数学 锐角三角函数的专项 培优练习题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，

圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是

E 的切线；

（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ：

①当1

an 7

t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求

BG

CF

的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.

【解析】 【分析】

（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；

（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得1

2

BG CF ≤，从而得解. 【详解】

（1）证明：连接DE ，则：

∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=︒ ∴90BDA ∠=︒ ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠

∵

EB ED =

∴EBD EDB ∠=∠

∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=︒ ∴90EDO ∠=︒ ∴直线OD 为

E 的切线.

（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ∆∆

∴

11

NF AF AN AB BC AC

== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==

∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10

31

x = ∴150531AF x ==

15043

33131

OF =-=

即143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭

如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ∆∆

∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241

tan 1037

F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25

x =

∴252AF x ==

2325OF =+=

即2(5,0)F

②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径

∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆

∴

8BG MG MG

CF BC == ∵MG ≤半径4=

∴

41

882BG MG CF =≤= ∴BG CF

的最大值为12.

【点睛】

本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1

2

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BF

PE

=，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE

的

值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）

1

2

BF

PE

=（3）

1

tan

2

BF

PE

α

=

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1

PE2

=．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

∵∠BPE=

1

2

∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=1

2

BM ． ∴BF=

12PE ， 即

BF 1

PE 2

=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=1

2

BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．

∴

BM BN

PE PN

=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴

BM =tan PE α，即2BF

=tan PE

α． ∴

BF 1

=tan PE 2

α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．

（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出

BF 1

PE 2

=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1

2

BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN

tan =PN

α即可求得

BF 1

=tan PE 2

α．

3．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ． （1）求证：△PAC ∽△PDF ；