车灯线光源的优化设计模型
数学建模竞赛讲座车灯线光源的优化模型PPT课件
(2) 通常，当光源与反射面之间的距离比光 源尺寸大得多时(10倍以上)，才能把该光源当
成点光源来处理。而一般的汽车前照灯中，灯 丝 的 长 度 是 3~7mm ， 而 反 射 面 的 焦 距 为 15~40mm，因而不能作为点光源来处理。而根 据(1)的假设，我们将灯丝看成是光强均匀分布 的线状光源。如果将灯丝分成若干微小段 dl， 由于 dl 的长度相对于反射面的焦距来说足够小， 所以我们将其作为一个点光源来处理。
在测试屏上B点与C点的总的光照度
光源的光强度 光源产生的光通量
3. 问题(1)：计算线光源长度，使 线光源的功率最小
3.1 问题的分析与模型的建立
综合考察本问题，可以看出这是一个几何 光学与非线性优化相结合的问题。
根据题意，车灯的形状为一旋转抛物面， 车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径 36 毫米，深度 21.6 毫米；经过车灯的焦点 F， 在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一 定长度的均匀分布的线光源；在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏，屏与 FA 垂直， 用以测试车灯的反射光。简单的示意图参见图 3.1。
(3.2)
求 解 上 述 模 型 (3.1) 或 (3.2) ， 关 键 之 处 是 EB(l) 和 EC(l) (即 B 点与 C 点的光照度)的计算。 在假设(4)中我们指出：根据光的叠加性，n 个 点光源共同对测试屏上某一点的作用效果，就 等于各个光源对该点单独作用效果的叠加；如 果把线光源上各点对测试屏的作用效果作和， 即可得线光源在测试屏上的作用效果。因而， 不妨考虑按照如下路线解决 B 点与 C 点的光照 度计算问题(参见图 3.2)：
2002年-车灯线光源的优化设计2
摘要本文是关于汽车照明灯线光源长度的优化设计问题，即在给定反射镜面为旋转抛物面和给定设计规范的条件下，确定线光源的长度，使其功率最小（见图1）。
本文从光的反射定律和能量分布规律两种视角解决该问题，建立了两个数学模型。
模型一：利用能量、功率与光照强度之间的关系，利用能量积分法建立了反射屏上任意一点光照强度与线光源上光源点之间、光源点与反射镜面上的反射点之间关系的数学模型，计算出了满足光照强度要求和功率最小要求的线光源的最大长度。
并利用计算机程序对以上结果进行了校核。
模型二：根据光线反射定律，建立了测试屏上反射光线的位置、入射光线的光源点及其反射点之间对应关系的数学模型。
在此模型的基础上讨论了反射镜面不同区域的反射规律，计算出了在满足光照强度要求下的线光源长度。
由于模型二中没有考虑功率最小的要求（因为功率与线光源长度成反比，当线光源长度最短时，其功率最大），同时C点的光照强度在模型二中很小，所以满足题目要求的最终线光源的长度为mm。
.4l18max根据所建立的两个数学模型，对满足设计要求的线光源长度在测试屏上所形成的反射光亮区进行了模拟，在有标尺的坐标系中得到了能够反映反射光变化规律的亮区模拟图（见图2）。
最后，对设计规范的合理性进行了充分和必要的论证。
图1 投影示意图（单位：毫米）图2 测试屏上所形成的反射光亮区（单位：毫米）（注：黑度反映光照强度的大小，黑度越深，光照越强）1 问题的提出：在汽车的照明装置中，前照灯是核心装置，它的反射镜是主要的光学器件。
经过真空镀铝的反射镜镜面通常制成旋转抛物面形，将灯丝发出的散射光聚合，以集中光束的形状射向汽车前进方向的路面。
灯泡灯丝是照明效果的关键，通常制成螺旋形。
灯丝的长度直接决定着光源功率的大小和照明的效果。
因此，在反射镜尺寸和设计规范一定（见A 题）的情况下，选择一定长度的灯丝就显得尤为重要。
本论文试图从最优化的角度，建立起满足设计要求的线光源光强的数学模型，借助于计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出使功率最小的线光源的长度，并画出测试屏上反射光的亮区。
车灯线光源的优化设计模型
车灯线光源的优化设计模型摘 要： 本文利用几何光学的原理,从线光源上某一点光源出发作反射;根据能量守恒定律及光传播的球面性,给出直射光和反射光能量之间的关系.从而证明反射光远远强于直射光,故而,在计算测试屏某点的光强度时,可将直射光忽略,只考虑反射光. 根据点光源的反射强度,可计算出点光源到达B 和C 点的光强度,设线光源的长度为2a,则从-a 到a 对点光源积分,可算出B 点和C 点的光强度为:aaB y I I --⋅⋅=250001300arctan25000459.000πa ac y I I --⋅⋅=250002600arctan25000459.000π根据以知B 点的光强度为2单位,C 点的光强度为1单位,利用以上方程可求得:a=2.34mm. 通过点光源在抛物面上任一点处反射光线的计算机模拟，给出了线光源反射线在测试屏上形成的亮区。
关 键 词：光强度，点光源，线源的功率, 亮区光一． 问题的提出：汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面,且已经告知开口半径和深度,所以可以得出抛物面的焦距,经过适当建立直角坐标系,可以得到抛物面的方程. 在焦点前放置的测试屏用以测试反射光的光强度,使其两点上的光强度各不小于某一额定值. 在设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小. 且在此基础上,精确画出测试屏上反射光的亮区.最后提出对规范合理性的意见. 二． 基本假设：1. 根据题目的要求,我们只考虑反射光的情形。
2. 在车灯内部,只考虑光线的一次反射。
3. 假设光线在抛物面内的每一点上都是镜面反射。
4. 假设线光源上每一个点的光强度都是一样的。
5. 反射光在B 点的光强度不小于一个单位,在C 点的光强度不小于两个单位. 三． 问题的分析和解决 （一）.求线光源的长度：1. 旋转抛物面的方程为fz y x 422=+，其中 f 为其焦距,据已知条件,可知道其焦距 f=15mm 。
2. 以F 为球心.以R 为半径,做一球面.如图1.图1 则mm h r R 6.366.6362222=+=+=3.求直射的面积：根据球冠面积公式有()22Hr S +π＝直，其中r=36mm,mm h R H 30=-=,则22196mm S π＝直4. 求反射的面积：2224.316221964mm R S S S πππ=-－＝＝总面积直反5. 不妨假设线光源上的任一点的点光源的光强度为0I ,则其反射光的强度259.04I S R I I ＝＝反反⋅π 6. 下面就线光源上任意一点M 的反射情况讨论,,如图2所示.图2假设12r r >，以2r 为半径作一球面，首先考虑B 点。
车灯线光源的优化设计
车灯线光源的优化设计1问题重述安装在汽车头部的车灯，形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，经过车灯的焦点，在与对称轴垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下：在焦点 F 正前方 25 米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过 A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线 A 点的同侧取点B 和点 C，使 AC=2AB=2.6 米。
要求 C 点的光强度不小于某一额定值（可取为 1 个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍。
请解决下列问题：1）求在该设计规范标准下计算线光源长度，使线光源的功率最小；2）得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区；3）讨论该设计规范的合理性。
2模型假设1)将线光源看作是只有长度而没有“直径”的发光体，从而可将其理解成一组点光源的集合。
2)均匀分布的线光源的发光强度在每一点恒定，线光源的功率与其长度成正比。
3)光线射到测试屏上的途径只考虑直射和一次反射两种。
4)光在传播过程中与介质的相互作用未改变光的物理特性。
3问题分析这是一个关于车灯线光源的优化设计问题。
根据题意，线光源通过直射和反射（一次反射）至测试屏，由于光的物理特性和车灯结构使得屏上的光照强度因位置的不同而不同。
根据实际需要，车灯前方较亮的区域只需集中于某一适当范围内。
问题要求车灯设计既能满足实际需要，又不会浪费能源（功率最小）。
我们采用光照强度的概念，根据物理学知识可知：被照射物体的亮度依赖于它与光源之间的距离和光线的投射角度。
光线强度 I 只与光源的亮度 P 和光源与被照射点的距离r 有关，即I P 2 ，但车灯的r照明效果是通过照在物体上的实际效果来衡量，这个代表实际效果的量即光照强度 C，光照强度 C 还与光线的投射角度有关，如图所示，P 为光源的光亮度， r 为光源到被照射点x 的距离，θ为光线的投射角度 ,则光照强度C( x)P sin r 2.图 1. 光照强度求解示意4模型的建立与求解4.1 建模初探：光亮度可以通过照射到的光线的疏密来简单表示。
车灯线光源的优化设计数学建模
高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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§3车灯优化数学模型
§3 车灯线光源的优化设计数学建模问题：安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向前方，其开口半径为36毫米，深度为21.6 毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下，确定光源的长度。
该设计规范在简化后描述为：在焦点F 的正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用于测试车灯的反射光。
在屏上A 点处引出一条与地面平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使得AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为一个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只需考虑一次反射）。
请解决如下问题：（1）在满足该设计规范的前提下，计算线光源的长度，使得线光源的功率最小 （2）对得到的线光源，在有标尺的坐标系中，划出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性提示：在点P 处的单位能量的点光源经过Q 点反射到C 点的能量密2__________)(4cos QC PQ L +=πβ， 其中角为反射向量与垂直于测试屏所在平面的直线的夹角。
模型假设和简化：（1）假设线光源是透明的，即对反射过来的光没有阻挡；（2）假设只考虑一次反射。
（3）不考虑光源本身对于测试板的直接照射。
（4）设一个单位功率的点光源对B 、C 两点的照射强度为, 总照射强度为 )()l h c 和(l h B )()(l wh l wh c B 和 模型的建立：由题意分析 ，所建立的模型应当为优化模型。
故需要建立目标变量的表达式。
目标为光线的照射强度，它应当由线光源上每个点光源发出的光线经反射后，到达B 、C 两点的强度的迭加。
因此首先要计算线光源上任意一单位能量源光源发出的光线到达B 、C 两点的照射强度。
为了利用有关数值，统一表达各种数量关系，需要建立空间直角坐标系。
如图所示。
一 有关数据的计算：（1）有关数据：在建立的坐标系中，车灯反射面的方程为：6022y x z +=，焦点的坐标为(0,0,15); 点C 的坐标为（0,2600,25015）(2) 任取线光源上的一点p(0,w,15),首先应求出反射点的坐标。
车灯线光源的优化设计模型
把测试屏上的 Ｂ （ ｃ 或 ）点与抛 物面上 的 各个离散点直接相连 。得 到直线 方程 ，与线光 源线段去交 ，（ 方法 同上）
若有交点，则认为线光源上有一份光线对
Ｂ（ ｃ 或 ）点的光强有贡献。 若无 ， 检测抛物面上的下一点 ，重复上述 步骤．直到遍历完抛物线上所有点。（ 记录个数
率Ｐ 恒定 ，电阻 Ｒ＝ ｌ ｐ Ｓ也恒 定。在此不考 虑 ／
热效 应 。
（ 假设 ４ 由 Ｐ＝ Ｒ ） Ｕ ／ ，推出 Ｐ＝ （ ｌ Ｕ／ ｐ ， ／ Ｓ ）即 ：Ｐ １＝Ｕ Ｓ ｐ由上 １ ，３ ／ ，２ ，可 设 Ｕ Ｓ ｐ ２／ 为常量 Ｃ ，即：Ｐ Ｉ＝Ｃ 。故要 使功 率尽 可能 的 小 ，线光源得尽可能 的大 ，且 要满足在测试屏 上 Ｂ和 Ｃ点的光强 比要求 。
由计算原理 中的公式 （ ） １ ，可求 出反射光 的测 试屏 相 交 ，可 得 交 点 坐 标 。 同 时 ，用 双 重 线 ，该反射光线方程与线光源所在的直线去交。 取值范 围就是 线光源 的长度．若有 交 循环 ，遍历线光源上和抛 物面上的所有点 ，记 并且 ，Ｙ
该抛物面上点的法向量。由反射光线与 ２ 米处 ５ 或 ）处 的光强有贡献 。 录测试屏上通过 Ｂ ，ｃ点 （ 在误差 范围 内，也 点 ，则认为光线对 Ｂ （ ｃ 遍历抛物面上的所 有离散点 ，记 录下这些对 Ｂ 可以是 Ｂ ，ｃ附近的点）处光线的数量 Ｎ 。 或 记 第二步计算直射光强度 为使直射光线 与反 （ ｃ）有贡献 的光线 的个 数。 （ 录个数 Ｎ 射光线含相同的光强量 （ 也就是跟反射 的光线 统一单位 ，只有这样才能考虑叠加效果 ） ，只要 把直射的光强也按反射光线 同样的离散 度转化 为光线 ，这样就能统一单位 了。而反射光线 是 根据抛物面 的离散程度来转化 的，所 以直 射光 线也需要经过抛物面来转化 。转化方法如下 ： 把测试屏上的 Ｂ （ ｃ 或 ）点与抛物 面上的 各个离散点相连 ，得直线方程 ，与线 光源线段 去交 ，若有交点 ，则认 为线光源上有一 份光线 对 Ｂ（ ｃ 或 ）点的光强有 贡献。若无 ，检测抛 物面上的下一点 ，重复上述步骤．直到遍历完 抛物线上所有点 （ 记录个数 Ｍ （ 直射 ） 。 ） （ 反射 ） ） （ ）考虑直射效果 ２ 只要把直射的光强也按反 射光线同样 的离 散度转化 为光线 ，这样就能统一单 位了。而反 射光线是根据抛物面的离散程度 来转化 的，所 以直射光线也需要经过抛物面来转化。
车灯设计数学建模实例
然后代入
x 0 z 0
得到交点坐标为 （0，y0+c，0）
，推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
将开口半径及深度等数据代入（1）式，得出焦 距 c/2=15mm=0.015（m） 然后代入,y=0.015,推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
建立模型
（1）计算线光源长度 首先说明一点：以下我们将对B点进行分析，对于C点， 所用方法及运算过程完全类似。
而此时线光源所消耗的功率 p=kL
④ 求反射光的强度 为了便于分析，我们将 图一抽象出来，并旋转一 定角度后得右图。 D—线光源上任一点 N—对应于D点的反射点 G—法线与中轴线的交点
对于线光源上的任意一点D（设坐标为 （t，0.015，0）），假设从它发出的光 线经旋转抛物面上的点N反射后，可以射 到B点上。下面利用向量来推导旋转抛物 面上满足此条件的所有反射点N的坐标。
可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的 点光源在B点所对应的照度值不同。但注意到 所有的差别太小，因此在实际计算中，我们对 作近似处理，令它为一个常数：
r 252 1.32 =25.034(米)
于是得出此线光源的直射光在B点辐射出的总照度为
kL kL E直 cos cos 2 S 4 r
2）点G、B、N、D四点共面，所以：
BN DN GN 0
x 1.3 x x t y 25.015 z c y 0.015
z 0 z
（4）
3）点N在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：
x z 2cy
2 2
（5）
联立方程（3）、（4）、（5），即可求解出与线光 源上一点D对应的所有的反射点N。
车灯线光源的优化设计(第三组)
车前灯线光源的优化设计摘要汽车的车前灯是汽车的重要组成部分，它的照明亮度直接影响司机夜间行车的安全，工业上对车前灯的设计要求很是严格。
题目给出了一汽车前照灯的数据和与照明度相关的要求，我们根据这些要求，运用微积分的思想（更具体的描述。
）建立数学模型，求解出满足光亮条件的线光源的长度。
在求解线光源长度的模型建立中，我们运用微积分的思想建立模型的模型很理想化，但是实际计算起来很困难，于是我们在不是很影响结果的情况下，运用离散化数值积分法对模型进行了优化，把求所有点简化成了求部分重要点，最后降低了计算量，求得了结果。
（注意摘要在整体上的一致性。
第二段是否可去掉，或者在第三段中加入适当内容即可，或者第二段是否可以放到第一段中？）该问题针对车前灯线光源的优化设计提出了两个问题。
首先，针对第一问提出的“在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使得线光源的功率最小”问题，我们基于微积分的思想，建立了数学模型，并用离散化数值积分法对模型进行了优化求解，得到最优线光源长度为5.00mm。
再来第二问要求“针对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区”一问，我们用Matlab软件带入数据画图，很容易的得到了反射屏上的亮区图。
随后第三问要求“讨论该设计规范的合理性”，我们参考计算所得数据和工业设计上对车前灯的规格要求，考虑到灯的边照和直射产生的眩光，对此题目的设计规范进行了合理的评价。
满足条件的车前灯线光源最优长度为5.00mm，从得到的亮区图来看，符合实际生活，证明我们所建立的模型是合理的。
只是建立在微积分思想上的原有模型计算起来很困难，我们不得不对模型进行了优化。
虽然结果较原有模型误差变大啦，但离散化的数值积分方法应用范围很大，改进过的模型更具有实用性。
关键词汽车前照灯；微积分思想；光迹追踪法；线光源；离散化数值积分法一、问题重述1.1问题背景在汽车工业中需要对汽车头部的车灯进行设计和测试。
由于汽车前照灯的照明效果对夜间行车安全影响很大，因而对前照灯的光学性能提出了严格的标准。
车灯线光源的优化设计
车灯线光源的优化设计1、问题重述问题背景：科学是第一生产力，设计经济适用的车灯需要融合光学、物理学等多方面的知识，基于节约能源和设计材料的原则，需要对车灯的线光源的长度进行优化设计。
具体方案如下：①明确车灯的构造考虑到安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
②根据设计要求解决具体问题该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
提出问题：请解决下列问题：(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
(3)讨论该设计规范的合理性。
2、问题分析题目中已给出了车灯的形状为抛物面，大小半径36毫米、深度21.6毫米，因此我们可以把车灯假设为三维空间坐标系中的几何图形进行分析，由以上给出的条件可以求出焦点在抛物面中的坐标位置，测试屏幕以及点A、B、C的坐标位置，据此可以对以下问题进行研究。
对于问题一，在焦点处放置一水平方向且与抛物面对称轴垂直的线光源，要求使得其满足C点的光强度不小于一个单位，B点的光强度不小于额定值的两倍。
我们可以把光强度转化为反射光线数目，反射光线数目的多少就代表光强度的大小，反射到某一点的光线数目越多该点的光强度越大，B点的光强度为C点的两倍就相当于焦点处线光源照射到抛物面上一次反射到B点的光线数目是C点的两倍，在满足该条件的情况下，使线光源的功率最小，由发光功率公式得知线光源上的光分布均匀时，线光源的长度越短功率越小。
车灯线光源的优化设计模型
车灯线光源的优化设计模型柯文锋、欧杰泉、赖金花[摘要]:本文应用光学知识与空间解析几何知识，对提出的车灯线光源的优化设计问题进行了分析，把空间立体问题转变成平面问题，找到了照到B点和C点抛物面光区区域，对抛物面上按照照到B点和C点的可能性划分成了4个区域,并给出了B、C点的光照度函数，建立了线光源功率问题的非线性规划模型和离散分析模型。
应用数学软件Maple编程进行近似求解得出了线光源长度，分别为3.316mm和3.5mm.并对此线光源长度在有标度的测试屏上画出了近似于椭圆的亮区区域。
关键词:光功率; 线光源; 光照度1 问题的提出汽车的车灯为一旋转抛物面，现以抛物面的焦点F为中心对称地放置一与抛物面的对称轴垂直的水平线光源，线光源发出的光线通过抛物面反射到距焦点正前方25m远的一个屏幕上.通过屏幕与抛物面对称轴的交点A点作一与水平面平行的直线,并在A的同侧取点B.C,要求AC=2AB,且C点的光强度不小于某一额定值,B点的光强度不小于该额定值的两倍.在满足设计规范的情况下请设计线光源长度,使线光源的功率最小,得到线光源长度后,在有坐标尺的坐标系中画出屏幕上的亮区.并讨论该设计规范的合理性.2 模型的假设1抛物面为白体,即光射向抛物面时,它不会吸收光,全部反射到屏幕上.2 光在空气中的传播没有损失.3 射到屏幕上的光只考虑经过抛物面一次反射而得.3 符号的约定dt-----线光源上的点微元;dσ-----抛物面的线微元;ds-----屏幕上的面微元;h------ 线光源长度的一半;b-----AC的长度, b=2a, b=2.6m;a-----AB的长度;a=1.3m;R-----抛物面开口半径,R=36mm;d-----抛物面深度,d=21.6mm;ξ-----单位长度线光源在单位平面角内发出的光流常数;E-----线光源在B点的光照度(相当题目中的光强度概念);BE-----线光源在C点的光照度;CP-----线光源的光功率;K-----线光源的光学特性;4 问题的分析本题是一个非线性规划问题,现要确定线光源长度,使其功率最小.由于单位长度线光源在单位平面角内发出的光流常数(由立体角的类似意义)与功率正比,所以此问题的目标函数由光流数决定,而这又与线光源的长度成正比,所以最终要解决的问题就是对线光源长度的优化.5 模型的建立与求解以旋转抛物面(如图1)的顶点为原点,建立三维直角坐标系o-xyz,设旋转抛物面的方程为y2+z 2=2px(p>0)---------------------------------------------------------------- (1)焦点的坐标为F(2p,0,0). 把y=36,x=21.6,z=0代入上式解得:p=30,则F 的坐标为(15,0,0).即旋转抛物面的方程为y 2+z 2=60x,把旋转抛物面的方程式写成参数方程,则有:⎪⎩⎪⎨⎧===υμυμμsin 60cos 60602z y x-------------------------------------------- (2) 其中υμ,为参数.下面我们得出下面的一个重要结论：5.1 命题 线光源上任一点发出的光流经过与水平面成夹角)0(≠αα的旋转抛物面的切面(即一个抛物线)后不会反射到B,C 点.证明 如图2,设m(15,t,0)是线光源上任意一点, q (60)sin 60,cos 60,2υμυμμ是旋转抛物面的任意一点:图1 图2q m ,两点的直线的方向矢量为=={}υμυμμsin 60,cos 60,60152---t通过点q 的法矢量为}2,2,60{z y n -=则∃λ，使λb n a=+，且|λn a +|=|λa |即)(22n a n⋅||-=λ于是t )cos(26015411υμμμλ--++4=22则反射光线的方向矢量为: -=λn a-,即:⎩⎨⎧-+---+++---+,cos )cos(26015))cos(60)(41(41,21)cos(26015)6015)(41(4122222υμυμμυμμυμμμμtt t -15;sin )cos(26015sin )41(22υμυμμυμμ-+--+t则qB 的参数方程为:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+--+-+=-+---++=++---++=w t z w t t y w t x )sin )cos(26015sin )41(15(sin 60))cos()cos(26015)cos 60)(41((41cos 60)21)cos(26015)6015)(41(41(6022222222υμυμμυμμυμυμυμμυμμυμυμμμμμ 该方程经过B 点,即:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+--+-+=-+---++=++---++0)sin )cos(26015sin )41(15(sin 601300))cos()cos(26015)cos 60)(41((41cos 6025015)21)cos(26015)6015)(41(41(6022222222w t w t t w t υμυμμυμμυμυμυμμυμμυμυμμμμμ-------------------- (3)解得:πυυ==或0.当πυυ==或0时有z=600sin =υμ,也就是说线光源的光线经旋转抛物面反射到B点时,任何情况下都有z=0,即n 点只在抛物面(y x z 6022=+)的一个抛物线(y 2=60x)上,同理可证得线光源的光线只有经y 2=60x 的抛物线反射后才会经过C 点, 至此,命题得证.这样要求线光源发出的光线经旋转抛物面某一点反射到B ,C 点的问题就转化为求线光源发出的光线经水平抛物线的某一点反射后照到B,C 点的问题.那么空间中立体的问题就转化为平面图上的问题. 5.2 非线性规划数学模型下面建立线光源一点m 经抛物面上点q 反射到达B 点时，t 、y 的关系:在抛物线y 2=60x(如图3)上一点q ),,60(2y y 在线光源上取点m(15,t) 易得:t ],[h h -∈ 030≤≤h设mq 两点的距离为γ,则有2γ=222)()1560(t y y -+-矢量mq =⎭⎬⎫⎩⎨⎧--t y y ,15602 则的单位向量||mq i = =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--γt y y ,15602={}σσsin ,cos|qF|2222)1560(y y +-=, |mF|22t =. 由余弦定理,得t γ2||222-+=qF r θcos ||qF即cos 22222222222222)1560()()1560(2)()1560(2||2||y yt y y t y t y y qF t qF +--+--+-+-=-+=γγθ (4)由反射定律知∠DqB=θ,且602501513002yytg --=θ …………………………………………………………….. (5) 由(4)(5)两式连解得:cos θ=θθ211sec 1tg +=即θθ2211cos tg +=于是，可化简为1602501513001])1560][()()1560[(4])()1560(2[2222222222222+--=+--+--+-+-y yy yt y y t y t y y ………… (6)由(6)解得t 关于y 的函数: t=)(y B δ=6000y y y y y y y +++-----136081000014982004680000))0166666666.015)(150001170013(4222 (-3636≤≤y ) (7)同理对C 得到t 关于y 的函数: t=12000)(=y C δy y y y y y y +++-----136081000014982009360000))0166666666.015)(750001170013(4222(-3636≤≤y ) (8)对(7)进行函数分析,我们可由()30,30-∈t 范围内, 分别作出由点m 发出的光线经抛物线上一点q 反射到达B 点的光路图（如图4），而这个划分依据是由y 的值来划分，即以下四个区域：A 区域：]36,30(∈yB 区域：)30,0[∈yC 区域：]0,30(-∈yD 区域：)30,36[--∈y各个区域的光路图如图4A 区域B 区域C 区域D 区域而对于CB 点与C 点各个区域的（y-t ）函数的曲线合成为如图5:(a) B 点的（y-t ）函数的曲线图 (b) C 点的（y-t ）函数的曲线图图5对式(5)进行分析,并结合图5(a)中B 点的(y-t)函数的曲线图,得出当y=0时, t= -0.7795322806; 当y=27.2时,t= -29.59927288.线光源]7795322806.0,59927288.29[--∈t 在范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)27,0(∈反射后到达B 点.当y=36时,t=8.045235675; 当y=30时,t=30线光源]30,045235675.8[∈t 在范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)27,0(∈反射后到达B 点.当y=-36时,t=15.31443969; 当y=-33.62时,t=29.8713133线光源在t ∈(15.31443969,29.87813133)范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)62.33,36(--∈反射后到达B 点.当y=-30时,t=-30; 当y= 0时,t=0.7795322806线光源在t ∈(-30, 0.7795322806)范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)0,30(-∈反射后到达B 点.图6 图7由上述分析：故在m 点处取微元dt,由系数ξ的意义,dt 向全平面(平面角为π2)发射的光量为dt ξ.设B 处对应的微元为ds,由于ds 的法线与qB 线的夹角为θ.求解微元ds,d σ,dt 的关系(如图6):己知抛物线方程为:y 0602=-x 则:n=[-60,2y]=2[-30,y] 单位法向量: n =]sin ,[cos 30],30[22ββ=+-yy则ds,d σ的关系:dscos )cos(θβσθ+=d (以qB 为轴线))cos(cos θβθσ+=ds d 于是由图7可得出dt 与d σ的关系:dtcos )cos(θβσδ+=d对m 点处的微元所接受光照度的为:dt ds dtd )cos(cos )cos()cos(βθθγθβξσγθβξ++=+=γθξ)cos(dt (9)因为线光源发出的光流到达抛物线的某一点的距离,比该点到B 点的距离小很多,为了简化计算,式中的r 为该点到B 点的距离, q,B 两点的距离.42299820093600000002258784810601y y y qB B +--==γ qC 两点的距离C γ=qC =601y y y 187200002998200000227703681042-+-φ)|cos )()(B y t B B r dy y d y (=B =ψθδ ………………………………… (10)φ)|cos )()(C y t CC C r dy y d y (==ψθδ ….………….………………… (11)线光源]7795322806.0,59927288.29[--∈t 在范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)27,0(∈反射后到达B 点.]7795322806.0,59927288.29[--∈t 范围内对B 的光照度E B 的贡献为=1B E ⎰1By φξ(B y )dy.线光源]30,045235675.8[∈t 在范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)27,0(∈反射后到达B 点. ]30,045235675.8[∈t 范围内对B 的光照度E B 的贡献为=2B E =2B E ⎰(By 336φξB y )dy.线光源在t ∈(15.31443969,29.87813133)范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)62.33,36(--∈反射后到达B 点. t 在(15.3,29.87)范围内对B 点的贡献:E ⎰-=By B B dy y 4363)(φξ.线光源在t ∈(-30, 0.7795322806)范围内发生的光源经抛物线2y =60x 上y 范围内)0,30(-∈反射后到达B 点.t 在(15.3,29.87)范围内对B 点的贡献:E ⎰=044)(By B B dy y φξ.以上四个区域对B 的光照度:B 的光照度等于所有线光源发出光流经抛物反射后到B 点光照度之和:=B E 1B E +2B E +3E +4E ……………………………………………… (12)由(7)进行分析可知线光源发出的光流经过抛物线y x 602=反射能够照到C 点,y 的取值范围为(0,24.8),(30,36),(-30,0),(-36,-35),线光源发出的光线通过以上各个范围的抛物线反射后对C 点的光照度贡献分别为:E ⎰(=011)cy c C dy y φξ E ⎰(=cy c C dy y 3362)φξ E ⎰-(=cy c C dy y 4363)φξE ⎰(=044)c y c C dy y φξE 4321c c c c c E E E E +++= ……………………………………… (13)其中y1B,y2B,y3B,y4B 都等于4(y B )分别在(0,27.2),(30,36),(-30,0),(-36,-33.65)范围中求出：y1c,y2c,y3c,y4c 都等于)(C y φ分别在(0,24.8)，(30,36)，(-30,0)，(-36，-35)范围中求得辐射通量d φ是单位时间辐射体发生的在某一范围内的辐射能流,光通量dF 是它在同样单位时间内发出可见光的能量流,两都有是光功率的单位量纲.现把问题1中”线光源的功率”理解为光源消耗的电功率P,显然,h P ∝由于与反映线光源发射光的能力.而电能只有一部分用于发光,因此P 与ξ一般不成线性关系.根据物理学上关于物体外表面辐射能力的公式R=4T e σ其中e 为发射率,σ是普适常数,T 为温度.如认为,T P ∝则41414,,ξξξ∝∝∝w T T ,于是可以合理地构造线光源功率:P=h 2αξ (α为一个小1的常数) (14)建立非线性连续数学模型(I ):min h 2αξE 2≥BE 1≥C10<<α 300≤≤h用数学软件Maple 编程运算，解得h=1.658mm. 5.3 离散分析模型(II)min h k P 2⋅=st. ⎪⎩⎪⎨⎧≥3002 h E E C B模型说明：1.系数说明:k 为一常数与灯光（线光源）的性能有关.而在这里，我们只须求满足条件时功率最小的线光源长度的最小值.2.目标函数说明:功率为灯光的性能k 与长度h 2的乘积.3.条件说明:B E 为线光源经过一次反射照到B 点的光照度.C E 为线光源经过一次反射照到C 点的光照度.CBE E 是B,C 点的光照度的比例，由题目条件知，其值必须大于等于2. 模型的解说：由于对于同性能的灯管（线光源），它们之间的功率大小的比例只与长度有光，也就是说灯管的长度越小，其功率也就越小.它们的关系可理解为：h P 2∝(正比关系).而上离散分析模型的决策变量为h （半个线光源长度），功率又与h 成正比，而k 为一定常数，则原型其实是求在滿足2≥CBE E 的条件下的线光源的最小长度.B 的光照度为E 21cos r r rl cl B +==θ θcos 可以从连续积分模型的分析过程中找到，即： cos 22222222222)1560()()1560(2)()1560(2y y t y y t y t y y +--+--+-+-=θ它是关于（y,t ）的函数，而t 可以用y 来表示，而我们较难解出用t 来表示y 的函数,从中消去y,但我们可以巧妙地从t 这里着手.t )..(h h -∈,即t 是指线光源上某一点m 的纵坐标值，则我们取一个t 的变化步长t s ,当t s 很小时，我们可以把线光源上的某一段[t,t+ t s ]看为一个点光源，然后就对点光源进行单独的分析，得出对于此点光源分别对于B ，C 点的亮度贡献（光照度）E B 与E C .然后,把计算后的各个点光源对B 、C 的光亮贡献（即B ，C 点的光照度E B ，E C ），之后，我们把各个E B ，E C 量加起来得出线光源对B ，C 点总的光亮贡献（),∑∑C B E E ，则当C E E CB ≥∑∑时,则此时线光源长度h 即为最小长度,至此模型的结果,即可求出.最小长度min h 为1.75mm,即线光源的最小长度l=2h=3.5m.求运算过程,我们得出了相应h 下的B 、C 相应的光照度及它们之比.此离散分析模型的求解过程中把线光源看成是很多个点的累加起来的总光源.在这里,我们人为地离散地把光源分成一段段等长的光源段,而由于此时各光源段的长度很小,所以可以看成是一个个的点光源.这里忽略了各光源段的长度,故会产生了一定的误差.当步长不同时,得出相应的最小长度的值也不同.但是可以确信地是步长越小,得出的值就越接近准值. 6 反射光线的亮区描绘利用3式和离散化方法，对t,u 设定一系列的离散值，然后由(3)的第一式解出ϖ，以使象点落在屏上，则由(3)的2、3式可得到反、抛物面上的面圆周在屏上的象曲线，从而得出下图:7 设计规范的合理性评价该设计规范中主要有以下几个规划:(1) 焦点到测试屏的距离为25米(2) 线光源过F 与FA 垂直并水平放置(3) AC=2AB=2.6米并且A,B,C 在同一直线上(4) I C B C I I a 2,≥≥此设计规范可由以下几点说明其是十分合理的1 从司机开车的安全性来分析司机开车注意力必须高度集中，不能够左顾右盼，因此司机必须时刻注意前方路段的路面情况，以免发生意外.题目中在距旋转抛物面正前方25米的A 点放置一测试屏，由已知可设在B 、C 恰好有两个障碍物.车是向正前方行驶的,从安全角度出发,汽车必须绕开B 点的障碍物,因此题目中要求B 点的光强度大于C 点的光强度,这是合理的.即I C B I 2≥,这有助于提高司机对障外物的敏感度,大大提高行车的安全.2 从测试屏上的亮区形状来分析,前灯要求的照明效果来说,其亮度示意图为一主轴与水平平行的由内到外变淡的椭圆,所以,光源为线状过F 点与FA 垂直.3 从汽车发动机的节能性来分析汽车车灯的功率有两个去处,一是发光,二是转化为热能.模型中把空间中旋转抛物面的反射问题转化为平面xoy 上的抛物线反射问题.此时线光源与抛物线共面,线光源发出的光通过抛物线一次反射就可以照到B 点或C 点.如果是空间中的旋转抛物面,则光线经过抛物面反射后(可能是多次反射),不一定能照到B 点或C 点.与预期目标不符,且又浪费能源,所以从节能角度考虑,这也是合理的.参考文献:[1] 母国光.光学[M].人民教育出版社.1979.3[2] 吕林根.解析几何[M].高等教育出版社.2000.1[3] 李世奇.Maple 计算机代数系统应用及程序设计[M].重庆大学出版社.1999.5[4] 裘玉平.汽车电气设备[M].人民交通出版社.2001.8。
车灯线光源的优化设计模型
车灯线光源的优化设计模型一.假设和简化a反射点的切平面P反射向量与z轴的夹角W。
•线光源的功率其它符号均沿用题目所示二.模型的建立建立坐标系如下图，记线光源长度为I ，功率为w。
，B，C点的光强度分别为I B和I c，建立整个问题的数学模型。
2 2以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z= X +yI、模型分析位于点Q(0,t,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量2 2设反射点的坐标为p(x,y,x +y )。
记入射向量为a ，该点反射面外法线方向60为b ，可以得到反射向量c = |-x,2600-y,25015-匚 满足与向量V 60丿呻4呻 2a 4 4 a -呻 2 bb共线. 记r 22 ，由 ■a =(x,y -t. 2 j), 60 斗 x yb =(——,——，一1)30 30 从而得礬b 的表达式 C x^』^川III 川III 川III 川川川lil(i) 5 r +90022t(2y — r — 900)C y= ----------- HIIIhllHIHIIH (2) 2 r+900 r 4 + i800r2 — 360ay -810000”(⑶ 由反射向量c 满足与向量a b 2 + 900) b 共线，应有kc x —xHII 川川 1111卅I 川(4) kC y =2 600yil|| 川川 II (5) 2 kC z =2 50 1~560川川川 (6)其中k 为常数。
从上述 ⑴、(4)式可解得x=0或k = 2口00.由鱼得反 2ty(3)射点坐标满足以下两组方程：X = 0 y 5 -(t +2600)y 4+1800y ' +(1498200t -4680000) y 2 + (9360000t + 810000)y 川川(7) —1350810000t —2106000000 =0. 3750t y = ----------13(t一2600) 川I 川III 川川川川I 川I 川I 川川川山川I 川川II 川川川川II 川(8) X =±j5200y -900-y 2计算上面式子可知，存在t o汀-1.56,当t 〉tc时方程组(7)不存在满2 2足r 乞36的实根，即无反射点。
车灯线光源的优化设计——_02高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题参考答案02A0
车灯线光源的优化设计——_02高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题参考答案02A0问题1:车灯线光源的计算安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。
请解决下列问题:(1) 计算直射光总功率与反射光总功率之比。
(2) 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。
(3) 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形(只须考虑一次反射)。
解: 建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W，B,C点的光强度分别为W和h(l)BW，先求和的表达式，再建立整个问题的数学模型. h(l)h(l)h(l)CCB22x，y以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z,，焦点坐标为60(0,0,15)。
1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量22,,x，ya(,,)b设反射点的坐标为Qxy.记入射向量为,该点反射面外法线方向为,不难得60,c到反射向量满足 ,,,z ,,2a,b c,a,b.,2A C B bc 222记,由r,x，y,2ra,(x,y,w,,15),60 ,b,(x/30,y/30,,1)P ,a c,(c,c,c)从而得的表达式 xyzy 0 Q 2xywc,x2r，900b x 22w(2y,r,900)c, y2r，90042r，1800r,3600wy，810000c,z260(r，900)注意到反射光通过C点,应有kc,,x,xkc,2600,y,y2kc,25015,r/60z2r900，kx,0其中为常数. 从上述第一式可解得或.由此得反射点坐标满足以下两k,,2wy组方程:x,0,5432,y,(w，2600)y，1800y，(1498200w,4680000)y，(9360000w，810000)y,,,1350810000w,2106000000,0.,3750w,y,,13(w2600),,2,x,,5200y,900,y,22CC 通过计算可知,存在,当时第一组方程不存在满足的实根,r,36w,,1.56w,w00C2即无反射点. 而当时,有两个反射点. w,wQ(0,y,y/60),i,1,20iii22,3.8119,w,,1.5609 而第二组方程仅当时存在满足r,36的一对实根,即有两22x，y(,,),个反射点记为. ,xyQ,Q3460若反射点的坐标为,则位于点的单位功率点光源经点反射到CQ(x,y,z)P(0,w,15)Q点的功率密度(单位面积单位时间的能量, 正比于光强度)近似为,cos L,24,PQ其中2222PQ,x，(y,w)，(r/60,15) 而为反射向量与z轴的夹角, ,2,r25015/60, cos,.QCh(l),h(l)2)的表达式 BCldw 长的具有单位功率的线光源位于点的长的微小线光源段反射到C点P(0,w,15)的功率密度为4E(w),f(w)/l,,ii,1其中,cos,Ci,w,[,l/2,w]00,2,f(w),,i,1,2,4PQiiC,0,w,[,30,w]0,,cos,i,w,[,3.8119,,1.5609],2fwi(),,,3,4,i4,PQi,0,,[,3.8119,,1.5609]w, l 长的具有单位功率的线光源反射到C点的功率密度为l/2h(l),E(w)dw.C,l/2,类似可得的表达式.相应的反射点方程为 h(l)Bx,0,5432,y(w1300)y1800y(1498200w2340000)y(4680000w810000)y,，，，,，，,,,1350810000w,1053000000,0.,7500w,y,,13(w1300),,2,x,,2600y,900,y,B相应的而第二组方程的有两个反射点的范围为w,[,1.906,,0.7800005].w,,0.78,03) 优化设计的数学模型设线光源的功率为W, 则它反射到B点和C点的功率密度分别为和.h(l),Wh(l),WminWCB,ll问题的数学模型为:,s.t.h(l)W20,,B0,,,h(l)W1C,,三. 模型的求解h(l),h(l)可以用数值积分求得. 应具备下列性质: h(l)BCBB,0,0ll2w,,,B0,'h(l),lll,,,, ,BBB',,lll,,,B0,'lh(l)l其中为起亮值，为最大值点，为考察的最大范围，例如取为20mm。
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5.2非线性规划数学模型
下面建立线光源一点m经抛物面上点q反射到达B点时，t、y的关系:
在抛物线y =60x(如图3)上一点q 在线光源上取点m(15,t)
线光源 在范围内发生的光源经抛物线 =60x上y 反射后到达B点.
当y=36时,t=8.045235675;当y=30时,t=30
线光源 在范围内发生的光源经抛物线 =60x上y 反射后到达B点.
当y=-36时,t=15.31443969;当y=-33.62时,t=29.8713133
线光源在t (15.31443969,29.87813133)范围内发生的光源经抛物线 =60x上y 反射后到达B点.
图1图2
两点的直线的方向矢量为 = =
通过点 的法矢量为
则 ，使 ，且| |=| |
即
于是
则反射光线 的方向矢量为: ,即:
-15
则 的参数方程为:
该方程经过B点,即:
-------------------- (3)
解得: .
当 时有z=60 ,也就是说线光源的光线经旋转抛物面反射到B点时,任何情况下都有z=0,即n点只在抛物面(y )的一个抛物线(y =60x)上,同理可证得线光源的光线只有经y =60x的抛物线反射后才会经过C点,至此,命题得证.
a-----AB的长度;a=1.3m;
R-----抛物面开口半径,R=36mm;
d-----抛物面深度,d=21.6mm;
-----单位长度线光源在单位平面角内发出的光流常数;
-----线光源在B点的光照度(相当题目中的光强度概念);
-----线光源在C点的光照度;
P-----线光源的光功率;
K-----线光源的光学特性;
易得:
t 0
设mq两点的距离为 ,则有
=
矢量 =
则 的单位向量 = =
|qF| ,|mF| .
由余弦定理,得
t
即
cos ……… (4)
由反射定律知∠DqB= ,
且 …………………………………………………………….. (5)
由(4)(5)两式连解得:
cos =
即
于是，可化简为
………………..(6)
由(6)解得t关于y的函数:
关键词:光功率;线光源;光照度
1问题的提出
汽车的车灯为一旋转抛物面，现以抛物面的焦点F为中心对称地放置一与抛物面的对称轴垂直的水平线光源，线光源发出的光线通过抛物面反射到距焦点正前方25m远的一个屏幕上.通过屏幕与抛物面对称轴的交点A点作一与水平面平行的直线,并在A的同侧取点B.C,要求AC=2AB,且C点的光强度不小于某一额定值,B点的光强度不小于该额定值的两倍.在满足设计规范的情况下请设计线光源长度,使线光源的功率最小,得到线光源长度后,在有坐标尺的坐标系中画出屏幕上的亮区.并讨论该设计规范的合理性.
t= =6000 (-36 ) ………... (7)
同理对C得到t关于y的函数:
t= (-36 ) …… (8)
对(7)进行函数分析,我们可由 范围内,分别作出由点m发出的光线经抛物线上一点q反射到达B点的光路图（如图4），而这个划分依据是由y的值来划分，即以下四个区域：
A区域： B区域： C区域： D区域：
车灯线光源的优化设计模型
柯文锋、欧杰泉、赖金花
[摘要]:本文应用光学知识与空间解析几何知识，对提出的车灯线光源的优化设计问题进行了分析，把空间立体问题转变成平面问题，找到了照到B点和C点抛物面光区区域，对抛物面上按照照到B点和C点的可能性划分成了4个区域,并给出了B、C点的光照度函数，建立了线光源功率问题的非线性规划模型和离散分析模型。应用数学软件Maple编程进行近似求解得出了线光源长度，分别为3.316mm和3.5mm.并对此线光源长度在有标度的测试屏上画出了近似于椭圆的亮区区域。
当y=-30时,t=-30;当y= 0时,t=0.7795322806
2模型的假设
抛物面为白体,即光射向抛物面时,它不会吸收光,全部反射到屏幕上.
2光在空气中的传播没有损失.
3射到屏幕上的光只考虑经过抛物面一次反射而得.
3符号的约定
dt-----线光源上的点微元;
d -----抛物面的线微元;
ds-----屏幕上的面微元;
h------线光源长度的一半;
b-----AC的长度, b=2a, b=2.6m;
-------------------------------------------- (2)
其中 为参数.
下面我们得出下面的一个重要结论：
5.1 命题线光源上任一点发出的光流经过与水平面成夹角 的旋转抛物面的切面(即一个抛物线)后不会反射到B,C点.
证明如图2,设m(15,t,0)是线光源上任意一点, q(60 是旋转抛物面的任意一点:
各个区域的光路图如图4
A区域
B区域
图4
C区域
D区域
而对于C点，光路图是一样，故不再作图，但是B点与C点各个区域的（y-t）函数的曲线合成为如图5:
(a) B点的（y-t）函数的曲线图(b) C点的（y-t）函数的曲线图
图5
对式(5)进行分析,并结合图5(a)中B点的(y-t)函数的曲线图,得出
当y=0时, t= -0.7795322806;当y=27Байду номын сангаас2时,t= -29.59927288.
4问题的分析
本题是一个非线性规划问题,现要确定线光源长度,使其功率最小.由于单位长度线光源在单位平面角内发出的光流常数(由立体角的类似意义)与功率正比,所以此问题的目标函数由光流数决定,而这又与线光源的长度成正比,所以最终要解决的问题就是对线光源长度的优化.
5模型的建立与求解
以旋转抛物面(如图1)的顶点为原点,建立三维直角坐标系o-xyz,设旋转抛物面的方程为
y +z =2px(p>0)---------------------------------------------------------------- (1)
焦点的坐标为F( ,0,0).
把y=36,x=21.6,z=0代入上式解得:p=30,则F的坐标为(15,0,0).
即旋转抛物面的方程为y +z =60x,把旋转抛物面的方程式写成参数方程,则有: