二项分布参数p的区间估计 _ F分布法
生物统计学考试复习题库
生物统计学各章题目一填空1．变量按其性质可以分为（连续）变量和（非连续）变量。
2．样本统计数是总体（参数）的估计值。
3．生物统计学是研究生命过程中以样本来推断（总体）的一门学科。
4．生物统计学的基本内容包括（试验设计）和（统计分析）两大部分。
5．生物统计学的发展过程经历了（古典记录统计学）、（近代描述统计学）和（现代推断统计学）3个阶段。
6．生物学研究中，一般将样本容量（n ≥30）称为大样本。
7．试验误差可以分为（随机误差）和（系统误差）两类。
判断1．对于有限总体不必用统计推断方法。
（×）2．资料的精确性高，其准确性也一定高。
（×）3．在试验设计中，随机误差只能减小，而不能完全消除。
（∨）4．统计学上的试验误差，通常指随机误差。
（∨）二填空1．资料按生物的性状特征可分为（数量性状资料）变量和（质量性状资料）变量。
2. 直方图适合于表示（连续变量）资料的次数分布。
3．变量的分布具有两个明显基本特征，即（集中性）和（离散性）。
4．反映变量集中性的特征数是（平均数），反映变量离散性的特征数是（变异数）。
5．样本标准差的计算公式s=（ ）。
判断题1. 计数资料也称连续性变量资料,计量资料也称非连续性变量资料。
（×） 122--∑∑n n x x )(2. 条形图和多边形图均适合于表示计数资料的次数分布。
（×）3. 离均差平方和为最小。
（∨）4. 资料中出现最多的那个观测值或最多一组的中点值,称为众数。
（∨）5. 变异系数是样本变量的绝对变异量。
（×）单项选择1. 下列变量中属于非连续性变量的是( C ).A. 身高B.体重C.血型D.血压2. 对某鱼塘不同年龄鱼的尾数进行统计分析,可做成( A )图来表示.A. 条形B.直方C.多边形D.折线3. 关于平均数,下列说法正确的是( B ).A.正态分布的算术平均数和几何平均数相等. B.正态分布的算术平均数和中位数相等. C.正态分布的中位数和几何平均数相等. D. 正态分布的算术平均数、中位数、几何平均数均相等。
区间估计ppt课件
极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
伯努利分布参数p的区间估计_F分布法
Assuming n 0 && 0 p 1 && k Integers && 0 k n,
k 11 p CDF FRatioDistribution 2 n k , 2 k 1 ,
nk p
FullSimplify
, k Integers && 0 k n && 0 p 1
FullSimplify
Out[101]=
参数p的置信水平为 1 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB n,p k 1
1 Α Β和 FB n,p k Β决定，其中0 Β Α。根据定理二及其推论 ，得到
FB n,p k 1
2 伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb
FF 2 n k 1 ,2 k 和
k 1p nk1 p
1 FF 2 k,2 n k 1
In[362]:=
伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb 3
Α 0.05;
"1.等尾置信区间 ："
"1.2常规区间估计 ——F比分布："
If k 0, pL 0, F FRatioDistribution 2 n k 1 , 2 k ,
q Quantile F, 1 Α 2 ,
pL k k n k 1 q ;
k1 pU
k 1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k n k k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k
其区间长度
k L1 pU pL
k n k 1 F1 Α 2 2 n k 1 , 2 k
k1
k1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
医学统计学二项分布课件
医学统计学二项分布课件xx年xx月xx日•二项分布概述•二项分布数学模型•二项分布的参数估计•二项分布与其它分布的关系目•二项分布的应用实例•二项分布在SPSS和R语言中的应用录01二项分布概述二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。
其中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
定义B(n, p) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)公式二项分布的定义二项分布的特点二项分布在n次独立的是/非试验中成功的次数。
二项分布的随机变量取值为0，1，2，…，n。
