周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章3分析力学汇总
理论力学课后答案第五章(周衍柏)上课讲义
理论力学课后答案第五章(周衍柏)第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？5.4既然a q T ∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d 是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了aq T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=iii r F W δδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11 知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq 不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案第三章4-5刚体力学解析
所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶. P点叫简化中心, 力的矢量和叫主矢, 力偶矩的矢量 和叫对简化中心的主矩.
主矢使刚体平动状态发生变化 主矩使刚体转动状态发生变化
2 刚体运动微分方程
如果ri代表刚体中任一质点Pi 对静止系S原点O的位 矢, rC 为质心C对O的位矢, 而ri’ 为Pi 对质心C的位矢, 动 坐标系S’随质心作平动, 其原点与质心C重合.
2
a R
T
a mg 5 m s2
mm
mM 2
h 1 at 2 2.5 m T 40 N
mg
2
例3、一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点， 距A端 l/3 . 杆从静止开始由水平位置绕O点转动. 求： （1）水平位置的角速度和角加速度. （2）垂直位置时的角速度和角加速度.
述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数
解： 受力分析知本题是一共
y
面力系的平衡问题, 取棍子所 在的平面为xy平面, 则
Fx 0, N1 sin 0 f 0
B
N1
Cl
Fy 0, N1 cos0 N2 P 0
对A点
Pl cos0 N1h / sin 0 0
h P
O
l N2
0
x
f
A
第三章 刚体力学
导读
• 空间力系和平行力系的求和 • 刚体运动微分方程和平衡方程 • 简单转动惯量的计算 •转动惯量的计算
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1 力系的简化
F1 F2 F3
将所有空间力作用点都迁移到一点.
力是滑移矢量
F
F
F
F
力可沿作用线移动，不能随意移动
理论力学课后答案第五章(周衍柏)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载理论力学课后答案第五章(周衍柏)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量和广义速度是不是只相差一个乘数？为什么比更富有意义？5.4既然是广义动量，那么根据动量定理，是否应等于广义力？为什么在拉格朗日方程式中多出了项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式得出式？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么2个常数只有2个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 和有何区别？和有何区别？5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程与及之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.答因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由知，有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若是长度，则一定是力，若是力矩，则一定是角度，若是体积，则一定是压强等.答与不一定只相差一个常数，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
周衍柏理论力学课件(PPT可修改版本)
爱因斯坦 (1879-1955)
1879年 3月14日生于德国乌耳姆一个经营电器作坊的 小业主家庭。一年后，随全家迁居慕尼黑。在任工程 师的叔父等人的影响下,爱因斯坦较早地受到科学和哲 学的启蒙。1894年,他的家迁到意大利米兰,继续在慕尼 黑上中学的爱因斯坦因厌恶德国学校窒息自由思想的 军国主义教育，自动放弃学籍和德国国籍，只身去米 兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州立中学；1896年 进苏黎世联邦工业大学师范系学习物理学，
自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让牛 顿来！一切遂臻光 明！
一、理论力学研究对象
物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可分 为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：
物质层 次
宇观
线度 >108m
宏观
10-1—103m
亚宏观
10-6—10-3m
原子
10-10—10-9m
矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是 分析力学中最关键的量。
分析力学以达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量。
二、理论力学研究方法
观察、实验， 总结实验规律， 建立物理模型， 提出合 理假设， 数学演译、逻辑推理 ， 探讨规律， 实验验 证。 理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译 更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。
三、理论力学的内容结构
理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部 分。
理论力学教程周衍柏第三版课件_图文
9
§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
22
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
21
量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
周衍柏理论力学教学总结
