不定积分-定积分复习题及答案-精品
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）仅供参考积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,我们把函数f(x) 的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数f(x) 的不定积分. 记作∫f(x)dx其. 中∫叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x) 的不定积分,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x) 的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x) 的导数是f(x), 那么F(x)+C （C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说,把f(x) 积分,不一定能得到F(x), 因为F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以f(x) 积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用F(x)+C 代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx 上(限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b] 上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b] 的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx(上限 a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
不定积分+定积分及其应用习题附带答案
1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )()F x ()f x (),-∞+∞()F x ()f x A ．偶函数 B ． 奇函数C ． 非奇非偶函数 D ．不能确定2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数()f x cos x ()g x 2x ()f g x ⎡⎤⎣⎦为 ( )A ．B ． 2x 2cos x C ． D ．2cos x cos x3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )()f x A ． ()()1222f x dx f x c '=+⎰B ．()()22f x dx f x c'=+⎰C ． ()()()222f x dx f x ''=⎰D ．()()2f x dx f x c'=+⎰4．设且()22cos sin f x x '= ,则=( )()00f =()f x A ． B ． 212x x -212x -C ． D ．1x -313x x-5．设是的一个原函数,则2xe-()f x ( )()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ．22xe -28xe-C ． D ．22xe--24xe-6．设,则=( )()xf x e -=()ln f x dx x'⎰A ．B ． 1x-c +ln x c -+C ．D ． 1c x+ln x c +7．若是的一个原函数,则ln x x ()f x =()f x '8．设的一个原函数为()()tan 2f x k x =,则 2ln cos 23x k =9．若,则()2f x dx x c =+⎰=()231x f x dx -⎰10．()()2cos 2sin 2d θθθ=⎰11．若,则()()f x dx F x c =+⎰()xx ef e dx --=⎰12．若,则()ln cos f x x '=⎡⎤⎣⎦()f x =13．计算()23x xe dx +⎰14．计算()()sin ln cos ln x x dx x⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰15．计算ln(tan )sin cos x dxx x ⎰16．计算21arctan1x dx x +⎰17．计算11sin dx x+⎰18．计算19．计算20．计算21．计算22．计算23. 计算()221tan xex dx+⎰24．已知的一个原函数为,求()f x sin x x()3x f x dx '⎰1、解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A()()f x F x '∴=2、解:(1),()()cos sin f x x x '==- ()()()22sin 2g x x x f g x x'==∴=-⎡⎤⎣⎦(2)()2cos 2cos (sin )xx x '=- 选B sin 2x =-∴3、解:()()12222f x dx f x d x''=⎰⎰()122f x c =+选A4、解：(1)()22cos 1cos f x x '=- ()1f x x'∴=- (2)()22x f x x c=-+且得()00f =0c =,选A ()22x f x x =-5、解：(1)原式=()()()022limx f x x f x x∆→-∆--⎡⎤⎣⎦-2∆()2f x '=-(2)()2xF x e-= ()()222x xf x e e --'∴==-(3) 原式= 选D222(2)4xx ee ----=6、解：(1)()()ln ln ln f x dx f x d xx''=⎰⎰()ln f x c=+(2)(),xf x e -= ()1lnln 1ln x xf x e ex-∴===(3)原式=选C 1c x+7、解：(1)()ln F x x x= ()()1ln f x F x x'∴==+(2) ()()11ln f x x x''=+=8、解：()2ln cos 23F x x =()()2sin 223cos 2xf x x -∴=-故 ()()4tan 21ln 3x F x x '=-=+43k =-9、解： 原式=()()331113f x d x ---⎰()3113x c =--+10、解：原式=2222cos sin 4sin cos d θθθθθ-⎰221144sin cos d d θθθθ=-⎰⎰11cot tan 44t cθθ=--+或1csc 2c θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11、解：原式=()()xxx f edeF e c----=-+⎰12、解：()ln cos f x dx xdx'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰()1ln sin f x x c =+()1sin sin c x xf x e c e -==⋅13、解:原式=()22323x xx x e e dx ⎡⎤++⋅⎢⎥⎣⎦⎰()2923xxxe dx dx e dx=++⎰⎰⎰219232ln 91ln 3x x xx e e c ⋅⋅=++++14、解:原式=()()sin ln cos ln ln x x d x⋅⎰()()sin ln sin ln x d x =⎰=()21sin ln 2x c +⎡⎤⎣⎦15、解:原式=()2ln tan tan cosx dxx x⎰()ln tan tan tan x d xx=⎰()()ln tan ln tan x d x =⎰ ()21ln tan 2x c =+⎡⎤⎣⎦16、解:原式=221arctan11x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰21arctan111x d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰11arctan arctand x x=-⎰211arctan 