数学建模期末考试2018A试的题目与答案

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2018年数学建模国赛a讲解

2018年数学建模国赛a讲解【实用版】目录一、2018 年数学建模国赛 A 题概述二、解题思路及方法1.题目解析2.建模方法3.解题过程三、参赛体验及建议1.参赛体验2.建议与心得正文一、2018 年数学建模国赛 A 题概述2018 年数学建模国赛 A 题的题目是“集成电路板焊接工艺的优化”，要求参赛选手通过建立数学模型，对回焊炉内部的温度分布进行分析和调整，以保证焊接质量。

这个问题涉及到预热区、恒温区、回流区和冷却区四个大温区的温度控制，需要运用热传导方程等知识进行求解。

二、解题思路及方法1.题目解析题目要求解决的问题是在集成电路板等电子产品生产中，如何通过机理模型来分析和调整回焊炉内部的温度分布，以保证焊接质量。

为了达到这个目标，需要对回焊炉内部的温度场进行建模和求解。

2.建模方法为了解决这个问题，可以采用如下建模方法：（1）将回焊炉内部划分为若干个小温区，从而将问题简化为二维或三维热传导问题。

（2）根据预热区、恒温区、回流区和冷却区的功能特点，建立相应的边界条件和初始条件。

（3）运用有限差分法、有限元法等数值计算方法求解热传导方程，得到回焊炉内部各个小温区的温度分布。

3.解题过程（1）根据题目描述，首先对回焊炉内部进行网格划分，将整个区域划分为若干个小温区。

（2）根据回焊炉内部各个小温区的功能特点，建立相应的边界条件和初始条件。

（3）运用有限差分法、有限元法等数值计算方法求解热传导方程，得到回焊炉内部各个小温区的温度分布。

（4）根据计算结果，分析回焊炉内部温度分布的合理性，提出针对性的优化建议。

三、参赛体验及建议1.参赛体验参加 2018 年数学建模国赛 A 题的体验是紧张而充实的。

在比赛过程中，我们需要在有限的时间内快速理解题目，建立数学模型，并完成求解和撰写论文。

这个过程需要我们具备较强的团队协作能力、沟通能力和抗压能力。

2.建议与心得（1）提高数学基础：数学建模竞赛要求参赛选手具备扎实的数学基础，尤其是在微积分、线性代数、概率论等方面。

数学建模期末考试2018A试的题目与答案

数学建模期末考试2018A试的题⽬与答案华南农业⼤学期末考试试卷（A 卷）2012—2０１3学年第⼆学期考试科⽬：数学建模考试类型:(闭卷）考试考试时间: 12０分钟学号姓名年级专业⼀、(满分１2分）⼀⼈摆渡希望⽤⼀条船将⼀只狼、⼀只⽺、⼀篮⽩菜从河岸⼀边带到河岸对⾯、由于船得限制、⼀次只能带⼀样东西过河、绝不能在⽆⼈瞧守得情况下将狼与⽺放在⼀起；⽺与⽩菜放在⼀起、怎样才能将它们安全得带到河对岸去? 建⽴多步决策模型，将⼈、狼、⽺、⽩菜分别记为i = 1、２、3、４、当i 在此岸时记ｘｉ＝１、否则为0；此岸得状态下⽤s =（x 1、ｘ2、x 3、x 4)表⽰。

该问题中决策为乘船⽅案、记为d= （ｕ1， u ２， u 3, u ４)、当i 在船上时记u i = 1、否则记u i ＝ 0。

(１）写出该问题得所有允许状态集合；（3分）（２) 写出该问题得所有允许决策集合；（３分)(３) 写出该问题得状态转移率。

（3分)(4）利⽤图解法给出渡河⽅案、 (3分）解：（１） S={（1,1,1，1）， (1，1，1，0）， (1，1，0，1）, (1，0，１，1）,（1,0，1，０）｝及她们得5个反状（3分）(２） D ＝ {(１，1，０，０），（1,0，1，０), （1，0，０,１），（１,0,０,0）｝（6分)（3） s k+1 = s k + （—1） k d ｋ (９分)(4）⽅法:⼈先带⽺、然后回来、带狼过河、然后把⽺带回来、放下⽺、带⽩菜过去、然后再回来把⽺带过去.或: ⼈先带⽺过河、然后⾃⼰回来、带⽩菜过去、放下⽩菜、带着⽺回来、然后放下⽺、把狼带过去、最后再回转来、带⽺过去。

