相似矩阵的性质及应用

华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2013年11月6 日摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。

矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。

相似矩阵有很多应用。

例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。

本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。

关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值英文题目：The properties and application of similar matrixAbstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further researchis the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector引言：矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。

由于矩阵相似的应用范围相当广泛。

本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。

1.矩阵相似的定义与基本性质1.1矩阵相似的定义设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似. 若矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使),,(2,11n diag AP P λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值.令n m C S ⨯∈为非奇异矩阵，考察矩阵n m CA ⨯∈的线性变换 ASS B 1-= 令线性变换B 的特征值为λ，对应的特征向量为y ，即 y By λ=将式AS S B 1-=代入上式，即有y ASy S λ=-1或)()(Sy Sy A λ=令Sy x =或x S y 1-=，则式)()(Sy Sy A λ=可以写作x Axλ= 比较y By λ=和x Axλ=两式可知，矩阵A 和AS S B 1-=具有相同的特征值，并且矩阵B 的特征向量y 是矩阵A 的特征向量x 的线性变换，即x S y 1-=。

由于矩阵A 和AS S B 1-=的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。

于是：设 A 、B 都是n 阶方阵，若有可逆方阵S ，使BAS S =-1，则称B 是 A 的相似矩阵。

或者说矩阵A 与B 相似。

对A 进行运算 Ap p 1- 称为对A 进行相似变换。

可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换阵。

1.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性：A A ~。

对称性：B A ~则A B ~。

传递性：B A ~及C B ~可得：C A ~。

如果n 阶矩阵A ,B 相似，则它们有相同的特征值。

但逆命题不成立。

相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有相同的秩。

2)相似矩阵的行列式相等。

3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。

当它们可逆时，它们的逆也相似。

4)B A ~则k k B A ~，N k ∈、T T B A ~、11~--B A （若A ，B 均可逆）、B E A E -=-λλ从而A ，B 有相同的特征值。

5).若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式.6). A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应i λ的特征向量.7). A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.8). 实对称矩阵A 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交. 9). 若λ是实对称矩阵A 的r 重特征值,则A 对应特征值λ恰有r 个线性 无关的特征向量.10).任何一个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似. 11).对n 阶方阵A ，以下三条等价: ⑴A 可对角化;⑵A 有n 个特征值（重根按重数计），且∀r （＞1）重特征值λ; ⑶A 有n 个线性无关的特征向量.12).对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.1.3相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形J 。

由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。

利用它不仅容易求出矩阵A 的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。

定义：形如111i iii i ii m m J λλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的方阵称为i m 阶若尔当块。

其中i λ可以是实数，也可以是复数。

定理：矩阵~A B 的充要条件是他们相应的特征矩阵I A I B λλ--。

每个n 阶复矩阵A 都与一个若尔当标准形J 相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵A 唯一决定。