2cx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17、解:原式=21sin 1sin xdx x --⎰21sin cos cos x dx dx x x=-⎰⎰2cos tan cos d xx x =+⎰1tan cos x cx=-+18、解:2,1,2t x t dx tdt==-=原式=()2221211tdt dt tt t=++⎰⎰=2arctan t c+c+回代19、解:令2tan ,sec x t dx tdt==原式=32tan sec sec ttdtt⎰=2tan sec td t⎰()2sec 1sec t d t=-⎰31sec sec 3t t c =-+()()3122221113x x c +-++回代20、解:令2sin ,2cos x t dx tdt ==原式=2cos 2sin cos t dtt t ⎰1csc 2tdt =⎰()1ln csc cot 2t t c -+公式12c 回代21、解:(倒代换)令211,x dx dt t t-==原式==-11arcsin 333t c =-=-+13arcsin 3c x-+回代13arccos 3c x=+(注:(三角代换)令3sec ,x t =,3sec tan dx t tdt =原式=3sec tan 19sec tan 3t t dt t c t t =+⎰)13arccos 3c x+回代22、解:2,1,xt e t ==+ ()222ln 1,1tx tdx dtt=+=+原式=222211211t t t dt dtt t ⋅+-=++⎰⎰=()2arctan t t c-+2c-+回代23、解： 原式=()221tan2tan xex x dx++⎰2tan 2tan x d x e xdx=+⎰⎰2x e 222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰22tan x xe dx +⎰2tan x e x c=+24、解： ()sin x F x x= ()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==原式()3x df x =⎰()()323x f x f x x dx=-⋅⎰2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x --=⋅-⎰2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx xdx =--++⎰⎰2cos 4sin 6cos x x x x x c=--+1．设初等函数在区间有定义，则在上一定 （ ）()f x [],a b ()f x [],a b A ．可导 B ．可微C ．可积D ．不连续2．若连续，下列各式正确的是 （ ）f A ．()()ba d f x dx f x dx =⎰B ．()()df x dx f x dx dx =⎰C ． ()()bx d f t dt f x dx =⎰D ．()()xad f t dt f x dx =⎰3. 下列关系式中正确的是 （ ）A ．B ．21100x x e dx e dx =⎰⎰211x x e dx e dx≥⎰⎰C ．D ．以上都不对211x x e dx e dx ≤⎰⎰4．下列各式中，正确的是 （ ）A ．B ．2101x e dx ≤≤⎰211x e dx e≤≤⎰C ． D ．以上都不对2120x e e dx e ≤≤⎰5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是 （ ）[]1,1-AB ．C1x 6．设在上，[],a b ()()()0,'0,''0f x f x f x ><>记，，，则有 （ ）()110S f x dx =⎰()()2S f b b a =⋅-()()32b aS f b f a -=+⎡⎤⎣⎦A ． B ．123S S S <<213S S S <<C ． D ．312S S S<<231S S S <<7．xx →=8．设连续，且，则 ()f x ()()xe xF x f t dt -=⎰()'F x =9．设连续，则 ()'f x 1'2x f dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰10．设则()()120121f x f x dx x=-+⎰ ()1f x dx =⎰11．设连续，且则 ()f x ()21301,(1)x f t dt x x -=+>⎰()8f =12．设，则y 的极小值为()01xy t dt =-⎰13．方程，确定，求cos 0yx t e dt tdt +=⎰⎰()y y x =0x dydx=14．设在连续，且满足，求 ()f x []0,1()()13243f x x x f x dx =-⎰()f x 15．讨论方程在区间内实根的个数4013101xx dt t --=+⎰()0,116．设在连续，且在单调减少，讨论在区间()f x [],a b (),a b ()()1xa F x f t dt x a=-⎰的单调性(),a b 17．求()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰18．设其中为连续函数，求()()2xa x F x f t dt x a=-⎰f ()lim x a F x →19．设，且可导，，求()()01122xf t dt f x =-⎰()f x ()0f x ≠()f x20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性()f x ()0xf t dt ⎰21．1321sin x x x dx-⎡⎤⎣⎦⎰22．已知，求221x t e dt -⎰()1xf x dx⎰23．1⎰24．设连续，证明()f x 并由此计算()()20sin 2sin f x dx f x dx ππ=⎰⎰0π⎰1、解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
定积分期末考试题及答案
定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx =∫<sub>a</sub><sup>b</sup>g(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫<sub>0</sub><sup>π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>(2x+1)dx的值为______。
答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。
答案：8/33. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>π</sup>sin(x)dx的值是______。
答案：24. 定积分∫<sub>-1</sub><sup>1</sup>|x|dx的值为______。
不定积分,定积分复习题及答案
姓名: 上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷学号: 班级: 成绩: 、选择题：(每小格3分，共30分) 竺仝为f(x)的一个原函数，且 a = 0，贝U x sinax sin ax 3 C ； (B ) 2 C ； ( C ) a x a x e x在(」：， ：：)上不定积分是F(x) C , 1、设(A ) 2、若 (A ) F(xH x_0 ；-e^+oxcO (B ) F(x)二(C ) < xe, xAO . F(x) x [-e +2,x v0 (D ) 3、设 (A ) (B ) (C ) (D ) 匸^dx 应等于( ) a 竺坐C ； ax sin ax (D) — x 则 F(x)二( ■ xe c,_xI e c 2,x ： 0 F (V 0 j —e , x < 01, x 0 f(x)二 0, x =0,F(x) f(t)dt ，则( -1,x ：：0 F(x)在x = 0点不连续; F(x)在内连续，在x = 0点不可导; F(x)在(_：：「：)内可导，且满足 F (x) = f (x)； F(x)在(-：：, =)内可导，但不一定满足 F (x)二f(x)。