在n次独立的是/非试验中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
描述病情变化在医学领域中，病情变化是一个二项分布的过程。
病情可能变好也可能变坏，每次试验可以看作是医生对病情的观察和评估。
临床试验设计在临床试验中，通常将二项分布应用于设计试验方案和分析数据。
例如，在随机对照试验中，将患者随机分为试验组和对照组，比较两组的有效率或成功率等指标。
诊断和预后在医学诊断和预后评估中，通常将二项分布应用于计算概率和可信区间。
例如，计算某疾病的发病率、某检查手段的阳性率等指标。
二项分布在医学统计学中的应用02二项分布数学模型二项分布概率函数公式：$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$其中 $C(n, k)$ 表示组合数，$p$ 表示每次试验成功的概率，$n$ 表示试验次数二项分布概率函数二项分布的均值$E(X) = np$二项分布的方差$D(X) = np(1-p)$二项分布的均值和方差二项分布曲线是一个钟形曲线随着 $n$ 的增大，曲线越来越接近正态分布曲线二项分布曲线的形状03二项分布的参数估计样本大小的选择确定样本量医学研究中，样本量的选择是至关重要的。
通常根据研究目的、研究因素的数量和研究因素的水平数来决定样本量。
考虑变异性和研究因素在选择样本量时，需要考虑研究因素的变异性和水平数。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
医学统计学二项分布课件
二项分布的图形特征与参数影响
• 参数影响 • 试验次数n：随着n的增大，分布趋于正态分布。 • 成功概率p：p越接近0.5，分布越对称；p越小或越大，分布越偏态。 • 应用：了解二项分布的图形特征与参数影响，有助于我们选择合适的统计方法和解释试验结果。在实际医学研究中，我们
二项分布的应用场景
医学研究中，评估某种治疗方法的有效率，可以 看作是伯努利试验，成功率为治疗有效率，通过 二项分布来描述多次试验后治疗有效的次数分布 。
公共卫生领域，二项分布可用于描述某种疾病在 人群中患病次数的分布情况，进而评估疾病的流 行程度和控制效果。
临床试验中，病人对某种药物的反应可分为有效 和无效两类，药物疗效评估可通过二项分布进行 统计分析。
二项分布的累积分布函数
定义
二项分布的累积分布函 数表示在n次独立试验 中，成功次数小于或等 于k的概率。
公式
F(x) = sum(P(X=k))， 其中k从0到x。
应用
通过累积分布函数，我 们可以计算在某个成功 次数以下的累积概率， 有助于我们分析试验结 果的分布情况。
二项分布的图形特征与参数影响
不良反应发生率
在药物临床试验中，二项分布也可用于评估药物的不良反应 发生率。通过计算不良反应发生次数与总用药人数的比例， 并利用二项分布进行统计分析，可以判断药物安全性。
流行病学研究中的疾病发病率估计
估计疾病发病率
在流行病学研究中，利用二项分布可以估计某种疾病的发病率。通过观察一段时间内某地区或人群中患病的人数 ，结合二项分布的概率计算，可以得到该疾病的发病率估计值。
软件工具
常用的统计软件如R、SPSS、 SAS等都可以进行二项分布概率
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
卫生统计学之二项分布护理课件
06
二项分布的护理应用实例
护理研究中的二项分布应用
总结词
在护理研究中，二项分布常用于研究成功与失败、有效与无效等对立事件的发生概率。
详细描述
在护理研究中，研究者常常需要了解某些干预措施或治疗的有效率、成功率等指标，这 些指标通常可以通过二项分布来描述。例如，在研究某种新药的疗效时，可以将患者分 为有效组和无效组，然后利用二项分布计算出新药的有效率、不良反应发生率等关键指
和技能。
THANK YOU
实例
若某项调查中，成功率为 60%，样本量为100，则 可计算出在95%置信水平 下，成功率$theta$的置 信区间为[53%, 67%]。
区间估计的解读与应用
解读
置信区间提供了参数的可能取值范围， 反映了我们对参数的不确定性程度。
VS
应用
在护理研究中，置信区间可用于评估样本 指标的可信程度，如病床使用率、患者满 意度等；在临床决策中，可为医生提供参 考依据，如预测某种治疗方法的疗效等。
根据研究目的和背景，提出一个关于 总体参数的假设。
置信区间法
根据样本数据计算出总体参数的置信 区间，判断实际总体参数是否在置信 区间内。
二项分布的假设检验方法
01
02
03
04
确定检验水准
根据研究目的和研究领域的特 点，确定合适的检验水准，如
α和β。
选择合适的统计量
根据二项分布的特点，选择合 适的统计量进行计算。
详细描述
二项分布适用于描述具有两个可能结 果（成功和失败）的随机试验，其中 每次试验的成功概率是恒定的，并且 各次试验之间相互独立。
二项分布的特性与参数
总结词
二项分布具有离散性、独立性、恒定性和可重复性等特性，其参数包括试验次 数n和每次试验的成功概率p。
