利息理论 债务偿还习题答案
利息理论债务偿还问题
P 2
…
P … …
P
L
… t
n
L 贷款额 n 分期还款次数 p 每期还款额 i 贷款利率
过去法
• 在K时刻的贷款余额（刚刚偿还P后）按过去 法计算，应该为贷款额L按利率i的积累值与每 期偿还额为P的每期偿还款利率i的积累值之差。
未来法
• 在K时的贷款余额应该为未来n－k次偿还款， 按利率i折现到k时的现值。
• 在时刻0，有：
L＝pan i L(1 i ) k ＝pan i (1 i ) k 1 vk vk vn p (1 i ) k i (1 i ) k 1 1 v nk p p psk i pan k i i i pan k i＝L(1 i ) k －psk i
例1.37答案
• 显然利用未来法比较方便：
未来法： B5p 1000a15 0.09 8060.69 8060.69 2000＝pa12 0.09 p 846.38
例1.38
• 某年轻借款人预计10年后工资会大幅上涨， 他决定在前10年每年末还款8 000元，而后5年 每年末还款20 000元，年利率为8％，计算
NPk D sk j D sk 1 j D (1 j ) k 1
L n k 1 vj an j
偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）
时期 支付贷款 利息 每期偿债 基金储蓄 每期偿债基 金利息 偿债基金积累 值 未偿还贷款余 额
0 1 2
-
1 sn j
例1.42答案
(1) L 100a10 0.05 10( Da )10 0.05 10 7.7217 1227.83 0.05 (2) L (100 6% L) s10 5% 10( Ds )10 5% 100(7.7217) 10 L 100 s10 5% 10( Ds )10 5% 1 6% s10 5% 1139.81
XXX《利息理论》综合作业答卷
XXX《利息理论》综合作业答卷XXX《利息理论》综合作业一、单选题（共17道试题，共51分）1.有一项3年期、每年初付款100元的年金，第1年的利率为2%，第2年的利率为3%，第3年的利率为4%。
该年的终值为多少元？答案：B，320元。
2.某人签署了一张1年期的1000元借据并从银行获得920元。
在第6个月末，该人支付了288元。
在单贴现方式，该人的这笔付款会使借据的面值减少多少元？答案：B，700元。
3.以年利率4%在第1年初和第2年初分别投资1万元，并将每年的利息以年利率2%进行再投资，那么，在第4年末，这项投资的积累值为多少万元？答案：B，228.73万元。
4.若i/j=3/4，则i与j的关系式为什么？答案：D，i=0.75j。
5.利用年金当前值的概念，如果X=3000，Y=4000，Z=3000，则年金的支付期数为多少？答案：B，4期。
6.在未来5年内，某人以偿债基金法来偿还一笔100万元的贷款，贷款年利率为4%，偿债基金存款年利率为2%。
该偿债基金在第4年末的净本金支出为多少万元？答案：C，20.392万元。
7.当债券的价格高于其赎回值时，称该债券被按什么方式出售？答案：B，溢价方式。
8.对于等额偿债基金法，必然有L什么？答案：A，L>0.9.某人在未来20年内以等额本金法来偿还一笔金额为100万元的贷款，贷款年利率为4%。
该人前10年内支付的利息总额为多少万元？答案：B，31万元。
10.在常规单利法下，投资期年数=投资期天数/什么？答案：C，360.11.有一项10年期的期末付年金，每季度付款1000元，每年计息4次的名义利率为6%。
该年金的现值为多少元？答案：D，.85元。
答案:错误，应为公式P=C/(1+i/n)^n+g/n/(1+i/n)^n-123.在等额本息法下，每期偿还的本金和利息相等。
答案:正确24.在满期偿还法下，债务人在借款期间只需支付利息，到期一次性偿还本金和最后一期利息。
东财《利息理论X》在线作业2-0010
东财《利息理论X》在线作业2-0010某借款人获得10000元贷款，贷款年利率为10%。
该借款人以年利率8%积累偿债基金以偿还该贷款。
第10年底的偿债基金余额为5000元，第11年该借款人支付的金额为1500元。
于是，第11年底还款的利息部分为（）元。
A:800B:600C:500D:1000答案：D某人向银行贷款100万元，贷款年利率为4%，期限为10年。
该人以等额本金法分期偿还这笔贷款。
自第6年初起（恰在该人做第5次还款之后），贷款利率上升至5%。
该人在后5年内每年支付的偿还额为（）万元。
A:14.68B:15.68C:12.68D:13.68答案：C一项基金的积累函数为a(t)=0.2t2+1。
如果在时刻0投资100元，这笔投资就将在时刻3增长到（）元。
A:270B:290C:280D:260答案：C某人在第1年初和第4年末分别投资100元和X元，以便在第3年末和第6年末分别收回50元和600元。
设年利率为i=3%。
根据以上信息，X等于（）元。
A:501.5B:511.5C:510.5D:504.5答案：D如果月实际贴现率为6%，则季度实际贴现率为（）。
A:14.94%B:16.94%C:15.94%D:13.94%答案：B一笔资金以单利率5%逐年积累。
在这种情况下，第5年的实际利率为（）。
A:5.21%B:4.19%C:4.15%D:4.17%答案：D在1年内，本金X既可以产生336元利息，也可以产生300元贴息。
根据以上信息，X等于（）元。
A:2950B:2500。
利息理论 第6章 债务偿还方法
L0 (1 i ) Rsk i
k
3、每次偿还的本金和利息
1）每次偿还的利息
I1 iL0 iRan i R (1 v n )
iRan1i R (1 v n1 ) I 2 iL 1
----
I k 1 iLk iRank i R (1 v nk )
=17373.69元 第8年的还款额 R8=4000(1-0.1)7=1913.19元
第7年末未偿还的本金余额 L7=4000[(1-0.1)7v+(1-0.1)8v2+(1-0.1)9v3]
。
=4333.95元 第8年偿还的利息 I8=iL7=0.09×4333.95=429.06元 第8年偿还的本金 P8=R8-I8=1484.13元
-----
。
L0 (1 i ) Rs3 i
3
第k年末未偿还本金余额：k=0,1,2,3 ---n
Lk L0 (1 i ) Rsk i