4、极限啊 x tsin tdt 」 =( x 2 t 2dt(A)- 1； (D ) 2 b 5、设在区间[a,b]上 f (x) 0, f (x) :: 0, f (x) 0。
令 s 二 f (x)dx , s 2 二 ' a(B ) 0； (C ) 1 ； f(b)(b-a)& =2【f (a ) f (b)](b-a)，则((A ) 3 ：：： s 2::: S 3 ； (B ) s :::3 ：：： S 3；(C )sj::: S 1：：： S 2 ；(D) S 2：：：、填空题：(每小格3分，共30分)1、计算Md X2、计算 xta n 2 xdxX3、设 x _1，求,1 -t)dt1 + x ， x 04、设 f (x )、「x 01设f(x)的一个原函数是e-x ，则它的一个导函数是 ______________________2 1 2、 设］f (x)dx =1, f (2) =2，贝V ［xf (2x)dx = _______________ 。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
第五章 不定积分与定积分习题解答
Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1
不定积分与定积分期末复习
不定积分与定积分期末复习Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】不定积分与定积分数学分析第四版上册一、重中之重：(1)原函数—>加上C(2)最后的结果一定要将变量带回去(3)去根号时，注意变量的取值范围(是否要分类讨论) 例：⎰-12x x dx、dx x ⎰-|1|(连续点x=1处，原函数须相等)详情见P181(4)记得验算几遍二、基本思路三、常见的不定积分四、方法总结1、三角换元=>去根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成多个项来求 例：⎰+dx xsin 11=>上下同时乘以x sin 1- 4、巧妙运用1cos sin 22=+x x 例：dx xx ⎰cos sin 1=>带入分子后，拆分即可 5、巧妙运用x x 22tan 1sec +=)(tan sec 2x d xdx ==> 例1：⎰⎰⎰++-==)(tan tan 111tan sec tan sec tan 242424x d x x dx x x x dx x还有 dx x ⎰+-tan 1tanx 1和⎰++dx x x x 1tan tan tan 2(上下同时乘以x 2sec )例注1：方法可能不是最简单的，但提供了一种常用的思路注2：其他的题目可以尽量往secx 和tanx 方面去化简 例：⎰+xdx 2sin 2=>上下同时乘以x 2sec 五、解题技巧1、换元法 (1)dx x x n n ⎰+-112解：淡定~~~，然后令n x t =,带入即可 (2)dx x xIn xIn ⎰42 解：)(1Inx d dx x =，再让4242In Inx In Inx x In x In ++=即可 (3)dx xx ⎰+341=>令461x t +=(使分子，分母均为有理数) 2、分部积分法解：(1)⎰⎰⎰-==)(sec tan tan sec )(tan sec sec 3x xd x x x xd x (2)⎰⎰⎰⎰-=-=xdx xdx xdx x xd sec sec sec )cos 1()(sec tan 332(3)再将左边的式子相同的部分移到右边计算即可(2)⎰++21)1(x x In —>分部积分过程中，一般可以抵消掉不可计算的部分3、万能公式 (1)⎰+dx x sin 11和⎰+dx xcos 11 解答：可以用万能公式，也可以将分母变为一项(从而便于列项出来) (3)⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1 ⎰-x dx cos 354、欧拉变换(1)出现如xx -+11，21x x ++之类的 例：⎰+x x dx2=>令x x t +=2带入即可(2)依然可以配方后，用三角代换详情请参见P198 5、典型例题 解：)]1()1[(21122x x -++=>，再上下同时处以2x ，分母进行配方，将分子的原函数”看出来”即可 注意：⎰+dx x311=>可以分母直接因式分解，再列项即可 思路1：配凑拆分—>降次思路2：三角换元—>t=tanx解1：分子)]1()1[(21122x x -++=>，再同时上下处以2x 即可解2：带入可得tdt ⎰2cos(1)当n 为奇数时，提出一个-sinx —>令-sinxdx=d(cosx),再根据 x x 22cos 1sin -=即可(2)当n 为偶数时，令)2cos 1(21sin 2x x -=，带入展开，再列项分开来求(1)运用分部积分法进行递推(显然只需两次递推)(2)详情见P188(1)思路：配凑降次—>分开来算已知)22()22(2++=+x x d dx x 和⎰⎰+++=++)1)1(()1()22(dx 222x x d x x6、其他难题(1) 见P201最上面的两道题定积分一、 定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f 的不定积分是一个函数族{F(x)+C}，而定积分是一个确切的数，与面积有关(2)不定积分做变量代换时，结果要进行还原，而定积分不需要，直接得出结果2、三、基本公式1、平面图形的面积(1)一般方程：dx y dx x f A a b a b ⎰⎰==)((2)参数方程：⎰⎰==ab a b dt t x t y t x d t y A |)(')(||))(()('|(3)极坐标方程：⎰=a b d r A θθ)(212 注：求多条曲线所围成的面积，先作图，再求交点，再进行复合运算2、由平行截面面积求体积(1)截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，则立体体积⎰=a b dx x f V 2)]([π 详情见P248(2)旋转体的体积可知：2)]([)(x f x A π=所以体积公式为 ⎰=dx x f V 2)]([π例：由圆)0()(222R r r R y x <<<=-+绕x 轴旋转一周所得环状立体的体积。
不定积分-定积分复习题及答案
（A ） F ( x ) = ⎨ ；（B ） F ( x ) = ⎨ ⎩ -e - x + c , x < 0 ⎩ -e - x + c + 2, x < 03、设 f ( x ) = ⎨0, x = 0 , F ( x ) = ⎰ f (t )dt ，则（）⎪ -1, x < 0 ⎰ t sin tdt⎰ t2dt2上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ⎰x adx 应等于（ ）（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax+ C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + Ca 3 x a 2 x ax x2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （）⎧e x + c , x ≥ 0 ⎧e x + c , x ≥ 01 2⎧e x , x ≥ 0 ⎧e x , x ≥ 0（C ） F ( x ) = ⎨ ；（D ） F ( x ) = ⎨⎩ -e - x + 2, x < 0 ⎩ -e - x , x < 0⎧1, x > 0 ⎪ x；⎩（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。
4、极限 lim x →0x 0x＝（ ）（A ）－1；（B ）0； （C ）1；（D ）25、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。
复习资料（不定积分定积分）