二项分布
样本率与已知总体率的比较
例6.5 已知A药物治疗幽门螺旋杆菌感染的治愈 率为60%。现拟用B药物治疗。现用B药治疗幽门螺 旋杆菌感染患者10人，其中9人治愈。问B药治疗 幽门螺旋杆菌感染的治愈率是否不同于A药的治愈 率。
样本量较小，需要使用确切概率计算来 完成分析 显然，本次检验应当是双侧检验。
样本率与总体率的比较 prtesti 样本量 事件发生数 总体率，count
样本率与已知总体率的比较
假设检验(正态近似法) H0：新法和常规疗法治疗流行性出血热的病死率 相等， = 0 H1：新法和常规疗法治疗流行性出血热的病死率 不相等，即 ≠ 0 设=0.05 P 0 检验统计量为U
0 (1 0 ) / n
当H0成立时，统计量U近似服从标准正态分布。 即：若|U|>1.96 ，则拒绝H0。
n=20，=0.5
n＝5，=0.3
二项分布的基本特征
二项分布的名称由来是因为计算公式中含有二项 式的展开项 二项分布的均数和方差 μ=n 方差=n(1- ) n! n x x Pr(x) 1 n n 1 x!n x !
二项分布的基本特征
• 当 =0.5时，图形对称；当 ≠0.5时，图形呈偏态，但 随n的增大，图形逐渐对称。 因此，当n较大， 不太极端时，可以采用正态近似方法 计算概率分布规律（例如计算参考值范围）
n=10
=0.3
n=30
=0.3
样本率的抽样分布
对于大量重复随机抽样而言，样本率p围绕着总体 率附近随机波动，样本量n的值越大，这种波动的 幅度就越小。 当n充分大时，p的分布就近似于均数为，标准差 为sqrt( (1- )/n)的正态分布。 一般的标准是n和n(1- )均大于5，且n>40
数理统计11：区间估计，t分布，F分布
数理统计11：区间估计，t分布，F分布在之前的⼗篇⽂章中，我们⽤了九篇⽂章的篇幅讨论了点估计的相关知识，现在来稍作回顾。
⾸先，我们讨论了正态分布两个参数——均值、⽅差的点估计，给出了它们的分布信息，并指出它们是相互独⽴的；然后，我们讨论到其他的分布族，介绍了点估计的评判标准——⽆偏性、相合性、有效性；之后，我们基于⽆偏性和相合性的讨论给出了常⽤分布的参数点估计，并介绍了两种常⽤于寻找点估计量的⽅法——矩法与极⼤似然法；最后，我们对点估计的有效性进⾏了讨论，给出了⼀些验证、寻找UMVUE的⽅法，并介绍了CR不等式，给出了⽆偏估计效率的定义。
以上就是我们在前九篇⽂章中提到的主要内容，还顺便介绍了⼀些常⽤的分布：Γ分布、β分布、χ2分布。
今天开始，我们将进⼊区间估计与假设检验部分。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：什么是区间估计区间估计同样是参数估计的⼀种⽅法，不同于点估计⽤样本计算出的⼀个统计量直接作为原始参数的估计，区间估计会根据抽取出的样本，计算出⼀个基于样本观测值的区间。
简单说来，如果对总体f(x;θ)中的参数θ作估计，则⾸先从总体中获得样本\boldsymbol{X}=(X_1,\cdots,X_n)，并确定两个具有确定⼤⼩关系的统计量\hat g_1(\boldsymbol{X})\le \hat g_2(\boldsymbol{X})，根据样本观测值计算出的区间[\hat g_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})]就是待估参数\theta的区间估计。
由此，我们可以看出，区间估计依然是依赖于统计量的，并且往往需要不⽌⼀个统计量。
区间估计相⽐于点估计的特点是，区间估计给出了⼀个相对“粗糙”的范围，这就导致你需要使⽤这个参数时，不像点估计⼀样能直接把估计值拿来⽤；但是，区间估计具有涵盖参数真值的可能，因为当参数空间\Theta的取值连续时，点估计\hat\theta与真值相等的可能性\mathbb{P}(\hat\theta=\theta)=0，但是区间估计包含真值的可能性\mathbb{P}(\theta\in[\hatg_1(\boldsymbol{X}),\hat g_2(\boldsymbol{X})])>0，这使得区间估计⽐起点估计⽽⾔，增加了⼀定的可靠性。
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法
Out[109]=
1.等尾置信区间： 0.0771355, 0.385667 等尾区间长度： 0.308531 2.最短置信区间：
Out[112]=
Out[113]=
Out[114]=
Out[116]=
4
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法.nb
0.38
0.36
Out[117]=
0.34
0.32
BetaDistribution k, n k Α 2 ; BetaDistribution k 1, n 1 Α 2 ;
1 , k ,