周衍柏理论力学教学总结篇一：理论力学总结理论力学总结姓名：黄亚敏班级0911物理学学号：20XX110102指导老师：夏清华前言：学习一门课程很重要的一个环节就是总结，这样才能知道自己学到了什么，还有那些不了解，还有哪些地方需要再进一步的学习，同时还可以总结出一些好的学习方法和学习习惯，这样皆可以运用到其他方面上。
初看周衍柏《理论力学》一书，只觉得满书全是数学公式，比如第一章质点力学中的极坐标系中的速度、加速度的分量表达式，对我来说就是一个大困难，怎么就弄不明白为什么?didt??did?d?dt????j，?djdt??djd?d?dt?????i?，即曲线上的某点p的沿位矢方向的坐标i对时间t求导之后为另一方向单位矢量，自己看的时候很不能理解，后来经过推导之后发现确实是这样的，后来自己又推导一遍，发现是正确的，是数学上的微分运算??因为我开始的错误理解是:i与时间没有关系，因为在直角坐标系中，并没有对i求???导，但是不同的是，在直角坐标系中，单位矢量i，j，k是不变的，但在极坐标中，??单位矢量i，j的量值虽然为1，但方向一直随着位矢的方向的变化而变化，所以这??????里的单位矢量i，j是一个变量。
求得的速度加速度表达式为v??ri??rj，???2??????)ja?(??r?r?)i?(r??2r，还可以用自然坐标算出加速度，表达式简单一些，但前??ds?v?vi?idt提是要清楚曲线的曲率半径?，才会简化加速度表达式，为??2?2?dvdsdsdidv?v?a??i??i?j2dtdtdtdtdt?，，通过不同的题目选择不同的坐标可以使计算更简单。
对我来说，力学的一些定律一直都很熟悉，从最开始学物理的时候就能把一些力学定律背得很清楚，牛顿第二定律，动量定理和动量守恒定律，动量矩（角动量矩）定理和动量矩（角动量）守恒定律，动能定理和机械能守恒定律，但是使用起来的就需要更灵活的掌握了，首先要清楚使用每个定律的条件，通常可一分为两????dpF?dt?????dJ，m?dt,通过这几个变化和题目中的条件判断出动量和角动量是否为常量，在选择使用哪一个定律。
理论力学第三版(周衍柏)全部习题答案
即
①
又因为
所以
②
（彗星在单位时间内矢径扫过的面积 ）
扫过扇形面积的速度
③
又因为
故
两边积分
④
从数学上我们可以得到两轨道交点为地球轨道半径处。
上升时 下降时
题1.19.1图
则两个过程的运动方程为：
上升
①
下降：
②
对上升阶段:
即
对两边积分
所以
③
即质点到达的高度.
对下降阶段：
即
④
由③=④可得
1.20解 作子弹运动示意图如题1.20.1图所示.
题1.20.1图
水平方向不受外力，作匀速直线运动有
①
竖直方向作上抛运动，有
②
由①得
③
代入化简可得
因为子弹的运动轨迹与发射时仰角 有关，即 是 的函数，所以要求 的最大值.把 对 求导，求出极值点.
因为
所以
即
令
上式化为
这是一个二阶常系数废气次方程。
解之得
微积分常数，取 ，故
有
令
所以
1.45证由题意可知，质点是以太阳为力心的圆锥曲线，太阳在焦点上。
轨迹方程为
在近日点处
在远日点处
由角动量守恒有
所以
1.46解 因为质点速率
所以
又由于
即
又因为
所以
两边积分
即
1.47证（ ）设地球轨道半径为 。则彗星的近日点距离为 。圆锥曲线的极坐标方程为
时， 得 ,故
⑦
同理，把⑦代入⑤可以解出
把⑦代入⑤
代入初条件 时， ，得 .所以
周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学
第五章分析力学本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。
第一节约束和广义坐标一、约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束。
按不同的标准有不同的分类：按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。
本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。
二、广义坐标1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。
设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。
例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和描述，自由度为2。
第二节虚功原理本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。
一、实位移与虚位移质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。
如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。
例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移不一致。
二、理想约束设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。
若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。
光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。
三、虚功原理1、文字叙述和数学表示：受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。
即（1）适用条件：惯性系、理想不可解约束。
2、推论设系统的广义坐标为q1，……，q a，……，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；（2）选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出平衡条件。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章4-8质点力学
dv m dt F R v2 Fn Rn m 0 Fb Rb (1) ( 2) (3)
R RN Rn Rb
2
2
R R Rn Rb
2
2
2
4个方程4个未知数,可解
例题1 力仅是时间的函数
自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：
（3）初始条件
t 0， r r0， v v0
（4）求解运动微分方程
r r (t )
x x( t ) y y( t ) z z(t )
2. 非自由质点
• 解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替
d r d r • 运动微分方程 m F (r , , t ) R 2 dt dt
dt dt ds v sec f ( ) sec t t ( ) d ds d v g g
消去参量 可得运动方程
本问题还可在直角坐标系中处理，见 P25
例题3
力是坐标的函数
m r F ( x , y , z )
F ( x , y , z ) k x x i k y yj k z z k
