【全国校级联考】福建省龙岩市一级达标校2020-2021学年高一下期期末考试数学试题
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附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
20．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.
21．【最新】4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年人均纯收入 （百元）
41
45
48
56
60
64
71
注：小康的标准是农村居民家庭年人均纯收入达到8000元.
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测【最新】该县农村居民家庭年人均纯收入能否达到“全面建成小康社会”的标准？
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查数制的转化及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．D
【分析】
设圆的直径为 ，则圆内接正方形的边长为 ，再利用弧度公式得到答案.
【详解】
设圆的直径为 ，则圆内接正方形的边长为
∵圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，
∴圆弧的长度为
∴圆心角弧度为
故选D.
15．在区间 中随机地取出两个数，则两数之和大于 的概率是______.
16．如图，在同一个平面内，向量 的模分别为1， ， ， 与 的夹角为 ，且 ， 与 的夹角为135°.若 ，则 __________．
三、解答题
17．已知 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
18．已知两个非零向量 .
（Ⅰ）若向量 是夹角为120°的单位向量，试确定实数 ，使 和 垂直；
【点睛】
本题考查了圆心角的弧度，属于基础题型.
6．D
【解析】
分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差.
详解：由题意结合平均数，方程的性质可知：
数据 的平均数为： ，方差为 .
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．A
【解析】
分析：由题意结合向量平行的充分必要条件得到关于m的方程，解方程即可求得m的值.
详解：由平面向量平行的充分必要条件可得：
，
求解关于 的方程可得： .
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查向量平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．A
【解析】
【分析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
（1）求 的值，并作出这些数据的频率分布直方图；
（2）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率；
（3）假设每组数据组间是平均分布的，若该校希望使15%的学生的一周课外阅读时间不低于 （小时）的时间，作为评选该校“课外阅读能手”的依据，试估计该值 ，并说明理由.
A．关于点 对称B．关于点 对称
C．关于直线 对称D．关于直线 对称
11．执行如下程序框图，如果输入的 ，则输出 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．设当 时，函数 的值为其最大值的 倍，则 （）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设向量 ， ，则 _______.
14．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式是__________．
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A．两次都中靶B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶D．只有一次中靶
4．把28化成二进制数为（）
A． B． C． D．
5．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（）
A． B． C． D．
6．已知一组数据 的平均数 ，方差 ，则数据 的平均数、方差分别为（）
【详解】
一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．
故选：A．
【点睛】
本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．
4．A
【解析】
分析：由题意结合除法公式求解二进பைடு நூலகம்的表示即可.
详解：将28写成竖式除法的形式如下：
据此可得：28化成二进制数为 .
22．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数为 .若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实根，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
分析：利用三角函数的定义，即可求出.
详解：角 终边经过点 ，则
由余弦函数的定义可得
故选B.
点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.
A．4B．5C．6D．7
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，与古老的“辗转相除法”实质是一样的.如图的算法语句即表示“辗转相除法”，若输入 时，输出的 （）
A．33B．99C．53D．31
10．将函数 的图象所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则函数 的图象（）
（Ⅱ）若 ， ， ，求证： 三点共线.
19．中国共产党第十九次全国代表大会于【最新】10月24日在北京召开，会议提出“决胜全面建成小康社会”.某市积极响应开展“脱贫攻坚”，为【最新】“全面建成小康社会”贡献力量.为了解该市农村“脱贫攻坚“情况，从某县调查得到农村居民【最新】至【最新】家庭人均纯收入 （单位：百元）的数据如下表：
A．9,12B．9,36C．11,12D．11,36
7．如图所示， 是 边 的三等分点（靠近 点），若 ，则 （）
A． B． C． D．
8．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，若将学生按成绩由低到高编为1-45号，再用系统抽样方法从中抽取9人，则其中成绩在区间 上的学生人数是（）
【全国校级联考】福建省龙岩市一级达标校【最新】高一下期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若角 终边经过点 ，则 （）
A． B． C． D．
2．设向量 ， ，则实数 的值为（）
A． B．2C． D．
，
20．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.