复习资料（不定积分定积分）第四章不定积分⼀、知识⼩结 1.原函数定义1 如果对任⼀I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上⼀定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任⼀I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：设)(x F 是)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则C x G x F =-)()(（C 为常数）(1) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有⼀个原函数为 ( )。
A..1Sinx +B..1Sinx -C.Cosx +1D..1Cosx - 2.什么是不定积分？)(x f 的全体原函数。
(2) ?=dx e x( )。
A.2c e x +B.2c e x +C.c e x+ D.ce x 1+3.两者的联系与区别？联系：它们的导数相同，都是 f (x ). 区别：不定积分是函数族；原函数是不定积分中的⼀个函数。
4.由原函数与不定积分的概念可得：1)=)()(x f dx x f dxd2) dx x f dx x f d ?=)()(3)5)+=C x dx5.积分公式1) ?+=C kx kdx (k 为常数)；2) ?++=+C x dx x 11µµµ(1-≠µ)3) ?+=C x x dx ||ln ；4) ?++C x x dx arctan 125)+-C x xdx arcsin 12；6）?+=C x xdx sin cos7）?+-=C x xdx cos sin ；8）??+==C x xdx x dx tan sec cos 229）+-==C x xdx x dx cot csc sin 22；10）?+=C x xdx x sec tan sec11）?+-=C x xdx x csc cot csc ；12）?+=C e dx e xx13）?+=C aa dx a xxln ； 14)C x xdx +-=?|cos |ln tan , 15)C x xdx +=?|sin |ln cot , 16)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec , 17)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc , 18)C a x a dx x a +=+?arctan 1122,19)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 21122,20)C a x dx x a +=-?arcsin 122,21)C a x x a x dx +++=+?)ln(222||ln 2222 6.不定积分的性质性质1．+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([性质2．?=dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数，0≠k ）⼆、要点解析1. 直接积分法通过简单变形, 利⽤基本积分公式和运算法则求不定积分的⽅法 . （1）求dx x mn 。
2023-2024经济数学(2)复习题答案详解
增．
填空题
1．
1
1 4x
2
dx
（
） d arctan2x ．
解：d arctan2x 2 dx ，所以， 1 dx 1 d arctan2x ．
1 4x2
1 4x2
2
2．
x
f
ln x f ln x
dx
解：
x
f
ln x f ln x
dx
f
ln x f ln x
d
ln
x
．
f
1
ln
x
df
(ln
x)
2
解：f xy，x y x2 y 2 xy (x y)2 xy ．令 xy s ，x y t ，则 f s，t t 2 s ，
故， f x，y y 2 x ．
填空题
15．若 z 2x2 3xy y2 ，则 2 z
．
xy
解： z 4x 3y ， 2 z 3．
x
xf
xdx
5
0
xdf
x
xf
5 (x)
0
5
0
f
xdx
5
f
(5)
3
7
．
填空题
5．
1
x
1 x2
2dx
1
．
偶倍奇零
1
解： x
1 x2 2dx
1 x2 2x 1 x2 1 x2 dx
1
2x
1 x2
1 dx
1
1
1
1
1dx 2 ． 1
6．
x2
1 dx 2x 2
xd
ln
x
ln
不定积分与定积分部分典型例题
不定积分与定积分部分典型例题例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有)()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可.解 因为x xx x x F ln 11)ln 1()(+=⋅+=' xxx x x x G ln 111ln )(+=+⋅='所以2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数.且有21)(21ln ln 21)ln 1(21)(22+=++=+=x G x x x x F说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为x21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是xx f 21)(=的积分曲线.解 c x x xx x f y +===⎰⎰d 21d )(且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c于是所求曲线方程为1+=x y例3 判断下列等式是否正确. （1）x xx xd 11d 11d22-=-⎰（2）c x x x +-='⎰cos d )(sin （3）21d ln d de 1=⎰x x x x 分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断. 解 （1）依照不定积分的性质x x f x x f d )(d )(d =⎰所以, 等式x xx xd 11d 11d22-=-⎰成立.（2）依照不定积分的性质c x f x x f +='⎰)(d )(所以, 等式c x x x +-='⎰cos d )(sin 不成立. 正确的应为c x x x +='⎰sind )(sin（3）由定积分定义,)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式21d ln d de 1=⎰x x x x 错误, 正确的结果应为0d ln d d e 1=⎰x xxx . 例4 计算下列积分： （1）x x x d )1(23+⎰（2）x xxxx)d sin e (3e 2-+⎰ （3）x x d sin 20⎰π分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[π上有⎩⎨⎧≤<-≤≤=πππ2sin 0sin sin x x x xx利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.解（1）将被积函数变形为32312)1(xx x x x ++=+x x x d )1(23+⎰=x xx x x x x x x x d 1d 2d d )12(33⎰⎰⎰⎰++=++=c xx x +-+2221ln 221. （2）将被积函数变形为xx xx xx22sin 1e)3()sin e (3e +=+-再利用积分公式和积分运算性质得=+-⎰x x x xx)d sin e (3e 2⎰⎰+x xx xd sin 1d e)3(2 =c x x+-+cot 13ln )e 3( (3)⎰⎰⎰-+=ππππ2020d sin d sin d sin x x x x x x)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=πππx x4=.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将xe 乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分： （1）x xx d 12⎰-；（2）x x xd )e (1e 2⎰+ （3）x xxd ln e12⎰（4）x x d sin 203⎰π分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数21x x -看成ux , 其中21x u -=, 且x x u d 2d -=, 于是,u ux ux d 121d -=, 这时对于变量u 可以利用公式求积分. （2）将被积函数2)e (1e x x +看成2e u x , 其中x u e 1+=, 且x u xd e d =, 于是22d d e u u x u x =, 这样对于变量xu e 1+=可以利用积分公式求积分.