高考数学难点-函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高考数学中的一个重要难点，对于很多学生来说，理解和掌握这个知识点是比较困难的。
本文将分为三个部分进行讲解，首先是函数连续的概念和定义；其次是连续函数的性质和判断方法；最后是函数连续的应用。
一、函数连续的概念和定义在数学中，函数连续是指函数在一些点上没有突变、断层，即在该点上没有跳跃，也没有突变的现象。
具体来说，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下三个条件：1.函数在点x=a处存在；2.函数在点x=a处的左极限和右极限存在且相等；3.函数在点x=a处的极限等于函数在该点的函数值。
符号化表示如下：f(a-)=f(a+)=f(a)二、连续函数的性质和判断方法1.连续函数的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商也在点x=a处连续。
2.连续函数的复合函数性质：如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=b处连续，并且a是g(x)的定义域内特定点的函数值，则复合函数f(g(x))在点x=b处连续。
3.连续函数的初等函数性质：初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们在其定义域上都是连续的。
对于函数连续的判断方法，可以通过根据定义依次检查函数是否满足连续的条件，也可以利用函数的性质进行判断。
三、函数连续的应用1.函数连续与导数的关系：对于连续函数f(x)，在其定义域内的每个点上都有导数存在。
2.函数连续与极值的关系：对于连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，如果f(x)在内部点取得最大值或最小值，则必然在[a,b]的边界点或者内部存在极值。
3.函数连续与介值定理的关系：对于连续函数f(x)，如果[a,b]上f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
4.函数连续与零点存在性的关系：对于连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法在高考数学考试中，函数极限与连续性是一道难题，许多学生常常感到头疼。
然而，只要掌握正确的解题方法和技巧，这类题目不再是难题。
本文将介绍一些解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法，帮助学生们更好地应对这一考点。
一、关于函数极限函数极限是高考数学中常见的考点之一。
在解决函数极限难题时，一般可以采取以下步骤：1. 确定x趋于的值：首先，需要明确x的变化趋势，是否趋于无穷大、无穷小或某一特定值。
根据情况，选择使用不同的极限判断方法。
2. 分解式并化简：对于复杂的函数，可以通过分解式和化简的方式来更好地理解题目，找到解题的突破口。
将函数拆解成更简单的形式，有助于快速求解。
3. 利用常用极限公式：高考中涉及到的函数极限问题中，有许多常用的极限公式可以利用。
例如极限值为自然对数e、三角函数极限、指数函数极限等。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则是许多函数极限问题中的常用技巧。
当遇到函数间的极限形式为“无穷与无穷相除”、“0/0”、“∞/∞”等不确定形式时，可使用洛必达法则将问题转化为求导数的形式，进一步求解。
5. 利用夹逼定理：夹逼定理是函数极限问题中常用的判断方法。
当某一函数趋于极限时，可以找到两个已知函数，一个极限值较小，一个极限值较大，通过这两个函数夹逼待求函数，从而确定其极限。
二、关于函数连续性函数连续性是另一个常见的考点，解决函数连续性难题可以采取以下方法：1. 确定函数的定义域：首先，需要明确函数的定义域，即x的取值范围。
根据定义域的特点，确定函数在该范围内是否连续。
2. 利用函数连续性的性质：函数连续性的性质是解决连续性问题的关键。
例如，有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值等。
3. 分段讨论函数的连续性：对于分段函数，可以将函数分为不同的区间，并分别讨论每个区间上的连续性。
通过分段讨论，可以更好地理解函数在不同区间上的连续性特点。
4. 利用介值定理和零点定理：介值定理和零点定理是解决连续性问题的重要定理。
高考数学中的极限与连续性知识点
高考数学中的极限与连续性知识点高考数学作为考试中的一门重要科目，其中的极限与连续性是必考知识点之一。
本文将对这两个知识点进行详细介绍。
一、极限1. 定义极限是数列或函数自变量趋近于某一值时，因变量相应的取值趋近于一个确定的值或趋于无穷大或无穷小的现象。
数列或函数在自变量趋近于某一值时，与所趋近的值的相差越来越小，但却始终无法达到这一值。
2. 常见极限（1）$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$（2）$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=e$（3）$\lim _{x \rightarrow a} (x-a)^n f(x)=0 (n>0)$3. 求极限的方法（1）代入法：将趋近的值代入函数后直接计算。