2 力学相对性原理和伽利略变换
(i) 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权 的、等价的。 在一个惯性系中所做的任何力学实验，都不能 判断该惯性系相对于其它惯性系的运动。
觉不 而 行 舟
《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》伽利略 1632
(ii) 牛顿的绝对时空观
• • • • • 自由质点 非自由质点 受力分析 写出运动微分方程矢量式 建立适当的坐标系分解标量方程 解微分方程
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章5分析力学
H作为广义动量, 广义坐标和时间的函数, 又有
H H H dH q dq p dp t dt 1
s
由于动量, 坐标和时间都是独立的, 所以
q ( 1,2, , s ) H p q H p
（3）在球面坐标系中
1 2 2 2 2 2 2 T m(r r r sin ) ,V=V（r，，） 2
1 2 r 2 2 r 2 2 sin 2 ) V（r，，） L m(r 2
L L 2 p p mr , pr mr , r
s
考虑广义动量的定义, 得
s
L dq p dq dt dL p t 1 H ( p, q, t ) L p q
1
s
对于哈密顿量
可得
s
s
L q dp p dq q dp dt dH dL p dq t 1 1
因为
只要H不显含时间, 它就是守恒的, 即不随时间变化.
H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情 况来讨论。 i）稳定约束
T＝T2
s 1
T q 1
s
s T2 q q 1
2T q
该题还可解得
2 m r r 2 r
粒子的径向运动方程．
常数 角动量守恒定律． p mr 2
例3： 分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个 自由质点在势场V( r )中的哈密顿函数H。 解: 体系为质点，自由度数s＝3 （1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标， 则拉格朗日函数L为
理论力学第三版-课件PPT
2. 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出 关系式）.
3. 确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为 长度： 米（m）、质量：千克（kg） 、时间：秒（s）
4. 由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）； 5. 基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大
理论力学教程（第三版） 电子教案
使用方法
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位建立一个独立的PPT文件.
由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,
0 x1 1 x2 0 x3 1 (3) x1 0 x2 1 x3 1
0 x1 0 x2 (1) x3 2
求解上述方程组, 得到 x1 1, x2 1, x3 2
于是我们得到
ln[ P] 1 ln[ n] 1 ln[ m] 2 ln[ v]
§0.2 理论力学的内容结构
矢量力学（即牛顿力学）＋分析力学
• 矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律. 在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是 分析力学中最关键的量.
• 分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量 情况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量.
周衍柏著理论力学——第五章分析力学 pdf讲义
3
不可解约束：质点始终不能脱离的约束。如质点始终被曲面 约束，即存在约束方程
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
约束又可分为几何约束和运动约束。 几何约束又叫做完整约束，它只限制质点在空间的位置，因 而表现为质点坐标的函数，如
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
dr P
δr
7
8
9
三、虚功原理 以下讨论只限于不可解约束的情况，设体系在 k 个几何约束 下处于平衡状态。由于体系处于平衡状态，所以体系中每一 个质点都处于平衡状态。 因此任一质点 Pi ，受到主动力的合力 Fi 与约束反力的合力 Ri 满足： (i = 1,2, L , n ) (5.2.3) Fi + Ri = 0 让每一质点在平衡位置发生一虚位移 δr ，则有 Fi ⋅ δr + Ri ⋅ δr = 0 (i = 1,2, L , n ) 上式对各质点求和得：
1
第一节 约束与广义坐标
一、约束的概念和分类 1、力学体系：质点的集合，且质点间存在相互作用，每一 个质点的运动都和其它质点的位置及运动有关，简称体系。 若有 n 个质点，则描述所有质点位置的坐标有 3n 个。 2、约束：限制质点自由运动的条件叫做的约束。 约束一般可表示成质点位置、速度和时间的方程。如：
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章1-3质点力学
r
r0
t dr v dt
t0
2 例1 已知质点的运动方程 r 2t i 19 2t j
求：1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度以 及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解： （1）
x 2t ,
y 19 2t 2
消去时间参数
1 2 y 19 x 2
8 tg 7558 2
1
dr v 2i 4tj dt
-2
dv a 4 j dt
（ 3）
方向沿y轴的负方向 a 4 m s 2 r v 2ti 19 2t j 2i 4tj
t
d 2 h0 2 v0
, hc h0 1 2 h v2 0 0
2 g h0 d 2 2 h0
2 g h0 d 2
0
显然只有
v
2 0
时才可能击中
2 极坐标系
极坐标系：空间p的位置（r，）
当p沿着曲线运动，速度沿轨道 的切线. 沿矢径方向
j p r c v i
2 （ 2） r 2 2 i 19 2 2 j 4 i 11 j t 2 dr v 2i 4tj m/s v t 2 2i 8 j dt
v2 2 8 8.25 m/s
2 2
• 自然坐标系，切向、法向加速度 • 相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速 度、牵连(加)速度.