（3）将被积函数x x 2)(ln 看成x u 2, 其中x u ln =, 且x xu d 1d =, 于是x x u d 2u u d 2=, 这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数x 3sin 分解成x x x x x x x sin cos sin sin )cos 1(sin sin 222-=-=即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为x u sin 2, 其中x u cos =, x x u d sin d -=解 （1）x x x d 12⎰-=u ux x d 121)1d(112122⎰⎰-=---)1(2x u -= =c x c u +--=+-21（2）u ux xx x x d 1)e 1(d )e (11d )e (1e 222⎰⎰⎰=++=+ （x u e 1+=） =c c u x ++-=+-e111 （3）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有 31)01(3131d d ln 33103102e12=-===⎰⎰u u u x x x[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.)d(ln ln d ln e 12e12x x x xx⎰⎰=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x(4) 因为x x d sin 23⎰π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202⎰⎰⎰-=-πππ对于积分1cos d sin 2020=-=⎰ππx x x对于积分x x x d sin cos 202⎰π用凑微分法,[方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2π=x 时, 0=u , 于是有3131d d sin cos 1312202==-=⎰⎰u u u x x x π[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 20320222=-=-=⎰⎰πππx x x x x x说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分⎰u u f d )(容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着⎰u u f d )(容易求积分的方向进行.在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分： （1）⎰+x x x d 1)sin2(；（2）⎰22d e x x x； （3）⎰e e1d ln x x分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及v u ',的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为x v d ', 即v x v d d =', 使积分变为⎰v u d ； 2．代公式,⎰⎰-=u v uv v u d d , 计算出x u u d d '= 3．计算积分⎰u v d . 在定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba bau v uv v u d d , 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中ba uv 是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设x v x u 2sin ,1='+=, 则x v 2cos 21-=, 由分部积分公式有 ⎰⎰++-=+x x x x x x x d 2cos 212cos )1(21d 1)sin2(=c x x x +++-2sin 412cos )1(21 (2) 设2e ,x v x u ='=, 则2e 2xv =, 由定积分分部积分公式有44e 4e 4e4e 4d e 2e2d e 20222202202=+-=-=-=⎰⎰x x x x x x x x（3）因为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=e1ln 1e1ln ln x x x x x , 利用积分区间的可加性得到⎰⎰⎰+-=e11e1e e1d ln d ln d ln x x x x x x其中第一个积分为⎰⎰-=1e 11e11e1d ln d ln x xxx x x x1e2e 11e 1-=+-= 第二个积分为11e e d ln d ln e 1e1e1=+-=-=⎰⎰x x x x x ,最后结果为e221e 21d ln d ln d ln e 11e1e e1-=+-=+-=⎰⎰⎰x x x x x x . 例7 计算下列无穷限积分： （1）x x d )1(113⎰∞++；（2）⎰∞+-02d e x x ； （3）⎰∞+0d ln 1x xx 分析 对于无穷限积分⎰+∞ax x f d )(的求解步骤为：（1）求常义定积分⎰-=baa Fb F x x f )()(d )(；（2）计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）])1(21[lim d )1(1lim d )1(1121313bb b b x x x x x -+∞→+∞→∞++-=+=+⎰⎰=)41()21(])11()1[(lim 2122-⨯-=+-+---+∞→b b 81=（2）]e 31[lim d e lim d e 030303bx b bx b x x x -+∞→-+∞→∞+--==⎰⎰31]e e[31[lim 03=--=-+∞→bb (3)+∞===+∞→+∞→∞+⎰⎰bb b b x x x x xx e e e)ln(ln lim )d(ln ln 1lim d ln 1说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）81])1(21[d )1(11213-=+-=++∞-∞+⎰x x x （2）31]e 31[d e 0303=-=+∞-∞+-⎰xx x （3）+∞===∞+∞+∞+⎰⎰e x x xx x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e.。
定积分复习
e
（10）ò -
1022)(1xmdx ；（11）ò
p
lnx dx ；（12）ò 20x cos xdx .
1
e
1
11.已知.. f(0) = 1, f (2) = 3, f ￠(2) = 5 ，试计算ò0
xf ￠
￠￠(2x)dx .
35 6
b
1
15
1
(5) -ln |1+ 3 cos x | +C; (6) -(3 -2x) + C; (7) -3 -2x + C; (8) -ln |1 -10 x | +C;
3 cosxx +
(9) -ln |1 -3e | +C; (10) ln | x -5x + 7| +C; (11) -e + C; (12) 2eC;
211
(arcsin x2)
dx ；（2）ò-
332423sinxx dx .
21-xx + 2x +1
7.计算下列定积分:
（1）ò
p
xdx；（2）ò xdx；（3）òp
2 12 sin
1
dx ；（4）ò
p
-322cos1pxdx；
203cossinx1022(x +1)1 xx
12.设.. f(x) 在区间[a, b] 上具有二阶连续导数，且.. f(a) = f (b) = 0 ，证明：..