（１２分)1、⼆、(满分12分) 在举重⽐赛中、运动员在⾼度与体重⽅⾯差别很⼤、请就下⾯两种假设、建⽴⼀个举重能⼒与体重之间关系得模型:（1）假设肌⾁得强度与其横截⾯得⾯积成⽐例。

6分（2）假定体重中有⼀部分就是与成年⼈得尺⼨⽆关、请给出⼀个改进模型。

2018年数学建模国赛a讲解

2018年数学建模国赛a讲解
数学建模竞赛的问题涉及范围广泛，挑战性很强，可以测试参赛者的数学、计算机编程、软件应用、数据处理和团队协作能力。

2018年的数学建模国
赛A题主要考察的是传热学和热力学的基本原理，以及如何将这些原理应用于实际问题中。

首先，对于一个传热问题，我们需要建立传热模型来描述热量在物质中的传递方式和效率。

在这个问题中，参赛者需要综合考虑多种传热方式（传导、对流和辐射），以及各种影响传热效率的因素，如物质的热导率、热扩散率、对流系数等。

其次，参赛者需要利用所建立的传热模型进行数值模拟，以求解温度分布和参数优化问题。

这需要使用数值计算方法，如有限差分法、有限元法等，将连续的传热过程离散化，转换为可以计算的数学问题。

最后，参赛者需要根据实际问题的需求，选择合适的材料和工艺参数，进行优化设计。

这需要对材料的性质和加工工艺有一定的了解，能够根据实际情况选择合适的材料和工艺参数，并进行实验验证。

综上所述，数学建模竞赛考察的是参赛者的综合能力和实际应用能力，需要具备扎实的数学基础、计算机编程能力、团队协作能力和对实际问题的洞察力。

通过参加数学建模竞赛，可以锻炼和提高参赛者的综合素质和创新能力。

数学建模试卷A参考答案

数学建模试卷（A ）卷参考答案一、答：二、解：对应的约束条件代表的区域为如下图中阴影部分：两线的交点坐标为()()12,6,4x x =，由图可知z 值在交点处最大，即max 36z =。

三、解：设z 为利润，123,,x x x 分别表示,,A B C 生产的件数，123,,y y y 分别表示,,A B C 生产是否生产（为0-1变量，0表示不生产，1表示生产）。

则目标函数：()()()123112233max 200025003000300503208040070z y y y y x y x y x =+++-+-+-约束条件：1231231231231232350024000350000,0,0;,0 1;x x x x x x x x x x x x y y or ++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥=⎩四、解：（一）（二）目标层准则层方案层11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(),0,ij n n ij ji ijA a a a a ⨯=>=层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C 1,C 2,… , C n 对目标O 的重要性:i j ijC C a ⇒A ~成对比较阵 A 是正互反阵要由A 确定C 1,… , C n 对O 的权向量选择旅游地（三）111122221212n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦23a =一致比较允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况12(1),,nW w w w =⇒/ij i ja w w =令12(,,)~T n w w w w =权向量“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦准则层对目标的成对比较阵最大特征根λ=5.073权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 5.07350.01851CI -==-一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR =0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验五、解：()221max ni i i a bx y =+-∑，对,a b 分别求偏导数，可以求解得0.9726,0.0500b a ==。

大学生数学建模竞赛A题参考答案

2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目<请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土<0~10 厘M深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1> 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2> 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3> 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4> 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？题目A题城市表层土壤重金属污染分析摘要：本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。

在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。

2018美赛数学建模A题

2018MCMProblem A: 多跳短波无线电传播背景：在高频率（HF，定义为3 - 30兆赫），无线电波可以长途旅行（从地球表面的一个点到地球表面的另一个遥远的地方）通过电离层和地球以外的多次反射。

下面的最高可用频率（MUF），高频无线电波从地面源反映了电离层返回地球，在那里他们可以再次回到电离层反射，在那里他们可以再次回到地球的反映，等等，旅行还与每个连续跳。

