九上数学每日一练：矩形的性质练习题及答案_2020年综合题版

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北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定同步练习题含答案

第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1. 如图，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中错误的是( )A．∠DGE＝60° B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．GE＝GD2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD 的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长等于( )A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm3. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A. 13B. 14 C, 15 D. 164. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，AH⊥BC于点H，若FD＝8 cm，则HE等于( )A. 11cmB. 10cmC. 9cmD. 8cm5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角线相等C ．对角相等D ．对角线互相平分 6. 下列四边形不是矩形的是( ) A ．有三个角都是直角的四边形 B ．四个角都相等的四边形 C ．对角线相等且互相平分的四边形 D ．一组对边平行，且对角相等的四边形7. 如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )A ．AC⊥BDB ．AC ＝BD C ．AB∥DC D ．AB ＝DC8. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是( ) A ．测量两组对边是否分别相等 B ．测量对角线是否相互平分 C ．测量其内角是否都为直角 D ．测量对角线是否垂直9. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，在下列结论中，不一定正确的是( )A ．BE ＝AD －DFB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．△AFD ≌△DCE10. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8 B．5 C．6 D．7.211. 如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2=12. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，则矩形ABCD的面积=13. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则下列条件的组合不能使四边形ABCD成为矩形的选项是 (填序号)14. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，2)，要使四边形OBCA为矩形，则C点的坐标为________．15. 已知一直角三角形的周长是4＋26，斜边的中线长是2，则这个三角形的面积是件，使四边形ABCD为矩形．17. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为18. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为19. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．21. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC 的交点为点O，连接DE.(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：DE∥AC.22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且EA＝ED.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若BC＝6 cm，AE＝5 cm，求S▱ABCD.23. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且EF ＝ED ，EF⊥ED.求证：AE 平分∠BAD.24. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．25. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．答案：1---10 ACBDB DADBA 11. 60° 12. 4 3 13. ② ⑤ ⑥ 14. (3，2) 15. 5216. ∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90° 17. 8 18. 60° 19. (3，43)20. 221. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，由折叠知BC ＝CE ＝AD ，AB ＝AE ＝CD ，又∵DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)∵△ADE ≌△CED ，∴∠EDC ＝∠DEA ，由折叠知∠OAC ＝∠CAB ，又∵∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠EOC ＝∠EAB ，∴2∠OAC ＝2∠DEA ，∴∠OAC ＝∠DEA ，∴DE ∥AC.22. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，又∵EA＝ED ， BE ＝EC ，∴△ABE≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝12×180°＝90°，∴▱ABCD 是矩形(2)在Rt△ABE 中，BE ＝12BC ＝3(cm)，∴AB＝AE 2－BE 2＝4(cm)，∴S ▱ABCD ＝AB·BC＝4×6＝24(cm 2)．23. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB ＝CD ， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°， ∴∠BFE＝∠CED，同理∠BEF＝∠EDC.在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE＝∠CED，EF ＝ED ，∠BEF＝∠EDC，∴△EBF≌△DCE(ASA )．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°. ∴∠BAE＝∠EAD，即AE 平分∠BAD.24. (1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵OA＝OC ， AE ＝CF ，∴OE＝OF ，∴△BOE≌△DOF(AAS )．(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD ，又∵OD＝12AC ，OA ＝OC ，∴OA＝OB ＝OC ＝OD ，∴BD＝AC ，∴四边形ABCD 为矩形． 25. (1)证明：如图所示，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，∵CE＝8，CF ＝6，∴EF＝82＋62＝10，∴OC＝12EF ＝5.(3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．1、最困难的事就是认识自己。

九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习含答案解析

《1.2 矩形的性质与判定》一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．44．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.27．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED 的面积（）A．2 B．4 C．4 D．810．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．23．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q 两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．26．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．《1.2 矩形的性质与判定》参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．【解答】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．【点评】此题考查了矩形与菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质．【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．4【考点】矩形的性质．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OA=AC=2．故选A．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD ，可得BC=AD ，又∵BE=BC ﹣EC ，∴BE=AD ﹣DF ，故（D ）正确；故选B ．【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．6．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2【考点】矩形的性质．【分析】首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA •PE+OD •PF 求得答案．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB •BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24，∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA •PE+OD •PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF ）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】矩形的性质；平行线的性质．【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED 的面积（）A．2 B．4 C．4 D．8【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，=OE•DC=×2×2=2．则S菱形ODEC故选A【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22.5 度．【考点】矩形的性质．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．【解答】解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= 2 ．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，∵角线AC与BD相交于点O，AO=1，∴AO=CO=BO=DO=1，∴BD=2．故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，∴∠EB′C=90°，∵BC=3BE，∴EC=2BE=2B′E，∴∠ACB=30°，在Rt△ABC中，AC=2AB，∴AB=AC=×2=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 15 度．【考点】矩形的性质．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【解答】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB===5，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC，∴CM的最小值==，∴线段DE的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．三、解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【考点】矩形的性质；作图—基本作图．【专题】矩形菱形正方形．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的全等；矩形菱形正方形．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．【考点】矩形的性质．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．23．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q 两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．26．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．。