1
f ￠￠(x)(x -a)(x -b)dx
ò 2 ò=
babaxdxf()
微积分(I)复习(不定积分与定积分)
7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8） 估 值 定 理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10） 广 义 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且 在[a, b]
上 不 变 号, 则 存 在 [a, b], 使 得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
(四)变上限定积分
x2 a2 dx.
x
解 令 x asec t, 则
原式
a tant asec t
asin t cos2 t
dt
a
sin 2 t cos2 t
dt
a
tan 2
tdt
a (sec 2 t 1)dt a sec2 tdt dt
a d tant dt a tant at C
限 值 为f ( x)在[a, b]上 的 定 积 分 ， 记 作
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k1
f (k )xk
此 时 称f ( x)在[a, b]上 可 积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.
不定积分与定积分复习与典型复习题解答
不定积分与定积分复习与典型复习题解答(一)内容1.原函数与不定积分：原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
2.定积分：定积分的定义(用牛顿−莱布尼兹公式作定义)、性质和计算。
3.广义积分（简单的无穷限积分） (二)要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法。
2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分。
（三）典型例题1．填空题（1）若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 。
解：因为c x dx x f +=⎰2ln )( 所以=)(x f x xx 222= （2）若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=)(x f ． 解：=)(x f x 2cos 2（3）若c x x x x f +=⎰ln d )(，则=')(x f ． 解：=)(x f 1ln +x ，=')(x f x1（4）=⎰-x x d e d 2． 解：=⎰-x x d e d 2dx e x 2-（5）='⎰x x d )(sin ． 解：='⎰x x d )(sin c x +sin（6）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32( ． 解：⎰=-x x f d )32(c x F x d x f +-=--⎰)32(21)32()32(21 （7）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 ． 解：⎰=-x x xf d )1(2c x F x d x f +--=---⎰)1(21)1()1(21222 （8） .______d )2cos (sin 112=-⎰-x x x x 解：322d )2cos (sin 12112112-=-=-=-⎰⎰⎰--dx x dx x x x x x （9）=+⎰e 12d )1ln(d d x x x . 解：=+⎰e12d )1ln(d d x x x（10）x x d e 02⎰∞-= ．解：x x d e 02⎰∞-21)1(lim 21lim 21lim 20202=-===-∞→-∞→-∞→⎰a a ax a ax a e e dx e 2．单项选择题（1）下列等式成立的是（ ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 解：应选A（2）若c x x x f x +=⎰22e d )(，则=)(x f （ ）. A. )1(e 22x x x + B. x x 22e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e解：因为c x x x f x +=⎰22e d )(，两边同时对x 求导得： =+=x x e x xe x f 22222)()1(e 22x x x + 应选A（3）以下计算正确的是（ ）A ．3ln 3d d 3xxx = B ．)1(d 1d 22x x x +=+ C ．x xxd d = D ．)1d(d ln x x x =解：应选A（4）=''⎰x x f x d )(（ ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1(解：=''⎰x x f x d )(⎰⎰+-'='-'='c x f x f x dx x f x f x x f xd )()()()()( 应选A（5）⎰-x a x d d 2=（ ）．A ．x a 2-B ．x a a x d ln 22--C ．x a x d 2-D ．c x a x +-d 2 答：应选C（6）如果等式⎰+-=--C x x f xx11e d e )(，则=)(x f （ ） A.x 1- B. 21x -C. x 1D. 21x解：由⎰+-=--C x x f x x11e d e )(两边对x 求导，得：)]1([)(211xe ex f xx---=--，=)(x f 21x - 应选B（7）若⎰+10d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．21解：因为⎰+10d )2(x k x 21)(102=+=+=k kx x 所以1=k 应选A（8）下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x xx d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππ D ．x x x d )sin (2⎰-+ππ解：令2)(xx e e x f --=则)(2)(x f e e x f xx -=-=-- 所以函数2)(xx e e x f --=是奇函数因此x xx d 2e e 11⎰---=0 应选A （9）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aa x x f -d )(（ ）A ．⎰0-d )(2a x x fB ．⎰0-d )(a x x fC ．⎰ax x f 0d )( D ． 0 答：应选D（10）下列无穷积分收敛的是（ ）．A ．⎰∞+0d in x x sB ．⎰∞+-02d e x xC ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x答：应选B 3．