在其他因素中，反射表面的特性决定了反射波的强度，以及信号在保持有用信号完整性的情况下最终会传播多远。

而且，随着季节的变化，白天的时间和太阳的条件也不同。

上面的MUF频率不是反射和折射，但通过电离层进入太空。

在这个问题上，重点特别是海面上的反射。

经验发现，在汹涌的海洋中，反射比平静的海面上的反射减弱。

海洋湍流将影响海水的电磁梯度，改变海洋的局部介电常数和磁导率，改变反射面的高度和角度。

一个汹涌的海洋，其中浪高、形状和频率变化很快，波的传播方向也可能改变。

问题：第一部分：建立海洋信号反射的数学模型。

一个100瓦的高频恒定载波信号，低于MUF，从陆地上的点源，确定第一反射强度和湍流海洋用了平静的海洋的第一反射强度的比较。

（注意，这意味着这个信号在电离层上有一次反射）如果额外的反射（2到n）在平静的海洋上发生，那么信号在强度低于可用的信噪比（SNR）阈值10分贝之前，可以达到的最大跳数是多少？第二部分：你如何从第一部分的调查结果与HF反射在山区或崎岖的地形与光滑的地形比较？第三部分：穿越海洋的船将使用短波进行通信，并接收天气和交通报告。

你的模型如何改变以适应船上的接收器在湍流的海洋上行驶？使用相同的多跳路径，船舶能保持多长时间通信？第四部分：准备一份简短的（1到2页）你的结果概要，适合作为IEEE通讯杂志中的简短说明发表。

您的提交应包括：•一页摘要表，•两页简介，•你的解决方案不超过20页，最多有23页的摘要和概要。

注：参考清单和任何附录不计入23页的限制，并应在您完成的解决方案之后出现。

2018年数模国赛A题

2018年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题高温作业专用服装设计
在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。

专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。

为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。

为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：
(1)专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。

建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。

(2) 当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

(3) 当环境温度为80C 时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

附件1. 专用服装材料的参数值
附件2. 假人皮肤外侧的测量温度。

2018a数学建模题目

2018a数学建模题目摘要：一、引言1.介绍数学建模竞赛2.简述2018 年数学建模竞赛的总体情况二、竞赛题目1.题目概述2.题目一：网络舆情分析a.题目背景b.问题描述c.分析与建模d.模型求解与结果分析e.结论3.题目二：航空物流网络设计a.题目背景b.问题描述c.分析与建模d.模型求解与结果分析e.结论4.题目三：城市空气污染分析与治理a.题目背景b.问题描述c.分析与建模d.模型求解与结果分析e.结论三、竞赛过程与要求1.竞赛时间安排2.竞赛要求3.评分标准四、竞赛成果与影响1.获奖情况2.成果应用与推广3.对我国数学建模发展的意义五、总结1.2018 年数学建模竞赛的亮点与不足2.对未来数学建模竞赛的展望正文：一、引言数学建模竞赛是检验学生应用数学知识解决实际问题的能力的一项重要赛事，每年都吸引着大量的高校学生参与。

2018 年的数学建模竞赛在众多队伍的积极参与下圆满落幕。

本文将详细介绍2018 年数学建模竞赛的总体情况，并重点分析其中的三个竞赛题目。

二、竞赛题目2018 年数学建模竞赛共设有三个题目，分别是网络舆情分析、航空物流网络设计和城市空气污染分析与治理。

1.题目概述题目一：网络舆情分析随着互联网的普及，网络舆情对人们的生活、工作和决策产生越来越大的影响。

本题要求参赛者针对给定的网络数据，建立合适的数学模型，分析网络舆情的发展趋势和影响力。

题目二：航空物流网络设计航空物流是现代物流体系的重要组成部分，如何优化航空物流网络以提高运输效率和降低成本是亟待解决的问题。

本题要求参赛者构建航空物流网络模型，以满足运输需求的同时，实现物流成本最小化。

题目三：城市空气污染分析与治理城市空气污染已成为我国面临的重要环境问题之一。

本题要求参赛者分析城市空气污染的成因，建立空气污染治理模型，为政府部门提供合理的治理措施。

2.题目详解（1）题目一：网络舆情分析a.题目背景：网络舆情是反映社会公众对某一事件、观点或现象的态度和看法的集合。

2018年西南交通大学数学建模竞赛题目——A题：测点分布问题

2018年西南交通大学数学建模竞赛题目（请先阅读“论文封面及格式要求”）A题：均匀布点问题均匀布点问题在工程领域里面经常遇到。

比如我们在进行天气预报的时候，天气演化的数值计算模型是通过在球面上布置网格进行的。

在地球表面布置计算网格时，这些网格点必须是均匀的（图1给出了两种比较均匀的计算网格），才能保证计算是均匀的，进而在此基础上进行数值演化计算。

图1 两种均匀分布的计算网格在岩土工程领域，在进行地质体的力学计算时，同样需要计算网格是均匀的，这就需要在地质体表面也均匀的分布点。

相对于天气预报的球体，地质体一般是不规则的几何体（图2给出了一个不规则几何体的例子），在不规则形体表面均匀分布点会更加复杂一些。

图2 一些不规则形体的例子除了计算网格的设置，我们在各个工程领域会遇到需要布置测点来测量物理量的问题，这时候常常需要布置的测点也是均匀的，而且很多时候不仅要在空间上是均匀的，对于某些变量来说也是均匀的。