"2.最短置信区间 ：" Plot L Quantile BetaDistribution k 1, n k , 1 Β Quantile BetaDistribution k, n k 1 , Α Β , Β, 0, Α
设X1 , X2 ,
n
, Xn 为伯努利分布 B p 总体的一个 i.i.d. n为样本容量 ，
k
i 1
Xi 为成功数 ，根据定理一 ，知 k B n, p 。 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB k FB
n,p n,p
参数 p的置信水平为 1 1 和 FB 从上两式分别得到 Α Β和 FB
n,p
伯努利分布参数 p的区间估计 _贝塔分布法 本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在证明伯努利分布与二项分布的关系 、 二项分布与贝塔分布关系的基础上 ，给出了伯努得分布参数 p的经典等尾置信区间和区间长度 ， 以及最短置信区间和区间长度的求法 ，并通过程序实现 。 定理一：n个独立同伯努利分布 B p 的和服从二项分布 B n, p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n, p , t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p , t n
概率论与数理统计(II)总复习资料
概率论与数理统计期末总复习一、填空题1． 设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 = 9.23 。
2．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i = ，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}i i E X X =-=∑__________. 解： 设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑3．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2E X 4． 设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX p DX nDX p p n n n=⋅==⋅=-22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=-- 5．设总体12~(),,,,n X P X X X λ 为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====6．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a b EX += 2()12b a DX n-=7．设总体2126~(0,),,,,X N X X Xσ 为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立213C σ∴= 8．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.95()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-=，查t 分布表0.954(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-9． 在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ()2 1.51Φ- 。
概率论第七章参数估计2区间估计
箱数。由条件可以把X1, X 2,
,
X
视为独立同分
n
布随机变量，而n箱的总重量Tn X1 X 2 X n
是独立同分布随机变量之和。
由条件知E(Xi ) 50, D(Xi ) 5; E(Tn ) 50n, D(Tn) 5 n
16
由 查表得 由于总体方差 未知, 因此 的置信水平为0.95 的置信区间为:
即:
17
3） 方差的区间估计
设
为总体
的一个样本
是 的无偏估计
并且样本函数：
由于 分布无对称性
即：
18
由 分布表的构造
即 置信区间：
/2
/2
2 1
(n
1)
2 / 2 (n 1)
2
19
标准差σ的一个置信水平为 1 的置信区间
36
对给定的置信水平 使
，确定分位数
即
于是得到 的置信水平为 信区间为
的单侧置
37
即 的置信水平为 的单侧置信下限为
将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时
38
例9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时
(5.20 0.49) (4.71, 5.69)
9
