3.2.2含参二次不等式
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
-1 0 1 答案：（-1，0）∪（1，+∞）
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 13
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
绝对值不等式的解法
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 11
解：原不等式可化为
2
2
3
4
1 x 5x 5 1 x2 5x 5 1 x 2 5 x 4 0 (1) 2 即 2 x 5 x 5 1 x 5 x 6 0 (2) 解不等式（1），得解集 x |1 x 4 , 解不等式（2），得解集 x | x 2, 或x 3 ,
∴原不等式的解集是不等式(1)和不等式(2)的解集的 交集，即 x |1 x 4 x | x 2, 或x 3
x |1 x 2, 或3<x<4
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-8-15
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§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
b {x|x≠ } 2a
R Φ
2
Φ
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
温故知新 解一元二次不等式的步骤： ①把二次项系数化为正数； ②解对应的一元二次方程； ③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数 y 图象； ④得出不等式的解集． x ● x2 ● 1 o x 记忆口诀：大于0取两边，小于 0取中间.(a>0且△>0)
0 4
15
-1
2013-8-15
3
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
2021-2022学年北师大版必修5 3.2.2 一元二次不等式的应用 教案
不等式恒成立问题解法研究教学设计教材地位与教学内容分析：1、本节课在高考中的地位：不等式恒成立问题，特别是含参不等式，把导数，不等式，函数，三角，几何，数列等内容有机地结合起来，覆盖知识点广，渗透的数学思想方法多，解题方法灵活，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素质。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
2、本节课的主要教学内容：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法等解决不等式恒成立问题教学目标1、掌握求不等式恒成立问题中参数范围的常见策略与方法，能根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范围.2、通过不等式恒成立问题解法研究，理解换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法.3、培养学生思维的灵活性、创造性，提高学生的综合解题能力.教学重难点重点：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法难点：根据不同条件用适当方法求参数范围教学方法：引导发现，合作探究，总结归纳教具：多媒体课件教学时间：40分钟教学过程：〔一〕导入不等式恒成立问题是中学数学的一类重要题型，它散见于许多知识板块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
今天这节课我们就来探讨不等式恒成立问题的解法。
（二）例题精讲一、利用二次函数性质例1 〔1〕 假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围为〔 〕〔2〕上题假设改为“假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立〞，那么k 的取值范围是.归纳：1、在R 上恒成立问题，利用判别式：对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：〔1〕R x x f ∈>在0)(上恒成立⇔；〔2〕R x x f ∈<在0)(上恒成立⇔ .2、在给定区间上恒成立问题，分类讨论：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔二、别离参数法 例1〔2〕〔方法二〕：假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立,那么k 的取值范围是.归纳：假设在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，那么可将恒成立问题转化成函数的最值(或上、下界)问题求解。
3.2.2一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的应用
一元二次不等式解法
(, x1 ) ( x2 ,)
{x | x
b } 2a
R
φ
( x1 , x2 )
φ
例1.某种汽车在水泥路面上的刹车 距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车 距离大于39.5m, 那么这辆汽车刹车前的 车速至少为多少？（精确到0.01 km/h）
若a>2,则原不等式的解集为｛x|2<x<a｝; 若a=2,则原不等式的解集为空集; 若a<2,则原不等式的解集为｛x|a<x<2｝.
例4.若不等式x2-mx+n0的解集为{x| －5x1}，求实数m、n的值. 解：根据解集为{x|-5x1}可构造一元 二次不等式： （x+Fra bibliotek）（x-1）0
即：
x2+4x-5 0
与原不等式对照得 m=－4, n=－5.
2 1．若不等式ax +bx+1>0的解集为
则求实数a、b的值. 2．已知关于x的不等式（a2-4） x2+(a+2)x-10的解集为空集，求a的取值 范围. （选做题）3．已知关于x的方程 x2+(m+2)x+m+5=0,问当实数m在什么范围内 取值时，方程有两个不同的正根？
m 2 m 5 m 4或m 4
得 -5<m<-4.