比如在布置地震台时，断层附近就要加密，历史上无地震的地区就可以布置的稀疏一些，此时地震台网的分布就应该是在考虑空间位置的同时，对于地震发生概率是均匀的（图3给出了中国国家地震台站分布图）；在布置人口监测点时，人口密集的地方就要多布置，人口稀疏的地区就可以少布置一些。

当然上述只是举了一些例子，真实的分布时要考虑多重因素，而且均匀性的定义也是不确定的。

图3 中国国家地震台站分布图请建立数学模型回答以下问题：1、如何在标准的球面上均匀分布测点？如何度量测点分布的均匀性？请给出球面点分布均匀性的度量标准并给出在此标准下最佳的球面均匀分布点的方法及结果。

2、若为非规则几何体，给出任意几何形体表面均匀分布点的数学模型。

3、在地震及环境工程等领域，在分布监测点时，多考虑一个影响因素（如地震发生概率、人口密度等等），建立数学模型，使测点分布也是“均匀”的。

2018全国大学生数学建模竞赛试题

2018全国大学生数学建模竞赛试题2018年竞赛题目AA题高温作业专用服装设计在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。

专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。

为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。

为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：(1)专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC、II层厚度为6mm、IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。

建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。

(2)当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

(3)当环境温度为80时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

附件1.专用服装材料的参数值附件2.假人皮肤外侧的测量温度(部分)2018年竞赛题目B问题B智能RGV的动态调度策略图1是一个智能加工系统的示意图，由8台计算机数控机床（Computer Number Controller，CNC）、1辆轨道式自动引导车（Rail Guide Vehicle，RGV）、1条RGV直线轨道、1条上料传送带、1条下料传送带等附属设备组成。

RGV是一种无人驾驶、能在固定轨道上自由运行的智能车。

它根据指令能自动控制移动方向和距离，并自带一个机械手臂、两只机械手爪和物料清洗槽，能够完成上下料及清洗物料等作业任务（参见附件1）。

2018亚太数学竞赛建模问题A

2018亚太数学竞赛建模问题A实时训练模型老年人平衡能力下降在老年人群中较为常见。

老年人跌倒可能会引起许多并发症，因为他们的康复能力一般较差，所以副作用会使身体衰弱，加速身体衰竭。

此外，对跌倒的恐惧可能会削弱移动的能力，限制移动的范围，因此大大降低了生活质量。

因此，对老年人进行平衡能力评估，以帮助老年人运动状态、纠正姿势、防止意外摔倒具有重要的现实意义。

目前还没有一个关于平衡的全面定义。

在医学中，平衡有两层含义。

一种是人体保持稳定姿势时的静态平衡状态。

另一种是当身体在运动中或受到外力的作用下自动调整以保持姿势时的动态平衡状态。

在力学中，当物体的合力为零时，就会发生平衡。

身体的平衡或稳定与重心的位置和轴承表面的面积有关。

如果重力线落在轴承表面内，机体保持平衡，否则发生不平衡。

某研究所通过在老年人身上设置42个监测点进行随机抽样试验。

如下图所示，点的布局如下图所示。

图1:监测点布置图根据附件中的实验数据完成以下任务:问题1:根据附件2中的数据分析老年人的平衡特征。

基于步骤、重心和运动分析，建立特征提取模型。

采用42个监测点组成的系统提取25个身体平衡特征，对老年人进行全面的身体平衡评价。

问题2:基于25个指标构建老年人平衡能力的平衡风险评估体系。

给出相应的建议。

问题3:根据实际数据对身体平衡力进行模拟计算和对比分析。

对平衡能力弱的老年人提出有效的建议。

附件描述:附件1:老年人基本数据(格式:.xlsx)包含所有老年人的基本数据。

附件2:附件2包含了每个受试者自由行走状态的校准过的原始数据。

有三个完整的步数(文件后缀:.trc)，可以用Excel打开。

第一列是帧序列，第二列是时间。

从第三列开始，每三列表示监测点(x, y, z)的运动坐标，共42个监测点。

2018a数学建模题目

2018a数学建模题目以下是2018年美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM）的A题：A题：群体中的领导力问题描述：在许多动物和人类社会中，领导力是一个关键的概念。

