高等数学 (B) 教学大纲

高等数学 (B) 教学大纲
（课程编号07011211。

学分--学时--上机：10 –192--8）
东南大学数学系
一、课程的性质与目的
本课程是工科类各专业的一门重要的基础理论课程。

本课程的教学目的，是使学生系统地获得微积分与常微分方程的基本知识（基本概念、必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想方法，以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。

二、课程内容的教学要求
1．高等数学I
（1）极限与连续：理解数列极限和函数极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系，会利用极限定义证明某些简单的极限；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，知道Cauchy收敛准则；理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小代换求极限；理解函数在一点处连续和间断的概念，知道函数的一致连续性概念；了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型；了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理和介值定理），会用介值定理讨论方程根的存在性。

（2）一元函数微分学：理解导数和微分的概念及其几何意义，了解函数的可导性和连续性的关系，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率，了解微分概念中所包含的局部线性化的思想；熟练掌握导数与微分的运算法则及基本公式，了解一阶微分形式的不变性；熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数的计算，会求分段函数的导数，会计算常用简单函数的n阶导数，会求函数的微分；会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；理解并掌握Rolle定理、Lagrange中值定理，了解Cauchy中值定理；理解函数的极值概念，熟练掌握利用导数求函数极值，判断函数增减性、凸性、求曲线拐点及函数作图（包括求渐近线）的方法，会解决应用题中简单的最大值和最小值问题；熟练掌握利用L′Hospital法则求未定式极限的方法；理解并掌握Taylor定理，掌握e x、sin x、cos x、ln(1+x)及(1+x) 的Maclaurin公式，了解Taylor定理中用多项式逼近函数的思想；了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；知道求方程近似根的二分法和切线法的思想。

（3）一元函数积分学：理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质，了解定积分中值定理；理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握Newton-Leibniz公式；熟练掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的换元和分部积分法；会求简单有理函数、
简单三角函数有理式及简单无理函数的积分；熟练掌握用微元法建立一些常见的几何量和物理量的定积分表达式，从而求出这些量的方法，会求函数的平均值；了解梯形法和抛物线法求定积分的近似值的基本思想；理解两类反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分。

（4）常微分方程：理解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解等基本概念；熟练掌握一阶变量可分离方程和线性方程的解法；掌握一阶齐次型方程和Bernoulli 方程的识别和解法，从中领会用变量代换求解微分方程的思想；会识别及解全微分方程；掌握用降阶法求解某些特殊类型的二阶方程；理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；熟练掌握二阶常系数线性齐次方程及具有某些特殊自由项的非齐次方程的解法，知道高阶常系数线性齐次方程的解法；了解用常数变易法解二阶常系数线性非齐次微分方程的思想；会识别及求解Euler 方程；知道简单的常系数线性微分方程组的解法；会用微分方程或方程组解决一些简单的应用问题；知道微分方程的幂级数解法。

（4）数学实验：了解数学软件Mathematica 的基本知识和主要功能，会利用数学软件进行观察数列极限、绘制一元函数图形及考察其性态、Taylor 公式与函数逼近、定积分近似计算等实验。

2．高等数学II
（1）无穷级数：理解级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质；掌握几何级数和p 级数的收敛性；掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式和根值审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法，知道正项级数的积分审敛法；知道反常积分的审敛法（比较法和极限法）；掌握交错级数的Leibniz 定理，并会估计符合Leibniz 定理条件的交错级数的截断误差；理解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，知道任意项级数的审敛步骤；理解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道一致收敛概念和优级数判别法；熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；了解函数展开为Taylor 级数的充分
必要条件，熟练掌握e ,sin ,cos ,ln(1)x
x x x +和(1)x α+的Maclaurin 展开式，会用间接法将一些简单函数展成幂级数，了解利用幂级数进行近似计算的思想；了解用三角级数逼近周期函数的思想，理解Fourier 级数的概念，了解函数展开为Fourier 级数的Dirichlet 定理，会将定义在[-,l l ]上的函数展开为Fourier 级数，会将[0，l ]上的函数展开为正弦级数或余弦级数，知道Fourier 级数的复数形式。

（2）向量代数与空间解析几何：理解向量的概念，熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）及两个向量夹角的求法，平行和垂直的条件，知道三向量共面的条件；掌握单位向量、方向数、方向余弦及向量的坐标表达式，熟练地用坐标表达式进行向量运算；熟悉平面和直线的方程，掌握根据已知条件求平面和直线方程的方法，掌握利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的标准方程及其图形，知道用截痕法讨论曲面的方法；掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的一般式方程与参数式方程，了解空间
曲线在坐标面上的投影，并会求其方程。

（3）多元函数微分学：理解点集、邻域、区域及多元函数的概念；了解二元函数的极限和连续的概念，知道有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充分条件和必要条件，了解全微分形式的不变性，会求全微分；理解和掌握方向导数和梯度的概念和求法；熟练掌握复合函数和隐函数的求导法则，掌握求高阶偏导数的方法；知道二元函数的Taylor公式；掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法；理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件并会求极值，会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

（4）多元函数积分学：理解二重积分、三重积分、两类曲线积分及两类曲面积分的概念和性质；熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）和三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标和球面坐标）；知道重积分的一般换元法则，会用一般换元法则计算一些简单的二重积分和三重积分；熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算法，了解两类曲线积分、两类曲面积分之间的区别和联系；掌握Green公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；掌握Gauss公式并会利用它计算曲面积分，了解Stokes公式，并能利用它计算某些曲线积分；会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量；了解场的基本概念和某些特殊场，了解散度、旋度的概念及计算。

（5）数学实验：会利用数学软件进行空间曲线与曲面的绘制、无穷级数与函数逼近、最小二乘法等实验；会进行简单编程。

三、上机实验要求
通过上机实习学会使用软件和进行数学实验。

利用数学软件进行观察数列极限、绘制函数图形及考察其性态、积分近似计算、函数逼近等实验。

四、能力培养的要求
1．抽象思维能力的培养：主要通过对基本概念、主要定理和典型例题的讲授及学生通过证明题的练习，培养学生的逻辑推理、分析论证、演绎归纳、空间想象等抽象思维能力。

2．计算能力的培养：要求学生通过本课程的学习，具有熟练进行微积分基本运算的能力。

3．自学能力的培养：通过本课程的教学，培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，以及围绕教学内容，阅读参考资料，自我扩充知识领域的能力。

4．表达能力的培养：主要通过作业和习题课与课堂讨论，培养学生通过书面或口头清晰、简洁地表达自己理解问题和解决问题的思路和步骤的能力。

5．创新能力的培养：通过作业和数学实验，培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯以及一题多解、举一反三的能力，应用数学的意识以及运用所学数学知识分析问题、解决问题的能力。

四、建议学时分配
五、考核方式
总评成绩＝平时成绩+数学实验成绩＋期中考试成绩＋期末考试成绩
平时成绩占10%，数学实验5%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占65% 六、教材及参考书
1．宋柏生、罗庆来主编.高等数学（上册、下册）. 高等教育出版社，2000 2．董梅芳、周后型、张华富编.高等数学习题课教程.高等教育出版社，2000 3. 董梅芳、黄骏主编.高等数学（上册、下册）.东南大学出版社，2002。