1 ,1 2
1.答：a= －2, b=1 2.解答：如果a=-2, 原不等式为 0· x2+0· x-10,解集为空集，故a=-2符合要求； 如果a=2,原不等式为4x-10, 解集不是空 集，故a=2不合要求； 当a2时，原不等式为一元二次不等式， 2 解集为空集的条件是 a 4 0
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 含参数一元二次不等式的解法课时作
第2课时 含参数一元二次不等式的解法A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( B ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－aD ．－a ＜x ＜5a[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根x 1＝－a ，x 2＝5a ，∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a . 2．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( A )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋1)<0x ＋1≠0(x －2)2≠0，解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．3．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4[解析] 因不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 4．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为( D )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1][解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．5．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( A ) A ．m ＜－2或m ＞2B ．－2＜m ＜2C ．m ≠±2D ．1＜m ＜3[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴Δ＝m 2－4＞0，∴m ＜－2或m ＞2.6．下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)[解析] 本题考查了分式不等式解法等．由1x >x 知1x －x >0，1－x 2x>0即x (1－x 2)>0，所以x <－1或0<x <1；由1x <x 2知1x －x 2<0，1－x 3x<0，即x (1－x 3)<0，所以x <0或x >1，所以不等式x <1x<x 2的解为x <－1，选A ．本题可也用特殊值代入法进行排除．二、填空题7．不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立的条件是__0<m <2__.[解析] x 2＋mx ＋m2>0恒成立，等价于Δ<0，即m 2－4×m2<0，解得0<m <2.8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是__0≤a ≤4__. [解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ≤0a >0，∴0<a ≤4.综上知0≤a ≤4. 三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x －13x ＋1>0； (2)axx ＋1<0.[解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12.故原不等式的解集为{x |x <－13或x >12}．(2)axx ＋1<0⇔ax (x ＋1)<0.当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x <－1或x >0， ∴解集为{x |x <－1，或x >0}．综上可知，当a >0时，原不等式的解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >0}．10．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0的解集是R? [解析] 由a 2－1＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立， ∴当a ＝1时，满足题意．当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0，∴x >－12，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a ≠－1.当a ≠±1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.综上可知，实数a 的取值范围是－35<a ≤1.B 级 素养提升一、选择题1．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( A ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0D ．m ≥－4[解析] 令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，因为f (x )在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，f (x )取最小值－3，所以m ≤－3.2．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( A )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由4x 2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3(x ∈R )⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0，解得1<m <3.3．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解只有－2，则实数k 的取值范围是( A )A ．[－3,2)B ．(－∞，2)C ．(－3,2]D ．(－∞，2][解析] 由x 2－x －2>0得x <－1或x >2，由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0得(2x ＋5)(x ＋k )<0，依题意，结合数轴得－2<－k ≤3，即－3≤k <2.故选A ．4．已知不等式：(1)x 2－4x ＋3<0；(2)x 2－6x ＋8<0；(3)2x 2－9x ＋m <0.若同时满足(1)(2)的x 的值也满足(3)，则实数m 的取值范围是( C )A ．{m |m >9}B ．{m |m ＝9}C ．{m |m ≤9}D ．{m |0<m <9}[解析] 解不等式(1)得1<x <3.解不等式(2)得2<x <4，所以同时满足不等式(1)(2)的x 的取值范围是{x |2<x <3}．依题意，当2<x <3时2x 2－9x ＋m <0恒成立，即m <－2x 2＋9x 恒成立，而当x ∈(2,3)时，－2x 2＋9x ∈(9，818]．故当m ≤9时，m <－2x 2＋9x 恒成立．故选C ．二、填空题5．