领导力可以影响群体的行为、决策和组织结构。

例如，一个狮子的领导力可以决定整个狮群的捕猎策略，一个公司的领导力可以影响整个公司的方向和战略。

然而，领导力是如何产生的，以及它如何影响群体行为，仍然是一个未解决的问题。

任务要求：1. 建立一个数学模型，描述在动物或人类社会中领导力的产生和维持。

2. 使用你的模型来解释一些关于领导力的观察结果，例如为什么某些个体在群体中成为领导者，或者为什么某些领导者能够保持其地位。

3. 基于你的模型，提出一些关于如何最好地发展和提升领导力的建议。

4. 对于你的模型，提供一些可能的实证方法来验证其预测和假设。

问题分析：首先，我们需要明确领导力的定义和特性。

在动物和人类社会中，领导力通常与一些特定的行为、能力和品质相关，如智慧、勇气、经验、社交技能等。

这些特性可以通过遗传和环境因素获得，并在个体间存在差异。

其次，我们需要考虑领导力的产生和维持机制。

这可能涉及到个体的竞争、合作、学习和适应等行为。

例如，一些个体可能通过展示出更高的智慧或能力来获得其他个体的尊重和信任，从而成为领导者。

此外，领导者可能通过有效的沟通和协调来维持其地位。

最后，我们需要将领导力与群体行为和决策联系起来。

领导力可以影响群体的目标、策略和组织结构，从而影响群体的生存和繁衍。

例如，一个明智的领导者可能能够带领群体做出更好的决策，从而提高群体的生存机会。

在建立数学模型时，我们可以考虑使用网络模型、演化博弈论、决策理论等工具。

例如，我们可以建立一个网络模型来描述个体间的互动和关系，然后使用演化博弈论来模拟领导力的产生和维持过程。

我们还可以使用决策理论来分析领导者如何做出更好的决策。

在解释观察结果时，我们可以使用我们的模型来模拟不同情况下的领导力行为，并比较模拟结果与实际观察结果。

(完整版)数学建模期末试卷A及答案

用。
且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率 r(x) 是人口数量 x(t) 的的减函数。
假设 r(x) 为 x(t) 的线性函数：
The shortest way to do many things is
r(x) r sx (r 0, s 0)
，
其中， r 称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是 x 0 ）的增长率。
在每个生产周期T 内，开始一段时间（ 0 t T0 ）边生产边销售，后一段时间（T0 t T ）只销售不生产，存贮量 q(t) 的变化如图所示。设每次生产开工
费为 c1 ，每件产品单位时间的存贮费为 c2 ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论 r k 和 r k 的情况。
c(T )
某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价 50 元/个，椅子销售价格 30 元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工 4 小时，油漆工 2 小时。生产一个椅子需要木工 3 小时，油漆工 1 小时。该厂每个月可用木工工时为 120 小时，油漆工工时为 50 小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’)
s r 当 x xm 时人口不再增长，即增长率 r(xm ) 0 ，代入有 xm ，从而有
根据 Malthus 人口模型，有
r(x)
r1
x xm
，
dx r(1 x )x
dt
xm
x(0) x0
4．（25 分）已知 8 个城市 v0，v1，…,v7 之间有一个公路网（如图所示），每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．
（1）设你处在城市 v0，那么从 v0 到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？ (1) v0 到其它各点的最短路如下图：

【7A版】2018年数模国赛A题

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2018年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题高温作业专用服装设计
在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。

专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。

为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。

为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：
(1)专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC、II层厚度为6mm、IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。

建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的EGcel文件（文件名为problem1.GlsG）。

(2)当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

(3)当环境温度为80C 时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

附件1.专用服装材料的参数值
附件2.假人皮肤外侧的测量温度
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数学建模期末考试2018A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七八总分得分评阅人得分一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（x1.x2.x3.x4）表示。

该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。

(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。

（3分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1)S={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)}及他们的5个反状（3分）(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）(4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。

或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。

（12分）得分1、二、(满分12分)在举重比赛中.运动员在高度和体重方面差别很大.请就下面两种假设.建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

