数学归纳法原理
数学归纳法证明的原理
数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的是与自然数有关的命题，它的依据是皮亚诺提出的自然数的序数理论，就是通常所说的自然数的皮亚诺公理，内容是：（１）ｌ是自然数。
（２）每个自然数ａ有一个确定的“直接后继”数ａ’，ａ也是自然数。
（２）ａ’≠１，即１不是任何自然数的“直接后继”数。
（４）由ａ’＝ｂ’，推得ａ＝ｂ，即每个自然数只能是另外的唯一自然的“直接后继”数。
（５）任一自然数的集合，如果包含１，并且假设包含ａ，也一定包含ａ的“直接后继”数ａ’，则这个集合包含所有的自然数。
皮亚诺公理中的（５）是数学归纳法的依据，又叫归纳公理数学归纳法的应用及举例。
因为由假设知４２ｋ＋１＋３ｋ＋２能被１３整除，１３４２ｋ＋１也能被１３整除，这就是说，当ｎ＝ｋ＋１时，ｆ（ｋ＋ｌ）能被１３整除。
根据（１）、（２），可知命题对任何ｎ∈Ｎ都成立。
下面按归纳步中归纳假设的形式向读者介绍数学归纳法的几种不同形式以及它们的应用。
（ｌ）简单归纳法。
即在归纳步中，归纳假设为“ｎ＝ｋ时待证命题成立”。
这是最常用的一种归纳法，称为简单归纳法，大家都比较熟悉，这里不再赘述。
（２）强归纳法。
这种数学归纳法，在归纳步中，其归纳假设为“ｎ≥ｋ时待证命题成立”。
我们称之为强归纳法，又叫串值归纳法。
通常，如果在证明ｐ（ｎ＋ｌ）成立时，不仅依赖于ｐ（ｎ）成立，而且还可能依赖于以前各步时，一般应选用强归纳法，下面举例说明其应用。
例有数目相等的'两堆棋子，两人轮流从任一堆里取几项棋子，但不能不取也不能同时从两堆里取，规定凡取得最后一项者胜。
求证后者必胜。
证：归纳元ｎ为每堆棋子的数目。
设甲为先取者，乙为后取者。
奠基ｎ＝ｌ，易证乙必胜。
归纳设Ｎｎ≤ｋ时，乙必胜。
现证ｎ＝ｋ＋ｌ时也是乙必胜。
设甲在某堆中先取ｒ颗，Ｏ＜ｒ≤ｋ。
乙的对策是在另一堆中也取ｒ颗。
有二种可能：（１）若ｒ＜ｋ，经过两人各取一次之后，两堆都只有ｋ－ｒ颗，ｋ－ｒ＜ｋ，现在又轮到甲先取，依归纳假设，乙必胜。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种重要的数学证明方法，通常用于证明关于自然数的命题。
借助数学归纳法，我们可以通过证明命题在第一个自然数上成立，并证明若命题在某个自然数上成立，则它在其后的自然数上也成立。
在本文中，我们将探讨数学归纳法的基本原理及其在数论和组合数学中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为以下三个步骤：1. 第一步（基础步骤）：首先证明命题在第一个自然数上成立。
这个步骤相对简单，通常可以直接验证或用简单的计算来证明。
2. 第二步（归纳假设）：假设命题在某个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。
这一步是数学归纳法的关键，也是证明的关键所在。
3. 第三步（归纳步骤）：基于归纳假设，证明命题在k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。
这个步骤通常需要用到归纳假设以及一些合适的数学推理方法，如代入法、化简法等。
通过以上三个步骤，我们可以建立起一个扎实的证明结构，将命题在所有自然数上的成立进行了推演和证明。
二、数学归纳法在数论中的应用数学归纳法在数论中有着广泛的应用，以下是数论中常见的数学归纳法应用场景：1. 等差数列的求和公式：我们可以利用数学归纳法证明等差数列的求和公式。
首先在第一个自然数上验证公式的成立，然后利用归纳假设证明公式在k+1上也成立。
这样我们就可以确信等差数列的求和公式在所有自然数上成立。
2. 数学归纳法证明整数幂的性质：我们可以利用数学归纳法证明整数幂的一些性质，如指数幂相乘、指数幂相除、指数幂的乘方等。
通过归纳假设和适当的数学推理，我们可以确保这些性质在所有自然数上成立。
三、数学归纳法在组合数学中的应用除了数论，数学归纳法在组合数学中也有着广泛的应用。
以下是组合数学中常见的数学归纳法应用场景：1. 证明集合的基本性质：我们可以利用数学归纳法证明集合的基本性质，如幂集的元素个数、集合的包含关系等。
通过基础步骤、归纳假设和归纳步骤，我们可以逐步证明集合的性质在所有情况下都成立。
1、数学归纳法
a a2 a3 1 + + ⋅⋅⋅ + n ) + 。 n n 2 3
2