（2）夹逼法：利用函数大小的矛盾（左右夹逼）进行推断。
（3）变形法：将式子化简后，使其成为已知极限的形式。
4. 连续性函数的连续性是指函数在定义域内任何一个点的函数值与极限值相等的状态。
也就是说，如果函数f(x)在x=a处极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在x=a处连续。
如果函数在其定义域的任一点都连续，则称函数在其定义域内连续。
连续性是一个函数的基本属性。
5. 连续函数（1）定义：若一个函数在其定义域内的每个点都连续，则称这个函数为连续函数。
（2）充分必要条件：若函数f(x)在其定义域内各点均可导，则该函数连续，反之不一定成立。
（3）连续函数的性质：连续函数在其定义域内有以下几个性质：①有界性：有界函数的定义是指其在任意一个区间中都有界。
连续函数在有限区间内一定有界。
②最值性：有界函数在其定义域内一定存在最大值和最小值。
③介值性：连续函数在其定义域内根据介值定理，一个值介于函数值的最大值和最小值之间。
总之，在高考数学中，极限与连续性是非常重要的知识点。
理解和掌握好这两个知识点，有助于我们更深入地理解和掌握相关知识，为高考数学的考试打下较好的基础。
函数连续性及其应用_魏天朝
河南省南乐一中 魏天朝
否为连续函数，若是，则函数在 x=x0 处的 函数值即为 x→x0 时的极限值。
2.利用函数的连续性求最值。 若函数 f(x)是［a，b］上的连续函数，那 么 f(x)必在［a，b］上有最大值和最小值，如 果 f(x)是单调函数,则最大值和最小值在 端点处取得。 3. 利用函数的连续性解方程根的存 在性。 如果函数 y=f(x)在闭区间[a，b] 上连 续，且 f(a)和 f(b)的符号相反，则至少有一 点 c∈(a，b)使得 f(c)=0
SHUXUEJIAOYU 数学教育 37
函数的连续性是新教材新增加的内 容之一，它的应用是高考考查的重点，主 要以选择或者填空题的形式出现，但也可 以和别的知识合成大题，本文重点阐述函 数的连续性及其应用。
一、函数连续性的定义 1 .函数在一点连续的定义。 如果函数 y=f(x)在点 x=x0 处及其附 近有定义，并且lx→i mx0f(x)=f(x0)，就说函数 f(x) 在点 x0 处连续。 2.函数 f(x)在(a，b)内连续的定义。 如果函数 f(x)在某一开区间(a，b)内 每一点处连续，就说函数 f(x)在开区间(a， b)内连续，或 f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数。 3.函数 f(x)在［a，b］上连续的定义。
立数学模型，从而既能为解复杂一点的应 强化语言基本功，扫除语言障碍，提高阅
用题打下基础，又能带给学生成功解题的 读理解能力；其次是要拓宽知识面，能把
体验，增强学生学习应用题的信心。
问题中出现的新名词、新规则及各种实际
2.教学过程中及时渗透应用题的教学。 应用语言背景转化为熟悉的情境或模型。
要提高学生解应用题的能力，就一定
函数连续性及其应用
如果 f(x)在开区间(a，b)内连续，在左 端点 x=a 处有lx→i ma+f(x)=f(a)，在右端点 x=b 处有lx→i mb-f(x)=f(b)，就说函数 f(x)在闭区间 ［a，b］上连续，或 f(x)是闭区间［a，b］上的 连续函数。
高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用
重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
高考第一轮复习数学函数的连续性及极限的应用
答案：D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.①B.②③C.①④D.③④
答案：A
4.四个函数:①fx= ;②gx=sinx;③fx=|x|;④fx=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.把你认为正确的代号都填上
答案：②③④
●典例剖析
图丁表示的是 fx存在,但它不等于函数在这一点处的函数值fx0.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数fx在点x0处连续与fx在点x0处有极限的联系与区别:
其联系是:它要求 fx存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,fx在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于fx的定义域,也可以不属于fx的定义域,即与fx0是否有意义无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0及其附近都有定义;其次,fx在点x0处的极限值与fx在点x0处的函数值fx0可以无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0处的极限值等于它在这一点的函数值fx0.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
1.函数fx在点x0处连续反映到函数fx的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数fx在点x0处不连续间断大致有以下几种情况如下图所示.