复矩阵A 可对角化的充要条件是A 的特征矩阵的初等因子全为一次式。

2. 相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.2.1 将常系数线性微分方程组⎝⎛+++=+++=+++=.;;22112222121212121111n nn n n n n n n n u a u a u a dtduu a u a u a dtdu u a u a u a dt du (2-1)写成矩阵形式Au dtdu= (2-2) 其中u=(T n u u u ),,,21 ,n n ij a A *)(=为系数矩阵,令(3-2)式的解u=x e t λ, (2-3)即 (T n u u u ),,,21 =T n t x x x e ),,,(21 λ. 将(2-3)式代入（2-2）得λx e t λ=A x e t λ=Ax e t λ,化简得X AX λ=,即(2-3)式中λ为A 的特征值,X 为λ对应的特征向量;若A 可对角化,则存在n 个线性无关的特征向量,,,,21n x x x 于是得到(2-2)式的n 个线性无关的特解.u 1=111x e t λ, u 2=22x e t λ,, u n =n t x e n λ.它们的线性组合 =u c 1111x e t λ+c222x e t λ+…+cnn t x e n λ,(2-4)(其中n c c c ,,,21 为任意常数)为(2-1)式的一般解,将(2-4)式改写成矩阵形式u=),,,(21n x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ttt n e e e λλλ 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21, 记 c=(n c c c ,,,21 )T ,Λt e =diag (t t t n e e e λλλ,,,21 ) p=),,,(21n x x x ,则(2-1)式或(2-2)式有一般解c pe u t ∆=(2-5) 对于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∆=00,u t u u dt du(2-6) 解为01u p pe u t -∆=(2-7)因为t=0代入(2-5)式得 c=01u p -.例2 解线性常系数微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+=.2;54;313212211x x dt dx x x dt dx x x dt dx 已知初始值为: .2)0(,1)0(,1)0(321=-==x x x解 本题的初始值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-===Tx x Axdt dx)2,1,1()0(0其中 110450102A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可得A 的约当标准形,即有可逆矩阵 P =012025111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3001300021J AP P . 由(2-7)式,该初值问题的解为01x P Pe X tJ -=(2-8)其中 ,!)(!2)(2 +++++=n tJ tJ tJ I e ntJ(2-9)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n n n nn C J 30033000230013000211 (2-10)将(2-10)式代入(2-9)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tJ e te ee e 333200000 (2-11)再将(2-11)式及1,-P P 代入(2-8)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t tt t t t te t e e t e t e te e et x t x t x x 32333332321)34(2)61()31(21101202511300000111520210)()()( 2.2 对于n 阶线性齐次常系数微分方程1111()()()()0n n n n n n d x t d x t dx t a a a x t dt dtdt---++++=(2-12) 可令2112321,,,,n n n dx d xd xx x x x x dt dtdt--==== 于是可得与方程(2-12)同解的方程组12231121n n n ndx x dt dx x dt dx a x a x a x dt-⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=----⎪⎩(2-13)式(2-13)可写成矩阵形式dXAX dt=(2-14) 其中12(,,)T n X x x x =,12(,,,)T n dx dx dx dXdt dt dt dt=, 11010000001n n A a a a -=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程323234120d x d x dxx dt dt dt--+=(2-15)解 令21232,,x x dx d xx x dt dt===于是(2-15)式可变成等价的方程组122331231243dx x dt dx x dt dx x x x dt ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-++⎪⎩即dXAX dt= 其中 123(,,)T X x x x =,312(,,)T dx dx dx dX dt dt dt dt=,010*******A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可求得A 的特征值为1233,2,2λλλ===-，对应的特征向量分别为123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)T T T X X X ===-于是由上例知,312112233t tt X C C C X eX e X e λλλ=++322123111322944t t t C C C e e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而3221123t t t C C C x x e e e -==++ 其中(1,2,3)i C i =为任意常数.3 相似矩阵在现实生活中的应用例3.污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解 设x 0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y 0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t 个期间的污染和工业发展水平分别记为x t 和y t ,它们之间的关系是：1111322t t t t t t x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩t=1,2,…(3-1)记 A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2213 , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t y x α , 则(3-1)的矩阵形式为 ,1-=t t A αα t=1,2,… (3-2)如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0α=[],00Ty x 利用(3-2)就可以预测第k 个期间该地区的污染和工业发展水平k α,这是因为由(3-2)可得.,,,0021201αααααααk k A A A A ====这表明k α可通过k A 求得,为此考察A 能否对角化,计算出A 的特征多项式.()f λ=|A E -λ|=)4)(1(2213--=----λλλλ由A 有2个相异的特征值1和4知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11=λ,解,0)(=-X A E 可得A 属于1的一个特征向量[].211T=ξ对于,42=λ解,0)4(=-X A E 可得A 属于4的一个特征向量[].112T=ξ令[],21ξξ=P 有A=[].411-P Pdiag[],424*22414*213112113140011211411⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-k k k k k kkPPdiag A 所以 kα=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-+-++=00000)42()4*22()41()4*21(31y x y x A kk kk kα (3-3)就是所要的预测结果,对不同的0α值代入(4-3)即可求得k α.例如：若[]T110=α，有[]Tk kk 44=α,(实际上此时0α就是属于4的特征向量,所以[]);44400Tk kk k k A ===ααα若[],210T=α有[].42413111Tk k k +++-+-=α这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.例 4. 人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k 年该省城的城镇人口和农村人口分别设为k x ,k y ,据题意有11110.90.20.10.8k k k kk k x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩ 即0.90.20.10.8A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ k k k x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 110()k k k k A A A A αααα--====为计算k A ,仍考察A 能否对角化.计算出A 的特征多项式0.90.2()(1)(0.7)0.10.8f E A λλλλλλ--=-==----由于A 有2个相异的特征值1和0.7知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11λ=解()0E A X -=可得A 属于1的一个特征向量[]121Tξ=; 对于20.7λ=解(0.7)0E A X -=可得A 属于0.7的一个特征向量[]211Tξ=-. 令[]12P ξξ=,有1[10.7]A Pdiag P -=,11(0.7)k k A Pdiag P -⎡⎤=⎣⎦1021112(0.7)22*(0.7)111112330(0.7)1(0.7)12*(0.7)k k k k k ⎡⎤+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用 00x y m +=,可得00000002(0.7)22*(0.7)131(0.7)12*(0.7)2(2)(0.7)13(2)(0.7)k kkk k k kk x A y m x y m x y αα⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦从而有000021(2)(0.7)3311(2)(0.7)33k k kk x m x y y m x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩数列{}{},k k x y 的极限为21lim ,lim 33k k k k x m y m →∞→∞== 这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有23为城镇人口,13为农村人口.4.矩阵相似在代数方面的应用.例5.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将61熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。