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是__{m |m ≥25}__.[解析] 令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7. ∵方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，m －116>1，f (1)>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R ，∴m 的取值范围是{m |m ≥25}．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__4__.[解析] 因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝a 2－4b ＝0，又f (x )<c 的解集为(m ，m ＋4)，即m ，m ＋4是方程x 2＋ax ＋a 24－c＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝－a ，m (m ＋4)＝a 24－c ，将a ＝－2m －4代入m (m ＋4)＝a 24－c ，整理得c ＝4.三、解答题7．(2019·山东寿光现代中学高二月考)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2， 由a 2－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2>a . ∴原不等式的解为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. (4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．8．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？[解析] 由题意可列不等式如下：(20－52t )·24 000·t %≥9 000，整理得t 2－8t ＋15≤0，解得，3≤t ≤5.所以t %应控制在3%到5%范围内．。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
3.2.2一元二次不等式应用
§3.2.2一元二次不等式应用刘俊民 西工大附中 710072【教材版本】北师大版【教材分析】1.知识内容与结构分析2.知识学习意义分析3.教学建议与学法指导（同上节）【学情分析】（同上节）【教学目标】1.知识与技能巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；学习解简单的分式不等式与特殊的一元三次不等式；2.过程与方法培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3.情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。
【重点难点】1.教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法2.教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系【教学环境】◆多媒体教室◆课件【教学思路】本节课复习上节课所学一元二次不等式的解法，学习解简单的分式不等式与特殊的一元三次不等式.【教学过程】一、问题情境1.复习:一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y a x b x c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？2.解不等式: (1) 234x x ->； (2)0322>-+-x x ；(3) 2(1)(30)0x x x --->； (4)2212311x x x -≥+-． 3．归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．二、数学运用1．例题例1 用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例 2 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x k m h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．解：由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速．例4 已知：{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤， (1)若A B ⊂≠，求a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求a 的取值范围；(3)若A B 为一元集，求a 的取值范围；(4)若A B B =，求a 的取值范围；解：由题意 {|12}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--≤（1）A B ⊂≠，2a ∴>； （2）B A ⊆，12a ∴≤≤； （3）A B 只有一个元素，1a ∴≤2．练习：课本第93页练习第1，3题三、回顾小结1．有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；2．利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式．四、作业布置课本第98页习题3.2 5，6，8。
3.2含参一元二次不等式的解法(二)
3.含参不等式恒成立的问题
知识概要
例3：已知关于x的不等式：
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立 (a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，
a 0
b2
4ac
0
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
3、不等式中的恒成立问题
二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想
反馈练习
1.已知不等式 ，求a,b
ax 2
bx 1
0的解集为
x
1 2
x
1
3
2.若不等式 mx2 2mx 4 2x2 4x 对任意实
数 x 均成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
方程a(x 2)(x 3) 0的两根为x1 2, x2 3
当a 0时，不等式的解集为x | x 2或x 3；
当a 0时，不等式的解集为x | 2 x 3
综上所述：……
新课探究：
例3、解关于解关于x的不等式x2 5x a 0
分析：不等式的二次项系数为1，所以考虑不等
小结： 系数，确定不等 式类型
的正负，确定根 小，确定解集 的情况
不等式ax2 bx c 0的讨论级别如下框架进行
当a=0时，不等式就成为一次不
0等 式或结更论 低次数的不等式，解集
a 0 0很 显然结的论 ，但是这种情况容易丢
优先 0失 ，所xx11以在xx解22 题 时结 结论 论 考虑
高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二
2．2 一元二次不等式的应用知识点一 简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一 根的分布问题【例1】 已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】 本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图． 若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0， 即27－m <0，解得m >27.规律方法 一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二 高次不等式的解法【例2】 解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】 解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号． 在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四 一元二次不等式的应用【例4】 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】 利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法 此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围． 解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】 有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】 如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】 设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法 对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】 原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】 错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】 原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0， 即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0， 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0， 解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)． 解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
含参二次不等式的解法
含参二次不等式的解法一、含参二次不等式的基本形式对于含参二次不等式，一般形式为ax^2+bx + c>0（a≠0，a、b、c含有参数）或者ax^2+bx + c<0。
二、按二次项系数a的取值分类讨论1. 当a = 0时- 此时不等式化为一次不等式。
例如bx + c>0。
- 若b>0，则x>-(c)/(b)；若b<0，则x<-(c)/(b)；若b = 0，当c<0时，x∈R，当c≥slant0时，不等式无解。
2. 当a≠0时- 我们先考虑二次函数y = ax^2+bx + c的判别式Δ=b^2-4ac。
- 当a>0时- 若Δ>0，二次函数y = ax^2+bx + c与x轴有两个交点x_{1}=(-b-√(Δ))/(2a)，x_{2}=(-b +√(Δ))/(2a)，此时不等式ax^2+bx + c>0的解集为x<x_{1}或x>x_{2}；不等式ax^2+bx + c<0的解集为x_{1}<x<x_{2}。
- 若Δ = 0，二次函数y = ax^2+bx + c与x轴有一个交点x_{0}=-(b)/(2a)，不等式ax^2+bx + c>0的解集为x≠ x_{0}；不等式ax^2+bx + c<0无解。
- 若Δ<0，二次函数y = ax^2+bx + c的图象在x轴上方，不等式ax^2+bx + c>0的解集为R；不等式ax^2+bx + c<0无解。
- 当a<0时- 若Δ>0，二次函数y = ax^2+bx + c与x轴有两个交点x_{1}=(-b-√(Δ))/(2a)，x_{2}=(-b+√(Δ))/(2a)，此时不等式ax^2+bx + c>0的解集为x_{1}<x<x_{2}；不等式ax^2+bx + c<0的解集为x<x_{1}或x>x_{2}。
3.2含参数一元二次不等式解法
(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，
不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.
纵上所述，原不等式的解集为： a＞0时，{x|－2a＜x＜a}
a＝0时，∅
a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
2.解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0.
解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋2<0，解 集为{x|x>2}． (2)当a>0时，原不等式化为(ax－1)(x－2)<0，
【解】
①当a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立.
若a＝－1，则原不等式为2x－1＜0，不恒成立.
②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条
件是
3 解得 a 1 5
3 综上所述 a 1时，上述不等式解集为全体实数 5
变式：如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取 值范围是 (
1 (3)若 0＜ a＜ 1 时，x－ (x－ 1)<0， a
1 原不等式的解为 1＜ x＜ . a
综上所述，当 a＜0 时，解集为
1 xx＜a 或 x＞ 1 ；
当 a＝0 时，解集为 { x|x＞ 1}；
1 当 0＜ a＜1 时，解集为x1＜ x＜a .
2 b 4ac 0
对于一元二次不等式ax2+bx+c<0,它的解 集为R的条件为： a 0
2 b 4ac 0
例3： 当a为何值时，不等式
(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集是全体实数.
若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则先考虑a＝0的
情形，然后按照 求解.
含参二次不等式问题求解策略
解含参二次不等式运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想
课后作业：
1. 解下列不等式：
① 2x2 kx k 0
② x2 (a 3)x 2(a 1) 0
2. 关于 x 的不等式：(k 1)x2 (k 1)x 1 0 恒成立，求k的范围.
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
变式3.解关于x的不等式 ax2 (6a 1)x 6 0
(1)当a=0时， 解集为x | x 6 ⑴ 当 1 6,即a 1 时
(2)当a≠0时，
方程ax 1x 6 0的 6a 12 0
4
y
（1）当⊿=25a2－25>0 ， 即a 1 或 a 1时
（2解）集当为⊿：=25ax2－x 255=a0，225即a2 a25或x1时5a
25a2 25
2
O
y
x
解集为：
x
x R且x
（3）当⊿=25a2－24<0, 即
5 2
1
a ;
a
1时
Oy
x
解集为：R.
O
x
综上：当 a 1 或 a 1 时，解集为：x x 5a
0
0
0
y
y
y
y ax2 bx c
(a 0)的图象
x1 x2
O
x
O
xO
x
方程ax 2 bx c＝0的根
x1、2＝ b
b2 4ac 2a
二
x1＝x2
b 2a
一元二次不等式及其解法-完整版课件
第2课时 含参数一元二次不等式的解法
1 课前自主预 习
2 课堂典例探 究
3 课时作 业
课前自主预习
• 一辆汽车总重量为ω，时速为v(km/h)，设它从刹车到停车行走的距离
L与ω、v之间的关系式为L＝kv2ω(k是常数)．这辆汽车空车以50km/h行
驶时，从刹车到停车行进了10m，求该车载有等于自身重量的货物行 驶时，若要求司机在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令 到实施刹车的时间为1s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到 1km/h)
• [辨析] 错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题
不全面导致错误．
[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2－6kx＋(k＋8)≥0 恒成立．当 k＝0 时满足，当 k≠0 时△k＞＝036k2－4kk＋8≤0 ， ∴0＜k≤1，综上得 0≤k≤1.
一元二 含 二参 次数 不的 等一 式元—根 正据 确情 进况 行分类讨论 次不等式分式不等式的解法—转化成整式
由图知，①式的解为 x≤13，或 x≥2，或 x＝1.
由②式知 x≠13，且 x≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或 x>2，或 x＝1}．
[方法总结] 穿根法求高次不等式的解集： (1)求解过程概括为： 化正 ⇒ 求根 ⇒ 标根 ⇒ 穿根 ⇒ 写集 (注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值． (3)奇次(奇次根)穿透，偶次(偶次根)返回．
不等式32x－－x1≥1 的B．{x|x≤34或 x＞2}
C．{x|34≤x＜2}
• [答案] C
D．{x|x＜2}
[解析] 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案
（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法 描述： 高次不等式的解法 解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是： （1）将 f (x) 最高次项系数化为正数； （2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积； （3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出； （4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根 要穿而不过； （5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式 的解集． 例题： 解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ． 解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ． 利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a
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3.2.2含参二次不等式
【学习目标】
1.进一步深入理解一元二次不等式的解法，会解含参数的一元二次不等式；
2.加深对数形结合和分类讨论的认识和理解.
【复习回顾】1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2.一元二次不等式揭发步骤：
【典型例题】
讨论点1：交点位置（两根大小，谁左谁右）
例1.解关于x 的不等式0)1(2
>---a a x x 变式训练：1.解不等式)0(01)1(2≠<++-a x a
a x 2.解关于x 的不等式0
)1(2>--+m x m x 讨论点2：函数x 轴交点个数（方程解的个数）（判别式2
=4b ac ∆-的符号）
例2.解不等式042>++ax x
变式训练：1.解关于x 的不等式：0
)2(2
>+-+a x a x 2.解关于x 的不等式0222>++ax x 讨论点3：开口方向（二次项系数）
例3.解关于x 的不等式：01)1(2
<++-x a ax 变式训练：1.解不等式)0(0652
≠>+-a a ax ax 2.已知关于x 的不等式2
320ax x -+>)(R a ∈.
①若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．②求不等式ax x ax ->+-5232
)(R a ∈的解集
例4.解关于x 不等式012
<-+ax ax 变式训练：1.解不等式0
1)2(2
>+++x a ax 2.解不等式)(014)1(22R m x x m ∈≥+-+【提高练习】解关于x 不等式033)1(2
2>++-ax x a 总结：（含参二次不等式解法）
1.二次项系数符号的讨论：是否是一元二次不等式；对应的二次函数图像开口的方向；
2.判别式符号的讨论：对应的一元二次方程是否有根；对应的二次函数图像与x 轴的交点个数；
3.两根大小的讨论：判别式0>，对应的一元二次方程有两个根；
【达标查学】
1.若10<<a ，关于x 的不等式()01>⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--a x x a 的解集为2.解关于()0
332>++-a x a x x 的不等式：3.解关于()0
112<++-x a ax x 的不等式：4.解关于0
622>+-ax x x 的不等式：5.解不等式0
2lg )(lg 2>--x x。