6分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关.请给出一个改进模型。

2018年华中杯数学建模a题

2018年华中杯数学建模a题一、题目背景2018年华中杯数学建模a题是数学竞赛中一道较为复杂的题目，涉及到多个数学知识点和建模技巧。

这道题目的背景是基于实际问题而设定的，要求参赛者运用数学建模的方法和技巧，解决其中的问题。

二、题目要求该题目要求参赛者结合给定的背景，利用数学建模的方法，分析并解决以下问题：1. 利用已知数据，建立数学模型，预测未来某一时间段内的趋势；2. 根据给出的数据，推断出可能存在的问题和潜在的隐患，并提出相关的解决方案。

三、题目分析这道题目的难点在于需要参赛者具备较强的建模能力和数学分析能力，需要运用多种数学知识和技巧，如概率统计、微积分、线性代数等，来解决实际问题。

对实际问题的抽象和建模能力也是考察的重点之一，需要参赛者具备较强的逻辑思维和实际问题解决能力。

四、解题思路1. 参赛者需要对给定的数据进行分析和处理，抽取出相关的特征，并进行合理的数学建模；2. 根据模型的建立，参赛者需要运用概率统计等知识，预测未来某一时间段内的趋势；3. 参赛者需要根据模型的分析结果，结合实际问题，推断可能存在的问题和潜在的隐患，并提出相应的解决方案。

五、解题步骤1. 数据分析：对给定的数据进行分析和处理，抽取相关特征；2. 建模预测：根据模型的建立，运用数学方法进行未来趋势的预测；3. 问题解决：根据模型分析结果，推断可能存在的问题和潜在的隐患，并提出相应的解决方案。

六、解题技巧1. 熟练掌握数学建模的方法和技巧，如概率统计、微积分、线性代数等；2. 善于对实际问题进行抽象和建模，培养良好的逻辑思维和实际问题解决能力；3. 注重团队合作，合理分工，充分发挥每个人的特长，共同完成建模任务。

七、总结2018年华中杯数学建模a题是一道较为复杂的数学建模题目，考察了参赛者的建模能力、数学分析能力以及实际问题解决能力。

对于参赛者来说，需要具备扎实的数学基础知识，熟练掌握数学建模的方法和技巧，培养良好的逻辑思维和实际问题解决能力，才能较好地完成此题目的解答。

2018年高中数模美赛a题

2018年高中数模美赛a题2018年高中数模美赛A题是全球数学和模型学术比赛的一部分，一个国际知名的数学竞赛，可以说是有史以来最高水平的比赛。

2018高中数模美赛A题的真题是：有一个等腰直角三角形ABC，AB=AC，BC=10，M和N分别代表BC边上两个中点，P代表AM边上任意一点，给出点P的坐标为(x,y)，求解：AC边上的点Q的坐标。

本题中，给定一个等腰直角三角形ABC，边长分别为AB=AC=10，BC=10。

在三角形的BC边上，有两个中点M和N，AM边上有一个任意点P，其坐标为(x,y)，求解其中AC边上的点Q的坐标。

根据给定数据，可以得出，ABC三角形为等腰直角三角形，因此我们可以得出，MN等于BC边的一半，即MN=5，又因为M和N分别代表BC边上两个中点，那么M和N之间的距离就可以表示为MN；接着，我们可以从三个角度来求解此题：（1）从三角形ABC角度进行求解：因为三角形是等腰直角三角形，所以M和N的位置是在BC的中点，给定点P的坐标，记为(x,y)，那么M点的坐标就可以确定为[(x+5,y)]；又因为N点和M点对称，故N点的坐标可以推知为[(x-5,y)]；再又因为Q点和N点对称，故Q点的坐标可以推知为[(x+5,y)]。

（2）从直角坐标系进行求解：令O为坐标系的原点，因为三角形是等腰直角三角形，M点和N点的坐标分别是(x+5,y)和(x-5,y)；而Q点的坐标则可以根据直角坐标系的中点对称原理推知，N点连线形成一条垂直x轴的线段，Q点与N点对称，所以Q点的坐标可以推知为[(x+5,y)]。

（3）从距离计算进行求解：设ABC三角形的三个边分别为a、b、c，那么根据勾股定理是可以求得：a2+b2=c2，即10*10+10*10=102；又因为AM=AC，所以可以知道AM的长度也等于10；所以有AP2+MP2=102，即AP2=102-MP2；接着，再根据距离公式，可知MP距离为√（（x2-x1）+（y2-y1）），根据题目给出的条件，即M点的坐标为（x+5，y），P点的坐标为（x，y）；由此可求出MP距离，即MP=√（（x+5-x）+（y-y））=√（5*5）=5；接着，再代入AP2=102-MP2求出AP2=102-5*5=75；最后根据距离计算，AP距离为√75=8.66；最后，利用直角坐标系中点对称原理即可推知Q点的坐标为[(x+5,y)]。

2018年全国高中数学联赛A试题+答案

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．解：设点P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为．答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而bz ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为．答案解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MCBOC MOC MOC OC．在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分(2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ． …………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零．设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符．当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分2018年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,,,n n a a a b b b A B 均为正实数，满足,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤= ，且1212n n b b b Ba a a A≤ ．证明：1212(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ ．证明：由条件知，1,1,2,,i i i b k i n a =≥= ．记BK A=，则1212n n b b b B a a a A ≤ 化为12n k k k K ≤ ．要证明11111ni i i ik a KA a A =++≤++∏． ① 对1,2,,i n = ，由于1i k ≥及0i a A <≤知，11111111i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A +−−+=−≤−=++++．结合12n K k k k ≥ 知，为证明①，仅需证明当0,1(1,2,,)i A k i n >≥= 时，有1211111ni n i k A k k k A A A =++≤++∏． ②…………………20分对n 进行归纳．当1n =时，结论显然成立．当2n =时，由120,,1A k k >≥可知1212122111(1)(1)0111(1)k A k A k k A A k k A A A A +++−−⋅−=−≤++++， ③ 因此2n =时结论成立． …………………30分设n m =时结论成立，则当1n m =+时，利用归纳假设知，11121111111111111m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A +++==+++++ =⋅≤⋅ +++++∏∏ 12111m k k k A A ++≤+ ，最后一步是在③中用121,m m k k k k + （注意1211,1m m k k k k +≥≥ ）分别代替12,k k ．从而1n m =+时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n 成立，故命题得证．…………………40分二、（本题满分40分）如图，ABC 为锐角三角形，AB AC ，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC 的外接圆 BAC和 BC 的中点，F 为ABC 的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ．证明：若BN EM ，则DF FG ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由条件知，DE 为ABC 外接圆的直径，DE BC 于M ，AE AD ．记I 为ABC 的内心，则I 在AE 上，IF AB ．由NB AB 可知(180)90NBE ABE ABN ADE90ADE MEI ．① …………………10分又根据内心的性质，有EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ，从而BE EI ．结合BN EM 及①知，NBE MEI ≌ ． …………………20分于是90180EMI BNE BFE EFI ，故,,,E F I M 四点共圆．进而可知9090AFM IFM IEM AGM ，从而,,,A F G M 四点共圆． …………………30分再由90DAG DMG 知，,,,A G M D 四点共圆，所以,,,,A F G M D 五点共圆．从而90DFG DAG ，即DF FG ． …………………40分三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k−≤<．设A 是{1,2,,}m 的n 元子集．证明：区间0,1n k−中的每个整数均可表示为a a ′−，其中,a a A ′∈．证明：用反证法．假设存在整数0,1n x k∈ −不可表示为a a ′−，,a a A ′∈．作带余除法m xq r =+，其中0r x ≤<．将1,2,,m 按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1q +项，x r −个等差数列有q 项．由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含以x 为公差的等差数列的相邻两项．从而1,2,12()22,2|,2q x q q q n A r x r q x r q + ⋅ + =≤+−= ⋅+ ① 这里α 表示不小于α的最小整数． …………………20分由条件，我们有()2121k kn m xq r k k >+−−． ②又0,1n x k ∈ −，故(1)n k x >−． ③情形一：q 是奇数．则由①知，12q n x +≤⋅． ④ 结合②，④可知，1()22121q k kx n xq r xq k k +⋅≥>+≥−−，从而21q k <−．再由q 是奇数可知，23q k ≤−，于是1(1)2q n x k x +≤⋅≤−，与③矛盾．情形二：q 是偶数．则由①知，2qn x r ≤⋅+． ⑤结合②，⑤可知，()221q k x r n xq r k ⋅+≥>+−，从而1(1)2(21)2121xq k k xr k k k −−<<−−−，故2(1)q k <−．再由q 是偶数可知，24q k ≤−，于是(2)(1)2qn x r k x r k x ≤⋅+≤−+<−，与③矛盾．综上可知，反证法假设不成立，结论获证． …………………50分四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1n ≥， 1n a +是与1ni i a =∑互素，且不等于1,,n a a 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现．证明：显然11a =或21a =．下面考虑整数1m >，设m 有k 个不同素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现．记1n n S a a =++，1n ≥．1k =时，m 是素数方幂，设m p α=，其中0α>，p 是素数．假设m 不在{}n a 中出现．由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当n N ≥时，都有n a p α>．若对某个n N ≥，n p S ，那么p α与n S 互素，又1,,n a a 中无一项是p α，故由数列定义知1n a p α+≤，但是1n a p α+>，矛盾！因此对每个n N ≥，都有|n p S ．但由1|n p S +及|n p S 知1|n p a +，从而1n a +与n S 不互素，这与1n a +的定义矛盾． …………………10分假设2k ≥，且结论对1k −成立．设m 的标准分解为1212k km p p p ααα=．假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数N ′，当n N ′≥时，都有n a m >．取充分大的正整数11,,k ββ−，使得11111max k k n n N M p p a ββ−−′≤≤=> ．我们证明，对n N ′≥，有1n a M +≠． …………………20分对任意n N ′≥，若n S 与12k p p p 互素，则m 与n S 互素，又m 在1,,n a a 中均未出现，而1n a m +>，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：对任意n N ′≥，n S 与12k p p p 不互素．()∗情形1．若存在(11)i i k ≤≤−，使得|i n p S ，因1(,)1n n a S +=，故1i n p a +，从而1n a M +≠（因|i p M ）． …………………30分情形2．若对每个(11)i i k ≤≤−，均有i n p S ，则由()∗知必有|k n p S ．于是1k n p a + ，进而1k n n p S a ++，即1k n p S +．故由()∗知，存在00(11)i i k ≤≤−，使得01|i n p S +，再由11n n n S S a ++=+及前面的假设(11)i n p S i k ≤≤−，可知01i n p a +，故1n a M +≠． …………………40分因此对1n N ′≥+，均有n a M ≠，而1max n i N M a ′≤≤>，故M 不在{}n a 中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若m 有k 个不同素因子，则m 一定在{}n a 中出现．由数学归纳法知，所有正整数均在{}n a 中出现． …………………50分。