计算题（1）⎰+-x xxx x d sin 33解：⎰+-x xxx x d sin 33⎰⎰⎰+-=xdx dx x dx x sin 13c x x x +--=c o s32ln 323（2）x x d )12(10⎰- 解：x x d )12(10⎰-c x x d x +-+⋅=--=+⎰11010)12(110121)12()12(21 c x +-=11)12(221（3）x x x d 1sin2⎰解：x xx d 1sin2⎰c x x d x +=-=⎰1cos )1(1sin(4)x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰ 解：x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰319389)1(31)1()1(2ln 0322ln 0=-=+=++=⎰x x x e e d e (5)x x xd ln 51e1⎰+ 解：x x x d ln 51e 1⎰+⎰⎰++=+=ee x d x x d x 11)ln 51()ln 51(51ln )ln 51( 21)16(101)ln 51(215112=-=+⋅=ex(6)x x x d e 10⎰ 解：x xe xd 10⎰1)1(1011010=--=-=-==⎰⎰e e ee dx e xexde x xx x(7)⎰π20d sin x x x解：⎰20d sin πx x x )cos cos (cos 202020⎰⎰--=-=πππxdx x x x xd101sin 20=-==πx4.证明题(1)证明等式⎰⎰+-=-aaa x x f x f x x f 0)]()([)(d d 证明：⎰⎰⎰+=--aa aa dx x f dx x f dx x f 00)()()(考虑积分⎰-0)(a dx x f ，令t x -=，则dt dx -=，从而⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--=--=-aaaaadx x f dt t f dt t f dt t f dx x f 0)()()(])[()(所以⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰+-=+-=aa adx x f x f dx x f dx x f 0)]()([)()((2)设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([)(a f a f a b f b f b dx x f x ba -'--'=''⎰ 证明：⎰⎰⎰'-'='=''ba ba ba b a dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()()]()([)()()()()(a f b f a f a b f b x f a f a b f b ba '-'-'-'=-'-'=)]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'=。
不定积分与定积分典型例题
不定积分与定积分典型例题(二)典型例题1.填空题(1)若/(X)的一个原函数为lnx2,则/(x)= ____________ .答案：-X(2)__________________________________ 若j* f(x)dx = sin 2x + c ,则f (x) ______________________ .答案：2cos2x(3)若Jcosxdx= _______________答案：sinx + c(4)J de .答案：e』+c(5)J(sinx)dx = ________________ ・答案：sinx + c(6)若j* f(x)dx = F(x) 4- c ,则J /(2A - 3)ck = 答案：丄F(2x — 3) + c2(7)若j* f\x)dx = F(x) + c» 则j*xf(\ -x~)ck = 答案：一丄F(l_/)+ c2(8)j^sin xcos2x-x2+ x)dx = __________ ・答案：-？3(9)£||ln(A2 + l)dx = ____________________ .答案：o(10)J°e2v d¥= _______ .答案：-22.单项选择题(1)下列等式成立的是()・A. dj/(x)cLv = f(x)答案：D （3）（） 答案：A （4）下列定积分中积分值为0的是（）・ -XC ・ f (x 3 +cosx)d¥D ・ f (x 2 +sinx)(iv J-ffJ-JT答案:A (5)设/(x)是连续的奇函数，则泄积分£/(x)ch =() A. 0 B./(x)cLv C. £ /(A )dv D. 2j° f(x)dx答案：A （6）下列无穷积分收敛的是（）・C.厂丄drD. JJ X e _2v d.v答案：D 3.计算题(1)J(2x-l),o dx-解：j(2x-l),u ck = |j(2x-l)10d(2¥-1) = J-(2x-l)u +cA .| ^inxdv B ・ C. —J f(x)dx = f(x)答案：c (2) 以下等式成立的是( A. In xdx = d(—) x C.dx 77D. Jd/W = /W)B ・ sin xdx = d(cosx)D. 3v dx = — In 3 A. /(x)-/(x) + cC. —x 2f'(x) + cB ・ xf\x) + c D ・(x + l)/3 + cLsin 丄(2) J —1 sm-] j ] 解：\— ¥ = - fsin —d — =cos_ + c J x" J xx x⑶ j'n_e v (4 + e r )2dA-解：「y hzdv =丄「(1 + 5In 小/(1 + 5Inx)=丄(1 + 5Inx)2 =-1(36-1) = - Ji r s Ji in in ?解：f xe'di =xe A 一 f e v dx-=4 •证明题⑴证明等式 = £[/(-X )+ /(X )]dA- •证明 J a /3dY = J 丿⑴山 + £ /(x)dv令 x = -t i 则 dY = -df,且当 x = -a 时，t =a > x = 0 时，t = 0 于是 f° /(T)d(“) = -f°/(-r)dr=f fl /(-r)dz= f7(-x)d.r J-n JO JO所以= J ： /(-x)dY + £ fMdx = £[/(-A -) + /(x)]dx(2)设厂(x)在S0]上连续，证明:\h xf'\X }dx = [bf\b) - f(b)]-[af\a) - /⑷]证明利用分部积分法，[灯0皿=[炖• 3 =时©) ][ — f f f (x)dx=bf(b) - af(a) - /(x)|：-W f (b) - f(b)] - - f(a)] e v (4 + e v )~dx = £ (4 + e l )2d(4 + e v )= (4 + e v )= 1(216-64) = 1^。
不定积分和定积分习题
f ( x) f ( x)dx f x df x 1 2 f x C 2
1 cos x sin 2 x C 2 2 1 x sin x
2
不定积分 dx 2 x x 1
u x 1
1 3 ln x 1dx 3
2 x ln x 1 dx
不定积分
e cos 2 x 2 e sin 2 xdx
x x
e
x
cos 2 xdx cos 2 xde
x
e x cos 2 x 2 sin 2 xde x
2 d x x 1 1 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1 3 1 dx 2 ln x x 1 2 2 2 2 3 1 x 2 2
......