k
2）将来法
将来需要偿还的总金额在该年初的现值。
L0 Ran i
L1 Ran1i
第k年末未偿还本金余额： k=0,1,2,---n
1000055006000240040040002300300200022002002100100每年末的偿还金额支付当年的利息偿还的本未偿还本金余额20008000600040002000000050040030020010025002400230022002100例3假设某人从银行获得一笔贷款期限为5年年利率为8借款人用偿债基金法偿还每年支付的总额依次为20001800160014001200元偿债基金利率为7试求贷款本金为多少
利息理论第四章课后答案
1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。
计算第5次偿还款后的贷款余额。
解：550.125.10000 1.1220004917.7rB S =⨯-=2. 甲借款X ，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X 。
解：10100.0810(1.081)()468.05,700.14xx x x a ---== 3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。
若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。
解：0000040410444104410(1)15001200,16514.374150016514.37rB L S L a=+-==+= 或L=12000v4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i ，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X ，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i ，则该借款人每年需支出额为1.5X ，计算i 。
解：100.0810000(10000)x i S =-00100.08 6.9i ⇒=10000=(1.5x-20000i)S5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。
解：72715105521000(2+)(1)1000[4(1)3]rB a a a i S i S =++-++过去法：71510572=1000（2a +a +a ）(1+i)-1000(4S -S )373583300020001000(2)ra a V a a =+=+未来法：B6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若t t+1t+2t+3B B B B ，，，为4个连续期间末的贷款余额，证明：（1）2t t+1t+2t+3t+1t+2B -B B -B =B -B （）（）（）（2）t t+3t+1t+2B +BB +B解：123123t t t t n t n t n t n t B pa +++-------= B =pa B =pa B =pa （1）2123123()()()()t t t t n t n t n t n t B B B B p a a a a +++---------=--21311n t n t p V a V a ----=或 2221=()n t V a --或p212=t t ++或（B -B ）（2）1321231n t n t t t t t B B B B VV V ----+++-<-⇔<⇔< 7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足()41+i =1.5。
利息理论智慧树知到课后章节答案2023年下云南财经大学
利息理论智慧树知到课后章节答案2023年下云南财经大学云南财经大学绪论单元测试1.利息和利率存在于跨时期的资金借贷活动当中，是借贷双方发生了跨时期资金借贷的行为结果。
A:对 B:错答案:对2.利息和利率是最重要的经济变量。
它们在生产生活实践当中发挥着重要的杠杆作用，可以通过影响人们的投资和消费行为，进而强有效的影响资金的流动和国民经济的整体发展。
A:对 B:错答案:对3.《利息理论》是保险学、精算学、金融数学、金融工程等专业的核心课程，是参加精算师资格考试的必考内容，其提供的思维方式可以广泛的运用于保险产品定价，尤其是寿险产品定价、财务管理、投资决策、公司金融、金融工程等领域。
A:错 B:对答案:对1.以下关于利息的说法，错误的是（）。
A:利息是从属于信用的一个经济范畴B:利息是借款人支付给贷款人的代价 C:信用关系是利息产生的基础 D:利息是借款人由于借出货币使用权而从贷款人那里获得的报酬答案:利息是借款人由于借出货币使用权而从贷款人那里获得的报酬2.利息是资金的（）。
A:价格 B:价值 C:水平 D:指标答案:价格3.利率是衡量利息高低的（）。
A:指标 B:水平 C:价格 D:价值答案:指标4.利息是借款人为了获得一笔资金的使用权而向贷款人支付的款项。
（）A:错 B:对答案:对5.利息的存在是不合理的。
（）A:对 B:错答案:错1.以下说法正确的是（）。
A:实际贴现率等于实际利率的终值 B:实际贴现率等于实际利率的现值 C:当t>1时，复利的累计值小于单利的累积值 D:累积函数是贴现函数的倒数答案:实际贴现率等于实际利率的现值2.名义利率适应通货膨胀的变化而变化应（）。
A:不同向，但同步 B:同向，同步 C:同向，不同步 D:不同向，不同步答案:同向，同步3.投资者从银行借款20000元，4年后需要偿还本息25249.54元，请计算该笔贷款的年复利利率是多少（）。
A:7% B:6% C:5% D:4%答案:6%4.单利的计算不用把利息计入本金；而复利恰恰相反，它的利息要并入本金中重复计息。
利息理论债务偿还习题答案_百度文库
第六章讨论（A）债务偿还1、某人投资一笔款项，以获得n年的年末付年金，每次付1，预定年利率为i。
第1年，这笔投资实际投资利率为i，年末获得额度为1的付款，而在第2年，利率增至j，j>i，若：（1）第3年开始直到第n年，年利率又降至i；（2）直至n年末，利率保持j。