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ

tan
OQP

3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1

an
(2Sn

2018数学建模赛题

末端防御是国家防御体系的重要组成部分，是保护重要政治、军事、经济目标，打造安全国防体系的重要支撑。

末端防御系统一般由目标搜索与识别、目标指示、目标跟踪测量、系统管理、射击诸元解算、火力随动、脱靶量测量、载体姿态测量、载体定位与定向、跟踪线与武器线稳定、弹道与气象测量、电源与供配电等子系统组成，主要完成目标探测、目标跟踪、目标测量与航迹预测、目标威胁度判定、目标分配、射击诸元解算、火炮随动控制、选择弹种、火力最佳时刻发射控制等功能。

作为防御的最后屏障，随着技术的发展、来袭空袭目标的变化以及作战模式的转变，末端防御高炮武器系统的作战使命也不断地得以拓展，战术应用也得到了快速发展。

具体来说，末端防御高炮武器系统在未来战争中将承担以下战术使命：一是担负对固定翼飞机的威胁，对无人机和直升机的防御任务；二是担负对巡航导弹、空地导弹和反辐射导弹的防御任务；三是担负对火箭弹、炮弹、迫击炮弹等快小目标的防御任务，保障战斗前沿的安全。

在上述作战使命要求下，防御系统面临着以下迫切的发展需求：1)具备复杂背景下目标提取与跟踪能力。

既要能在复杂背景下，提取目标特征、分析目标类型，同时又要具备在各种干扰或者遮蔽条件下，能对目标进行全程跟踪，特别是复杂背景下(RAM类)小目标的识别跟踪能力，要求对目标提取跟踪概率达到80%以上。

2)具备对弱RCS目标的探测跟踪能力。

一是提升火控系统的探测力，实现对小目标的探测与跟踪；二是集成多种探测跟踪手段，实现对隐身目标的探测跟踪，要具备对RCS≤0.01m2的目标探测跟踪能力。

3)具备对高速目标的跟瞄能力。

近期要具备对2～4Ma高速目标实现有效跟踪能力。

5～10a内，要满足对4Ma 以上空袭目标的对抗需要。

4)具备行进间稳瞄能力。

即大幅度提升行进间稳定跟踪与火力控制精度，满足行进间打击需求。

5)具备多目标跟踪和抗饱和攻击能力。

一是提升火控系统本身的探测跟踪能力；二是提升火控网络化协同能力；三是提升火控对火力系统的驱动响应速度，进而满足多目标跟踪、连续打击等抗饱和攻击的需求。