§1.1
1 质点
运动的描述
具有一定质量的几何点
自由质点：可以在空间自由移动的质点. 确 定它在空间的位置需要三个独立变量.
理论力学第三版-课件PPT
§0.1 力学的研究对象
▪ 力学（mechanics）的研究对象是机
械运动（mechanical motion）
▪ 经典力学研究在弱引力场中宏观物体的
低速运动
▪ 力学: 运动学、（静力学）、动力学
Nature and nature’s law lay hid in night: God said: let Newton be! And all was light！
②绝对时间
③绝对空间
理论力学的学习
▪ 预备知识: 普通力学+高等数学 ▪ 以公理、定律为依据，应用数学推演的
方法导出其他定理和结论
▪ 偏重于问题的提出、求解 ▪ 严格基础训练、强化现代技术应用 ▪ 注重问题的延拓分析 ▪ 培养科学精神
科学是一种方法，它教导人们：一些事物是怎样被了解
的，什么事情是已知的，现在了解到什么程度（因为没有事
▪ 使用时, 可以由两种不同的方法打开文件：
1. 直接打开相应章节的PPT文件； 2. 在电子教案的目录中点击相应的章节.
前言
▪ 本电子出版物是与周衍柏编《理论力学教
程》(第三版)主教材配套的电子教案, 其内 容涵盖了该教材的全部基本知识点, 其中的 章与节完全按照主教材的顺序编排, 每节有 一个小结, 每章有部分作业讲解.
X
a2 2
X
am m
上式取对数
ln[ P] a1lnX 1 a 2lnX 2 amlnX m
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2,, Pn ,
理论力学(周衍柏)习题集答案解析,第五章
第五章习题解答5.1解如题5.1.1图颠七.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向火角a所唯一确定。
/r的自由度为1,由平衡条件:mg力y =0①变换方程f a—sin ayl =2rcos fl! sin flf - 2 = rsin2 2 (2小,1, V 2r cos 2cc~ —1cos Ci6a2/叵代回①式即1 )2r cos(3f--/ cos it(5a= 02 j因5a在约束下是任意的，要使上式成立必须有:I-cosa rcos2 二-- =013 = 0= 2r sin fi- (/+r)si sin a三球受理想约束，球的位置可以由 4确定，自由度数为1,故。
Xj = -2r sin-0 + r)$in a又由于代回④式得5.2解如题5.2.1图.4rcos2o;COSGf ④c2 -2rcos2 二= 二题321图用二口+『)COS比乃=0 +产)cos aj3 = (? +r)cos】-2r cos §物=_Q+ r)sin毋m = _Q+r)sin ada8三二-(/ 4-r)sin drd'(2f+2rsin ■8d由虚功原理4物+马a2+月弧=oa产-(Z + r)sin 值5值一1 + 八5m aSa- (/ +r)那a5a+ 2r sm R—(5af= 05a 0因灰K在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须-3（/ + r）sin cr+2rsin B- -0 6a故3a _ 2r sin §第3（"小met a又由的*泯力纵得：Sa _2rgs f羽（，+比。
£口③由②③可得tan £ = 3 tan 45.3解如题5.3.1图,8 54 口VTF \y题531 ―在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。
去掉纯代之以力T,且视为主动力后采用虚功原理，4 一确定便可确定ABCD的位置因此自由度数为1。
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B FIB m1 g
2、给系统有一虚位移 。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、 rC
C
3、应用达朗贝尔－拉格朗日方程
m2 g
y1
FIA δ xA FIB δ xB m1g δ y A m1g δ yB m2 g δ yC 0
O1
x1
根据几何关系，有
rA
FIA A m1 g
l l
Bx
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
4 基本拉格朗日方程
由于约束条件, n个矢径并不独立. 现在引入独立的广义
坐标q
把矢径用广义坐标表示出
ri
ri
q1, q2,, qs
;
t
对时间求导
dri
ri
s
ri
d q
dt t 1 q dt
因为位矢只是广义坐标和时间的函数, 它对广义坐标的 偏导数也是广义坐标和时间的函数, 因此速度就是广义 坐标、广义速度以及时间的函数, 但是位矢对时间和 广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数.