21．【最新】4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年人均纯收入 （百元）
41
45
48
56
60
64
71
注：小康的标准是农村居民家庭年人均纯收入达到8000元.
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测【最新】该县农村居民家庭年人均纯收入能否达到“全面建成小康社会”的标准？
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查数制的转化及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．D
【分析】
设圆的直径为 ，则圆内接正方形的边长为 ，再利用弧度公式得到答案.
【详解】
设圆的直径为 ，则圆内接正方形的边长为
∵圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，
∴圆弧的长度为
∴圆心角弧度为
故选D.
15．在区间 中随机地取出两个数，则两数之和大于 的概率是______.
16．如图，在同一个平面内，向量 的模分别为1， ， ， 与 的夹角为 ，且 ， 与 的夹角为135°.若 ，则 __________．
三、解答题
17．已知 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
18．已知两个非零向量 .
（Ⅰ）若向量 是夹角为120°的单位向量，试确定实数 ，使 和 垂直；
【点睛】
本题考查了圆心角的弧度，属于基础题型.
6．D
【解析】
分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差.
详解：由题意结合平均数，方程的性质可知：
数据 的平均数为： ，方差为 .
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．A
【解析】
分析：由题意结合向量平行的充分必要条件得到关于m的方程，解方程即可求得m的值.
详解：由平面向量平行的充分必要条件可得：
，
求解关于 的方程可得： .
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查向量平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．A
【解析】
【分析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
（1）求 的值，并作出这些数据的频率分布直方图；
（2）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率；
（3）假设每组数据组间是平均分布的，若该校希望使15%的学生的一周课外阅读时间不低于 （小时）的时间，作为评选该校“课外阅读能手”的依据，试估计该值 ，并说明理由.
A．关于点 对称B．关于点 对称
C．关于直线 对称D．关于直线 对称
11．执行如下程序框图，如果输入的 ，则输出 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．设当 时，函数 的值为其最大值的 倍，则 （）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设向量 ， ，则 _______.
14．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式是__________．
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A．两次都中靶B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶D．只有一次中靶
4．把28化成二进制数为（）
A． B． C． D．
5．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（）
A． B． C． D．
6．已知一组数据 的平均数 ，方差 ，则数据 的平均数、方差分别为（）
【详解】
一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．
故选：A．
【点睛】
本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．
4．A
【解析】
分析：由题意结合除法公式求解二进பைடு நூலகம்的表示即可.
详解：将28写成竖式除法的形式如下：
据此可得：28化成二进制数为 .
22．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数为 .若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实根，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
分析：利用三角函数的定义，即可求出.
详解：角 终边经过点 ，则
由余弦函数的定义可得
故选B.
点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.
A．4B．5C．6D．7
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，与古老的“辗转相除法”实质是一样的.如图的算法语句即表示“辗转相除法”，若输入 时，输出的 （）
A．33B．99C．53D．31
10．将函数 的图象所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则函数 的图象（）
（Ⅱ）若 ， ， ，求证： 三点共线.
19．中国共产党第十九次全国代表大会于【最新】10月24日在北京召开，会议提出“决胜全面建成小康社会”.某市积极响应开展“脱贫攻坚”，为【最新】“全面建成小康社会”贡献力量.为了解该市农村“脱贫攻坚“情况，从某县调查得到农村居民【最新】至【最新】家庭人均纯收入 （单位：百元）的数据如下表：
A．9,12B．9,36C．11,12D．11,36
7．如图所示， 是 边 的三等分点（靠近 点），若 ，则 （）
A． B． C． D．
8．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，若将学生按成绩由低到高编为1-45号，再用系统抽样方法从中抽取9人，则其中成绩在区间 上的学生人数是（）
【全国校级联考】福建省龙岩市一级达标校【最新】高一下期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若角 终边经过点 ，则 （）
A． B． C． D．
2．设向量 ， ，则实数 的值为（）
A． B．2C． D．