计算变化后这两种情形下的年付款额。
解题提示：见讲义2、某人贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12％，贷款偿还时间及数额为第1年末400元，第5年末800元，第10年末偿还剩余的部分，计算第10年末的偿还额及其共包含的本金和利息。
解：每季度的实际利率为12%/4=3%，偿还款发生在第4季度末、第20季度末和第40季度末，设最后一次偿还款为P，各次偿还款的现值之和等于贷款额，故而有：1000=400（1.03）-4+800（1.03）-20+P（1.03）-40=355.39+422.94+0.30655PP=657.86首期偿还款中的利息部分为：1000【（1.03）4-1】=125.51（元）因而首期偿还款中的本金部分为：400-125.51=274.49（元）第一次还款结束后，贷款余额为1000-274.49=725.51（元）在第二次还款时所生利息为：725.51【（1.0316）-1】=438.72（元）因而第二次偿还款中的本金部分为800-438.72=361.28（元）第三次偿还款中的本金部分为725.51-361.28=364.23（元）则最后一次还款中的本金部分为364.23元，利息部分为657.86-364.23=293.61（元）3、甲购买住房，贷款2000 000元，分三次领取。
办理贷款后，首次领取1000 000元，半年后又领取500000元，1年末又领取500 000元。
贷款按每年计息2次的年名义利率12％进行分期按月偿还，为期30年。
前5年每月偿还额是其后各年每月偿还额的一半。
首期偿还款发生在第3年初，计算第12次偿还款的数量。
刘占国《利息理论》习题答案与提示
第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+ 12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1( 16.用p.6公式17.用P .7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23） 22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论 24. 用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴vdi e a δ，∴c)中，v ln -=δ，d)中，δ--=e d 128.⎰=tdxx et a 0)()(δ29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；he j =+131.（1）902天 39.tetA dr+=⎰10δ )1ln(0t dr tA +=⎰∴δ，两边同时求导，tt A +=11)(δ，)(t B δ类似46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x第二章 年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A --⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y ii----+==⇒+=--+--===将1d i d=-代入（*）7.解：()51218100010.0839169.84s -+=8.解：100.1100.15000s Ra = 9.解：100.1100.155000s Ra = 14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎫=- ⎪⎝⎭17.解：0.0081500100000m a = 解得95.6m ≈ 即正常还款次数为95次 95950.0081500(10.008)100000a f -++= 解得965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+++-++= 令105()1715f t t t t =+-+0(1.03)(1.035)(1.03)1.031.0351.03f ff i --=--(1.032)0.003f =- 1000 1000 1000 011718…23.解：()4660.0411 1.04i a i---++，40.04114i ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24.解：4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ⨯+++= 得2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii----∂-++-++=∴=∂.1020.116.8670.10.002n n nn i a a a i==∂-∴==∂ 其中n 通过公式（2-76）得到29.解: 7777111v a v i a iK i-=∴=-=-类似地，111811181111via iL via iM =-=-=-=-，71118(1)(1)1v v vi K i L i M=∴--=- 从而L K Mi K L+-=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nnnnn v v i i a a a idi--⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ，32.解：()500lim 110000tn in a i -→∞+= 半半()()122111111i i id d-+==+⇒+=--半半，()1211i d -=--半()1120ti i -+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n na nv a i n i Ia ii--+-+=∴=37.解：该永续年金现值为1i1 1 0123 … …R 1.1025R 1.205R 014231该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i--++++=+∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++ 39.解：()01nt kt v dt f g h -=--⎰11lim limnn n n vf a δδ→∞→∞-===1(1)ng k n v δ=-⋅40.解：011()1tdrr a t et +⎰==+11()ln(1)1n n n a a t dt dt n t-===++⎰⎰42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎫- ⎪+⎝⎭-+⨯++-43.解：4684468111vv vva a a iiiiii i v d-+-+-+=+++=- 45.解：2300.015251.0215K s K a -=+46.解：1010120180180300300 1.031.03i iiiia a a a a --++=月月新月新月月11x 110000047.解：011()1tdrr a t e t +⎰==+1414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t-=-=-=+⎰⎰48.解：11tnt n vva a δδ--==，1 2 0 5 67 … …10 9 8 3…4 111 0123... (6)5 41 2 3()01111144010%tnn n t nvv a dt dt n n a δδδδ⎛⎫--==-=-=⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰49.解：1）()11t nnttt t a tv Ia i==-=∑∑第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382⨯-⨯=3.解：237000100040005500(0)v v v v v --++= 110.090.11.091.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i =⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒= 8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k eee+-+-+-⎰⎰⎰+-=解得：0.14117k =10.解：560.0450.04610001.04550.04s i i s -⎛⎫++⎪⎝⎭13.解：50000068000060000500055000A B I ===-=，， 29.78%I i A B I=≈+-14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i -⎛⎫⎡⎤⎛⎫=⨯++⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭15.解：1212121kt dtt ek ++⎰=⇒= 书后答案是1k =，不知我对它对。
刘占国《利息理论》课后答案
第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b) 7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+ 12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式 19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23） 22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论 24. 用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴v di e a δ，∴c)中，v ln -=δ， d)中，δ--=ed 128.⎰=tdxx e t a 0)()(δ29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；he j =+131.（1）902天39.t etA dr +=⎰10δ )1ln(0t dr tA +=⎰∴δ，两边同时求导，tt A +=11)(δ，)(t B δ类似 46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x第二章 年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A --⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y ii----+==⇒+=--+--===将1di d=-代入（*）7.解：()51218100010.0839169.84s -+=8.解：100.1100.15000s Ra = 9.解：100.1100.155000s Ra = 14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎫=- ⎪⎝⎭17.解：0.0081500100000m a = 解得95.6m ≈ 即正常还款次数为95次 95950.0081500(10.008)100000a f -++= 解得965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+++-++= 令105()1715f t t t t =+-+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i --=-- (1.032)0.003186f =-1000 1000 1000 011718…23.解：()4660.0411 1.04i a i---++，40.04114i ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24.解：修改于2009/11/4分解成两个数列：第一个数列：时刻0，2，4，…，20共付款11次，各期付款额成等比数列。
利息理论第四章 债务偿还
an / sk
B0-Pk= ank / sk
an2 k / sk
┋
antk / sk
┋
ak / sk
0
an / sk
例4-7 若某人贷款1000元，每年计息4次得 年名义利率为12%，贷款偿还时间及数额 为第1年末400元，第5年末800元，第10年 末偿还剩余部分，计算第10年末的偿还额 及其共包含的本金和利息。
合众国规则
还款的支付首先应该用于偿还贷款自增的 利息，如果还款量超过还款时贷款所自增 的利息，剩余部分用于偿还本金，否则， 剩余的（即当次还款还未能还掉的）利息 部分不能混入到未偿还本金中，即它们不 能产生利息。
4.1.3 偿还频率与计息频率不同的分期 偿还表
1、如果每偿还期计息k次，即偿还频率小于计 息频率，计息期为n，则共有n/k次偿还款， n/k为整数，若利率为i,每次偿还额为1，则贷 款额为：
Hale Waihona Puke 2014-6-21深圳大学经济学院 吴洪
8
例4.1.1
设i=0.1,时刻0时的贷款额为L,在三年内每 年末偿还。偿还额分别为 x1=500,x2=750,x3=1100。试求每次还款 的本金、利息及各时刻的贷款余额。
2014-6-21
深圳大学经济学院 吴洪
9
第二节 分期偿还计划：贷款余额
所有的未来还款支付在贷款利率下的现值 正好为未偿还贷款余额
分期偿还表例题
例4-4 某借款人每季度末偿还贷款一次，每 次1000元，共5年，每年计息4次的年名义 利率为12%。计算第6次还款中的本金部分 和利息部分。
例4-5甲从乙处借款10000元，每季度末还款 一次，共6年，每年计息4次的年名义利率 为8%。第2年末，乙将这一收回债务的权 利转卖给丙，丙的收益率为每年计息4次 的年名义利率10%，计算丙、乙所得的利 息收入。
刘占国《利息理论》习题解答
《利息理论》习题详解 第一章 利息的基本概念1、解： （1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =+(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-=== （3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -===2、解：202()(0)(1)1(1-6)180=100(a 5+1)4a=125a t at ba b i =+∴==+=∴∴用公式(8)300(83)386.4A a ∴=-=3、解：15545(4)(3)(1)100(10.04)0.05 5.2n n n I i A I A i A i i -=∴==+=+⨯=4、解： （1）1n n n I i A -=113355(1)(0)1101000.1(0)(0)100(3)(2)1301200.0833(2)(2)120(5)(4)1501400.0714(4)(4)140I A A i A A I A A i A A I A A i A A --∴====--====--====（2）1nn n I i A -=113355(1)(0)1101000.1(0)(0)100(3)(2)133.11210.1(2)(2)121(5)(4)161.051146.410.1(4)(4)146.41I A A i A A I A A i A A I A A i A A --∴====--====--====5、证明： （1）123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-123123()()()()()m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++∴++++=+-=+-=++++<令有（2）()(1)()1(1)(1)n A n A n A n i A n A n --==---()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n ∴+=-∴=+-6、证明： （1）112123123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k nk i a a a i a a a i a i a a a i ai a i a n a a i a i a i a i ∴=+=++=+++=+++++第期的单利利率是又(0)1a =123123()1()(0)()1nna n i i i i a n a a n i i i i ∴=+++++∴-=-=++++（2）由于第5题结论成立，当取0m =时有12()(0)n A n A I I I -=+++7、解：（1）由单利定义有()(0)()(0)(1)A t A a t A i t ==+ (5.5)50003000(1 5.5)A i ∴==+解得0.121i =（2）由复利定义有()(0)()(0)(1)t A t A a t A i ==+ 5.5(5.5)50003000(1)A i ∴==+解得0.0973i =8、解：（1）有单利积累公式建立方程有300200(10.058)t =+解得8.62t =（2）由复利积累公式建立方程有300200(10.058)t =+解得7.19t =9、解：（1）以单利积累计算1205003i =⨯1200.085003i ∴==⨯800(10.085)1120∴+⨯=（2）以复利积累计算3120500500(1)i +=+0.074337i ∴=5800(10.074337)1144.97∴+=10、解：设在第n 期等价于5%的实际利率有()(1)(1)n A n A n i A n --=-又()(0)(1),(1)(0)(1)A n A n i A n A n i i =+-=+-0.15%10.1(1)n i n ∴==+-解得11n =11、解：设该款项的金额为(0)A 有（1）在第三个月单利利息为：30.01(0)I A =单在第三个月复利利息为：323(0)1+0.01-(0)1+0.01=0.010201(0)I A A A =复（）（）33:=0.010.010201=0.98I I ∴单复：（2）在第六个月单利利息为：6=0.01(0)I A 单在第六个月复利利息为：656(0)1+0.01-(0)1+0.01=0.01051(0)I A A A =复（）（）66:=0.010.01051=0.951I I ∴单复：12、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得 (0)794.1A =13、证明： （1）令()(1)(1)t f i i it =+-+有(0)0f =，1()(1)t f i t i t -'=+-又对于所有0<i<1有111(1)=1(1)t ti i --+<+ 11()(1)0t i f i t i t -'∴<<=+-<当0时，，即()f i 在1i <<0是单调减函数，因此有当1i <<0时有()(1)(1)0,(1)(1)t t f i i it i it =+-+<+<+即，命题得证。
利息理论第四章课后答案
1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。
计算第5次偿还款后的贷款余额。
解：550.125.10000 1.1220004917.7rB S =⨯-=2. 甲借款X ，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X 。
解：10100.0810(1.081)()468.05,700.14xx x x a ---== 3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。
若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。
解：0000040410444104410(1)15001200,16514.374150016514.37rB L S L a=+-==+= 或L=12000v4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i ，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X ，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i ，则该借款人每年需支出额为1.5X ，计算i 。
解：100.0810000(10000)x i S =-00100.08 6.9i ⇒=10000=(1.5x-20000i)S5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。
解：72715105521000(2+)(1)1000[4(1)3]rB a a a i S i S =++-++过去法：71510572=1000（2a +a +a ）(1+i)-1000(4S -S )373583300020001000(2)ra a V a a =+=+未来法：B6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若t t+1t+2t+3B B B B ，，，为4个连续期间末的贷款余额，证明：（1）2t t+1t+2t+3t+1t+2B -B B -B =B -B （）（）（）（2）t t+3t+1t+2B +BB +B解：123123t t t t n t n t n t n t B pa +++-------= B =pa B =pa B =pa （1）2123123()()()()t t t t n t n t n t n t B B B B p a a a a +++---------=--21311n t n t p V a V a ----=或 2221=()n t V a --或p212=t t ++或（B -B ）（2）1321231n t n t t t t t B B B B VV V ----+++-<-⇔<⇔< 7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足()41+i =1.5。
利息理论
第七章 债务偿还方法
等额分期偿还
债务偿还通常采用的方法为：（ ）分期偿还法（ ） 债务偿还通常采用的方法为：（1）分期偿还法（2）偿债基 ：（ 金法 分期偿还法——借款人分期偿还债务，在每次偿还的金额中， 分期偿还法 借款人分期偿还债务，在每次偿还的金额中， 借款人分期偿还债务 既包括当期应该支付的利息，也包括一部分本金。 既包括当期应该支付的利息，也包括一部分本金。 1、等额分期偿还 、 等额分期偿还法中需要解决的问题： 等额分期偿还法中需要解决的问题： （1）每次偿还的金额是多少？ ）每次偿还的金额是多少？ （2）未偿还的金额是多少？ ）未偿还的金额是多少？ （3）在每次偿还的金额中，利息和本金是多少？ ）在每次偿还的金额中，利息和本金是多少？
1.1 每次偿还的金额 假设贷款本金为 期限为n年 年实际利率为i,每年末偿还金 假设贷款本金为L0，期限为 年，年实际利率为 每年末偿还金 贷款本金为 额为R，则每次偿还的金额R为 额为 ，则每次偿还的金额 为： R ⋅ an = L 0 2.1 未偿还的本金金额 注：在贷款初期，未偿还本金金额就是贷款金额。 在贷款初期，未偿还本金金额就是贷款金额。 符号说明： 表示未偿还的本金金额， 符号说明：L0表示未偿还的本金金额，L1表示第一期末的未偿 还的本金金额， 表示第二期末未偿还的本金金额， 还的本金金额，L2表示第二期末未偿还的本金金额，……Ln表示第 n期末未偿还的本金金额。 期末未偿还的本金金额。 期末未偿还的本金金额 计算任意时点上的未偿还金额通常采用两种方法（ ） 计算任意时点上的未偿还金额通常采用两种方法（1）过去法 追溯法）（ ）（2）将来法（预期法） （追溯法）（ ）将来法（预期法）
利息理论课后作业
【1】某债券的面值为100元，年票息率为4%，期限为5年，到期赎回值为110元。
如果年收益率为3%，不考虑任何税负，那么该债券的价格为（）元。
回答错误A: 113.21B: 114.21C: 115.21D: 116.21答案113.21【2】在Makeham公式中，K=（）。
回答错误A:C(1+i)-nB:C(1+i)nC:Fr/iD:Fr(1+i)C(1+i)-n答案【3】债券账面值的递推公式为：。
回答正确A:正确: B:错误答案正确【4】某债券的面值为100元，年票息率为4%，期限为5年，到期赎回值为110元。
如果年收益率为5%，所得税率为20%且无其它税负，那么该债券的价格为（）元。
回答正确A: 107.28B: 108.28C: 109.28D: 110.28答案109.28【5】某债券的面值为100元，年票息率为4%，期限为5年，到期赎回值为110元。
如果年收益率为5%，不考虑任何税负，那么该债券的价格为（）元。
回答正确A: 113.51B: 103.51C: 117.51D: 119.51答案103.51【6】通常，偿债基金的利率会高于贷款利率。
回答错误A:正确: B:错误答案错误【7】债券的价格总是高于或低于赎回值，导致债券投资者在赎回日获得利润（折价额）或遭受亏损（溢价额），因此，尽管票息额被视为投资回报，但它并不直接表现为利息收益。
回答错误A:正确: B:错误答案正确【8】某债券的分期偿还表的部分内容如下所示：年票息额利息收入本金调整账面值0 1 126.02140.00 1 119.80240.0033.59340.00440.00X合计160.00133.9826.02根据以上信息，上表中的X等于（）。
回答正确A: 900B: 1000C: 1100D: 1200答案1100【9】当债券的价格高于其赎回值时，称该债券被按（）出售。
回答错误A: 折价方式B: 溢价方式C: 贴现方式D: 单利方式答案溢价方式【10】如果借款人以总利息支出最少为原则选择偿债方法，那么他应该选择等额本息法而非等额本金法。
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第六章 债务偿还讨论（A ）1、 某人投资一笔款项，以获得n 年的年末付年金，每次付1，预定年利率为i 。
第1年，这笔投资实际投资利率为i ，年末获得额度为1的付款，而在第2年，利率增至j ，j>i ，若：（1）第3年开始直到第n 年，年利率又降至i ；（2）直至n 年末，利率保持j 。
计算变化后这两种情形下的年付款额。
解题提示：见讲义2、 某人贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12％，贷款偿还时间及数额为第1年末400元，第5年末800元，第10年末偿还剩余的部分，计算第10年末的偿还额及其共包含的本金和利息。
解：每季度的实际利率为12%/4=3%，偿还款发生在第4季度末、第20季度末和第40季度末，设最后一次偿还款为P ，各次偿还款的现值之和等于贷款额，故而有： 1000=400（1.03）-4+800（1.03）-20+P （1.03）-40 =355.39+422.94+0.30655P P=657.86首期偿还款中的利息部分为：1000【（1.03）4-1】=125.51（元） 因而首期偿还款中的本金部分为：400-125.51=274.49（元） 第一次还款结束后，贷款余额为1000-274.49=725.51（元） 在第二次还款时所生利息为：725.51【（1.0316）-1】=438.72（元） 因而第二次偿还款中的本金部分为800-438.72=361.28（元） 第三次偿还款中的本金部分为725.51-361.28=364.23（元）则最后一次还款中的本金部分为364.23元，利息部分为657.86-364.23=293.61（元）3、 甲购买住房，贷款2000 000元，分三次领取。
办理贷款后，首次领取1000 000元，半年后又领取500000元，1年末又领取500 000元。
贷款按每年计息2次的年名义利率12％进行分期按月偿还，为期30年。
前5年每月偿还额是其后各年每月偿还额的一半。
首期偿还款发生在第3年初，计算第12次偿还款的数量。
解：两年末，贷款积累值为：1000 000（1.0750）4+500 000(1.075)3+500 000(1.075)2=2354430.10(元)这个积累值是分期还款额在贷款第3年初的现值，设前5年每次偿还额为P ，则有60600.013000.012354430.102Pa Pa v =+P=16787.12（元）第12次付款发生在第一个还款年度，所以应该为P 的值，即16787.12元。
4、有两比贷款的本金均为10 000元，期限均为5年，但偿还方式不同： 第一笔贷款：采用偿债基金法偿还，贷款利率为6％，偿债基金利率为5％。
第二笔贷款：采用等额分期法偿还。
试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。
解：无论选择哪一笔贷款，如果借款人在每年末都要支付相等的金额，那就可以认为两笔贷款对借款人而言是等价的。
对于第一笔贷款，借款人在每年末需要支付的金额为050.0511()10000(0.06)2409.75(n j L i s s +=+=元）对于第二笔贷款，假设其利率为i ，则借款人在每年末需要支付的金额为：0510*******.75ni iL a a ==R=0.06552i =5、一笔贷款的期限为2年，年实际利率为6％，每季度等额偿还一次，如果第一年末偿还的本金为2 000元，试计算在第二年末应该偿还的本金。
解：已知年实际利率为6%，所以季度实际利率为0.25(10.06)10.01467i=+-=第一年末的付款也就是第4次付款，由式（8.1.6）可知，第一年末的付款中偿还的本金为1(841)(1.01467)0.9298n k Rv R R -+--+==令上式等于第一年末偿还的本金2000元，得每次偿还的金额为R=2000/0.9298=2151（元） 再次应用上式可得在第二年末（第8次付款）偿还的本金为1(881)2151(1.01467)2120(n k Rv -+--+==元） 事实上，如果注意到每次偿还的本金1n k Rv -+是一个几何级数，就可以直接以第4次偿还的本金为基础，计算出第8次偿还的本金。
第4次偿还的本金为84154P Rv Rv -+== 第8次偿还的本金为8818P RvRv -+== 所以4484120001.014672120P P i =+==（）（）（元） 讨论（B ）1、 甲年初从乙银行贷款10 000元，分10年偿还，年利率10％，每年末的还款额是前一年的1.2倍。
计算前4年各期偿还款中的本金部分、利息部分和贷款余额。
解：由题意得：11110111001212 1.21 1.11000013.871820.10.210000720.8913.871820.1*100001000(720.891000279.1110000279.1110279.111.2 1.2*720.89865.07162.84R R R I iB P R I B B P R R P -==-======-=-=-=-=--=====-10（）【】（元）元）（元）（）（元）（元）以此类推232323343434410441.951.21038.081044.206.1210448.071.21245.701044.80200.8910247.18B R R I iB P B R R I iB P B ======-=======（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）2、 某人从银行贷款20 000元。
本金部分按20年期等额年金形式偿还，每次还本金的同时，偿还贷款的当期利息，年利率为3％。
10年后，银行将这种收款权卖给另家公司，卖出价格为P ，使得买入公司在前5年可获5％的年收益，而后5年可获4％的年收益，计算P 。
解：第1年末贷款余额为19000，第2年末为18000……，每年还款中本金部分为1000元，利息部分： 第1年末为20000*3% 第2年末为19000*3%....5550.0550.0450.0550.0550.041000[(1.05)][15030()30(1.05)()]5 4.32955 4.45181000[4.3295(0.78353)(4.4518)][150(4.3295)30()30(0.78353)()]0.050.049191.55(P a a a Da Da --=++++--=++++=元）3、 某贷款年利率为10％，期限为10年，采取分期方式连续偿还。
前5年每年还款1 000元，后5年没面还款2 000元，计算第5年偿还的贷款的本金部分和利息部分。
解：根据未来法计算第4年末的贷款余额，分为两部分，一部分是后5年的偿还款现值，这一部分在第5年内不随时间推移而变化，即5115142000(1.1)2000(1.1)7231.48(v a δ---===1V （）元）这部分本金在第5年产生的利息为：7231.48*0.1=723.15（元）另一部分是第5年偿还款的现值，这一部分在第5年内随时间推移而变化，即2141000ta -=V （）这部分贷款余额在第5年内产生的利息为：110110(1)1010001000111000()|11000(1)46.18(t t t a dtv dtt e vδδδδ----⋅⋅=-=--=-=⎰⎰元）第5年内还款额1000元中的利息部分为： 723.15+46.18=769.33（元）本金部分为：1000-769.33=230.67（元）这里明确的是，贷款本金中不变的部分所产生的利息用i 计算而不是瞬时值，不用δ计算，而可变部分所生的利息要通过积分值将各瞬时值进行积累。
另外，注意不能将不变部分与11000a 简单相加再与δ相乘即δ（7231.48+11000a ）作为利息值，实际计算时往往会产生这种错误，原因是没有考虑11000a 这一部分在一年内是递减的。
4、设某人年初向银行借款10 000元，借款年利率为8％，每年复利1次，期限为6年，还款方式有以下3种：（1）每年年末分期等额偿还；（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率也为8％；（3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率为6％。
求3种方式中每年的支付量及每年的利息支付量。
解：（1）因为60.08 4.62288niaa ==，并且当初始贷款为ni a 时，每次的支付量为1，因此当初始贷款为10000元时，每次的偿还量应为：10000100002163.15(4.62288ni a ==元）其中第1次所还利息为：1000010000800(ni niia i a =⋅=元）第2次至第6次所还利息分别为：50.0860.0840.0860.0830.0860.0820.0860.0810000 3.99270.08800690.95(4.6228810000 3.31210.08800573.17(4.6228810000 2.57710.08800445.98(4.6228810000 1.78330.08800308.60(4.622881000a a a a a a a a ⨯==⨯==⨯==⨯==元）元）元）元）10.0860.0800.92590.08800160.23(4.62288a a ⨯==元）（2）由于偿债基金存款利率与贷款利率相同，都为8%，这时的偿债基金法与分期偿还法等价，因此，每年的支付量也为2163.15元。
每次的利息支付量都等于1000010000800(ni niia i a =⋅=元）（3）由于偿债基金存款利率与贷款利率不相同，这时偿债基金法雨分期偿还法并不等价，这种情况下每年的支付量为：60.0660.061000010000100002233.64(4.47701(0.080.06)n i ja a a δ===+-元）5、设某人年初向银行贷款10 000元，期限6年，还款方式有以下3种： （1）以贷款年利率6％，每年年末分期等额偿还；（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为6％，偿债基金存款利率也为6％； （3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为8％，偿债基金存款年利率为6％。
计算3种情况下，第4次偿还后贷款余额和第4期内的本金支付量或净本金支付量，并比较其结果。
解：（1）L=10000，i=0.06，n=660.0610000100002033.64(4.9173n j L a a ===R=元）第4年末偿还后的贷款余额为640.062033.64 1.83343728.47a-=⨯=4B =R （元） 第4次偿还额中的本金部分为：32033.64*(1.06)1707.48(-==6-4+14P =Rv 元）（2）L=10000，i=j=0.06，n=660.060.0660.0610000100002033.64(ni jL a a a δδ===R=元）第4年末偿还后的净贷款余额仍为420.0660.0610000100003728.47(n k n j NB a a a a -===元）第4次偿还额中的净本金支付量仍为：13460.0610000(1.06)1707.48(n k j n j L NP v a a -+-===元）。