rC
l
l
CxA＝-lsin yA＝lcos xB＝lsin yB＝lcos yC＝2lcos
δxA＝-lcos δ δyA＝ lsinδ δxB＝lcos δ δyB＝ lsinδ δyC＝ 2lsinδ
FIA δ xA FIB δ xB m1g δ yA m1g δ yB m2 g δ yC 0
拉格朗日
第五章 分析力学
哈密顿
§5.3 拉格朗日方程
导读
• 达朗贝原理 • 基本拉格朗日方程 • 广义速度 广义动量 • 保守系的拉格朗日方程 • 循环积分
1 达朗伯原理
按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是
Fi
Ri
miri
0
只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的
类型. 事实上, 研究第i质点的运动时, 若选用跟随这质点
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求：
－ 的关系。
解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系
统具有一个自由度。
取广义坐标 q=
rA
FIA A m1 g
1、分析运动、确定惯性力
O1
x1 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。
l l rB 球A、B的惯性力为 FIA＝FIB＝mlsin 2
l
rC
2、圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar。
x
解：1、分析运动
三棱柱作平移，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的 相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。
y
A a1
OC
M12
D
2
ae C2
C1
F12 m2g
F11
B
m1g
2、施加惯性力
FI1 m1a1
FI2e m2a1
一同平动的参考系统, 这质点显然是(相对)静止的, 它应
当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫作达朗伯
原理.
n
Fi
miri
ri
0
i 1
(5.23)
——达朗伯-拉格朗日方程
达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作 为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发再 利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力学系 统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的, 因此可认 为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本 方程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿定律再加上 理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性. 当存在非理想约束时, 达朗伯原理也适用,它可叙述 为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为 零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此它可以称为分析动力学的普遍原理.
2m1lsin2lcosδ 2m1glsinδ 2m2 glsinδ 0 2 (m1 m2 )g m1lcos
例 题 2(略）
质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上。质量
为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱 柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A
C1
OC
D C2
B
求：1、三棱柱后退的加 速度a1；
＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程时，需要正确 分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计 算相应的虚功。
＊ 由于达朗贝尔－拉格朗日方程中不包含约束 力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆 开。
3 应用举例
O1
x1
l l
A
B
l
l
C
y1
例 题 1 离心调速器
已知：
m1－球A、B 的质量；
m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；
sin
1 g
(a1cos
3 2
ar
)
0
令 δ x 0，δ 0
(FI1 FI2e )δ x FI2rcosδ x 0
y
M12 D
ar
(m1 m2 )a1
mcos
求解联立方程，得：
A
F12r
C2
x
C1
F12 m2g
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
OC
m1g
F11
i
i 1,2, ,n
适用于具有理想约束或双面约束的系统； 适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统。
＊ 达朗贝尔－拉格朗日方程主要应用于求解动力 学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规 律。
＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程求解系统运动 规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施 加惯性力。
因为广义速度也是独立的, 所以
ri
q
q
ri t
s
ri
1 q
q
ri q
q
s
q
FI2r m2ar
x
M I2r J2α 2
J2
1 2
m2
r
2
y
M12 D
A
x
OC
F12r
C2
C1
F12 m2g
F11
Bx
m1g
3、确定虚位移
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度
δ x，δ
4、应用达朗贝尔－拉格朗日方程
令 δx 0，δ 0
m2 gsin Rδ FI2ecos Rδ FI2r Rδ －J 22 Rδ 0
2 动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, ,n)
i
Fi Fix , Fiy , Fiz ,ai xi , yi ,zi ,δ ri δ xi ,δ yi ,δ zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0