不定积分
e
3 x
x 3 ue
练习题（不定积分、定积分）
y f x 0
a
0
x
x+dx
b
不定积分
sin x 已知 f ( x) 的一个原函数为 ，求 f ( x) f ( x)dx 1 x sin x 2 sin x cos x sin x 解： f x 2 1 x sin x 1 x sin x
x
sin x cos x 1 d sin x 1 sin 4 x dx 2 1 sin 2 x 2 1 2 arctan sin x C 2 x 2 dx dx 2 x 2 x 2 x 2 1
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不定积分-定积分复习题及答案-精品不定积分、定积分 测验试卷姓名： 学号： 班级： 成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分）1、设sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ⎰应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x+2、若xe 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-+<⎩；（B ）,0()2,0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-++<⎩；（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；（D ）,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩3、设01,0()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，则（ ）（A ）()F x 在0x =点不连续；（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导； （C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()()F x f x '=； （D ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=。
4、极限02sin limxx x t tdtt dt→⎰⎰＝（ ）（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。
令1()b as f x dx =⎰，2()()s f b b a =-31[()()]()2s f a f b b a =+-，则（ ）（A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<二、填空题：（每小格3分，共30分）1、设()f x 的一个原函数是2x e -，则它的一个导函数是___________。
2、设2()1,(2)2f x dx f ==⎰，则1(2)_____________xf x dx '=⎰。
3、已知()xxf e xe -'=，且(1)0f =，则()_________________f x =。
4、函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为________________。
5、由曲线2y x =与y =___________。
三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、计算22(1)(1)x dx x x ++⎰2、计算2tan x xdx ⎰3、设1x ≥，求1(1)xt dt --⎰4、设21,0(),0x x x f x e x -⎧+≤=⎨>⎩，求31(2)f x dx -⎰5、120ln(1)(2)x dxx +-⎰ 6、计算1+∞⎰7、已知曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。
设函数()f x 具有三队连续导数，计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰。
四、解答题（本题10分）设()f x 连续，10()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()lim x f x A x→=（A 为常数），求()x ϕ'，并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。
五、应用题（本题6分）设曲线方程为(0)xy e x -=≥，把曲线,xy e x -=轴、y 轴和直线x ξ=(0)ξ>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体。
（1）旋转体体积()V ξ；（2）求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a 值。
六、证明题（6分）设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：不等式()()2bbaaa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰。
不定积分、定积分 测验卷 答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A ）3sin ax C a x+；2、（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；3、（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；4、（C ）1；5、（B ）213s s s <<。
二、填空题：（每小格3分，共30分）1、一个导函数是2()4xf x e -'=。
2、13(2)4xf x dx '=⎰。
3、21()(ln )2f x x =。
4、单调减少区间为1(0,)4。
5、13。
三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、解：222(1)12()ln 2arctan (1)1x dx dx x x c x x x x +=+=++++⎰⎰ 2、解：222tan (sec 1)tan tan tan 2x x xdx x x dx xd x xdx x x xdx =-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰2tan ln cos 2x x x x c =+-+3、解：被积函数1,10()1,0t t f t t t +-≤<⎧=⎨-≤<+∞⎩，当10x -≤<时，原式211(1)(1)2xt dt x -=+=+⎰； 当0x ≥时，原式02101(1)(1)1(1)2x t dt t dt x -=++-=--⎰⎰。
4、解：23101211171(2)()(1)3x tt f x dx f t dt t dt e dt e-=----====++=-⎰⎰⎰⎰。
5、解：111102000ln(1)111ln(1)()ln(1)(2)22(1)(2)x dx x d x dx x x x x x +=+=+----+-⎰⎰⎰101111ln 2()ln 23213dx x x =-+=-+⎰。
6、解：因为1lim ()x f x +→=∞，所以1x =为瑕点，因此该广义积分为混合型的。
212112dx I I +∞+∞=+=+⎰⎰⎰212211021122arctan (1)2x t tdtI xt t π-========+⎰⎰2122122arctan 2()(1)24tdt I x t t ππ+∞+∞+∞=====-+⎰⎰；所以121I I π+∞=+=⎰。
7、解：按题意，直接可知(0)0,(3)0,(3)0f f f ''===（拐点的必要条件）。
从图中还可求出()y f x =在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为2,28y x y x ==-+。
于是(0)2,(3)2f f ''==-。
所以333222300()()()()()()()(21)x x f x dx x x df x x x f x f x x dx'''''''''+=+=+-+⎰⎰⎰ 3333000(21)()(21)()2()7(3)(0)2()x df x x f x f x dx f f f x '''''=-+=-++=-++⎰⎰7(2)22(20)20=-⋅-++⋅-=。
四、解答题（本题10分）解：因为0()lim x f x A x→=，故0lim ()0x f x →=，而已知()f x 连续，0lim ()(0)0x f x f →==；由于10()()x f xt dt ϕ=⎰，令u xt =，当:01t →时，有:0u x →，du xdt =；当0x ≠时，有10()1()()()x x f u du x f xt dt f u du xxϕ===⎰⎰⎰；当0x =时，有10(0)(0)0f dt ϕ==⎰；所以0(),0()0,0x f u du x x xx ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰。
当0x ≠时，有02()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰；当0x =时，02()()(0)()()limlimlimlim22x x x x x f u du x x f x Ax xx x ϕϕϕ→→→→-====-⎰； 所以02()(),0(),02x xf x f u dux x x A x ϕ⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰。
又因为002200()()()()lim ()limlim()22xxx x x xf x f u duf u du f x A A x A xx x ϕ→→→-'==-=-=⎰⎰， 所以0lim ()(0)2x Ax ϕϕ→''==，即()x ϕ'在0x =处连续。
五、应用题（本题6分）解：（1）2220()()(1)2x V y dx e dx e ξξξπξππ--===-⎰⎰；（2）2()(1)2a V a e π-=-，于是211()lim ()lim (1)2224V a V e ξξξππξ-→+∞→+∞==⋅-=；故211(1)lim ()ln 22242a e V a ξππξ-→+∞-==⇒=。
六、证明题（6分）证：设()()()[,]2x xa aa x F x tf t dt f t dt x ab +=-∈⎰⎰因为()f x 在[,]a b 上连续，所以111()()()()()()[()()]22222x x xa a a a x x a F x xf x f t dt f x f x f t dt f x f t dt ++'=--=-=-⎰⎰⎰因为()f x 在[,]a b 单调增加，0,()()()()0t x f t f x f x f t ≤≤≤⇒-≥，所以()0F x '≥； 所以()F x 在[,]a b 单调增加；又()0,F a =所以()()0F b F a ≥=， 即()()02bb aa ab xf x dx f x dx +-≥⎰⎰，所以有()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰。