数学建模中的最短路算法

• 若网路中存在负回路，则计算 若网路中存在负回路， 会小于0， 中，某些 dii 会小于 ，此时应 中断算法 • 显然，Floyd 算法要进行 显然， n(n-1)2 次加法和比较 • 如何回溯找出任两点之间的最 短路？ 短路？ • 在Floyd 算法中设一伴随矩阵 E={eik}， eik 记录了 i 到 k 最短 ， 路中最后一个中间节点
最短路问题
一 、狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959)
• 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路
的直接距离(两点之间有边 两点之间有边)， 令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离 两点之间有边 ，若两点之间 没有边， 两点之间是有向边， 没有边，则令 dij = ∞，若两点之间是有向边，则 dji = ∞； 令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 ， 表示始点，
1
例1 狄克斯特拉算法 ∞ 10 11 ∞
2 10
0 s
1 8 9 3 4
12 15 ∞
5 20 2 2 30
∞ t 31
15
8 4 ∞ 8
7
6
13 ∞ 15
2
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围 最短路算法的特点和 最短路算法的特点
• 一种隐阶段的动态规划方法 • 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上 每次迭代只有一个节点获得永久标记， 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记； 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 • 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij≥0， 的最短路， ， 次迭代得到的永久标记， 条边， 第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因 此最多有n 此最多有 −1 次迭代 • 可以应用于简单有向图和混合图，在临时标记时，所谓相邻 可以应用于简单有向图和混合图 在临时标记时， 简单有向图和混合图， 必须是箭头指向的节点； 必须是箭头指向的节点；若第 n−1 次迭代后仍有节点的标记 为 ∞，则表明 vs 到该节点无有向路径 • 如果只求 vs 到 vt 的最短路，则当 vt 得到永久标记算法就结束 的最短路， 了；但算法复杂度是一样的 • 应用 Dijkstra 算法 n−1 次 ，可以求所有点间的最短路 • vs 到所有点的最短路也是一棵生成树，但不是最小生成树 到所有点的最短路也是一棵生成树，
0、令始点Ts=0，并用框住，所有其它节点临时标记 Tj=∞ ； 、 框住， ， ∞ 1、从 vs 出发，对其相邻节点 vj1 进行临时标记，有 Tj1=ds,j1 ； 、 出发， 进行临时标记， 2、在所有临时标记中找出最小者，并用框住，设其为 vr 。若此 、在所有临时标记中找出最小者， 框住， 时全部节点都永久标记， 否则到下一步； 时全部节点都永久标记，算法结束；否则到下一步； 3、从新的永久标记节点 vr 出发，对其相邻的临时标记节点进行 、 出发， 再标记， 为其相邻节点， 再标记，设 vj2 为其相邻节点，则 Tj2=min{Tj2, Tr+dr,j2 }，返回 ， 第2步。 步
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7 查伴随矩阵 E 的第一行 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 2 0 2 5 5
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小结
• 最短路有广泛的应用 (6.3.4节 市话局扩容方案 节 市话局扩容方案) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈， 图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 混合图，无负边权，有负边权，有负回路， 最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比 当存在负权值边时， 算法比Dijkstra算法效率高， 算法效率高， 算法比 算法效率高 且程序极简单。 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 若图是前向的， 算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 一般情况下， ， 路是 P算法 算法 • 两点间 最短路：分为边不相交的和边相交的 两点间k-最短路 最短路： 求边不相交的 最短路非常容易：先求最短路， 不相交的k-最短路非常容易 求边不相交的 最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 最短路中的边从网路删去，再用 算法可求次最 短路， 短路，以此类推 6
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1 Warshall-Floyd算法 (1962) 算法
• Warshall-Floyd算法可以解决有负权值边(弧)的最短路问题 算法可以解决有负权值 算法可以解决有负权值边 • 该算法是一种整体算法法， • 该算法不允许有负权值回路，但可以发现负权值回路 该算法不允许有负权值回路 负权值回路， • 该算法基于基本的三角运算 对给定的点间初始距离矩阵{d ， 定义 对给定的点间初始距离矩阵 ij}，令dii=∞，对所有 i。 ∞ 。 对一 个固定点 j，运算 dik=min{dik, dij+djk}, 对所有 i, k ≠ j , ， 三角运算。 注意， i=k) 称为 三角运算。(注意，这里允许 i=k) 执行三角运算， 定理 依次对 j=1,2,…,n 执行三角运算，则 dik 最终等于 i 到 k 间最短路的长度。 间最短路的长度。
j dij i dik djk k
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6.3.2 Floyd-Warshall 算法 (1962) for i=1 to n do dii=∞; ∞ for all eij=0; for j=1 to n do for i=1 to n do if i≠j then ≠ for k=1 to n do if k≠j then ≠ begin dik=min{dik, dij+djk}; if dik>dij+djk then eik=j end;