶胞的取向后得到的.
ห้องสมุดไป่ตู้
§6-3 由点式空间群推导非点式空间群
空间群G’
G=G’
不变引伸原则: 仅采用这样的(Wi,wi)，它们作用到GH中的任何 一个对称元素上变换而得的对称元素仍为GH中的对称元素。 x, y=axa-1, a→(Wi, wi)