北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习优生训练题(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习优生训练题（附答案详解）1．如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，15BDE ∠=︒，则COE ∠的度数为（）A ．65︒B ．75︒C ．70︒D ．85︒2．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，2ACD ACB ∠=∠.若3DG =，1EC =，则DE 的长为（）.A ．23B ．10C ．22D ．64．如图，在矩形ABCD 中，120AOB ∠=︒，3AD =，则AC =（）A ．6B ．33C ．5D ．325．八年级(3)班同学要在广场上布署一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来（）盆红花A．48 B．49 C．50 D．246．直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（）A．10 B．8 C．6 D．57．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D 作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（）A．752B．355C．3102D．61058．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行且相等B．两组对角分别相等C．相邻两角互补D．对角线相等9．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）.A．对角线相等；B．对角线互相平分；C．对角线互相垂直；D．对角相等10．下列判断一个四边形为矩形的命题中真命题的是：（）A．对角线互相平分且有一个内角为直角的四边形是矩形.B．对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是矩形.C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形.D．对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形.11．如图，在矩形ABCD中，AE BD⊥于点E，对角线AC、BD相交于点O，且:1:3BE ED=，6AB=，则AE=__________．12．已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，则它的面积等于原面积的________；若宽不变长缩小41倍，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________；若宽扩大2倍且长缩小41，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________. 13．在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，以AB 为边在矩形外部作ABP ∆，且15ABP S ∆=，连接CP ，则AP CP +的最小值为___________．14．如图，在Rt ABC Λ中，90ABC ∠=，点D ,E ,F 分别是AB ,AC ,BC 边上的中点，连结BE ,DF ,已知5BE =则DF =_________．15．如图，△ABC 的周长为16, G 、H 分别为AB ．AC 的中点，分别以AB ．AC 为斜边向外作Rt △ADB 和Rt △AEC,连接DG .GH,EH,则DG+GH+EH 的值为__________.16．如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 和BD 的交点，E 是边BC 上一点，且OE BC ⊥，若60AOB ∠=︒，1OE =，则AC =_________．17．如图，矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线交AD 边于点E F ，是CD 的中点，连结EF .若8AB ＝，且EF 平分BED ∠，则AD 的长为________．AC BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点18．如图，矩形ABCD的对角线,E，若AB=4，BC=8，则AE的长为__________．19．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，若AB=3，BC=9，则折痕EF 的长度为____．20．一个菱形的两条对角线长分别为4cm和5cm，则这个菱形的面积是________2cm．21．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC 于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=3，DB=23，求BE的长．22．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．23．如图，四边形ABCD是长方形．（1）作△ABC关于直线AC对称的图形；（2）试判断（1）中所作的图形与△ACD重叠部分的三角形形状，并说明理由．24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．25．如图，已知B（0，b）（b＞0）是y轴上一动点，直线l经过点A（1，0）及点B，将Rt△ABO折叠，使得点B与点O重合，折痕分别交y轴、直线AB于点E、F，连接OF．（1）当b＝2时，求直线l的函数解析式；（2）请用含有字母b的代数式表示线段OF的长，并说明线段OF与线段AB的数量关系；（3）如图，在（1）的条件下，设点P是线段AB上一动点（不与A、B重合），将线段OP绕点O逆时针旋转90°至OQ，连结BQ、PQ，PQ交y轴于点T，设点P的横坐标为t．①当△OPQ的面积最小时，求T的坐标；②若△OPB是等腰三角形，请直接写出满足条件的t的值；③若△OQB是直角三角形，请直接写出满足条件的t的值．26．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E是边CD的中点，点P，Q分别是射线DC与射线EB上的动点，连结PQ，AP，BP，设DP＝t，EQ＝t．（1）当点P在线段DE上（不包括端点）时．①求证：AP＝PQ；②当AP平分∠DPB时，求△PBQ的面积．（2）在点P，Q的运动过程中，是否存在这样的t，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，试说明理由．28．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG =BD，连接BG、DF．若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的周长.参考答案1．B【解析】【分析】因为DE 平分∠ADC ，可证得△ECD 为等腰直角三角形，得EC=CD ，因为∠BDE=15°，可求得∠CDO=60°，易证△CDO 为等边三角形，等量代换可得CE=CO ，即∠COE=∠CEO ，而∠ECO=30°，利用三角形内角和为180°，即可求得∠COE=75°．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，且DE 平分∠ADC ，∴∠CDE=∠CED=45，即△ECD 为等腰直角三角形，∴CE=CD ，∵∠BDE=15°，∴∠CDO=45°+15°=60°，∵OD=OC ，∴△CDO 为等边三角形，即OC=OD=CD ，∴CE=OC ，∴∠COE=∠CEO ，而∠OCE=90°-60°=30°，∴∠COE=∠CEO=()1180302⨯︒-︒=75°．故选B ．【点睛】本题考查三角形与矩形的综合，难度一般，熟练掌握矩形的性质是顺利解题的关键． 2．A【解析】【分析】【详解】解：如图所示：设①的周长为：4x ，③的周长为2y ，④的周长为2b ，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，设②的周长为：4a ，则②的边长为a ，可得③和④中都有一条边为a ，则③和④的另一条边长分别为：y−a ，b−a ，故大矩形的边长分别为：b−a＋x＋a＝b＋x，y−a＋x＋a＝y＋x，故大矩形的面积为：（b＋x）（y＋x），其中b，x，y都为已知数，故n的最小值是3．故选：A．3．C【解析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，2222-=CD CE故选C．“点睛”综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．4．A【解析】【分析】根据∠AOB=120°可求得∠AOD=60°，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可以判定△ADO为等边三角形，即可得AO=AD，根据AC=2AO即可求得AC=2AD．【详解】∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∵矩形对角线相等且互相平分，∴AO=DO，∴△ADO为等边三角形，∴AO=AD，AC=2AO=2AD=6．故选A．【点睛】本题考查了矩形对角线相等且相互平分的性质，等边三角形各边长相等的性质，本题中判定△ADO为等边三角形是解题的关键．5．A【解析】【分析】首先根据题意，矩形的对角线相等，一条对角线用了49盆红花，可判定另一条对角线也是49盆红花，又因为两条对角线有一个交点，所以还需要48盆红花即可.【详解】解：根据题意，矩形的对角线相等，∵一条对角线用了49盆红花，∴另一条对角线也是49盆红花，又∵两条对角线有一个交点∴还需要48盆红花即可.故选A.【点睛】此题主要考查矩形的性质的实际应用问题，注意对角线的交点重复.6．D【解析】【分析】如图，根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线求出CD=AB即可．【详解】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB==10，∵CD是△ABC中线，∴CD=AB=×10=5，故选D．【点睛】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出CD=AB是解此题的关键．7．D【解析】【分析】连接DM，由勾股定理得出∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD底边AD上的高为AB，由勾股定理得出AM22AB BM+△ADM的面积即可得出答案．【详解】解：连接DM，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD底边AD上的高为AB，AM22223110,AB BM+=+=∵△ADM的面积＝12AM×DN＝12AD×AB，∴DN＝61010AD ABAM⨯==故选：D．【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，以及等面积法求三角形的高，掌握以上知识是解题的关键．8．D【解析】【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同,可得到答案.【详解】矩形的对角线相等且平分, 菱形的对角线垂直且平分,所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等,故选: D.【点睛】本题主要考查矩形和菱形对角线的性质.9．C【解析】【分析】根据矩形和菱形的性质即可得出答案【详解】解：A. 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；B. 对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；C. 对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；D. 邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．故选：C．【点睛】本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键10．C【解析】【分析】对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此可判断A 、C 选项；根据类似的方法，结合各种特殊四边形对角线的特征，即可判断B 、D 选项.【详解】对于A ，对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故原说法错误；对于B ，对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误；对于C ，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法正确；对于D ，对角线相等且互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误.故选C.【点睛】此题考查矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.11．【解析】【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO ，可证△ABE ≌△AOE ，可得AO=AB=BO=DO ，由勾股定理可求AE 的长．【详解】在矩形ABCD 中, AO=CO=BO=DO∵:1:3BE ED =，BO DO =，∴BE=EO∵AE ⊥BD∴AE 垂直平分BO ．∴AB=AO∴AB=AO=BO∴ABO ∆为等边三角形．∴∠BAO=60°∵AE ⊥BD∴∠BAE=30° ∴132BE AB ==，∴AE ==故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 12．2倍，41，21 【解析】试题分析：根据矩形面积的计算即S=ab （a 为长方形的长、b 为长方形的宽），根据ab 的变化即可求得新矩形的面积，即可解题．考点：本题考查了矩形的面积点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的面积公式，分别计算出新矩形面积的值.13．【解析】分析：由S △ABP =12AB•h=15，得出三角形的高h=5，在直线AB 外作直线l ∥AB ，且两直线间的距离为5，延长DA 至M 使AM=10，则M 、A 关于直线l 对称，连接CM ，交直线l 于P ，连接AP 、BP ，则S △ABP =15，此时AP+CP=CM ，根据两点之间线段最短可知AP+CP 的最小值为CM ；然后根据勾股定理即可求得．详解；∵在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，S △ABP =12AB•h=15， ∴h=5，在直线AB 外作直线l ∥AB ，且两直线间的距离为5，延长DA 至M 使AM=10，则M 、A 关于直线l 对称，连接CM ，交直线l 于P ，连接AP 、BP ，则S △ABP =15，此时AP+CP=CM ，根据两点之间线段最短可知AP+CP 的最小值为CM ；∵AD=8，AM=10，∴DM=18，∵CD=6，∴2222186610DM CD ++=，∴AP+CP 的最小值为610故答案为610点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题以及勾股定理的应用，根据题意作出点E 是解题的关键．14．5【解析】【分析】已知BE 是Rt △ABC 斜边AC 的中线，那么BE=12AC ；EF 是△ABC 的中位线，则DF=12AC ，则DF=BE=5．【详解】解：90ABC ∠=，E 为AC 的中点， 12BE AC ∴=， ,D F 分别为AB ,BC 的中点，152DF AC BE ∴===．故答案为：5.【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．15．8【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=0.5AB，EH=0.5AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=0.5BC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半．【详解】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形，∴DG=0.5AB，EH=0.5AC，∴GH为△ABC的中位线，∴GH=0.5BC，∴DG+GH+EH=0.5（AB+AC+BC）=0.5×16=8，故答案为：8.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键．16．4【解析】【分析】根据矩形的性质得到AO=BO=OC=12AC，∠ABC=90°，推出△AOB是等边三角形，∠OBE=30°，根据含30°的直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=OC=12AC，∠ABC=90°，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∠OBE=30°，又OE⊥BC，OE=1，∴OB=2OE=2，∴AO=2，∴AC=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质等知识，掌握基本性质是解题的关键．17．442+【解析】【分析】首先证明AE=AB=8，BE=BG=82，再怎证明ED=CG ，设AD=BC=x ，构建方程即可解决问题．【详解】延长EF 交BC 的延长线于点G .四边形ABCD 是矩形，//,90AD BC A ∴∠=︒AEB EBC ∴∠=∠ABC ∠的平分线交AD 边于点E ，,ABE EBC ABE AEB ∴∠=∠∴∠=∠8,282AB AE BE AB ∴==∴==EF 平分BED ∠，DEG BEG G ∴∠=∠=∠82BG BE ∴==,,DF FC EDF GCF EFD GFC =∠=∠∠=∠，,EFD GF DE G C C ∴∴∆=∆≌设AD BC x ==，则有882,442x x x -=∴=+故答案为442+.【点睛】本题考查了矩形的性质，两直线平行，内错角相等的性质，等角对等边的性质，熟记相关性质是解题关键．18．5【解析】【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD=BC=8，CD=AB=4，根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=CE，设AE=CE=x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接CE，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴AD=BC=8，AB=CD=4，OA=OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE=CE，设AE=CE=x，则DE=8−x，在Rt△CDE中，CD2＋DE2=CE2，即42＋(8−x)2=x2，解得x=5，即AE的长为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并运用勾股定理列出方程是解题的关键．1910．【解析】【分析】过E作EG⊥BC于G，设AE=x，根据勾股定理得到AE，进而得出BE、BF的长，根据EG=AB，可求出GF的长，运用勾股定理即可得到EF．【详解】解：过E作EG⊥BC于G，设AE=x，则DE=BE=9-x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴x2+32=（9-x）2解得x=4，∴AE=4，∴BE=DE=9-4=5，∵∠DEF=∠BFE，∠DEF=∠BEF，∴∠BFE=∠BEF，∴BF=BE=5，∴GF=1，∴Rt△EFG中，EF= 2222++=EG GF311010．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．20．10【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案．【详解】S=4×5÷2=10(cm 2)．故答案为：10．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质问题，属于基础题型．明白菱形的面积计算法则是解决这个问题的关键．21．（1）证明见解析；（2）BE=2．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质可知， ,90,AB CD A C =∠=∠=由翻折的性质可知， ,,F A BF AB ∠=∠=于是可得到， ,,F C BF DC ∠=∠=然后依据ASA 可证明;DCE BFE ≅（2）先根据勾股定理求得BC 的长，由全等三角形的性质可得BE DE =，最后在CDE 中根据勾股定理可求得的DE 长，从而得到BE 的长．试题解析：（1）在矩形ABCD 中， ,90,AB CD A C =∠=∠= ,,F A BF AB ∠=∠=在DCE 和BFE 中，{ F CBF CD BEF DEC∠=∠=∠=∠， .DCE BFE ∴≅ 3CD =，DB = 3.BC =设,3,CE x DE x ==-在Rt CDE 中， 222,CE CD DE +=()2223,x x +=-解得 1.x = 3 2.BE DE x ∴==-= 考点：翻折变换．22．见解析【解析】分析：（1）由条件可先证得四边形ABCF 为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC ，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD ，可证得ED=EC ．详解：证明：（1）∵AB ∥CD ，且FC=AB ，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形是特殊的平行四边形是解题的关键，注意等边对等角、等角对等边的应用．23．（1）作图见解析，（2）△ACE与△ACD重叠部分为△OAC是等腰三角形．理由见解析. 【解析】解：（1）如图，△ABC关于直线AC对称的图形为△ACE………4分（不需要用尺规，但须有直角符号，若没有，扣1分）（2）△ACE与△ACD重叠部分为△OAC是等腰三角形………………1分方法1：∵△ABC关于直线AC对称的图形为△ACE∴△ABC≌△ACE………………2分∴∠OAC=∠BAC………………3分∵DC∥AB∴∠OCA=∠BAC………………4分∴∠OAC=∠OCA…………………5分∴OA=OC,即△OAC是等腰三角形…………………6分方法2：∵△ABC关于直线AC对称的图形为△ACE∴△ABC≌△ACE………………2分∴∠D=∠B=∠E=90°AD=BC=EC又AC=AC∴△ADC≌△AEC………………4分∴∠OAC=∠OCA…………………5分∴OA=OC,即△OAC是等腰三角形………………6分24．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.【解析】【分析】（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD=12S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．【详解】证明（Ⅰ）∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBE∵F是AE中点∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE ∴△ADF≌△BEF∴BE＝AD∵AB⊥AC，E是BC中点∴AE＝BE＝EC∴AD＝EC，且AD∥BC∴四边形ADCE是平行四边形且AE＝EC∴四边形ADCE是菱形；（Ⅱ）∵AC ＝4，AB ＝5，AB ⊥AC∴S △ABC ＝10∵E 是BC 中点∴S △AEC ＝12S △ABC ＝5 ∵四边形ADCE 是菱形∴S △AEC ＝S △ACD ＝5∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC +S △ACD ＝15.故答案为：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.【点睛】本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是利用三角形中线的性质求三角形的面积．25．（1）y ＝﹣2x +2；（2）OF ＝2，OF ＝12AB ，见解析；（3）①T （0，23），②t或12，③t 的值为1. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用勾股定理求出AB ，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；（3）①根据垂线段最短可知，当OP ⊥AB 时，△OPQ 的面积最小，求出P ，Q 的坐标，求出直线PQ 的解析式即可解决问题；②分两种情形分别求解即可解决问题；③如图5中，取OB 的中点G ，连接BG ．设P （t ，-2t+2），求出点Q 坐标，根据QG=1构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，由题意A（1，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有2k bb+=⎧⎨=⎩，解得=-22 kb⎧⎨=⎩，∴直线l的解析式为y＝﹣2x+2；（2）如图1中，∵OB＝b，OA＝1，∴AB＝21b+，∵EF垂直平分线段BO，∴BF＝FO，∵EF∥OA，∴BF＝AF，∴OF＝12AB＝212b+；（3）①如图2中，作PE⊥x轴于E，QF⊥x轴于F．∵△POQ是等腰直角三角形，∴当OP的值最小时，△POQ的面积最小，根据垂线段最短可知，当OP⊥AB时，△OPQ的面积最小，∵直线OP的解析式为y＝12x，由1222y xy x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得4525xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P（45，25），∴OE＝45，PE＝25，∵∠PEO＝∠QFO＝∠POQ＝90°，∴∠POE+∠QOF＝90°，∠POE+∠OPE＝90°，∴∠QOF＝∠OPE，∵OP＝OQ，∴△OEP≌△QFO（AAS），∴QF＝OE＝45，OF＝PE＝25，∴Q（﹣25，45），∴直线PQ的解析式为y＝﹣13x+23，∴T（0，23）；②如图3中，当BP＝OB＝2时，作PE⊥OA于E．∵PE∥OB，∴APAB＝PEOB＝AEAO，∴525-＝2PE＝1AE，∴PE＝10455-，AE＝5255-，∴OE＝1﹣5255-＝255．∴t＝255．如图4中，当PB＝PA时，OP＝PB满足条件，此时t＝12．综上所述，满足条件的t的值为25或12；③如图5中，取OB的中点G，连接BG．设P（t，﹣2t+2），易知Q（2t﹣2，t），G（0，1）当∠OQB＝90°时，∵GB＝OG，∴QG＝12OB＝1，∴（2t﹣2）2+（t﹣1）2＝1，解得t＝1﹣5或1+5（舍弃），∴满足条件的t的值为1﹣5．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26．证明见解析．【解析】试题分析：根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE，∴BD=BE．考点：1．矩形的性质；2．平行四边形的判定与性质．27．（1）①见解析；②S△PBQ＝18﹣9；（2）存在，满足条件的t的值为6﹣3或3或6+3．【解析】【分析】（1）①如图1中，过点Q作QF⊥CD于点F，证明Rt△ADP≌Rt△PFQ即可．②如图，过点A作PB的垂线，垂足为H，过点Q作PB的垂线，垂足为G．由Rt△ADP≌Rt△AHP，推出PH＝PD＝t，AH＝AD＝3．由Rt△AHP△Rt△PGQ，推出QG ＝PH＝DP＝t，在Rt△AHB中，则有32+（6﹣t）2＝62，求出t即可解决问题．（2）分三种情形：①如图3﹣1中，若点P在线段DE上，当PQ＝QB时．②如图3﹣2中，若点P在线段EC上（如图），当PB＝BQ时．③如图3﹣3中，若点P在线段DC延长线上，QP＝QB时，分别求解即可．【详解】（1）①证明：如图1中，过点Q作QF⊥CD于点F，∵点E是DC的中点，∴CE＝DE＝3＝CB，又∵∠C＝90°，∴∠CEB＝∠CBE＝45°，∵EQ＝t，DP＝t，∴EF＝FQ＝t．∴FQ＝DP，∴PF＝PE+EF＝PE+DP＝DE＝3∴PF＝AD，∴Rt△ADP≌Rt△PFQ，∴AP＝PQ．②如图，过点A作PB的垂线，垂足为H，过点Q作PB的垂线，垂足为G．由AP平分∠DPB，得∠APD＝∠APB，易证Rt△ADP≌Rt△AHP，∴PH＝PD＝t，AH＝AD＝3．又∠APD＝∠PAB，∴∠PAB＝∠APB，∴PB＝AB＝8，易证Rt△AHP△Rt△PGQ，∴QG＝PH＝DP＝t，在Rt△AHB中，则有32+（6﹣t）2＝62，解得t＝6﹣3，∴S△PBQ＝•PB•QG＝×6×（6﹣3）＝18﹣9．（3）①如图3﹣1中，若点P在线段DE上，当PQ＝QB时，∴AP＝PQ＝QB＝BE﹣EQ＝3﹣t，在Rt△APD中，由DP2+AD2＝AP2，得t2+9＝2（3﹣t）2，解得t＝6﹣3或6+3（舍去）②如图3﹣2中，若点P在线段EC上（如图），当PB＝BQ时，∴PB＝BQ＝t﹣3，则在Rt△BCP中，由BP2＝CP2+BC2，得2（t﹣3）2＝（6﹣t）2+9，解得：t＝3或（舍去）③如图3﹣3中，若点P在线段DC延长线上，QP＝QB时，∴AP＝PQ＝BQ＝t﹣3，在Rt△APD中，由DP2+AD2＝AP2，得t2+9＝2（t﹣3）2，解得（舍去）或综上所述，满足条件的t的值为6﹣3或3或6+3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判走和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决间题，属于中考压轴题.28．四边形BDFG的周长是20．【解析】试题分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BDFG是菱形，利用勾股定理求得AC的长，即可求得DF 的长，即可求得四边形BDFG的周长．试题解析：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵ CF⊥BD，∴ CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴ BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，在Rt△ACF中，AC2 =AF2+CF2即82+62=100，解得：AC=10，∵ Rt△ACF中，点D是AC中点，∴ DF=5 ，故四边形BDFG的周长=4GF=20．。