图甲表示的是fx在点x0处的左、右极限存在但不相等,即 fx不存在.
图乙表示的是fx在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 fx不存在的情况.
图丙表示的是 fx存在,但函数fx在点x0处没有定义.
2.函数fx在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数fx在点x=x0处有定义;
函数fx在点x=x0处有极限;
江苏高考数学重点难点
江苏高考数学重点难点一．函数（函数的概念、性质、初等函数与导数）【重难点】考察：函数的性质（单调性、奇偶性、周期性），初等函数的概念和性质（三角、指数、对数、幂）、导数的性质，运用以及函数与导数的结合（难点） （2014,第13题）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .19. 已知b a ,是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以b a ,为端点的开区间上单调性一致，求||b a -的最大值【解析】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数 形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．本题属难题．二、三角形1． 两角和（差）的正弦、余弦和正切【重点】（2012，第15题）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC = ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 2.解三角形（正弦定理、余弦定理及其应用）正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：a ²= b ²+ c ²- 2·b·c·c os A常考题，以中档题和难题为主例题：（2014，第14题）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ . （2012，第13题）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C b a a b c o s 6=+， 则BC A C tan tan tan tan +的值是__▲三. 平面向量必考题，以基础题和中档题考点为主，常考知识点：（1）平面向量的加法、减法和数乘运算（2） 平面向量的数量积（c 级考点）【重点】（2013，第15题）已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2012，第13题）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ．四.数列（等差数列和等比数列）【重难点必考，以难题为主】考察点：①求等差数列、等比数列的通项公式②数列的前n 项和：1、 用通项公式法： 规律：能用通项公式写出数列各项，从而将其和重新组合为可求数列和。
高考数学中的函数极限与连续性应用技巧
高考数学中的函数极限与连续性应用技巧数学作为高考重要科目之一，其中的函数极限与连续性是一项重要的考察内容。
函数极限与连续性的应用在高考中占据较大的比重，下面将介绍一些应用技巧，帮助同学们更好地应对高考数学考试。
一、一元函数极限的应用技巧在高考数学中，一元函数极限的应用经常涉及到函数的极限值、极值问题以及其他相关应用。
为了解决这些问题，以下是一些技巧和方法。
1. 利用函数极限求函数的极值：当函数极限存在时，可以通过极限的定义来求取函数的极值。
首先，找到函数的定义域和极限的边界条件；然后通过求导、求导数的零点以及边界点等方法，判断函数的极值存在性及其取值。
2. 利用函数极限解决趋向问题：对于一些趋向问题，我们可以利用函数极限的定义来解决。
一般来说，我们可以先将问题转化为数学表达式，然后通过函数极限的性质和操作方法来求取问题的解。
3. 利用函数极限推导变量间的关系式：在一些复杂的高考数学问题中，函数极限的应用可以帮助我们建立变量间的关系式。
通过对特定函数的极限进行分析，可以得到一定的关系式，进而解决问题。
二、连续函数的应用技巧连续性是高考数学中另一个重要的概念，相对于函数极限，连续函数的应用要略显复杂。
以下是一些应用技巧。
1. 利用连续函数求函数值：当一个函数是连续的时，可以通过直接将自变量的值代入函数表达式中，求得函数的函数值。
对于较复杂的函数，可以利用函数的性质和运算法则进行简化。
2. 利用连续函数解决函数存在性与唯一性问题：对于给定的方程或不等式，我们可以通过构造连续函数来解决其存在性与唯一性问题。
通过建立恰当的连续函数，并利用连续函数不变性、介值定理等技巧，可以判断给定方程或不等式是否存在解，以及解的个数和范围。
3. 利用连续函数解决极值问题：在高考中，我们常常遇到一些求函数的最大值和最小值的问题。
对于连续函数来说，可以通过求取函数的导数，找到导函数的零点和定义域的边界点，来判断函数的极值点和取值。
高三函数最难的部分知识点
高三函数最难的部分知识点函数作为高中数学的重要内容，对于高三学生来说，掌握其难点是提高数学成绩的关键。
本文将深入探讨高三数学中函数最难的部分知识点，帮助学生理解和应用这些概念，以便在高考中取得优异成绩。
一、函数的极限与连续性函数的极限是描述函数值随自变量变化而趋向于某一特定值的性质。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果f(x)趋近于某一确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim(x→a) f(x) = L。
理解极限的概念需要对“趋近于”和“无限接近”有深刻的认识，这是函数学习中的一个难点。
