渗透统计推断思想增强数据分析素养

渗透统计推断思想，增强数据分析素养――对2018年文、理科数学全国卷Ⅱ第18题的一些思考

重庆市教育科学研究院张晓斌

重庆市涪陵区第五中学校艾嵩

摘要：本文聚焦2018年文、理科数学全国卷Ⅱ统计应用解答题第18题，分别从考生错误与剖析、考题特点与价值和教学启示与思考等几方面加以评述。试题在考查数学知识的同时，也加强了在数学应用和数学文化方面的考查力度，注重渗透统计推断思想，增强数据分析素养，充分体现数学知识在生活中的应用。

关键词：2018年高考；全国数学卷Ⅱ第18题；数据分析；统计推断思想

纵观刚刚过去的2018年高考，文、理科数学全国卷Ⅱ试题以“立德树人、服务选才、引导教学”作为高考的核心功能，体现了“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四

层考查目标以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求[1]。全卷以知识

为载体，以思维为核心，考查学生的数学核心素养，充分体现了数学学科特点。今年试题在考查数学知识的同时，也加强了在数学应用和数学文化方面的考查力度，如理科数学全国卷Ⅱ选择题第8题，以我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得世界领先成果为背景，命制了一道古典概率计算题，使考生从中感受到我国数学成就在全世界的地位和作用，增强为国争光的意识和民族自豪感；文、理科数学全国卷Ⅱ第18题以环境基础设施投资额为背景，设计的问题有很强的现实意义，涉及如何合理建立数学模型以及如何利用数学模型解决实际问题，充分体现数学知识在生活中的应用。现就第18题做具体分析。

一、试题与答案呈现

（2018年文、理科数学全国卷Ⅱ第18题）下图是某地区2000年至2016年环境基础设

施投资额y（单位：亿元）的折线图（图1）。

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回

⋅⋅⋅)建立模型①：归模型。根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,,17

⋅⋅⋅)建立模=-+；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,,7

30.413.5

y t

型②：9917.5

=+。

y t

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y=-+⨯=（亿元）。

30.413.519226.1

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y=+⨯=（亿元）。

9917.59256.5

（2）利用模型②得到的预测值更可靠。

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

9917.5y t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，

因此利用模型②得到的预测值更可靠。

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠。

以上给出了两种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分。

二、考生错误与剖析

考生在解答第（1）题时，出现的典型错误有：

第一，没有读懂题意。如求2018年预测值时，时间变量t 的取值发生错误，有取18及8的，有两个问都取19或9的。

第二，没有看清题目要求。如考生分别求出两个模型2018年预测值后，画蛇添足对两预测值求了平均数。

第三，受精确数学的影响。如利用模型①求2018年预测值时，求出了1,2,,19t t t ==⋅⋅⋅=的所有的值，利用模型②求2018年预测值时，求出了1,2,,9t t t ==⋅⋅⋅=的所有的值。

考生在解答第（2）题时，出现的典型错误有：

第一，考生选择模型①得到的预测值更可靠，出现的错误有：2000年至2016年数据较多，2010年至2016年数据较少；2009年至2010年数据有突变，模型①包含了突变过程，模型②没有包含突变数据，预测值偏高；在模型①中，变量取部分值，如11,12t t ==计算出投资额分别为118.1及131.6，在模型②中对应取1,2t t ==时投资额分别为116.5及134，故认为模型①算出的预测值更靠近折线图中的数值。这些都说明考生读题识图的能力欠佳，更缺乏大数据统计思想，统计推断意识不强。

第二，考生选择模型②得到的预测值更可靠，出现的错误有：未提及2009年至2010年数据突变；用均值与方差进行判断；用相关系数进行判断；通过部分取值计算出投资额与折线图中的数值进行比较；未提及2000年至2016年及2010年至2016年折线图的趋势不同；只说明选择的模型②随时间的增长而增长，未进行分段比较。这些都说明考生思维的严谨性、对题干的判断力和数学语言的表达有待提高。

第三，审题不准，数学思维惯性推动。如对题目中“为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额”一句视而不见，人为分段讨论，即依据2000年至2009年的预测值（实际上也不能算预测）应选择模型①，依据2010年后的预测值应选择模型②。

三、考题特点与价值

本题以环境基础设施投资额为背景，设计的问题具有很强的现实意义，题目设计为开放