厦门大学第12届景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)
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一、 求下列各题极限(每小题5分,共15分)
(1) 求极限 20(32sin )3lim tan x x
x x x
→+-. 原式2
ln(1sin )3222
000022(1sin )1ln(1sin )e 133lim3lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x +→→→→+-+-=⋅== 02
sin 23lim 3
x x
x →==.
另解:原式ln(32sin )ln32200e [ln(32sin )ln 3]lim lim x x x x x e x x e x x
ξ+→→-+-== 0012sin 2sin 2
lim
lim 33
x x x x x x η→→===. (两次应用拉格朗日中值定理) 其中ξ在ln(32sin )ln 3x x x +与之间,η在(32sin )3x +与之间.
(1) 设12121,2,(2,3,)n n n x x x x x n --===+=,求极限1
lim n n
x →∞
. 解:将递推的数列等式12n n n x x x --=+看成是二阶常系数的齐次差分方程 其特征方程为210λλ--=,其特征根为12λλ=
=,故此差分方程的通解为1122n n n x c c λλ=+,其中12,c c 为常数,其特解可由121,2x x ==定
出,由于12lim
,lim 0n n n n λλ→∞→∞
=+∞=,所以 112211
lim lim 0n n
n n n x c c λλ→∞→∞==+. 另解:由题设条件知,对1n ∀>,0n x >,且120n n n x x x ---=>,即{}n x 严格单增,所以1212n n n n x x x x ---=+<,112n n x x ->,即有 211
2
n n x x -->, 故 211121213333()()()2
2
22
n n n n n n n x x x x x x ------=+>>>
>= 厦门大学第十二届“景润杯”
数学竞赛试卷(理工类)
竞赛日期 2015年5月30日
所以 1
11
0lim
lim 03()
2
n n n n x →∞→∞-≤≤=,即1lim 0n n x →∞=.
(3)设可微函数()f x 满足 0()
lim 1x f x x
→=,求
t +
→.
解:由 0
()
lim
1x f x x
→= 得(0)0,(0)1f f '==. 记
2]2f y dy f dy +=
2t
⎰
lim t t
t t +
+
→→=
3
3
0()()222lim lim t
u
t
t
t t t uf u du uf u du t
t π
π+
+
+
→→→===⎰⎰
20
0()()(0)lim lim (0)3333
t t tf t f t f f t t ππππ+
+
→→-'====. 二、(8分)设函数()f u 可导,且满足1()()c
af x bf x x
+=,其中,,a b c 是
常数,且||||a b ≠,求(())f f x 的导数.
解:由1()()(1)1
()()(2)
c af x bf x x
af bf x cx x ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
, (1)(2)a b ⨯-⨯,得
22()()ac
a b f x bcx x
-=
-,即22()()()c a f x bx a b x =--
令 22()()c a u bx a b x =--,则
222()()du c a
b dx a b x
=--- [(())][()]()d f f x d f u du du
f u dx du dx dx
'=⋅=⋅
222222
()()()()c a c a
b b a b u a b x
=
--⋅---- (代入u ) 2222222222()[()]()()c a a b a a bx b b a b c x x
--=-++-. 三、(8分)设函数()f x 在[0,1]上有连续的导数,且(0)(1)0f f '==,证明至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()()f f ξξ'=.
证明:构造辅助函数()()x F x e f x -=,则()F x 在[0,1]上连续可导,且
()[()()]x F x e f x f x -''=-,1(0)(0),(1)(1),F f F e f -'''==-
若对(0,1),()0x F x '∀∈≠,则有下面两种情况 (i)
对(0,1),()0x F x '∀∈>,此时()
F x ,(1)(0)0F F >=,1(1)0e f ->,
从而(1)0F '<,这与1(1)lim ()0x F F x -
→''=≥矛盾, (ii) 对(0,1),()0x F x '∀∈<,此时()
F x ,(1)(0)0F F <=,1(1)0e f -<,
从而(1)0F '>,这与1(1)lim ()0x F F x -
→''=≤矛盾。 从而至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()()f f ξξ'=. 四、(8分) 证明不等式 sin (1)(01)x
x x x ππ
>-<<
证明:设sin ()(1)(01)x
F x x x x ππ
=
--<<
()cos 21F x x x π'=+-,令()0,F x '= 解得驻点为1
0,,12
x =
2
()2sin (sin )F x x x πππππ
''=-=-,(0)(1)20F F ''''==>
1()202F π''=-<,故01x =和是()F x 的极小值点,12
x =是()F x 的极大值点。 由罗尔定理,在区间1(0,)2
上,
2()(sin )F x x πππ''=-仅有唯一的一个零点1ξ,当10x ξ<<时,()0F x ''>,当112x ξ<<时,()0F x ''<,又1(0)()02
F F ''==,