连续性是函数极限的直接应用。
一个函数在某一点连续，意味着在这一点附近，函数的值随着自变量的微小变化而变化，且这种变化是没有跳跃的。
如果一个函数在其定义域内的每一点都连续，我们就称这个函数是连续函数。
不连续的点称为间断点，间断点的分类和处理是学习中的又一难点。
二、导数与微分导数是函数图像变化率的数学表达，它描述了函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的局部性质。
导数的计算涉及到极限的概念，因此理解导数首先要对极限有深刻的理解。
导数的计算规则，如乘积法则、商法则和链式法则，是解决复杂函数求导问题的基础。
微分则是导数的另一种表现形式，它描述了当自变量有一个微小变化时，函数值的近似变化量。
对于函数f(x)，其在x点的微分记作df(x)或f'(x)dx，其中f'(x)是函数在x点的导数。
掌握微分的概念和计算方法，对于理解和应用导数至关重要。
三、函数的极值与最值函数的极值是指在函数图像上局部最大或最小值点的函数值。
寻找函数的极值点通常需要计算函数的一阶导数，并找出导数为零的点，这些点可能是极大值点或极小值点。
然后通过二阶导数测试或其他方法来判断这些点是极大值点还是极小值点。
这个过程涉及到导数的综合运用，是函数学习中的高级知识点。
最值问题则涉及到函数在整个定义域内的最大值和最小值。
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用函数是数学中一个非常重要的概念，而数学中的函数极限与连续性是函数理论中的核心内容。
在高考数学中，函数极限与连续性的理解与应用是考生们必须掌握的知识点。
本文将深入探讨函数极限与连续性的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解与应用这一知识。
一、函数极限函数极限是函数理论中的重要概念，它描述了函数随着自变量趋近于某一特定值时的变化情况。
函数极限的计算需要借助计算方法和理论，下面以一些典型的例子来介绍函数极限的概念与计算方法。
例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在 x = 2 处的极限。
解：要求函数在 x = 2 处的极限，可以使用直接代入法。
将 x = 2 代入函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 中，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 - 1 = 13。
因此，函数 f(x) 在 x = 2 处的极限为 13。
对于一些特殊的函数，无法使用直接代入法来计算极限。
这时，我们需要使用极限的定义与性质，通过近似与比较来求取极限的值。
例2：计算函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在 x = 2 处的极限。
解：将 x = 2 代入函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 中，得到 g(2) = 0/0。
这时我们无法直接计算极限。
通过因式分解，我们可以将函数 g(x) 化简为 g(x) = x + 2，那么在 x = 2 处的极限即为 g(2) = 4。
这两个例子展示了函数极限的计算方法，但实际问题中的函数极限更多是通过近似与推导来求取的，需要借助函数极限的性质与定义进行计算。
二、函数连续性函数连续性是函数在定义域内没有突变或断裂的性质，它描述了函数图像在定义域内的连续变化。
函数连续性的理解与判断需要借助连续函数的定义与性质，下面将对函数连续性进行详细讨论。
连续性的定义：函数 f(x) 在点 x = a 处连续，是指在 x = a 处的函数值等于极限值，即f(a) = lim(x→a) f(x)。
重难点06 函数的图像-2023年高考数学(热点 重点 难点)专练(全国通用)(解析版)
重难点06 函数的图像1．函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )． (3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称．(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )．(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )． 4．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称．2023高考函数图象部分仍以考查图像识别为重点和热点，难度为中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题，为难题，题型为选择题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D. 2．函数f (x )＝1－11x -（ ） A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减 【答案】B【解析】f (x )图象可由y ＝－1x图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．故选：B3．已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D. 4．函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.5．向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当容器是圆柱时，容积V =πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D 不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A 、C 不满足条件，而B 满足条件. 故选：B ．6．函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.7．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数2()1log f x x =+过1,02⎛⎫⎪⎝⎭排除A;根据1()2x g x -+=过()0,2排除B 、D, 故选C ．8．将函数21y =+的图象按向量平移得到函数的图象，则 A ．(11)a =--，B ．(11)a =-，C ．(11)a =， D ．(11)a =-，【答案】 A【解析】以函数y=2的图像为参照系，函数21x y =+的图象向上平移了1个单位，函数12x y +=的图象向左平移了一个单位，因此，只需把函数21x y =+的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位，即可得到函数12x y +=的图象，选A.9．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.2,12,1x x x x x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩2x R 则a 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[3,2]- C ．[2,23]- D ．[23,23]-【答案】A【解析】满足题意时()f x 的图象恒不在函数2xy a =+下方， 当23a =时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当23a =-时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项. 11．函数()21x f x x-=的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误； 又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.12．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图象有四个不同的交点．又做出该函数的图象如图所示，由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，故函数恰有4个零点时，b 的取值范围是故选D ．二、填空题13．设奇函数()f x 的定义域为[－5，5].若当x ∈[0，5]时，()f x 的图象如图，则不等式()f x ＜0的解集是________.【答案】(2,0)(2,5)-⋃【解析】利用函数()f x 的图象关于原点对称. ()0f x ∴<的解集为(2,0)(2,5)-⋃.故答案为：(2,0)(2,5)-⋃ 14．已知函数y ＝211x x --的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】y ＝1,11-x-1,11x x x x +≤->⎧⎨-<<⎩或 函数y ＝kx －2的图象恒过定点M (0，－2)， kMA ＝0，kMB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x ＞1或x ≤－1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k ∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．15．已知函数，，则方程实根的个数为______ 【答案】4【解析】试题分析：如图与交点个数为416．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________．【答案】[－1,1]【解析】画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示由图象可得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．。
全国高考数学函数知识难点归纳
全国高考数学函数知识难点归纳随着每年高考数学试题的发布，我们发现函数是数学考试中不可或缺的一部分。
而在整个数学考试中，函数是综合性能比较强的一个知识点。
因此，学生要深刻了解函数的属性及应用，才能更好的解题。
本文将依次介绍函数的定义、性质及应用，并重点分析全国高考数学中函数部分的难点归纳。
一、函数的定义函数是指两个数集之间的一种对应关系，一个数集为自变量集，另一个数集为因变量集，对应关系可用解析式描述。
其中，自变量范围内每一个实数只有唯一一个因变量与之对应。
二、函数的性质1.定义域和值域定义域是自变量所有可能取值集合，值域是函数在定义域内的所有可能取值集合。
2.单调性单调性是指函数随自变量单调递增或递减的特点。
单调递增在定义域内某区间内，随自变量增大，函数的值不减；单调递减则相反。
3.奇偶性若函数f满足f(-x)=f(x)，则称f为偶函数；若函数f满足f(-x)=-f(x)，则称f为奇函数。
4.周期性若存在一个正数T使得对于所有x∈R，有f(x+T)=f(x)成立，则称f为周期函数。
三、函数的应用函数在数学中的应用非常广泛，如物理、化学、经济等领域均有着重要的应用。
1.物理中的应用在物理学中，函数最常用的应用是运动方程。
运动方程是表述物体运动状态随时间变化关系的函数式，是研究物体运动的基本方法之一。
2.经济中的应用在经济学中，函数的应用很广泛。
例如，生产函数、需求函数、边际收益函数等，都是经济学中常见的函数表达式。
3.化学中的应用在化学中，函数的应用主要体现在物质的反应过程中。
例如，酸碱度、溶解度等都是化学反应过程中函数的应用体现。
四、全国高考数学中函数部分的难点归纳1.函数图像的绘制函数图像的绘制是函数部分中的核心部分，但其绘制过程相对来说比较困难。
在绘制函数图像时，需要熟练掌握函数的性质，并结合数学工具。
考生需要通过大量的例题训练，提高绘制函数图像的水平。
2.复合函数复合函数可以看作函数的一种“组合”，它是两个函数通过数学计算而组成的新函数。
高三数学知识点难点
高三数学知识点难点高三是学生们备战高考的重要时期，数学作为高考的一门重要科目，在高三的学习中也是难点较多的科目之一。
下面将从三个方面介绍高三数学知识点的难点，并提供相应的解决方法。
一、函数与导数函数与导数作为数学中的基础知识点，是高考数学必考的内容。
在高三阶段，学生们常常会遇到以下难点：1. 函数的性质和图像变换：包括函数的奇偶性、周期性、对称性等性质的判断，以及图像在平移、伸缩、翻转等变换中的变化规律。
2. 导数与函数图像的关系：包括导数的定义、常用的导数公式、导数与函数图像的变化规律等内容。
解决方法：- 系统学习函数和导数的定义、性质、公式等基本知识，掌握函数图像的基本变换规律。
- 多做函数与导数的相关题目，加深对知识点的理解和掌握，注重分析函数与导数之间的关系。
二、概率与统计概率与统计是高考数学的另一个重要知识点，也是高三学生较为困惑的内容。
以下是高三学生常见的概率与统计难点：1. 条件概率与事件独立性：包括条件概率的计算方法、事件独立性的判断等内容。
2. 抽样调查与推断统计：包括样本的选择方法、统计推断的理论基础等内容。
解决方法：- 理解概率与统计的基本概念和定义，掌握条件概率和事件独立性的判断方法。
- 多进行实际案例分析，结合现实生活中的问题进行概率与统计的应用练习。
三、三角函数与向量三角函数与向量是高三数学中的另一重点难点。
学生们常常会面临以下困惑：1. 三角函数的定义与性质：包括三角函数的定义、性质、周期性等内容。
2. 平面向量的运算与应用：包括平面向量的基本运算、向量的数量积与向量积的计算等内容。
解决方法：- 温故三角函数的基本定义和性质，熟练掌握三角函数的公式和变换规律。
- 在进行向量的计算与应用时，注意运算规则的正确应用，注重练习和实际问题的结合。
总结：高三数学的难点主要集中在函数与导数、概率与统计以及三角函数与向量等内容上。
要解决这些难点，首先需要系统学习相关知识，并进行大量的练习和实际应用。
高考数学复习重点难点归纳
高考数学复习重点难点归纳高考数学复习重点难点归纳数学复习的过程里，学生可以把从前做过的错题集中处理一下，通过改正错误，填补自己的知识漏洞，并将复杂习题的解题思路重新领会，加强对常用解题法的掌握。
下面是小编为大家整理的高考数学复习重点难点，希望对您有所帮助!高考数学复习重点第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考数学冲刺注意事项重视新增内容考查，新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。
例如：三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。
立足基础，强调通性通法，增大覆盖面。
从历年高考试题看，高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。
突出新课程理念，关注应用，倡导“学以致用”。
新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。
加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要，也是作为工具学科的数学学科特点的体现。
有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。
高考数学冲刺策略1、拓实基础，强化通性通法。
高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
新高考数学难点知识点
新高考数学难点知识点1.函数：在新高考数学中，函数是一个重要的概念。
难点主要在于对函数的定义和性质的理解，包括函数的定义域、值域、掌握函数图像的画法和性质，如奇偶性、对称性等。
2.极限与连续：极限与连续是微积分的基础。
学生需要理解极限的概念，掌握极限的计算方法，并能应用极限理论解决实际问题。
同时，连续函数及其性质也是需要重点掌握的内容。
3.导数与微分：导数与微分是微积分中最基本的概念之一、学生需要掌握导数的定义与性质，包括导数的几何意义和物理意义，以及各种函数的导数计算法则。
此外，微分的概念及其应用也是需要重点理解和掌握的内容。
4.不等式与不等式组：不等式的理解与运用是数学中常见的难点。
学生需要掌握不等式的基本性质和求解方法，包括一元一次不等式、一元二次不等式以及多元不等式组的求解方法。
同时，需要注意不等式的变形和运算规则。
5.向量与立体几何：向量与立体几何是新高考数学中的重要内容。
学生需要掌握向量的定义、运算法则以及向量的性质，包括向量的共线、垂直等概念。
同时，需要理解和掌握立体几何中的基本概念和定理，如平行线与平面、空间直线与平面的位置关系等。
6.概率与统计：概率与统计是数学中的一门重要的应用学科。
难点主要在于理解概率的概念与性质，包括事件与概率、条件概率、随机变量等。
此外，需要掌握统计的基本概念和统计方法，如数据的收集整理、描述性统计、参数估计与假设检验等。
除了上述的难点知识点，还有其他一些相对较难的内容，如三角函数与解三角形、数列与数项等。
对于学生来说，通过多做习题、归纳总结，加强对难点知识点的理解和掌握，是提高数学成绩的有效方法。
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用1.函数的连续性函数的连续性是指在其定义域上，函数在任意一点的左右极限存在且相等，即函数在这一点处没有跳跃或间断现象。
具体来说，函数f(x)在x=a处连续，是指当x无限接近于a时，f(x)无限接近于f(a)。
要判断函数的连续性，可以通过求函数的极限来进行判断。
设函数f(x)定义域为D，x=a是D的一个聚点，则函数f(x)在x=a处连续的充要条件是：lim┬(x→a)f(x)=f(a)在求函数的极限时，可以运用极限的性质，如四则运算、复合函数的极限、三角函数的极限等。
2.应用题在高考中，经常会出现与函数的连续性相关的应用题，下面我们通过例题来具体分析：例1：设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，则方程f(x)=3的根的个数为（）。
解析：根据题目中给出的条件，我们知道函数f(x)在x=1、x=2和x=3处的函数值，而函数在这些点上连续。
由于函数在这些点的函数值没有间断现象，所以可以用插值法求解方程f(x)=3的根。
由于f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，我们可以直观地发现，函数在x=2和x=3之间有一个根，所以方程f(x)=3的根的个数为1例2：已知函数f(x)在[-1,1]上连续，且f(x)满足f(x^2)=f(x)，则f(0)的值为（）。
解析：根据题目中给出的条件，我们可以看出函数f(x)存在关于x的对称性，即函数关于x轴对称。
所以，我们只需要找到函数f(x)在[0,1]上的值即可。
由于函数在[-1,1]上连续，所以可以得到f(1)=f((-1)^2)=f(-1)，即f(1)=f(-1)。
由对称性可得f(0)=f(1)=f(-1)。
所以f(0)的值为f(1)=f(-1)。
因此，f(0)的值在题目中是无法确定的。
通过以上两个例题的分析，我们可以看出，对于函数的连续性应用题，需要根据题目中给出的条件来进行具体分析。
高考数学必修二考点知识难点整理
高考数学必修二考点知识难点整理高考数学必修二是高中数学的必修课程之一，也是高考数学中必考的一部分。
在学习必修二的过程中，学生需要掌握一些基本的数学知识，同时也需要深入理解一些难点和考点。
本文将针对高考数学必修二的考点知识难点进行整理。
一、函数及其应用函数是数学上重要的概念之一，也是高考数学中的重要考点。
在学习函数的过程中，学生需要掌握以下几个知识点：1. 函数的定义：函数是一种具有自变量和因变量的关系，其中自变量的值唯一决定了因变量的值。
2. 函数的性质：函数具有单调性、奇偶性、周期性和对称性等特点。
3. 函数的图像：函数的图像是通过将自变量和因变量的值对应起来得到的一条曲线。
在考试中，学生需要熟练掌握常见函数的图像。
4. 函数的应用：函数在数理化、经济、生物、社会等方面都有广泛的应用。
在学习中，要学会将数学知识应用到实际问题中去。
二、数列和级数数列和级数也是高考数学必修二中的重要考点。
在学习这一部分内容时，学生需要掌握以下几点：1. 数列和级数的定义：数列是按照一定规律排列的一组数，级数是由数列中的每一项相加得到的和。
2. 数列的性质：数列有单调性、有界性、有极限等特点。
3. 常见数列：常见数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等，在考试中需要熟练掌握这些数列。
4. 序列极限：序列极限是数列中数值越来越接近某个值的情况。
在求解序列极限时需要运用极限的概念，需要学生掌握基本的极限运算法则。
三、三角函数及其应用三角函数也是高考数学必修二中的难点之一，在学习三角函数的过程中，学生需要掌握以下几个知识点：1. 三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数等是三角函数的常用形式。
2. 三角函数的图像：三角函数的图像是根据自变量和因变量的取值关系得出的。
3. 三角函数的性质：三角函数有周期性、奇偶性、单调性等特点。
4. 三角函数的应用：三角函数在三角测量、物理、工程、航空等领域都有广泛的应用，在考试中需要学生熟练掌握三角函数的常用应用。
高考数学备考重点与难点解析
高考数学备考重点与难点解析在备考高考数学时，了解并掌握数学的重点和难点知识是非常重要的。
本文将对高考数学备考过程中的重点与难点进行解析，帮助考生更好地备考。
1. 逻辑与证明在高考数学中，逻辑与证明是一项重要的考察内容，也是考生备考的重点。
该部分主要包括等价命题、逆否命题、充分必要条件等基本概念和推理方法。
考生应牢记各种逻辑联结词及其推理规则，并能够正确运用于实际问题的推理过程中。
2. 函数与方程函数与方程是高考数学的核心内容之一，也是备考的重点。
考生需要熟悉各种常用函数的性质与图像，并能够灵活运用到解题过程中。
另外，方程的解法也是备考的难点，对于一元高次方程、二元一次方程组等内容，考生应掌握各种解法及其应用。
3. 三角与立体几何三角与立体几何是高考数学备考中的难点内容，但也是得分较高的考点。
在三角几何部分，考生需要熟练掌握正弦定理、余弦定理、解三角形、海伦公式等内容，并能够熟练运用到实际问题的求解过程中。
在立体几何部分，考生需要了解各种多面体、球的性质与计算，并能够解决与体积、表面积等相关的问题。
4. 概率与统计概率与统计是高考数学中相对较容易的部分，但也是备考的重点。
在概率与统计中，考生需要掌握基本的概率计算方法、事件的独立性、条件概率等内容，并能够运用到实际问题的解决过程中。
此外，对于统计部分，考生需要了解频率分布、样本调查、抽样调查等基本概念，并能够进行数据的整理与分析。
5. 向量与坐标系向量与坐标系是备考高考数学中的重点内容。
考生需要熟练掌握向量的运算、线性相关与线性无关、向量的数量积等内容，并能够应用到实际问题的解决过程中。
此外，坐标系的建立与运用也是备考的难点，考生需要了解直角坐标系、极坐标系、参数方程等内容，并能够准确地描述图形的位置与性质。
6. 导数与微分导数与微分是高考数学中的难点部分，但也是备考的重点内容。
考生需要了解导数的定义与性质，能够求出函数的导数，并能够应用到实际问题的求解过程中。
高考数学冲刺策略函数的极限与连续性
高考数学冲刺策略函数的极限与连续性高考数学冲刺策略：函数的极限与连续性在高考数学的征程中，函数的极限与连续性无疑是一座重要的山峰，需要我们勇敢攀登并成功征服。
对于即将面临高考的学子们来说，掌握有效的冲刺策略，在这一板块取得高分，是实现数学成绩突破的关键。
首先，让我们来理解一下函数的极限到底是什么。
简单来说，函数的极限就是当自变量无限接近某个值时，函数值所趋近的一个确定的数。
这就好像你朝着一个目标不断靠近，虽然可能永远无法真正到达，但却越来越接近那个目标所代表的数值。
连续性则是函数的一种良好性质。
一个连续的函数就像是一条没有断裂的曲线，能够在其定义域内平滑地过渡，不会出现突然的跳跃或者断开。
那么，在冲刺阶段，我们该如何攻克这一难关呢？第一，回归教材，夯实基础。
教材是知识的根源，里面的定义、定理和例题都是经过精心编排的。
对于函数的极限与连续性的定义，一定要逐字逐句地理解，牢记于心。
比如极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，｜f(x) A| ＜ε，其中 A 就是函数 f(x) 在 x 趋近于 x₀时的极限。
只有把这些基础的定义理解透彻，才能在解题时游刃有余。
第二，多做真题，总结规律。
历年的高考真题是最好的复习资料。
通过做真题，我们可以了解高考在这部分内容的命题风格和考查重点。
在做题的过程中，要善于总结规律。
比如，对于求函数极限的题目，常见的方法有代入法、消去零因子法、有理化法、等价无穷小替换法等等。
每做完一道题，都要思考一下这道题考查的知识点是什么，用到了哪些方法和技巧，自己在哪些地方容易出错。
第三，建立错题本，查漏补缺。
把自己在练习和考试中做错的题目整理到错题本上，分析错误的原因，是概念不清、计算失误还是方法不对。
然后针对自己的薄弱环节进行有针对性的复习和强化训练。
比如，如果总是在等价无穷小替换的问题上出错，那就专门找一些相关的题目进行练习，加深对这一知识点的理解和掌握。
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难点33函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x (1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x ,(1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2,其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x 则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b .●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3)lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于()A.23 B.32 C.1 D.02.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为()A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→=_________.4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________.三、解答题5.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( 21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3,lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1,lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1),lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续.又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f 2311111)0(11111(323=+++=++++++=f x x x 答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x 即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.答案：C 二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案：π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f xx x x f x x x x x 解析答案：21三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1)lim 10-→x f (x )=－1,lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续.(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x )=lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )=lim 0+→x f (x )=lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =217.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)。