北师大版九年级上册数学矩形的判定和性质同步测试题(含答案)

矩形同步测试题一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 3.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到点E ，使AE=AB ，联结ED ，EC ，AC ，添加一个条件，能使四边形ACDE 成为矩形的是（）A ．AC=CDB ．AB=ADC ．AD=AED ．BC=CE4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.326. 矩形的面积为1202cm ，周长为46cm ，则它的对角线长为（）A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm二.填空题7．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD ＝2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则∠EA 1B ＝______°.8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．10.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，DC=3DE=3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=_______.11.矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________.13．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝12BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．一.选择题1.【答案】D ；2.【答案】D ；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.3.【答案】D ；【解析】添加一个条件BC=CE.理由：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD 且AB=CD ，∵AE=AB ，∴AE ∥CD 且AE=CD ，∴四边形DEAC 为平行四边形，∵BC=EC ，AE=AB ，∴∠EAC=90°，∴平行四边形ACDE 是矩形.4.【答案】B ；【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝21∠BMC′＋21∠CMC′＝21×180°＝90°. 5．【答案】C ；【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F ，易证△BAE ≌△CBF ，所以BF ＝AE ，BE ＝CF ，所以总面积＝AE ×BE ＋CF ×EF ＝ AE ×BE ＋BE ×（BE －AE ）＝28BE =，22BE =.6.【答案】C ；【解析】设边长为a b 、，则23,120,a b ab +==解得22289a b +=，所以对角线为28917=.二.填空题7．【答案】60°；【解析】AD ＝A 1D ＝2CD ，所以∠CA 1D ＝30°，∠EA 1B ＝60°.8.【答案】136；【解析】设AE ＝CE ＝x ，DE ＝3x -，()22232x x =-+，136x =. 9.【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC ＝2AO ＝2AB ＝8cm ．10.【答案】23a ；【解析】作FM ⊥AD 于M ，如图所示：则MF=DC=3a ，由题意可得：CE=2a ，由折叠可得：PE=CE=2a =2DE ，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=60°，∠MFP=30°，∴FP=2233a ⨯=. 11.【答案】30或10；【解析】∵AE 平分∠DAB ，∴∠DAE=∠EAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，DC=AB ，AD ∥BC ，∴∠DEA=∠BEA ，∴∠EAB=∠BEA ，∴AB=BE ，①设BE=x ，CE=3x ，则AD=4x ，AB=x ，∵矩形ABCD 的面积为36，∴x•4x=36，解得：x=3（舍负），即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；②设BE=3x ，CE=x ，则AD=4x ，AB=3x ， ∵矩形ABCD 的面积为36，∴3x•4x=36，解得：x=（舍负），即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；故答案为：30或10．12.【答案】12；【解析】设BE ＝EF ＝x ，CE ＝b ，CF ＝a ，DF ＝y ，则9,3x b y y a x a b ++++=++=，解得3y =，矩形ABCD 的周长＝()()223312y a x b +++=⨯+=.三.解答题13.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；④错误，PD=PF=CE；⑤正确，PB2+PD2=2PA2．所以正确的有4个：①②③⑤.14.【解析】（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝12BD，OA＝12AC，∴BD＝AC，∴ABCD是矩形．15.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°．∴∠BFE＝∠CED．又∵EF＝ED，∴△EBF≌△DCE．∴BE＝CD．∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°．∴∠EAD＝45°．∴∠BAE＝∠EAD．∴AE平分∠BAD．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-2矩形的性质与判定》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④2．下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度3．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°6．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）A．B．4C．4.5D．5二．填空题7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．8．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是．9．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF 有最大值时，则点F的坐标为．10．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．11．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为．13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．三．解答题14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．（1）求证：AD∥CF；（2）求证：四边形ADCF是矩形．16．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．18．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形OCFD是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．21．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．参考答案一．选择题1．解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．2．解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．3．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．4．解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．故选：C．6．解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD＝BC＝6，C′D＝3．在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5．故选：D．二．填空题7．解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．8．解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形.理由如下：∵E、F、G、H分别为各边中点∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵EH＝BD＝3cm，EF＝AC＝4cm，∴HF＝＝5cm．故答案为：5cm．9．解：当点D与点A重合时，如图：∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，∴S矩形OABC＝12，∵C点坐标为（0，3），∴OC＝3，∴OA＝4，∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则MF＝BC＝2，OM＝＝，∴OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2，解得：x＝（负值舍去）∴2x＝+2，3x＝+3∴点F坐标（，+3）故答案为：（，+3）10．解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH＝+1，故答案为：+1．11．解：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF＝EG，AF＝DG＝，∵CE⊥EF，∴CF＝CG＝5，∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，∴EG2＝DG•CG＝，∴EG＝＝EF，故答案为．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，∵∠ADH＝2∠CDH，∴∠CDH＝30°，∠ADH＝60°，∵DH⊥AC，∴∠DHA＝90°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝3，故答案为：3．13．解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD＝AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN，∵AN+DN＝AD，∴AN＝AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'＝AB，N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，又∵AD＝AB，∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，∴N点的运动速度是M点的，故①正确，当M在M'位置时，∵∠OM'A＝90°，∠N'AB＝90°，∠M'ON'＝90°，∴四边形AM'ON'是矩形，∴此时S△AMN＝S△MON，故②正确，令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，∴AN＝AD+x＝+x，∴S△AMN＝AM•AN＝（AB﹣BM）•AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，∴S△AMN逐渐减小，故③正确，∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣2•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2，∵AN＝AD+BM＝AB+BM，∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，∵2AB•DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB•BM，∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM＝DM'，OM＝OM'，连接NM'，∵NO⊥MM'，则MN＝NM'，∵NM'2＝DN2+DM'2，∴MN2＝BM2+DN2，故④正确，故答案为：①②③④．三．解答题14．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．15．证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线，∴EG∥AD，∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF，∴AD∥CF；（2）由（1）得：AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∴四边形ADCF是平行四边形，又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．18．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．19．证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵O为BD的中点，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．21．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．。

2020北师大版九年级数学上《矩形的判定》常考题(含有详细的解析)

【文库独家】矩形的判定常考题1一、选择题（共13小题）1、下列说法错误的是（）A、Rt△ABC中AB=3，BC=4，则AC=5B、极差仅能反映数据的变化范围C、经过点A（2，3）的双曲线一定经过点B（﹣3，﹣2）D、连接菱形各边中点所得的四边形是矩形2、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）A、AB=CDB、AC=BDC、当AC⊥BD时，它是菱形D、当∠ABC=90°时，它是矩形3、如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A、四边形AEDF是平行四边形B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D、如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形4、下列命题中，错误的是（）A、矩形的对角线互相平分且相等B、对角线互相垂直的四边形是菱形C、等腰梯形的两条对角线相等D、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等5、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A、AB∥DCB、AC=BDC、AC⊥BDD、AB=DC6、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A、AB=CDB、AD=BCC、AB=BCD、AC=BD7、下列命题中错误的是（）A、平行四边形的对边相等B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形C、矩形的对角线相等D、对角线相等的四边形是矩形8、平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A、AB=BCB、AC=BDC、AC⊥BDD、AB⊥BD9、顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（）A、平行四边形B、菱形C、矩形D、正方形10、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A、测量对角线是否相互平分B、测量两组对边是否分别相等C、测量一组对角线是否都为直角D、测量其中三角形是否都为直角11、已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A、等腰梯形B、正方形C、菱形D、矩形12、下列命题中正确的是（）A、对角线互相垂直的四边形是菱形B、对角线相等的四边形是矩形C、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D、对角线相等的平行四边形是矩形13、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（）A、甲量得窗框两组对边分别相等B、乙量得窗框的对角线相等C、丙量得窗框的一组邻边相等D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等二、填空题（共5小题）14、用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形_________．15、在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是_________．16、如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是_________．17、如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为_________．（只填写拼图板的代码）18、如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是_________厘米．三、解答题（共12小题）19、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？20、如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于O点（BD＞AC），E、F是BD上的两点．（1）当点E、F满足条件：_________时，四边形AECF是平行四边形（不必证明）；（2）若四边形AECF是矩形，那么点E、F的位置应满足什么条件？并给出证明．21、如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．22、如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．23、如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．24、将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，另一直角边的长为．（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________．（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________．（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为_________时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_________；当点B的移动距离为_________时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_________．（图3、图4用于探究）25、直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．26、如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△EDB；（2）只需添加一个条件，即_________等，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．27、已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．28、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．29、如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．30、如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）．答案与评分标准一、选择题（共13小题）1、下列说法错误的是（）A、Rt△ABC中AB=3，BC=4，则AC=5B、极差仅能反映数据的变化范围C、经过点A（2，3）的双曲线一定经过点B（﹣3，﹣2）D、连接菱形各边中点所得的四边形是矩形考点：勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的判定；极差。

