山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一第一学期期中考试试题 数学【含解析】

山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一第一学期期中考试试题 数学一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知全集为R ，集合{}23Ax x x <->＝或，{}2,0,24B =-，，则()R C A B ⋂=（ ） A.2,0,2B. {}2,2,4-C. {}2,0,3-D. {}0,2,4【答案】A 【解析】集合{}23Ax x x <->＝或，{}2,0,24B =-，， {}(){}|23,?2,0,2R R C A x x C A B =-≤≤⋂=-.故选A.2.函数()()lg 101f x x x =--的定义域是（ ） A. R B. []1,10C. ()1,10D. ()(),11,10-∞-⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，被开方数不小于零，分母不为零列不等式组，解不等式组即可.【详解】解：由已知得10010x x ->⎧⎨->⎩，解得110x <<，函数()()lg 101f x x x =--的定义域是()1,10， 故选：C.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，关注常见的限制条件，如真数大于零，被开方数不小于零，分母不为零等，是基础题.3.已知幂函数()y f x =的图象过点3,33（），则3log (3)f 的值为 A.12B. 1C.32D. ﹣1【答案】C 【解析】 【分析】由题意，设幂函数()()f x x R αα=∈，根据题设条件，求得32α=，即()32f x x =，代入即可求解答案.【详解】由题意，设幂函数()()f x x R αα=∈，又由幂函数()y f x =的图象过点3,33（），则333α=，解得32α=，即()32f x x = 所以32333log (3)log 32f ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式及其对数的应用，其中解答中根据幂函数的定义，求得幂函数的解析式，再利用对数的运算计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ） A. 21()f x x = B. 2()1f x x =+C. 3()f x x =D. ()2xf x -=【答案】A 【解析】试题分析：A 中21()f x x=是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，故A 满足题意；B 中2()1f x x =+是偶函数，但在(,0)-∞上是减函数；C 中3()f x x =是奇函数；D 中()2xf x -=是非奇非偶函数．故,,B C D 都不满足题意，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、单调性.5.已知函数22,2()log (1),2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则((5))f f 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】由函数22,2()log (1),2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩ ，可得()225log (51)log 42f =-==，所以2((5))(2)24f f f ===，故选D.6.已知()()310f x ax bx ab =++≠，若()2018f k =，则()2018f -等于( )A. kB. k -C. 1k -D. 2k -【答案】D 【解析】 【分析】利用()()2f x f x +-=可求()2018f -的值.【详解】因为()31f x ax bx -=--+，所以()()2f x f x -+=，所以()()201820182f f -+=即()20182f k -=-，选D.【点睛】一般地，如果()()f x g x m =+，其中()g x 为奇函数，那么()f x 的图像关于()0,m 对称，且()()2f x f x m -+=.7.要使()13x g x t +=+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ）A. 1t ≤-B. 1t <-C. 3tD. 3t ≥-【答案】C 【解析】 【分析】 函数()13x g x t +=+是由指数函数3x y =平移而来的，根据条件作出其图象，由图象来解．【详解】解：指数函数3xy =过定点(0,1)， 函数()13x g x t +=+过定点(0,3)t +且为增函数，要使()13x g x t +=+的图象不经过第二象限，只须函数()13x g x t +=+与y 轴的交点的纵坐标小于等于0即可，如图所示，即图象不过第二象限，则30t +≤3t ∴≤-，则t 的取值范围为：3t ．故选：C ．【点睛】本小题主要考查指数函数的图象变换、函数图象的应用、不等式的解法等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 8.设13212112,log ,log 33a b c -===，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. b c a <<【答案】C 【解析】试题分析：1221log log 33c ==，函数2log y x =在0,上单调递增，故21211log log 33b c =<=，又131221log log 31,201,33c a a a c -==>==∴<<<，而21log 03b =<.综上知b a c << 考点：指数函数，对数函数的性质9.函数2()(41)2f x x a x =--+，在[]-1,2上不单调，则实数a 的取值范围是( )A. 1(,)4-∞-B. 15-44（，）C. 15-44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 5(,)4+∞【答案】B 【解析】 【分析】根二次函数的图象与性质，可得其对称轴的方程为412a x -=，要使得函数()f x 在区间[]1,2-上不是单调函数，只需41122a --<<，即可求解. 【详解】由题意，二次函数2()(41)2f x x a x =--+的开口向上，对称轴的方程为412a x -=， 又因为函数()f x 在区间[]1,2-上不是单调函数，所以41122a --<<，解得1544a -<<，即实数a 的取值范围是15(,)44-，故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10.已知函数22()log 2xf x x-=+，则函数()f x 的图象（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于直线y x =对称D. 关于原点对称【答案】D 【解析】 【分析】先根据 f （-x ）=-f （x ），可得f （x ）为奇函数，故f （x ）的图象关于原点对称． 【详解】∵()22log 2x f x x -=+，∴()22log 2x f x x +-=-=-22log 2xx-+=-f （x ）， ∴f（x ）为奇函数，故f （x ）的图象关于原点对称， 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称.11.函数y=log a （-x ）（a ＞0且a≠1）与函数y=a x（a ＞0且a≠1）在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据图像形状可以区分出指数函数与对数函数的类型，结合a 对函数的影响可以求得. 【详解】当1a >时，xy a =和log ay x =均为增函数，而log ()a y x =-的图像和log a y x =的图像关于y轴对称，结合选项可得A.【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数图像的识别.底数a 的值对函数的单调性起决定作用，应该从a 进行分析.12.若函数()f x 为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，又()30f =，则()()0f x f x x+-<的解集为（ ） A. ()3,3-B. ()(),33,-∞-+∞C. ()()3,03,-⋃+∞D. ()(),30,3-∞-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．【详解】解：由题意画出符合条件的函数图象：∵函数()y f x =为偶函数，∴()()0f x f x x+-<转化为()0xf x <，由图得，当0x >时，()0f x <，则3x >；当0x <时，()0f x >，则30x -<<；综上得，()()0f x f x x+-<的解集是：(3,0)(3,)-⋃+∞，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.若0a >且1a ≠，则函数24()3x f x a -=+的图象恒过定点______.【答案】()2,4 【解析】 【分析】先根据指数部分为零求解出x的值，再根据x 的值即可计算出对应的()f x 的值，则图象恒过的定点为()(),x f x .【详解】令240x -=，得2x =，0(2)34f a ∴=+=，∴函数24()3x f x a -=+的图象恒过定点()2,4.故答案为：()2,4. 【点睛】对于形如(0bx cy ad b +=+≠，0a >且)1a ≠的指数型函数，其恒过的定点的求解方法：先令0bx c +=，计算出x 的值即为定点的横坐标，再根据x 的值计算出()f x 的值即为纵坐标，所以恒过的定点为()(),x f x .14.已知幂函数2()(1)mf x m m x =--在(0,)x ∈+∞上单调递减，则实数m = .【答案】1- 【解析】试题分析：因为函数2()(1)mf x m m x =--为幂函数，故2211202m m m m m --=⇒--=⇒=或1m =-，而函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，故0m <，所以1m =-.考点：幂函数的图像与性质.15.已知()3log log ln 0n x ⎡⎤=⎣⎦，则满足条件的x 的值是__________．【答案】3e 【解析】 【分析】利用式子log 10,log 1a a a ==等计算即可. 【详解】解：()3log log ln 0n x ⎡⎤=⎣⎦,()3log ln 1x ∴=， ln 3x ∴=，3x e ∴=，故答案为：3e .【点睛】本题考查解简单的对数方程，充分利用log 10,log 1a a a ==进行计算，是基础题.16.若函数()(),034,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦对定义域中的任意两个不相等的12,x x 都成立，则a 的取值范围是____________. 【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】首先根据条件判断函数是单调递减函数，那么分段函数在每段都是单调递减函数，并且分界点处需满足()0304a a a ≥-⨯+，列不等式组求解a 的范围.【详解】设12x x <()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，()()12f x f x ∴> ，()f x ∴是定义域内的单调递减函数，则分段函数在每段都是单调递减函数，并且分界点处需满足()0304a a a ≥-⨯+，∴ 001304a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥⎩，解得：104a <≤ ，故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查根据分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于基础题型，除了每段函数的单调性和函数的单调性一致，还需保证分界点处的不等式，不要漏掉. 三、解答题（本题共6个小题，共70分） 17.计算：（1）()112306132 3.831242⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）341lg 2lg 3lg5log 2log 94-+-⋅. 【答案】（1）12-；（2）2【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可.【详解】解：（1）()11230631393312 3.8312131213424222⎛⎫⎛⎫+--=⨯=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）341lg 2lg3lg5log 2log 94-+-⋅ 32lg 22lg 23lg 5log 2log 3=++-⋅()53lg2lg 1+-= 2=.【点睛】本题考查指数对数的运算性质，特别是对数的计算，公式log log 1,log log n a na b a b a b b ⋅==的灵活使用是关键，是基础题.18.已知集合{}{}{}|17,|210,|A x x B x x C x x a =≤<=<<=<，全集实数集R ．（1）求(),R A B C A B ⋃⋂，； （2）如果AC φ≠，求a 的取值范围．【答案】（1）{}110x x ≤，{}|710x x ≤<；（2）1a >． 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集和并集、补集的运算，即可求解(),R A B C A B ⋃⋂；（2）由A C φ≠，画出数轴，即可运算得到a 的取值范围． 试题解析：（1）{}110A B x x ⋃=≤，2分(){}{}{}|17|210|710R C A B x x x x x x x ⋂=<≥⋂<<=≤<或．5分（2）当1a >时满足A C ⋂≠∅．10分 考点：集合的运算．19.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2. (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图像，并指出f (x )的单调区间．【答案】(1) 见解析； (2)增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞) 【解析】 【分析】（1）只需先求出x≤0时的表达式．由奇函数的性质可得f （﹣0）=﹣f （0），可求得f （0）；当x ＜0时，﹣x ＞0，利用已知表达式可求得f （﹣x ），根据奇函数性质可得f （x ）=﹣f （﹣x ），由此可求得f （x ）；（2）根据二次函数的图像的性质可分段求出单调区间； 【详解】(1)设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2.又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝x 2＋2x －2.又f (0)＝0，∴f (x )＝(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图像，其图像如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)【点睛】本题考查利用奇偶性求分段函数的解析式，考查二次函数的单调性，考查分类讨论思想．求解析式时，一般是求谁设谁，再通过奇偶性将设的自变量的范围转化到已知表达式的一段上的自变量的范围，直接代入解析式，最终通过奇偶性得到结果即可.20.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元）可近似看成一次函数y kx b =+（如图）.（1）根据图象，求一次函数y kx b =+的表达式；（2）设公司获得的利润（利润=销售总价-成本总价）为T 元。