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
上例中同样给定 0.05 ,可以取标准正态分
布上α分位点-Z0.04和Z0.0X
n
z0.04} 0.95
z0.04
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[X
n
z0.01
正态分布与二项分布
正态分布与二项分布主要内容正态分布的概念和特征标准正态分布正态分布曲线下的面积医学参考值范围二项分布的基本概念和性质二项分布的概率计算方法体重分布65.062.560.057.555.052.550.047.545.042.540.06050403020100Std. Dev = 5.76Mean = 51.5N = 300.00正态分布正态分布（normal distribution）又称高斯（Gauss）分布，是以均数为中心，左右两侧基本对称的钟型分布。
越接近均数，频数分布越多，离均数越远，频数分布越少。
正态分布是一种重要的连续型分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布的概率密度函数 将正态分布曲线用函数形式表达，称为正态分布的概率密度函数，记为f(x)，即正态分布曲线的方程为：一般用N （μ，σ2）表示均数为μ，方差为σ2的正态分布。
222)(21)(σμσπ--=x e x f正态分布曲线3210-1-2-3μ-σμ+σμ正态分布曲线密度曲线图中，横轴表示测量指标x，纵轴表示密度函数值f(x)。
⏹观察值x附近个体值分布越密集，f(x)值越大；⏹x附近的个体值分布越稀疏，f(x)值就越小。
密度函数f(x)的大小，反映了x附近的测量值的密集程度。
正态分布的特征正态曲线为位于横轴上方的钟形曲线。
正态分布以μ为中心，左右两侧对称。
正态分布曲线以横轴为其渐近线，但两端与横轴永不相交。
正态分布有两个参数，即μ和σ。
可通过标准化变换将一般正态分布N（μ，σ2）转化为标准正态分布N（0，1）。
正态分布曲线下的面积具有一定的规律性。
正态分布的两个参数：μ和σμ是位置参数，用以描述正态分布的集中位置。
⏹当σ恒定，改变μ，则曲线沿x轴平移，但形状不变，⏹μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。
σ是变异度参数或形状参数，用以描述曲线的离散程度。
⏹当μ恒定时，改变σ，则曲线的形状会发生变化，而曲线的中心位置不变，⏹σ越大，表示数据越分散，曲线越扁平，变异越大；σ越小，表示数据越集中，曲线越陡峭，变异越小。
6第六章二项分布22
S p = p (1 p ) / n
率的标准误与样本率和样本大小的关系如何? 率的标准误与样本率和样本大小的关系如何? 率的标准误的用途: 率的标准误的用途: ①衡量率的抽样误差 ②衡量样本率的可靠性 ③估计数总体率的可信区间 率的假设检验. ④率的假设检验.
2.二项分布的图形 2.二项分布的图形 (1)π=0.5,对称分布; 0.5,对称分布;
一,二项分布的适用条件和性质 (一)二项分布的适用条件 1.两种结果相互对立; 1.两种结果相互对立 两种结果相互对立; 2.已知固定的π和 n; 2.已知固定的 已知固定的π 3.各次试验相互独立. 3.各次试验相互独立 各次试验相互独立.
(二)二项分布的性质 1.二项分布的均数和标准差 二项分布的均数和标准差 1.绝对数形式: 均数 绝对数形式: 绝对数形式
所有可能结果 生 生 生 生 生 死 生 死 生 死 生 生 生 死 死 死 生 死 死 死 生 死 死 死 合计 每组小白鼠的死亡和生存只数及其概率 每种结果的概率 死亡数 不同死亡数的概率 0.008 0 0.008 0.032 0.032 1 0.096 0.032 0.128 0.128 2 0.384 0.128 0.512 3 0.512 1.000 1.000 -
例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的 有效率为0.70,无效率为 有效率为 ,无效率为0.30.今用该药治疗该疾 . 病患者10人 试分别计算这10人中有 人中有6人 病患者 人,试分别计算这 人中有 人,7人,8 人 人有效的概率. 人有效的概率.
10! 6 10 6 P (6) = 0.70 (1 0.70) = 0.20012 6!(10 6)! 10! 7 10 7 P (7) = 0.70 (1 0.70) = 0.26683 7!(10 7)! 10! 8 10 8 P (8) = 0.70 (1 0.70) = 0.23347 8!(10 8)!
二项分布参数的区间估计朱永生
1
ˆ 1 ns pl 1 q1 ˆ s
ˆ ˆ , 2 2 n s 1 , 2 s
1
1
ˆ ns ˆ , 2 s ˆ 1 . pu 1 q 2 2 n s ˆ 1 s 》利用 F 1 , 2 分布的上侧 a 分位数 f 1 , 2 来表示：
A ˆ 2 p ˆ.