北师大版九年级数学上册--第一章 1.2《矩形的性质和判定》同步练习题(含答案)

1.2《矩形的性质和判定》同步练习1、矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

2、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是________。

3、已知矩形ABCD 的对角线相交于O ，对角线长8cm ，∠AOD=60°，则AD=________，AB=________。

4、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2，∠BOC=120°，AB=4，则四边形ABCD 的面积=________。

5、矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

6、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

7、矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________。

8、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为。

题4图题8图9、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于。

10、平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 11、下列叙述错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角是90º的平行四边形是矩形12、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D.测量两条对角线是否互相平分13、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm14、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形15、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A.B. C. D.题15图题16图16、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=6，OA=4，则AD 的长为（）A 、4B 、8C 、33D 、72yxP D CB A O解答题：1、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

北师大版数学九年级上册：1.2.1 矩形的定义及性质同步练习(含答案)

1.2.1 矩形的定义及性质一、选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.如图K-4-1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.已知∠AOB=60°,AC=16,则图中长度为8的线段的条数为()图K-4-1A.4B.6C.8D.103.如图K-4-2,在△ABC中,∠A+∠B=90°,D为AB上一点,AD=DB,CD=3,则AB的长度为()图K-4-2A.3B.4C.5D.64.如图K-4-3,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点.若AB=12,OM=92,则线段OB的长为()图K-4-3A.7B.8C.152D.1725.如图K-4-4,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则FC'的长为()图K-4-4A.10B.4C.4.5D.53二、填空题6.如图K-4-5,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD=°.图K-4-57.如图K-4-6,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F,已知AD=4 cm,图中阴影部分的面积为6 cm2,则对角线AC的长为cm.图K-4-68.如图K-4-7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是直线BC上一点,且BE=OB,连接AE,若∠BAC=60°,则∠CAE的度数是.图K-4-79.如图K-4-8,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A也随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=2,运动过程中点D到点O的最大距离是.图K-4-8三、解答题10.如图K-4-9,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.图K-4-911.如图K-4-10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.图K-4-1012.如图K-4-11,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,且E是AB的中点,CE∥AD.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AC=6,CE=5,求四边形ABCD的面积.图K-4-1113.如图K-4-12,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.图K-4-1214.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图K-4-13①所示,两阴影部分面积相等)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据图①完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+),易证S△ADC=S△ABC,=,=,可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.图K-4-13[变式]如图②,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为.参考答案1.B2.B [解析] 根据题意可知,△AOB 和△COD 都是边长为8的等边三角形,所以长度为8的线段有6条.3.D [解析] ∵在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°. ∵AD=DB ,∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴AB=2CD=6.故选D .4.C [解析] ∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是CD 边的中点, ∴OM 是△ADC 的中位线,∴AD=2OM=9.∵四边形ABCD 是矩形,AB=12,∴∠D=∠ABC=90°,CD=AB=12, ∴AC=2+CD 215,∴OB=12AC=152.故选C .5.D [解析] 设FC'=x ,则FC=x ,FD=9-x.∵BC=6,四边形ABCD 为矩形,C'为AD 的中点,∴AD=BC=6,C'D=3,∠D=90°.在Rt △FC'D 中,∠D=90°,FC'=x ,FD=9-x ,C'D=3,∴FC'2=FD 2+C'D 2,即x 2=(9-x )2+32,解得x=5.故选D . 6.357.5 [解析] ∵图中阴影部分的面积为6 cm 2,AD=4 cm,则12AD ·CD=12×4×CD=6,∴CD=3(cm).在Rt △ACD 中,AD=4 cm,CD=3 cm,由勾股定理得AC=5 cm,即对角线AC 的长为5 cm . 8.15° [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,OA=OC ,OB=OD ,AC=BD ,∴OA=OB. 又∵∠BAC=60°,∴△AOB 是等边三角形, ∴AB=OB.又∵BE=OB ,∴AB=BE , ∴△ABE 是等腰直角三角形,∴∠BAE=45°,∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-45°=15°.故答案为15°. 9.2+2√210.解:(1)证明:在矩形ABCD 中,AD=BC ,∠A=∠B=90°. ∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BCE中,∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,∴△ADE≌△BCE(SAS).(2)由(1),知△ADE≌△BCE,∴DE=CE.AB=3,在Rt△ADE中,AD=4,AE=12由勾股定理,知DE=√AD2+AE2=√42+32=5,∴△CDE的周长=DE+CE+CD=2DE+AB=2×5+6=16.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF.在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD.又∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,BC=√AC2-AB2=6√3,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6√3=36√3.12.解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,E是AB的中点,AB,∴四边形AECD是菱形.∴CE=AE=12(2)由(1)知AB=2CE=10.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,∴BC=√AB2-AC2=8,∴S △ABC =12BC ·AC=24.∵E 是AB 的中点,四边形AECD 是菱形, ∴S △AEC =S △EBC =S △ACD =12, ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =36.13.[解析] (1)根据“矩形的对角线相等”可得AC=BD ,然后证明四边形ABEC 是平行四边形,再根据“平行四边形的对边相等”可得AC=BE ,从而得证;(2)根据矩形的对角线相等且互相平分求出BD 的长度,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD 的长度,然后利用勾股定理求出BC 的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD ,AB ∥CD. 又∵BE ∥AC ,∴四边形ABEC 是平行四边形, ∴AC=BE , ∴BD=BE.(2)∵在矩形ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°,∠DCB=90°, ∴CD=12BD=12×8=4, ∴AB=CD=4,∴DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8.在Rt △BCD 中,BC=√BD 2-CD 2=√82-42=4√3, ∴AD=BC=4√3,∴四边形ABED 的面积=12×(4+8)×4√3=24√3.14.S △AEF S △FCM S △ANF S △AEF S △FGC S △FCM变式 16。

北师大版九年级数学上1.2 第1课时矩形及其性质同步练习(含答案)

2 矩形的性质与判定第1课时矩形及其性质1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．对角线相等2．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°图13．如图3，A，B，C三点的连线恰好构成一个直角三角形，A，B之间的距离为40 km，D恰好为AB的中点，则点D与点C之间的距离是________km.图34．如图4，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为()图4A．5 B．4 C.342 D.345．如图5，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，则△BOF的面积为________．图56．如图6，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE ＝15°，求∠COD 与∠COE 的度数．图67．如图7，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，E 为AD 的中点，F 为BC 边上任一点，过点F 分别作EB ，EC 的垂线，垂足分别为G ，H ，则FG ＋FH 的值为( )图7A.52B.5210C.31010D.3510 8．在矩形ABCD 中，∠A 的平分线AE 分BC 成两部分的比为1∶3，若矩形ABCD 的面积为36，则其周长为________．9．⑤在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图8所示的方法．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠F AE ＝∠FEA.若∠ACB＝21°，求∠ECD的度数．图810．如图9，已知在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线．图911.2017·葫芦岛如图10，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C ′处，点B 落在点B ′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC ′的长为( )图10A.103B ．4C ．4.5D ．5 12．2017·贵阳如图11，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 是AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是________．图1113．如图12①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F .(1)求证：△BDF 是等腰三角形．(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O . ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．图1214．如图13，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM 的周长是__________．图1315.如图14，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，FD⊥BC于点D，G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.图1416．如图15，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O.以OB，OC 为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1；…，依此类推．图15(1)矩形ABCD的面积为________；(2)第1个平行四边形OBB1C的面积为__________，第2个平行四边形的面积为__________，第6个平行四边形的面积为__________．17．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为________．参考答案1．D 2.B 3．20 4 D. 5.7586．解：因为DE 平分∠ADC ，所以∠ADE ＝45°，所以∠ADB ＝∠ADE －∠BDE ＝45°－15°＝30°，所以∠ODC ＝∠ADC －∠ADB ＝90°－30°＝60°.因为四边形ABCD 为矩形，所以△OCD 为等腰三角形，所以∠COD ＝180°－2∠ODC ＝60°，所以△OCD 是等边三角形，所以OC ＝CD .又在Rt △ECD 中，∠EDC ＝45°，所以CE ＝CD ，所以OC ＝CE .又因为四边形ABCD 是矩形，所以∠OCE ＝∠ADB ＝30°，所以在△CEO 中，∠COE ＝12(180°－∠OCE )＝12×(180°－30°)＝75°. 7 D.8．30或14 39．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FEA ＝∠ECD ，∠DAC ＝∠ACB ＝21°.∵∠ACF ＝∠AFC ，∠F AE ＝∠FEA ，∴∠ACF ＝2∠FEA .设∠ECD ＝x °，则∠ACF ＝2x °，∴∠ACD ＝3x °. 在Rt △ACD 中，3x °＋21°＝90°，解得x ＝23. ∴∠ECD 的度数为23°.10．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AFB .∵DE ⊥AF ，∴∠DEA ＝∠B ＝90°. ∵AF ＝BC ，∴AF ＝AD .在△ABF 和△DEA 中，∠AFB ＝∠DAE ，∠B ＝∠DEA ，AF ＝AD ， ∴△ABF ≌△DEA (AAS)．(2)由(1)知△ABF ≌△DEA ，∴DE ＝AB . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°，DC ＝AB ， ∴DC ＝DE ，∠C ＝∠DEF .在Rt △DEF 和Rt △DCF 中，DF ＝DF ，DE ＝DC ， ∴Rt △DEF ≌Rt △DCF ，∴∠EDF ＝∠CDF ，即DF 是∠EDC 的平分线． 11．D 12.10－113．解：(1)证明：根据折叠知，∠DBC ＝∠DBE .又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．(2)①四边形BFDG 是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， ∴FD ∥BG .又∵DG ∥BE ，∴四边形BFDG 是平行四边形．又∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形． ②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152.14．1315．证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，FD ⊥BC ， ∴∠BED ＝∠FDC ＝90°，∴∠1＋∠B ＝90°，∠3＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠3.∵G 是Rt △FDC 的斜边的中点， ∴GD ＝GF ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2. ∵∠FDC ＝∠2＋∠4＝90°， ∴∠1＋∠4＝90°，∴∠2＋∠FDE ＝90°，即GD ⊥DE .16．(1)192 (2)96 48 3[解析] (1)∵四边形ABCD 是矩形，AC ＝20，AB ＝12， ∴∠ABC ＝90°，BC ＝AC 2－AB 2＝202－122＝16， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝12×16＝192. (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴▱OBB 1C 是菱形，∴OB 1⊥BC ，A 1B ＝12BC ＝8，OA 1＝12OB 1＝OB 2－A 1B 2＝6，∴OB 1＝2OA 1＝12，∴S 菱形OBB 1C ＝12BC ·OB 1＝12×16×12＝96.∵BC ⊥OB 1，∴四边形A 1B 1C 1C 是矩形， ∴S 矩形A 1B 1C 1C ＝A 1B 1·A 1C ＝6×8＝48. …第n 个平行四边形的面积S n ＝1922n ，∴S 6＝19226＝3.17．(7，3)或(15，1)或(23，－2) [解析] ∵点A (0，4)，B (7，0)，C (7，4)， ∴BC ＝OA ＝4，OB ＝AC ＝7. 分两种情况：(1)当点A ′在矩形AOBC 的内部时，过点A ′作OB 的垂线交OB 于点F ，交AC 于点E ，如图①所示．当A ′E ∶A ′F ＝1∶3时，∵A ′E ＋A ′F ＝BC ＝4，∴A ′E ＝1，A ′F ＝3. 由折叠的性质得OA ′＝OA ＝4. 在Rt △OA ′F 中，由勾股定理得OF ＝42－32＝7， ∴A ′(7，3)；当A ′E ∶A ′F ＝3∶1时，同理得A ′(15，1)．(2)当点A ′在矩形AOBC 的外部时，此时点A ′在第四象限，过点A ′作OB 的垂线交OB 于点F ，交AC 于点E ，如图②所示．∵A ′F ∶A ′E ＝1∶3，∴A ′F ∶EF ＝1∶2， ∴A ′F ＝12EF ＝12BC ＝2.由折叠的性质得OA ′＝OA ＝4.在Rt △OA ′F 中，由勾股定理得OF ＝42－22＝23，∴A ′(23，－2)．故点A ′的坐标为(7，3)或(15，1)或(23，－2)．。

2020北师大版九年级数学上《矩形的性质》常考题(含详细的答案解析)

【文库独家】矩形的性质常考题一、选择题（共28小题）1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A、（2，2）B、（3，2）C、（3，3）D、（2，3）2、如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M运动，则△APM的面积y 与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A、B、C、D、3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A、1.6B、2.5C、3D、3.44、一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A、50B、50或40C、50或40或30D、50或30或205、菱形具有而矩形不具有性质是（）A、对角线相等B、对角线互相平分C、对角线互相垂直D、对角线平分且相等6、在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④7、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）A、2B、4C、2D、48、已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）A、B、C、D、9、如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（）A、5cmB、8cmC、9cmD、10cm10、如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（）A、6对B、5对C、4对D、3对11、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′=30°，则∠AED′等于（）A、30°B、45°C、60°D、75°12、矩形ABCD中的顶点A、B、C、D按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B、D两点对应的坐标分别是（2，0）、（0，0），且A、C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（）A、（1，1）B、（1，﹣1）C、（1，﹣2）D、（，﹣）13、如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A、3对B、4对C、5对D、6对14、将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A、60°B、50°C、75°D、55°15、如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（）A、600m2B、551m2C、550m2D、500m216、如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）A、B、C、D、17、如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（）A、108°B、114°C、126°D、129°18、如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞a＞bD、a=b=c19、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=（）A、60°B、70°C、75°D、80°20、矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A、对角线互相平分B、邻角互补C、对角相等D、对角线相等21、矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和5cm，则矩形的周长为（）A、16cmB、22cm或26cmC、26cmD、以上都不对22、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A、对角相等B、对边相等C、对角线相等D、对角线互相平分23、如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE的度数是（）A、30°B、22.5°C、15°D、10°24、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，则对角线AC与边BC所成的角是（）A、15°B、30°C、45°D、60°25、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A、对边相等B、对角线互相平分C、对角线互相垂直D、对角线相等26、如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=8，DF=4，则菱形ABCD的边长为（）A、8B、8C、8D、827、如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系（）A、=B、=C、=D、=28、如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A、△EBD是等腰三角形，EB=EDB、折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C、折叠后得到的图形是轴对称图形D、△EBA和△EDC一定是全等三角形二、填空题（共2小题）29、如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为_________．30、在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为_________．答案与评分标准一、选择题（共28小题）1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A、（2，2）B、（3，2）C、（3，3）D、（2，3）考点：坐标与图形性质；矩形的性质。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。

北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习基础过关测试题1(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习基础过关测试题1（附答案详解）1．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，M 是AD 上异于A 和D 的任意一点，且ME AC ⊥于E ，MF BD ⊥于F ，则ME MF +为（）A ．60 13B ．30 13C ．1513 D ．不能确定2．如图，在长方形ABCD 中，AC 是对角线．将长方形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到长方形GBEF 位置，H 是EG 的中点．若AB ＝6，BC ＝8，则线段CH 的长为（）A ．25B ．41C ．210D ．213．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )A ．3B ．32C ．2或3D ．3或324．已知，线段AB ，BC ，∠ABC=90°，求作：矩形ABCD ，以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为( )A．2B．125C．3D．57．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（）A．130°B．115°C．120°D．125°8．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形B．菱形C．矩形或正方形D．正方形9．如图，AD是在Rt ABC斜边BC上的高，将ADC沿AD所在直线折叠，点C恰好落在BC的中点处，则B等于()A．25B．30C．45D．6010．如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是（）A ．23B ．3C ．33D ．3211．如图，在▱ABCD 中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD 是矩形（图形中不再添加辅助线）12．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_____．13．如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=，AB AD =，如果23AC cm =，则四边形ABCD 的面积为________2cm ．14．在直角三角形中，有两条边长分别是8和6．则斜边上的中线长是_____．15．顺次连接四边形各边中点，所得的图形是__________。

北师大版九年级数学1.2 矩形的性质和判定同步练习(含答案)

优秀领先飞翔梦想1.2 矩形的性质与判定一、填空与选择1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为。

7．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等9.下列叙述错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形 10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（） A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形y xPDCBAO二、解答题1．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题（附答案详解）1．矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列结论不成立的是（）A．AC＝BD B．OA＝OB C．OC＝CD D．∠BCD＝90°2．如图，点O为平面直角坐标系的原点，以点O为顶点作矩形2,5,则CE的长是（）OEDC其中点D的坐标是(),A．3B．21C．29D．73．下列各句判定矩形的说法(1)对角线相等的四边形是矩形；()2对角线互相平分且相等的四边形是矩形；()3有一个角是直角的四边形是矩形；()4有四个角是直角的四边形是矩形；()5四个角都相等的四边形是矩形；()6对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；是正确有几个（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（5，﹣2），则第四个顶点的坐标（）A．（5，3）B．（3，5）C．（7，3）D．（3，3）5．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形6．下列性质矩形不一定具备的是（）．A．对角线相等B．四个内角都相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直7．下列判断正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．两条对角线互相平分的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．26°B．38°C．42°D．52°9．如图，在中，，，，是边上的动点，，，则的最小值为（）A．B．C．5 D．710．下列命题正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线互相平分的四边形是矩形11．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝____．12．如图，把一个长方形的纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点M、N的位置，如果∠EFB=65º，那么∠AEM等于 .13．如图，在矩形ABCD中有一个正六边形EFGHIJ，其顶点均在矩形的边上，边EJ和边GH分别在矩形的边AD和BC上，则ABAD＝_____．14．如图，在中，，点、、分别为、、的中点，若，则_________.15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝____．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，5CD =，则AB 的长是__________．17．如图，矩形ABCD 的两条对角线所成的钝角为120︒，若一条对角线的长是2，那么矩形ABCD 面积是________．18．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交边AB ，AC 于点E ，F ，当∠EPF 在△ABC 所在平面内绕顶点P 转动时(点E 不与A ，B 重合)，给出以下四个结论：①△PF A ≌△PEB ②EF =AP ③△PEF 是等腰直角三角形④S 四边形AEPF 12=S △ABC ，上述结论中始终正确有______．19．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，PD ．若AE ＝2，PF ＝8.则图中阴影部分的面积为___．20．在□ABCD 中，已知BC=2，∠B=60°，将△ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，连结B′D ．若以A 、C 、D 、B′为顶点的四边形是矩形，AC 的长为______21．如图所示，锐角△ABC 中，BE ，CF 是高，点M ，N 分别为BC ，EF 中点，求证：MN ⊥EF.22．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝2，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．23．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．将△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，BE交AD于点O．（1）判断△BOD的形状，并证明；（2）直接写出线段OD的长．24．如图，在ABCD中，点0是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.∆≅∆；(1)求证：AOE COF(2)连接EC，AF，若EF与AC相等，则四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由.25．在△ABC中, AB=BC,O是AC的中点，P是AC上的一个动点（P点不与点A,O,C 重合）．过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE,OF．（1）如图1，判断线段OE与OF的数量关系是什么，请说明理由；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由?26．如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =， DF AE ⊥于F ，连接DE ．（1）求证：DF DC =；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于线段AF 的长．27．如图，在矩形ABCD 中，延长BA 到点F ，使得AF ＝AB ，连接FC 交AD 于E ．（1）求证：AD 与FC 互相平分；（2）当CF 平分∠BCD 时，BC 与CD 的数量关系是．28．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P 是AB 上的任意-点，作PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥CB 于点E ，连接DE ，求DE 的最小值．参考答案1．C【解析】【分析】根据矩形的性质可以直接判断．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，∠BCD＝90°∴选项A，B，D成立，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．2．C【解析】【分析】=，然后利用勾股定理即可求解．根据矩形的性质可知CE OD【详解】连接OD，∵四边形OEDC是矩形，=．∴CE ODD，(2,5)22OD∴=+=，2529∴=．29CE故选：C．【点睛】本题主要考查矩形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．3．B【解析】（1）“对角线相等的四边形是矩形”的说法是错的；（2）“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的说法是正确的；（3）“有一个角是直角的四边形是矩形”的说法是错的；（4）“有四个角是直角的四边形是矩形”的说法是正确的；（5）“四个角相等的四边形是矩形”的说法是正确的；（6）“对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形”的说法是错的；综上所述，上述说法中正确的有3个.故选B.4．A【解析】【分析】设点C的坐标为（m，n），由长方形的性质可以得出“DC=AB，AD=BC”，由DC=AB可得出关于m的一元一次方程，由AD=BC可得出关于n的一元一次方程，解方程即可得出点D 的坐标．【详解】依照题意画出图形，如图所示，设点C的坐标为（m，n），∵点A（-2，-2），B（5，-2），D（-2，3），AB=5-（-2）=7，DC=AB=7=m-(-2)，解得：m=5；AD=3-（-2）=5，BC=AD=5=n-（-2），解得：n=3∴点C 的坐标为（5，3），故选A ．【点睛】本题考查了坐标系中点的意义以及长方形的性质，解题的关键是分别得出关于m 、n 的一元一次方程．解决该题型题目时，依照题意画出图形，再根据图形的性质即可得出结论. 5．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定逐项进行判断即可．【详解】A 、四边形ABCD 是平行四边形，CF//ED ∴，FCG EDG ∠∠∴=， G 是CD 的中点，CG DG ∴=，在FCG 和EDG 中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩， FCG ∴≌()EDG ASA ，FG EG ∴=，CG DG =，∴四边形CEDF 是平行四边形，故A 选项正确；B 、四边形CEDF 是平行四边形，CE AD ⊥，∴四边形CEDF 是矩形，故B 选项正确；C 、四边形CEDF 是平行四边形，AEC 120∠=，CED 60∠∴=，CDE ∴是等边三角形，CE DE ∴=，四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是菱形，故C 选项正确；D 、当AE ED =时，不能得出四边形CEDF 是菱形，故D 选项错误，故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．6．D【解析】A.矩形的对角线相等，正确；B. 矩形的四个内角都相等，正确；C.矩形的对角线互相平分，正确；D. 对角线互相平分、相等，但不一定垂直，故选D.【点睛】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．7．B【解析】试题分析：A 、有一个角为直角的平行四边形为矩形；C 、D 两条对角线互相平分且相等的四边形为矩形.考点：特殊平行四边形的判定.8．D【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD ＝AD ，求出∠DCA ＝∠A ，根据三角形的外角性质求出求出即可．【详解】解：∵∠ACB ＝90︒，CD 是斜边AB 上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26︒，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26︒+26︒＝52︒．故选：D．【点睛】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．9．B【解析】【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC 最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．【详解】如图，连接PC．∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°．又∵PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．∴∠CEP=∠CFP=90°，∴四边形PECF是矩形．∴PC=EF．∴当PC最小时，EF也最小，即当PC⊥AB时，PC最小，∵BC•AC=AB•PC，即PC=，∴线段EF长的最小值为.故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．10．C【解析】【分析】利用矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误.故选：C.【点睛】本题考查命题与定理的知识，还考查了矩形及菱形的判定方法，难度不大，突破此类问题关键是要熟练掌特殊四边形的性质与判定方法、特殊四边形的证明与计算．错因分析：对特殊四边形的概念、判定、性质理解不透彻，相混淆，属于容易题.11．5【解析】【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可求BF＝BC＝10，EF＝CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，∴BF＝BC＝10，EF＝CE，在Rt△ABF中，AF＝＝6,∴DF＝AD﹣AF＝4,在Rt△DEF中，DF2+DE2＝EF2＝CE2，∴16+(8﹣CE)2＝CE2，∴CE＝5.故答案为：5.【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．12．50º【解析】试题分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FEM，最后求得∠AEM 的大小．∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FEM=65°，∴∠AEM=180°-2∠FED=50°．故∠AEM等于50°．考点：翻折变换（折叠问题）．13【解析】【分析】由正六边形和矩形的性质得出∠FEJ=120°，EJ=EF，∠A=90°，得出∠AEF=60°，∠AFE=30°，由直角三角形的性质得出EF=2AE，AF=，由题意得：AE，AD=2AE+EJ=4AE，即可得出结果．【详解】∵六边形EFGHIJ是正六边形，四边形ABCD是矩形，∴∠FEJ＝120°，EJ＝EF，∠A＝90°，∴∠AEF＝60°，∠AFE＝30°，∴EF＝2AE，AF＝3AE，由题意得：AB＝2AF＝23AE，AD＝2AE+EJ＝4AE，∴233 AB AEAD==；故答案为3．【点睛】本题考查了正六边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质；熟练掌握正六边形的性质，求出EF=2AE，AF=3AE是解题的关键．14．8【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理求出EF．【详解】解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴AB＝2CD＝16，∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF＝AB＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．15．.【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．【详解】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB==，∵CD 是直角三角形ACB 的斜边AB 上中线， ∴CD=AB=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．10【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半直接求解即可.【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线∴12CD AB = ∴AB=2CD=10故答案为：10【点睛】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握直角三角形的性质是本题的解题关键. 173【解析】【分析】证得△COD 是等边三角形，即可求得CD 的长，然后由勾股定理求得AD ，即可得出矩形的面积．【详解】解：四边形ABCD 是矩形，2AC =190,12ADC OD OC AC ∴∠=︒=== 120AOD ∠=︒60COD ∴∠=︒1CD OD OC ∴===，AD ∴==ABCD S AD CD ∴=⋅=矩形【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．18．①③④【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得AP 12=BC =PB ，∠B =∠CAP =45°，根据余角的性质得∠BPE =∠APF ，进而即可证明△PF A ≌△PEB ，即可判断①；根据等腰三角形的性质和中位线的性质，即可判断②；由△PF A ≌△PEB 得PE =PF ，进而即可判断③；由△PF A ≌△PEB ，得S △PF A =S △PEB ，进而即可判断④．【详解】∵AB =AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，∴AP ⊥BC ，AP 12=BC =PB ，∠B =∠CAP =45°， ∵∠APF +∠EP A =90°，∠EAP +∠BPE =90°，∴∠BPE =∠APF ，在△BPE 和△APF 中，∵B CAP BP AP BPE APF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PF A ≌△PEB (ASA)，即结论①正确；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP12=BC，又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故结论②错误；∵△PF A≌△PEB，∴PE=PF，又∵∠EPF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；∵△PF A≌△PEB，∴S△PF A=S△PEB，∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB12=S△ABC，故结论④正确；综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，始终正确的有3个结论．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理和性质定理以及等腰直角三角形的性质和判定，掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定定理，是解题的关键．19．16【解析】【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，则有四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形，可得S△PEB=S△PFD＝8，则可得出S阴．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N，则有四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16.故答案是：16．【点睛】考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．20．23或3【解析】【分析】分两种情况：①由矩形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由矩形的性质和已知条件得出AC的长度.【详解】分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是矩形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=60°，∴33②如图2所示：∵四边形ACB′D是矩形，∴∠ACB′=90°，∴∠ACB=90°，∵BC=2，∠B=60°，∴AC=23，综上所述：AC的长为3或23．故答案是：3或23.【点睛】考查了平行四边形的性质、矩形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的性质、翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．21．见解析；【解析】【分析】找到图中直角三角形和斜边上的中线，得到等腰三角形FME，即可解答．【详解】证明：连接ME，MF.则有ME=12BC,MF=12BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).∴ME=MF.又∵N为EF中点，∴MN⊥EF.【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线，解题关键在于作辅助线.22．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；（2）证明△ABC是等边三角形，得出OA＝1，由勾股定理得出OB，由菱形的性质得出OD＝OB AODE的面积．【详解】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴OA＝12×2＝1，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD∴由勾股定理OB∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB∴四边形AODE的面积＝OA•OD【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．23．（1）△BOD为等腰三角形，见解析；（2）OD＝25 8．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质得到∠OBD＝∠ADB，可得结论；（2）设OD＝x，则AO＝4﹣x，BO＝OD＝x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：（1）△BOD为等腰三角形，证明如下：∵矩形ABCD，∴AD∥BC．∴∠ADB＝∠DBC．又∵△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，∴∠OBD＝∠DBC．∴∠OBD＝∠ADB．∴OB＝OD．∴△BOD为等腰三角形.（2）设OD＝x，则AO＝4﹣x，BO＝OD＝x，由勾股定理得：OB2＝AB2+AO2，∴x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝258，即OD＝258．【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是关键．24．（1）详见解析；（2）四边形AECF是矩形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质利用AAS即可证明AOE COF∆≅∆；（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO CO=，//AB CD，∴AEO CFO∠=∠.在AOE∆和COF∆中，,,,AEO CFOAOE COFAO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴( AAS )AOE COF∆≅∆.(2)若EF AC=，则四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）知，AOE COF∆≅∆，∴OE OF=.又∵AO CO=，∴四边形AECF是平行四边形.又∵EF AC=，∴AECF是矩形.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题.25．（1）OF=OE，理由见解析；（2）OF⊥OE，OF=OE．理由见解析；【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K．首先证明△AOE≌△COK，推出OE=OK即可解决问题；（2）如图2中，延长EO交CF于K．由△ABE≌△BCF，推出BE=CF，AE=BF，由△AOE≌△COK，推出AE=CK，OE=OK，推出FK=EF，可得△EFK是等腰直角三角形，即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，延长EO交CF于K．∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK（ASA），∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE．（2）如图2中，延长EO交CF于K．∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF ，∵AB=BC ，∴△ABE ≌△BCF ，∴BE=CF ，AE=BF ，∵△AOE ≌△COK ，∴AE=CK ，OE=OK ，∴FK=EF ，∴△EFK 是等腰直角三角形，∴OF ⊥EK ，OF=OE ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．26．（1）见解析；（2）AD 与EF ；AE 与EF ；BC 与EF ；AD 与CE ；AE 与CE ；BC 与CE【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得BCD 90AD BC ∠=︒∥，，再由AE AD =和DF AE ⊥证明△DFE ≌△DCE 即可；（2）由题知，AE-EF=AF ，找到AE 相等的边和EF 相等的边即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，BCD 90AD BC ∴∠=︒∥，，DC BC ADE DEC ∴⊥∠=∠，，AE AD =，ADE AED ∴∠=∠，DEC AED ∴∠=∠，DF AE ⊥，∴∠DFE=90°，在△DFE 和△DCE 中DFE=BCD DE=DE DEC AED ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△DFE ≌△DCE （AAS ），DF DC ∴=；（2）由题知，AE-EF=AF ，∵AE=AD=BC ，∴AD-EF=AF ，BC-EF=AF ，∵△DFE ≌△DCE ，∴EF=CE ，∴AE-CE=AF ，综上，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于线段AF 的长，则AE 与EF ；AD 与EF ； BC 与EF ；AE 与CE ；（写出四对即可）.【点睛】本题是对矩形知识的考查，熟练掌握矩形的性质是解决本题的关键.27．（1）见解析；（2）BC ＝2CD【解析】【分析】【详解】解：（1）连接AC ，DF ，可证明四边形ACDF 是平行四边形，则AD 与FC 互相平分；（2）BC ＝2CD28．4.8【解析】【分析】连接CP ，根据矩形的性质可知：DE=CP ，当DE 最小时，则CP 最小，根据垂线段最短可知当CP ⊥AB 时，则CP 最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP 的长．【详解】解：连接CP ，∵Rt△ABC中，∠ACE=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP．当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE=CP=6810=4.8∴DE的最小值为4.8；【点睛】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．。

九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题及答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题及答案（北师大版）1．如图，点E为矩形ABCD内一点，且EA＝EB．求证：∠ECD＝∠EDC．2．如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM＝AB，BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝3，MN＝1，求AB的长．3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．6．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）求证：四边形ABCD是矩形．7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．9．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．10．如图，在矩形ABCD中，E为DC边的中点，连接AB，AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）连接AC，与BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求矩形ABCD的面积．11．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O作直线分别与矩形的边AB，CD交于E，F 两点，连接BF，DE．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若AD＝1，AB＝3，且EF⊥BD，求AE的长．12．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）当△ABC的边AC、BC满足什么数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．13．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：OC＝BC．（2）四边形ABCD是矩形．14．已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB＝AC，AF＝CF．（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面积相等的三角形．15．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1（1）判断△BEC的形状，并说明理由；（2）求证：四边形EFPH是矩形．17．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．18．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；（2）若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P 作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．21．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA 方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点的运动停止？（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？22．如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．23．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线D→C→B→A→D方向以2cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？24．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3秒时，求△ABP的面积；（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．参考答案1．证明：∵EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA在矩形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，AD＝BC ∴∠DAB﹣∠EAB＝∠CBA﹣∠EBA即∠EAD＝∠EBC在△ADE和△BCE中{AD=BC∠DAE=∠CBE EA=EB∴△ADE≌△BCE（SAS）．∴ED＝EC∴∠ECD＝∠EDC．2．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB ∴∠BAN＝∠AMD∵BN⊥AM∴∠BNA＝90°在△ABN和△MAD中{∠BAN=∠AMD ∠BNA=∠D=90°AB=AM∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD∴BN＝AD＝3∵AB2＝AN2+BN2∴AB2＝（AB﹣1）2+9∴AB＝53．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA∵点O是AC的中点∴AO＝CO在△AEO和△CFO中{∠DAC=∠ACB AO=CO∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）；（2）解：如图，连接AF∵AO＝CO，EF⊥AC∴AF＝FC∵AF2＝AB2+BF2∴CF2＝（16﹣CF）2+64∴CF＝10．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC＝AB∵FC＝AE∴CD﹣FC＝AB﹣AE即DF＝BE∴四边形DEBF是平行四边形又∵DE⊥AB∴∠DEB＝90°∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB∴∠DAF＝∠BAF∵DC∥AB∴∠DF A＝∠BAF∴∠DF A＝∠DAF∴AD＝DF＝5在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=√AD2−AE2=√52−32=4由（1）得：四边形DEBF是矩形∴BF＝DE＝4．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∵EF＝DA∴EF＝BC，EF∥BC∴四边形BCEF是平行四边形又∵CE⊥AD∴∠CEF＝90°∴平行四边形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝3∵CF＝4，DF＝5∴CD2+CF2＝DF2∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°∴△CDF的面积=12DF×CE=12CF×CD∴CE=CF×CDDF=4×35=125由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形∴∠FBC＝90°，BF＝CE=12 5∴BC=√CF2−BF2=√42−(125)2=165∴EF=16 5．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝FD∴AE+EF＝FD+EF即AF＝DE在△ABF和△DCE中{AB=CD BF=CE AF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE∴∠A＝∠D∵AB∥CD∴∠A+∠D＝180°∴2∠A＝180°∴∠A＝90°∴▱ABCD为矩形．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥BC∵CE∥BD∴四边形BCED是平行四边形∴CE＝BD．∵CE＝AC∴AC＝BD．∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°∴BD=√AB2+AD2=√42+32=5．∵四边形BCED是平行四边形∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．8．（1）证明：∵AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°∵∠ABC＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠CED＝45°∴EC＝DC又∵∠BDE＝15°∴∠CDO＝60°又∵矩形的对角线互相平分且相等∴OD＝OC∴△OCD是等边三角形∴∠DOC＝∠OCD＝60°∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°∵CO＝CE∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；（3）解：作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD ∴AO＝BO＝CO＝DO∴BF＝FC∴OF=12CD＝1∵∠OCB＝30°，AB＝2∴BC＝2√3∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°∴∠EDC＝45°在Rt△EDC中，EC＝CD＝2∴△BOE的面积=12•EB•OF=12×（2√3−2）×1=√3−1．9．证明：（1）∵AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°∵∠ABC ＝∠ADC∴∠BAD ＝∠BCD∴四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC =12AC ，OB ＝OD =12BD∵OA ＝OB∴AC ＝BD∴四边形ABCD 是矩形；（2）如图，连接OP∵AD ＝12，AB ＝5∴BD =√AB 2+AD 2=√144+25=13∴BO ＝OD ＝AO ＝CO =132 ∵S △AOD =14S 矩形ABCD =14×12×5＝15∴S △AOP +S △POD ＝15∴12×132×FP +12×132×EP ＝15 ∴PE +PF =6013．10．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥CB ，AD ＝BC∴∠D ＝∠FCE ；∵E 为DC 中点∴ED ＝EC在△ADE 与△FCE 中{∠D =∠FCE DE =CE ∠AED =∠FEC∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CD ，AB ＝DC∴AB EC =BG EG ，S △ABGS △CEG =（AB EC ）2∵DE ＝CE∴AB ＝2CE∴BG EG =2，S △ABGS △CEG =（AB EC ）2＝4∵△GEC 的面积为2∴S △BGC ＝2S △CEG ＝4，S △ABG ＝4S △CEG ＝8∴S △ABC ＝S △BGC +S △ABG ＝4+8＝12∴矩形ABCD 的面积＝2S △ABC ＝24．11．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CD∴∠OBE ＝∠ODF∵O 为对角线BD 的中点∴OB ＝OD在△OBE 和△ODF 中{∠OBE =∠ODF OB =OD ∠BOE =∠DOF∴△OBE ≌△ODF （ASA ）∴BE ＝DF又∵BE ∥DF∴四边形BEDF 为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°由（1）得：四边形BEDF 为平行四边形∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 为菱形∴BE ＝DE设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝3﹣x在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2+AE 2＝DE 2即12+x 2＝（3﹣x ）2解得：x =43即AE 的长为43． 12．（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ，AB ∥CD∵M ，N 分别为AB 和CD 的中点∴AM =12AB ，CN =12CD∴AM ＝CN∵AB ∥CD∴四边形AMCN 是平行四边形；（2）解：AC ＝BC 时，四边形AMCN 是矩形证明∵AC ＝BC ，且M 是BC 的中点∴CM ⊥AB即∠AMC ＝90°∴四边形AMCN 是矩形．13．证明：（1）∵CE 平分∠ACB∴∠OCE ＝∠BCE∵BO ⊥CE∴∠CFO ＝∠CFB ＝90°在△OCF 与△BCF 中{∠OCE =∠BCE CF =CF ∠CFO =∠CFB△OCF ≌△BCF （ASA ）∴OC ＝BC ；（2）∵点O 是AC 的中点∴OA ＝OC∵AD ∥BC∴∠DAO ＝∠BCO ，∠ADO ＝∠CBO在△OAD 与△OCB 中{∠DAO =∠BCO OA =OC ∠ADO =∠CBO∴△OAD ≌△OCB （ASA ）∴AD ＝BC∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形∵OE ⊥AC∴∠EOC ＝90°在△OCE 与△BCE 中{CE =CE ∠OCE =∠BEC OC =BC∴△OCE ≌△BCE （SAS ）∴∠EBC ＝∠EOC ＝90°∴四边形ABCD 是矩形．14．（1）证明：∵AD ∥BC∴∠F AD ＝∠FCE ，∠FDA ＝∠FEC在△ADF 和△CEF 中{∠FAD =∠FCE ∠FDA =∠FEC AF =CF∴△ADF ≌△CEF （AAS ）∴AD ＝CE∵AD ∥CE∴四边形AECD 为平行四边形∵AB ＝AC ，点E 为BC 的中点∴AE ⊥BC∴∠AEC ＝90°∴平行四边形AECD 为矩形；（2）解：图2中与△BEF 面积相等的三角形为△AEF ，△ADF ，△CDF ，△CEF ．理由如下：∵点E为BC的中点∴S△CEF＝S△BEF∵AF＝CF∴S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF由（1）可知，四边形AECD是矩形∴EF＝DF∴S△AEF＝S△ADF∴S△CEF＝S△BEF＝S△AEF＝S△ADF＝S△CDF即与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．15．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形∴AB∥DE，AB＝ED∵DC＝ED∴DC＝AB，DC∥AB∴四边形ABCD是平行四边形∵DE⊥AD∴∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO ∴OD＝OC∵OF⊥CD∴DF＝CF=12CD=12×2=1∴OF=12BC=12×4=2，EF＝DE+DF＝2+1＝3∴OE=√EF2+OF2=√32+22=√13．16．解：（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2由勾股定理得：CE=√CD2+DE2=√22+12=√5同理BE＝2√5∴CE2+BE2＝5+20＝25∵BC2＝52＝25∴BE2+CE2＝BC2∴∠BEC＝90°∴△BEC是直角三角形．（2）∵矩形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∵DE＝BP∴四边形DEBP是平行四边形∴BE∥DP∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP∴AE＝CP∴四边形AECP是平行四边形∴AP∥CE∴四边形EFPH是平行四边形∵∠BEC＝90°∴平行四边形EFPH是矩形．17．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6∵MN∥BC∴∠1＝∠5，∠3＝∠6∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴EO＝CO，FO＝CO∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°∵CE＝4，CF＝3∴EF=√42+32=5∴OC=12EF=52；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO∵EO＝FO∴四边形AECF是平行四边形∵∠ECF＝90°∴平行四边形AECF是矩形．18．解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD；∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向点O运动∴AE＝CF；∴OE＝OF；∴BD、EF互相平分；∴四边形DEBF是平行四边形；（2）四边形DEBF能是矩形．理由：∵四边形DEBF是平行四边形∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；∵BD＝12cm∴EF＝12cm；∴OE＝OF＝6cm；∵AC＝16cm；∴OA＝OC＝8cm；∴AE＝2cm由于动点的速度都是1cm/s所以t＝2（s）故当运动时间t＝2s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ∴DQ＝PQ，PC＝DC∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3∴PC＝5在Rt△PBC中，PB=√PC2−BC2=4∴P A＝AB﹣PB＝5﹣4＝1设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x在Rt△P AQ中，（3﹣x）2＝x2+12解得x=4 3∴AQ=4 3．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB ∵MD⊥MP∴∠PMD＝90°∴∠PME+∠DMF＝90°∵∠FDM+∠DMF＝90°∴∠MDF＝∠PME∵M是QC的中点∴DM=12QC，PM=12QC∴DM＝PM在△MDF和△PME中{∠MDF=∠PME ∠DFM=∠MEP DM=PM∴△MDF≌△PME（AAS）∴ME＝DF，PE＝MF∵EF⊥CD，AD⊥CD∴EF∥AD∵QM＝MC∴DF＝CF=12DC=52∴ME=5 2∵ME是梯形ABCQ的中位线∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3∴AQ＝2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点∴DM＝CM∴∠DMQ＝2∠DCQ∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点∴MP＝CM∴∠PMQ＝2∠PCQ∵∠DMP＝90°∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3∵∠CPQ＝90°∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ∴AQ＝AP＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC∴∠ABE＝∠CDF∵点E，F分别为OB，OD的中点∴BE=12OB，DF=12OD∴BE＝DF在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB∴AB＝OA∵E是OB的中点∴AG⊥OB∴∠OEG＝90°同理：CF⊥OD∴AG∥CF∴EG∥CF由（1）得：△ABE≌△CDF∴AE＝CF∵EG＝AE∴EG＝CF∴四边形EGCF是平行四边形∵∠OEG＝90°∴四边形EGCF是矩形．21．解：（1）由题意得x2＝20∴x＝2√5∴当x为2√5时，点的运动停止；（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20解得x＝2√21−1或﹣1﹣2√21（舍去）当点Q与点M相遇时，x+3x＝20解得x＝5当x＝5时，x2＝25＞20∴点Q与点M不能相遇；（3）∵当点N到达A点时，x2＝20∴x＝2√5∴BQ＝2√5cm，CM＝6√5cm∵BQ+CM＝8√5＜20∴此时M点与Q点还未相遇∴点Q只能在点M的左侧①如图，当点P在点N的左侧时20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）解得x＝0（舍去）或x＝2∴当x＝2时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；②如图，当点P在点N的右侧时20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20解得x＝4或﹣10（舍去）∴当x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形综上，当x＝2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．22．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AB∥CD∴∠BAE＝∠DCF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AEB＝∠CFD＝90°在△ABE和△CDF中{∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF∴BE＝DF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴BE∥DF∴四边形BFDE是平行四边形．23．解：（1）设t秒时两点相遇根据题意得，t+2t＝2（4+8）解得t＝8答：经过8秒两点相遇；（2）观察图象可知，点M不可能在AB或DC上．①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形得：8﹣t＝9﹣2t解得t＝1∵t ＝1时，点M 还在DC 上∴t ＝1舍去；②如图2，点M 在E 点左侧时，当AN ＝ME 时，四边形AEMN 为平行四边形得：8﹣t ＝2t ﹣9解得t =173．所以，经过173秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形．24．解：（1）当t ＝3时，点P 的路程为2×3＝6cm∵AB ＝4cm ，BC ＝6cm∴点P 在BC 上∴S △ABP =12AB ⋅BP =4（cm 2）．（2）（Ⅰ）若点P 在BC 上∵在Rt △ABP 中，AP ＝5，AB ＝4∴BP ＝2t ﹣4＝3∴t =72；（Ⅱ）若点P 在DC 上则在Rt △ADP 中，AP 是斜边∵AD ＝6∴AP ＞6∴AP ≠5；（Ⅲ）若点P 在AD 上AP ＝5则点P 的路程为20﹣5＝15∴t=15 2综上，当t=72秒或t=152时，AP＝5cm．（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2由题意，有AD2+CP2＝AP2∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2∴t=133＜5即t=13 3．。

北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。

2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

北师大版2020年九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定同步练习

九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.2矩形的性质与判定同步练习题一、选择题1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是(D)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．四条边相等2．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(B)A．AB＝CD B．AC＝BDC．AB＝BC D．AC⊥BD3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3.若要使▱ABCD为矩形，则OB的长为(B)A．4 B．3 C．2 D．14．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为(A)A．30°B．35°C．45°D．60°5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为(A)A．35°B．40°C．45°D．50°6．如图，DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线，AB＝12，在ED上找一点F，使得DF＝2，连接AF并延长至C，使得AF＝CF，连接CD，CB，则CB的长为(C)A ．5B ．6C ．8D ．97．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E.已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是(A)A ．2 3B ．3 3C ．4D ．4 38．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点Q 在对角线AC 上，且AQ ＝AD ，连接DQ 并延长，与边BC 交于点P ，连接AP ，则线段AP ＝(D)．A ．B ．C ．D二、填空题9.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，则CD ＝12AB.10.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，且∠ADE ＝70°，则∠BDE 的度数为50°．11．如图，连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，还要添加AC ⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝8，AC＝20，则BE＝4．13．如图，顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得到四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形A n B n C n D n.若矩形A1B1C1D1的面积为24，则四边形A n B n C n D n的面积为242n－1．14．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A(－10，0)，C(0，3)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是(－4，3)或(－1，3)或(－9，3)．三、解答题15．如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．证明：连接EO，∵O是AC，BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO.∴四边形ABCD 是平行四边形．在Rt △EBD 中，∵O 为BD 的中点，∴EO ＝12BD.在Rt △AEC 中，∵O 为AC 的中点，∴EO ＝12AC.∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．16.如图，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E ，求证：BE ＝BD.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，AD ∥BC. 又∵BE ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形． ∴BE ＝AC. ∴BE ＝BD.17.已知：如图，M 为▱ABCD 的边AD 的中点，且MB ＝MC.求证：四边形ABCD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠A ＋∠D ＝180°. 在△ABM 和△DCM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝DM ，AB ＝DC ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△DCM(SSS)．∴∠A ＝∠D ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形．18.如图，在▱ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF ＝AE ，连接AF ，BF.(1)求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若∠DAB ＝60°，AF 是∠DAB 的平分线，AD ＝3，求DC 的长度．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，DC ＝AB. ∵CF ＝AE ，∴DF ＝BE. ∴四边形BFDE 是平行四边形．又∵DE ⊥AB ，∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵∠DAB ＝60°，AD ＝3，DE ⊥AB ， ∴AE ＝32，DE ＝3AE ＝332.∵四边形BFDE 是矩形，∴BF ＝DE ＝332.∵AF 平分∠DAB ，∴∠FAB ＝12∠DAB ＝30°.∴AB ＝3BF ＝92.∴CD ＝92.19.已知：如图，在矩形ABCD 中，AD ＝23，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD ＝4，过点C作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两线相交于点E.(1)求DE 的长；(2)四边形OCED 的面积为解：∵DE ∥OC ，CE ∥DO ，∴四边形OCED 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴CO ＝DO.∴四边形OCED 是菱形． ∴DE ＝DO ＝12BD ＝2.20.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16，AD ＝12，点E ，F 分别在边CD ，AB 上．(1)若DE ＝BF ，求证：四边形AFCE 是平行四边形； (2)若四边形AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∵DE ＝BF ， ∴AF ＝CE.∴四边形AFCE 是平行四边形． (2)∵四边形AFCE 是菱形， ∴AE ＝CE ＝CF ＝AF.∵AB ＝CD ，AB ＝16，∴CD ＝16. 设AE ＝CE ＝x ，则DE ＝CD －CE ＝16－x. ∵在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2， ∴122＋(16－x)2＝x 2.解得x ＝12.5. ∴C 菱形AFCE ＝4×12.5＝50.21.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝OC ，BO ＝OD ，且∠AOB ＝2∠OAD.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若∠AOB ∶∠ODC ＝4∶3，求∠ADO 的度数．解：(1)证明：∵AO ＝OC ，BO ＝OD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵∠AOB ＝∠OAD ＋∠ADO ＝2∠OAD ， ∴∠OAD ＝∠ADO.∴AO ＝DO.∴AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴∠ABO ＝∠ODC. ∵∠AOB ∶∠ODC ＝4∶3， ∴∠AOB ∶∠ABO ＝4∶3.∴∠BAO ∶∠AOB ∶∠ABO ＝3∶4∶3. ∴∠ABO ＝180°×310＝54°.∵∠BAD ＝90°，∴∠ADO ＝90°－54°＝36°.22.已知：如图，在▱ABCD 中，BA ＝BD ，M ，N 分别是AD 和BC 的中点．求证：四边形BNDM 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，BA ＝DC. ∵BA ＝BD ，∴BA ＝BD ＝DC. ∵M ，N 分别是AD 和BC 的中点， ∴BM ⊥AD ，DM ＝12AD ，BN ＝12BC.∴DM ＝BN.又∵DM∥BN，∴四边形BMDN是平行四边形．∵BM⊥AD，∴四边形BMDN是矩形．23.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC ＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．解：(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.24.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)判断OE与OF的大小关系，并说明理由；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的理由．解：(1)OE＝OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.∴∠OEC＝∠ACE.∴OE＝OC.同理可得OC＝OF.∴OE＝OF.(2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．∵OE＝OC，∴OA＝OC＝OE＝OF.∴AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．25.如图，将▱ABCD的边BA延长到点E，使AE＝AB，连接EC，交AD于点F，连接AC，ED.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若∠AFC＝2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD中，AB＝CD且AB∥CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CD，AE∥CD.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠EAF＝∠B.又∵∠AFC＝∠EAF＋∠AEF，∠AFC＝2∠B，∴∠EAF＝∠AEF.∴AF＝EF.又∵在▱ACDE中，AD＝2AF，EC＝2EF，∴AD＝EC.∴四边形ACDE是矩形．26.如图，BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AB，CD上．(1)如图1，若DE ，BF 分别是∠ADB ，∠CBD 的平分线，求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)如图2，若EF 所在直线是BD 的垂直平分线，EF 交BD 于点O. ①求证：四边形BEDF 是菱形；②若AB ＝6，AD ＝4，则EF 3解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC ，AD ∥BC.∴∠ADB ＝∠CBD. ∵DE 平分∠ADB ，BF 平分∠CBD ， ∴∠EDB ＝12∠ADB ，∠FBD ＝12∠CBD.∴∠EDB ＝∠FBD.∴DE ∥BF. ∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)①证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DF ∥BE. ∴∠OBE ＝∠ODF.∵EF 是BD 的垂直平分线， ∴BE ＝DE ，OB ＝OD.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA)．∴EO ＝FO. ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∵BE ＝DE ，∴四边形BEDF 是菱形．27.．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，连接DE ，DF ，EF.(1)如图1，当CF ＝2BE ＝2时，求证：△DEF 是直角三角形； (2)如图2，若点E 是边AB 的中点，DE 平分∠ADF ，求BF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝8，AD ＝BC ＝6.∵CF ＝2BE ＝2，∴BE ＝1.∴AE ＝AB －BE ＝7，BF ＝BC －CF ＝4.在Rt △ADE 中，DE 2＝AE 2＋AD 2＝72＋62＝85.在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝82＋22＝68.在Rt △BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝12＋42＝17.∴DF 2＋EF 2＝DE 2.∴△DEF 是直角三角形．(2)作EH ⊥DF 于H ，则∠A ＝∠DHE ＝90°.∵DE 平分∠ADF ，∴∠ADE ＝∠HDE.在△AED 和△HED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠DHE ，∠ADE ＝∠HDE ，DE ＝DE ，∴△AED ≌△HED(AAS)．∴DA ＝DH ＝6，EA ＝EH ＝4.∴EH ＝EB ＝4.在Rt △EHF 和Rt △EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EF ，EH ＝EB ，∴Rt △EHF ≌Rt △EBF(HL)．∴BF ＝HF.设BF ＝x ，则HF ＝x ，CF ＝6－x.∴DF ＝DH ＋HF ＝6＋x.在Rt △CDF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，∴82＋(6－x)2＝(6＋x)2.解得x ＝83.∴BF ＝83.28.已知：如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，E ，F 分别为垂足．求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)四边形AECF 是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝CD.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．(2)∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB ＝90°.∴∠EAF ＝∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∴四边形AECF 是矩形．29．如图，在▱ABCD 中，点P 是AB 边上一点(不与A ，B 重合)，CP ＝CD ，过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，连接CQ.(1)若∠BPC ＝∠AQP ，求证：四边形ABCD 是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP ＝2，AD ＝6时，求AQ 的长．解：(1)证明：∵PQ ⊥CP ，∴∠CPQ ＝90°.∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°.∵∠BPC ＝∠AQP ，∴∠APQ ＋∠AQP ＝90°.∵∠APQ ＋∠AQP ＋∠A ＝180°，∴∠A ＝90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠CPQ ＝90°.在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧CQ ＝CQ ，CD ＝CP ， ∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ(HL)．∴DQ ＝PQ.设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝6－x.在Rt △APQ 中，AQ 2＋AP 2＝PQ 2.∴x 2＋22＝(6－x)2.解得x ＝83. ∴AQ 的长是83. 30.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，对角线AC ，BD 交于点O ，AO ＝BO ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若AB ＝2，求△OEC 的面积．解：(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∠ADC ＋∠BCD ＝180°.∵∠ABC ＝∠ADC ，∴∠BAD ＝∠BCD.∴四边形ABCD 是平行四边形．∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵OA ＝OB ，∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．(2)过点O 作OF ⊥BC 于点F.∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2，∠BCD ＝90°，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴BF ＝FC.∴OF 是△BCD 的中位线．∴OF ＝12CD ＝1. ∵DE 平分∠ADC ，∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝45°.在Rt △EDC 中，EC ＝CD ＝2.∴△OEC 的面积为12EC ·OF ＝1. 31.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG ＝AE ，连接CG.(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC.∴∠ABE ＝∠CDF.∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝12OB ，DF ＝12OD. ∴BE ＝DF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．(2)当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形．理由如下：∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA.∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB.∴∠OEG ＝90°.同理可证CF ⊥OD.∴EG ∥CF.∵EG ＝AE ，OA ＝OC ，∴OE 是△ACG 的中位线．∴EF ∥CG.∴四边形EGCF 是平行四边形．∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形．1、在最软入的时候，你会想起谁。

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考点：勾股定理;矩形的性质;翻折变换（折叠问题）;相似三角形的判定与性质;
，求BQ的长．ຫໍສະໝຸດ 答案解析5. (2020川汇.九上期末) 如图，直线y＝ x+b与y轴交于点A（0，4），与函数y＝（k＞0，x＜0）的图象交于点C，以 AC为对角线作矩形ABCD，使顶点B，D落在x轴上（点D在点B的右边），BD与AC交于点E.
（1）求b和k的值；（2）求顶点B，D的坐标. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题;矩形的性质;
2020年九上数学：图形的性质 _四边形 _矩形的性质练习题答案
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（1）如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC， ①求证：△ACD≌△CAE；
②直接写出线段DH的长度是多少？
（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在
（2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将△DAP与△PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落
在点A′，B′处，若P，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′＝2，试求此时AP的长；
（3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将△DAP与△PBG分别沿DP与PG折叠，点A与
请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
考点：三角形全等的判定;勾股定理;矩形的性质;旋转的性质;
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3. (2020农安.九上期中) 如图，在矩形点终点运动，同时点从点出发沿
中，
，
，点从点出发沿以2
以1
的速度向点终点运动，它们到达终点后停止运动.
的速度向
（1）几秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；
点B重合于点F处，连结CF，请求出CF的长.
考点：勾股定理;矩形的性质;翻折变换（折叠问题）;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;
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2. (2020泰兴.九上期末) 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0° ＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．
九上数学每日一练：矩形的性质练习题及答案_2020年综合题版
2020年九上数学：图形的性质 _四边形 _矩形的性质练习题
1. (2020宜兴.九上期中) 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是边AB上的一动点，连结DP.
（1）若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A′处，试求AP的长；
（2）几秒后，
的面积是24 .
考点：一元二次方程的实际应用-几何问题;勾股定理;矩形的性质;
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4.
(2020大田.九上期中) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN ，延长QN交直线CD于点M ．
（1）求证：MC＝MQ （2）当BQ＝1时，求DM的长；（3）过点D作DE⊥CQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且