2. 试验总数 n 为固定常数时 p 的区间估计
用 MC 模拟样本确定 p 时 n 为固定常数。
2.1 Wald 区间
》 二项分布变量考虑为正态近似 （n 充分大， p 不接近 0 或 1 的情形下是较好的近似） ˆ s ˆ n p 点估计 性质 ˆ p, V p ˆ p 1 p n . E p ˆp p 令 ~ N 0 , 1 . ˆ 1 p ˆ n p
p 1 ˆ2 1 s ˆ 0.5 s ˆ 0.25 . s n 1 n
(2.4)
》特点 ˆ 0, n 的极端情形下，Wilson 区间的参数 p 的估计值 p ˆ 分别为 > 0 和 < 1 的值 当s
ˆ 0 ，n+1 次试验中成功的次数 s ˆ 有可能不等于 0； （当 n 次试验中成功的次数 s ˆ n， ˆ 有可能不等于 n+1。 当 n 次试验中成功的次数 s n+1 次试验中成功的次数 s ） 当置信水平 1 0.6827 时
ˆ , p ˆ 包含 p 真值的概率为 0.6827。 p
不对称性参数 A 及误差：
A f b f b f 2 1. f b n n
(1.2) (1.3) (1.4)
统计学复习要点-医学
统计学复习要点-医学总体率的估计（二项分布）：（1）查表法：当样本含量n ≤50，特别是p 很接近于0或1时，按二项分布原理估计总体率的可信区间，可根据样本含量n 和阳性例数X 乾地查表查出总体率的可信区间。
（2）近态近似法：当样本含量n 足够大，且np>5且n(1-p)>5，样本率p 的抽样分布近似正态分布，总体率的可信区间),(2/2/p p S u p S up αα+-已知：n=，p= =-=np p s p )1( np=?>5 n(1-p)=?>5总体率的可信区间)96.1,96.1(pp S p S p +- 实际准备的药物：求出的上下限分别乘以总n 。
正态分布、二项式和泊松分布的关系：二项分布（binomial distribution ）：对只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
Poisson 分布是在π很小，样本含量n 趋于无穷大时，二项分布的极限形式。
当v=∞时，t 分布即为u 分布，趋向正态分布。
正态分布的特征：正态曲线在横轴上方均数处最高；以均数为中心，左右对称；正态分布有两个参数，即均数μ（位置参数）和标准差σ（形状参数），μ越大，曲线沿横轴越向右移动；σ越大，曲张越平阔；正态分布在±1σ处各有个拐点；正态曲线下的面积分布有一定的规律。
t 分布的特征：以0为中心，左右两侧对称的单峰型分布；t 分布曲线的变化与自由度的大小有关，自由度v 越小，则t 值越分散，曲线越低平；自由度v 逐渐增大时，则t 分布逐渐逼近正态分布。
当v=∞时，t 分布即为u 分布。
X s X t/)(μ-= n s s X /= 标准正态分布（u 分布）与t 分布有何异同？答：相同点：t 分布和标准正态分布（u 分布）都是以0为中心的正态分布。
标准正态分布是t 分布的特例（自由度是无限大时）。
不同点：t 分布为抽样分布，u 分布为理论分布；t 分布比标准正态分布的峰值低，且尾部翘得更高；t 分布受自由度大小的影响，随着自由度的增大，逐渐趋近于标准正态分布；t 分布有无数条曲线，而u 分布只有唯一一条曲线。
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第7章参数估计 ----点估计一、填空题1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估计量pX N.2、设总体)p ,1(B ~X ，其中未知参数01p, X X X n 12,,是X 的样本，则p 的矩估计为_n1i iX n1_，样本的似然函数为_iiX 1n1i X )p 1(p __。
3、设12,,,n X X X 是来自总体),(N ~X 2的样本，则有关于及2的似然函数212(,,;,)n L X X X _2i2)X (21n1i e21__。
二、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ，其中1是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.解：因10101α1α1αdxxdxx x X E a)()()(2α1α2α1α12|a x令2α1α)(XX E XX112α为的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()nn n L x x x x x x ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由ni iX n L 101ααln ln 得，的极大似量估计量为)ln (ni iX n11α2、设总体X 服从指数分布,0()0,xe xf x 其他，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）由于1()E X ，令11XX，故的矩估计为1X（2）似然函数112(,,,)nii x nn L x x x e111ln lnln 0nii nini ii L n x d Lnnx dx 故的极大似然估计仍为1X。
3、设总体2~0,X N ，12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2的极大似然估计；[解] (1)似然函数222112i x ni Le2212222ni i x ne于是2221ln ln 2ln222ni i x n n L22241ln 122n ii d L n x d，令2ln 0d L d，得2的极大似然估计：2211nii X n.4、设总体X 服从泊松分布()P , 12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）令()E X XX ，此为的矩估计。