ak a2 a3 1 • 假设当 n = k 时，命题成立，即 ak > 2( + + ⋅⋅⋅ + ) + ， k k 2 3 则 2ak 1 2 1 2 2 ak +1 = (ak + ) = ak + + k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 2 1 1 > 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k ) + + (ak +1 − )+ 2 3 k k k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 1 = 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k +1 ) + − 2 3 k + 1 k (k + 1) 2 ak +1 a2 a3 1 )+ > 2( + + ⋅⋅⋅ + k +1 k +1 2 3
，知 n = k + 1时（1）（2）成立。 ，
• 故（1）（2）对一切自然数都成立，因此命题成立。 ，
1 3 • 例 7 证明： ( )( ) 2 4
2n − 1 1 ( )≤ 。 2n 3n
• 分析：用数学归纳法直接证明原不等式，当 n = k + 1时，即证 1 3 2n − 1 2n + 1 1 ( )( ) ( )( )≤ 。 2 4 2n 2n + 2 3n + 3
xk = 1时， x1 + x2 +
大学课件：数学归纳法及原理
证明 如果命题T不是对所有自然数都成立，那么使 命题不成立的自然数集合M就是非空集合，由定 理2，M中含有一个最小数k，且k>1(因为k=1命题
正确)，所以对一切n < k,命题T成立，又由（2）
推出命题T对k正确. 结论矛盾. 下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法 而不能应用第一数学归纳法解题的例子
命题3 若 b > a,则b a+1. (即数a与a+1是邻接的两个数，中间没有其他
自然数，不存在b，使得a+1>b>a. )
证明 若b > a,则b = a + k. 因为k 1，所以a+k a+1，即b a+1.
最小数原理
定理2 自然数的任何非空集合A含有一个最小数，
即存在一个数 a A ，使得对集合A中任意数b， 均有 b a .
证明 设M这样的集合：
对于M中任意元素 m M ，对A中任意元素a，均
有
am
,则M是非空集合.
因为1 M ，由归纳公理（4）知，一定存在一 个元素 m M . ， 但 m M ,即 m 1 M 可能.
否则由 m M m M 得M=N，这显然不
现在我们证明 m A . 因为若 m A 则A中任意元素a>m.
足够了: 但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是
不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳 法的严格证明.
定理1 如果某个命题T，它的叙述含有自然数，如果
命题T对n=1是正确的，而且假定如果命题T对n的正确性
就能推出命题T对n+1也正确，则命题T对一切自然数都成 立.（第一数学归纳法）
数学归纳法
（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；（四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设Q(k）成立，能推出P(k+1）成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。
（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。
（4）证明和自然数有关的不等式。
变体在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。
下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。
数学归纳法
（—）第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1是命题也成立。
（二）第二数学归纳法：第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：（1）当n＝1回时，命题成立；（2）假设当n≤k时命题成立，则当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
（三）螺旋归纳法：螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下：Pi和Qi是两组命题，如果：P1成立Pi成立=>Qi成立那么Pi,Qi对所有自然数i成立利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的编辑本段排列，组合·阶乘：n！=1×2×3×……×n，（n为不小于0的整数）规定0！=1。
·排列从n个不同元素中取m个元素的所有排列个数，A（n，m）= n！/(n - m)！（m是上标，n是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）··组合从n个不同的元素里，每次取出m个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。
所有不同组合的种数C（n，m）= A（n，m）/m！=n！/［m！·（n－m）！］（m是上标，n 是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）◆组合数的性质：C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);对组合数C(n,k)，将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数◆整次数二项式定理（binomial theorem）(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b+C(n,2)×a^(n-2)×b^2+ ...+C(n,n)×a^0×b^n所以，有 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=C(n,0)×1^n+C(n,1)×1^(n-1)×1+C(n,2)×1^(n-2)×1^2+...+C(n,n)×1^n =（1+1）^n= 2^n编辑本段微积分学极限的定义:设函数f(x)在点x。
数学三大原理
数学三大原理
1.数学的公理化原理：数学的基础是公理，公理是不需要证明的基本事实或假设。
公理是数学推理的出发点，从公理出发，推导出定理和结论。
数学的公理化使得数学变得精确、严密和可靠。
2. 数学归纳法原理：数学归纳法是一种常见的证明方法，它基于以下原理：若一个命题在某个整数上成立，并且对于任意一个整数n，若命题在n上成立，则命题在n+1上也成立。
这个原理使得我们可以证明有关自然数性质的定理。
3. 数学无矛盾性原理：数学无矛盾性原理是指数学中不存在矛盾的结论。
这个原理是数学的基本特点之一，它使得数学推理的结果是可靠的，并保证了数学研究的正确性。
数学家们一直在努力保持数学的无矛盾性，这也是数学研究的长期目标之一。
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20知识讲解 数学归纳法(提高)(理)1218
数学归纳法【学习目标】1．理解数学归纳法的原理及适用范围．掌握数学归纳法证题的思路和特点。
2．能够利用数学归纳法证明与正整数有关的命题。
【要点梳理】知识点一、数学归纳法的原理1.数学归纳法定义:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.2.数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础。
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据。
但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。
3.数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。
知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧1用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确2．用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始n0．n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3.用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．知识点三、用数学归纳法证题的类型：1.用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2.用数学归纳法证明与正整数n有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法的原理
数学归纳法的原理
数学归纳法是一种证明方法，它基于以下原理：
1. 基本步骤（基础情况）：首先证明命题在初始情况下成立。
通常需要证明命题在某个特定的基础情况（例如n=1）下成立。
2. 归纳假设：假设命题在某个特定的情况下成立（称为归纳假设），通常为n=k。
3. 归纳步骤：通过归纳假设，证明当n=k+1时，命题仍然成立。
也就是说，通过前面的归纳假设，证明命题在下一个情况（n=k+1）下仍然成立。
基本上，数学归纳法的原理是通过初始情况的验证以及递归的推理，证明了命题在所有的情况下都成立。
这种证明方法常用于证明整数上的命题，特别是与自然数（正整数）有关的命题。
数学归纳法的基本原理
总结：归纳法的意义与未来
▪ 归纳法的教育推广
1.归纳法作为数学思维的重要组成部分，应当在数学教育中得到更加广泛的推广。 2.通过教育和培训，提高公众对归纳法的认识和掌握程度，有助于提升社会的数学素养和创新 能力。
▪ 归纳法与社会科学的交叉研究
1.归纳法在社会科学中也可以发挥重要作用，帮助研究者发现社会规律和解决社会问题。 2.交叉学科的研究将会推动归纳法的发展，并为社会科学的研究提供更加严谨和科学的方法支 持。 以上内容仅供参考，您可以根据自身需求进行调整优化。
数学归纳法的重要性
1.数学归纳法是数学中的一种重要证明方法，能够确保数学命 题的准确性和严谨性。 2.通过数学归纳法，可以推导出许多重要的数学公式和定理， 从而推动数学学科的发展。 3.数学归纳法体现了从特殊到一般的推理思想，有助于培养数 学思维和问题解决能力。 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化 。
基本原理：归纳步骤详解
▪ 归纳法的注意事项
1.在进行归纳步骤的证明时，必须严格利用归纳假设和已知条件，不能引入新的条件和假设。 2.在证明过程中，需要注意保持命题的一致性和严谨性，避免出现逻辑漏洞和错误。
▪ 归纳法的发展趋势和前沿应用
1.随着数学的发展和计算机技术的应用，数学归纳法的应用范围和实用性不断扩大。 2.在人工智能、机器学习等领域，数学归纳法也被广泛应用于数据分析和模式识别等方面，为 相关领域的发展提供了有力的支持。
数学归纳法的基本原理
基本原理：基础步骤详解
基本原理：基础步骤详解
数学归纳法的定义和目的
1.数学归纳法是一种用于证明数学命题的方法，其目的是通过有限的步骤证明无限个数学命题的正 确性。 2.数学归纳法基于归纳原理，即从有限个特殊情况中推断出一般情况的正确性。
归纳原理和数学归纳法
第三节归纳原理和数学归纳法1．数学归纳法的理论依据归纳法和演绎法都是重要的数学方法．归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用数学严格证明．数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列佩亚诺公理Ⅰ—Ⅴ中的归纳公理：Ⅰ．存在一个自然数0∈N；Ⅱ．每个自然数a有一个后继元素a′，如果a′是a的后继元素，则a叫做a′的生成元素；Ⅲ．自然数0无生成元素；Ⅳ．如果a′=b′，则a=b；Ⅴ．(归纳公理)自然数集N的每个子集合M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M＝N自然数就是满足上述佩亚诺公理的集合N中的元素．关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论．由佩亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记0′＝1，1′=2，2′=3，…，n′=n＋1，…，则N=｛0，1，2，…，n，…｝由佩亚诺公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数，在本质上是一致的．90年代以前的中学数学教材中，将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集．现在已统一采取上面的记法，将0作为第一个自然数．定理1(最小数原理)自然数集N的任一非空子集A都有最小数．这本是自然数集N关于序关系∈(＜)为良序集的定义．现在用归纳公理来证明．证设M是不大于A中任何数的所有自然数的集合，即M=｛n｜n∈N且n≤m，对任意m∈A｝由于A非空，至少有一自然数a∈A，而 a＋1(＞a)不在M中．所然，就有1° 0∈M(0不大于任一自然数)；2°若m∈M，则m＋1∈M．根据归纳公理，应有M＝N．此与M≠N相矛盾．这个自然数m0就是集合A的最小数．因为对任何a∈A，都有m0意a∈A，于是m0＋1∈M，这又与m0的选取相矛盾．反之，利用最小数原理也可以证明归纳公理．因此，最小数原理与归纳公理是等价的．定理2(数学归纳法原理)一个与自然数相关的命题T(n)，如果1° T(n0)(n0≥0)为真；2°假设T(n)(n≥n0)为真，则可以推出T(n＋1)也为真．那么，对所有大于等于n0的自然数n，命题T(n)为真．证用反证法．若命题T(n)不是对所有自然数n为真，则M=｛m｜m∈N，m≥n0且T(m)不真｝非空．根据定理1，M中有最小数m0．由1°， m0＞n0，从而m0－1≥n0且T(m0-1)为真．由2°，取n=m0-1即知T(m0)为真．此与T(m0)不真相矛盾．从而证明了定理2．在具体运用数学归纳法进行数学证明时，有多种不同形式．运用定理2中两个步骤进行证明的，为Ⅰ型数学归纳法．经常使用的还有Ⅱ型数学归纳法，Ⅱ型数学归纳法是：如果命题T(n)满足1°对某一自然数n0≥0，T(n0)为真；2°假设对n0≤k≤n的k， T(k)为真，则可以推出 T(n＋1)也真．那么．对所有大于等于n0的自然数，命题T(n)都真．定理3Ⅰ型数学归纳法和Ⅱ型数学归纳法等价．证假设命题 T(n)对n=n0为真，于是只须证明“由T(n)(n≥n0)为真，可以推出T(n＋1)也为真”的充要条件为“由T(k)(n0≤k≤n)为真，可以推出T(n+1)也为真．”1°充分性若“由T(n)(n≥n0)为真，可以推出 T(n＋1)也为真”，则对n0≤k≤n，T(k)为真，特别 T(n)为真，因此 T(n＋1)也为真．2°必要性用反证法．若“由 T(k)(n0≤k≤n)为真，可以推出 T(n＋1)也为真”，但并非对所有大于等于n0的自然数n，由T(n)为真，可以推出 T(n＋1)也为真，则 M=｛m｜m∈N， m≥n0且由T(n)为真推不出T(n＋1)也为真｝非空．由定理1，M中有最小数m0，且对n0≤k＜m0的k，由T(k)为真，可以推出T(k＋1)也为真．特别由 T(n0)为真可知 T(n0+1)为真，由T(n0＋1)为真可知 T(n0＋2)为真，……，由T(m0－1)为真可知 T(m0)为真．现已知T(n0)为真，所以T(n0)， T(n0+1)，…， T(m0)都为真，由此可知 T(m0＋1)也为真，所以由 T(m0)为真推出了T(m0＋1)也为真．这与m0的选取矛盾．由定理3可知，Ⅱ型数学归纳法也是合理的推理方法．2．数学归纳法在应用中要注意的问题第一，证明的两个步骤缺一不可第一步是归纳的基础，第二步是归纳的传递．尤其是不可忽视第一步的验证．例1试证1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2＋1证假设当n=k时公式成立，则1＋3＋5＋…＋(2n-1)＋(2n+1)＝［1＋3＋5＋…＋(2n-1)］＋(2n＋1)＝n2＋1＋2n＋1＝(n＋1)2＋1完成了数学归纳法的第二步，但结论显然是错误的．为什么？因为缺少第一步．事实上，当n=0时，公式不成立．如果缺了第二步，则不论对多少个自然数来验证命题T(n)的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确．例如，哥德巴赫猜想“任何不小于6的偶数都可以表成两个奇素数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第二步归纳传递，所以仍只停留在归纳的第一步上．它至今仍只是个猜想而已．第二，第二步在证明T(n＋1)为真时，一定要用到归纳假设，即要把“T(n)为真推出 T(n＋1)为真”或“T(n0)， T(n0＋1)，…，T(k-1)为真推出T(k)为真”的实质蕴含真正体现出来．否则不是数学归纳法证明．例2设a1，…，a n为n个正数，b1，…，b n是它的一个排列．试证证1°当n=1时，命题显然成立．2°假设(*)式对n=k成立，则当n=k＋1时根据数学归纳法原理，(*)式对所有大于等于1的自然数n都成立．这里虽然形式上完成了数学归纳法的两个步骤，但第二步在证(*)式对n＋1成立的过程中，并没用到(*)对n成立的归纳假设．因此，不能说上述证法是采用了数学归纳法．事实上，在上述证明中无须用数学归纳法，用平均值不等式证明就行了．第三，并不是凡与自然数相关的命题T(n)，都要用数学归纳法来证明；而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的．这一命题是与自然数相关的命题，尽管可以对n＝0，1，2，…进行验证，但无法实现数学归纳法的第二步，因此不能用数学归纳法进行证明．事实上，数学归纳法只适用于具有递归性的命题T(n)．3．递归函数一个定义在自然数集N上的函数f(n)，如果它对于每个自然数n的值可以用如下方式确定：(1)f(0)=a(a为已知数)；(2)存在递推关系组S，当已知/f(0)，f(1)，…，f(n-1)值以后，由S唯一地确定出f(n)的值：f(n)=S［f(0)，f(1)，…，f(n-1)］那么，就把这个函数f(n)，称作归纳定义的函数．简称递归函数．在具体的递归函数例子中，关系组S可能有几个表达式，或者没有明确的解析表达式，也可能需要给出f(n)的开头若干个值．这样定义函数是合理的，因为我们有：定理4 当递推关系组S给定后，定义在N上的满足上述条件(1)、(2)的函数f(n)是存在而且唯一的．证首先指出：对任一自然数k，总可以在片断｜0，k｜上定义一个函数f k(n)，使f k(0)=a，对于片断上其他自然数 n，f(n)=S［f(0)，…，f(n-1)］．这个函数f k(n)是在｜0，k｜上唯一确定的．现对k进行归纳证明：1°当k＝0时，f0(0)＝a是唯一确定的；2°假定在｜0，k｜上已经由(1)、(2)定义了一个唯一确定的函数f k(n)，令则f k+1(n)在片断｜0，k＋1｜上有定义，且(1)f k+1 (0)=f k(0)=a；(2)f k+1(n)=S［f k(0)，…，f k(n－1)］=S［f k+1(0)，…，f k+1(n－1)］，n=1，2，…，k．因此，函数人fk+1(n)满足条件(1)、(2)．由数学归纳法知，对任何自然数k，函数f k(n)在片断｜0，k｜上唯一确定，且满足(1)、(2)．又若k1＜k2，则 f k1(n)与f k2(n)在片断｜0，k1｜上完全一致．现作一新的函数：f(n)=f n(n)， n∈N．首先，函数f(n)对任一n∈N都有定义，且f(n)=f n(n)=S［f n－1(0)，…，f n-1(n－1)］=S［f0(0)，…，f n-1(n-1)］=S［f(0)，…，f(n-1)］又显然f(0)＝f0(0)=a．故函数f(n)是定义在N上且满足(1)、(2)的唯一确定的函数．例4设函数f∶N→N，且(1) f(0)=2，f(1)=3；(2) f(n＋1)＝3f(n)－2f(n－1)，n≥1．证明： f( n)＝2n＋1．这里给出的递归函数由f(0)、f(1)两个值和一个关系式给定的关系组S确定．但有的递归函数f(0)的值隐含于关系组S之中而未直接给出．例5(IMO－19试题)设f：N+→N＋，且(S) f(n＋1) ＞ f(f(n))， n∈N+求证：对于任意n∈N＋，f(n)＝n．证先用数学归纳法证明命题A n：任意正整数n，若m≥n，则f(m)≥ n．显然 A1真．假设A n-1真，则对任意m≥n，f(m－1)≥n-1，故f(m)＞f(f(m－1))≥2n－1，于是f(m)≥n，从而 An真．由此可知，f(n)≥n，f(n＋1)＞f(f(n))≥f(n)．于是f单调增加．又如果有一个n使f(n)＞n，则f(n)≥n+1，f(f(n))≥f(n+1)，与已知条件(S)矛盾．故只能有f(n)=n．本题给出的递归函数，f(1)的值没有明显给出，但实际上隐含于关系组(S)中．4．递归命题一个与自然数相关的命题T(n)，一般来说，它未必是一个函数问题．现在采取如下方式来构造命题T(n)的真值函数f∶N→｛1，0｝．如果命题T(n)的真值函数f(n)是递归函数，即1° f(0)=1；2° f(n＋1)= S［f(0)，…，f(n)］，且当f(0)=…=f(n)=1时， f( n＋1)=1．那么就称T(n)是具有递归性质的命题，或简称递归命题．实际上，所谓递归命题，就是一个与自然数相关的命题T(n)，开头(如n=0时)为真，且真值可传递并不是所有与自然数相关的命题都是递归命题．例如本节例3中的命题是与自然数相关的命题，而且对任何n∈N，它都为真，但却不具有递归性，它的真值是不可传递的．一般而言，大多数数论问题，如哥德巴赫猜想、费马问题、孪生素数问题等，都不是递归命题．只有递归命题才能用数学归纳法来证明．因此判别一个与自然数相关的命题T(n)是不是递归命题，是运用数学归纳法的前提．判别的关键在于，探究和发现T(n)的真值对于T(0)，…，T(n-1)真值的依赖性．而这种探究本身对于数学归纳法第二步证明，也有直接帮助．例6(1963年北京市竞赛题)2n(n∈N＋)个球分成若干堆，从中任选两堆：甲堆p 个球，乙堆q个球；若p≥q，则从甲堆取出q个加于乙堆；这作为一次挪动(变换)．证明：总可以经过有限次挪动，使所有球都归为一堆．这是一个与自然数相关的命题，记为T(n)．当n=1时，只有两个球，或已是一堆；或两堆，每堆一个球．若后者，只须挪动一次，就变为一堆．所以T(1)为真．T(n)真值是否有传递性呢？考察2n+1与2n，前者比后者多了一倍．如果设想每堆都是偶数个球，把每两个球用一个小袋装在一起，2n+1个球就变成了2n袋球．假设2n袋球都挪到一堆，那么2n+1个球也就挪到了一堆．这样就使T(n)的真值传递给了T(n＋1)．现在设法先将分球的情况变为每堆球数为偶数．假设不是每堆球数都是偶数，则球数为奇数的堆数一定为偶数(为什么？)．现将这2r堆奇数个球的堆两两配对，每对从较多的一堆向较少的一堆挪动一次．那么这2r堆每堆球数均为偶数(也可能出现空堆，如果一对中两堆球数相等的话)．这样便可以实施数学归纳法的第二步证明了．。
如何理解高中数学的数学归纳法
如何理解高中数学的数学归纳法数学归纳法是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于各种数学证明和问题求解中。
理解数学归纳法的原理和应用方法，对于学好高中数学以及解决实际问题具有重要意义。
本文将从数学归纳法的基本原理、应用方法以及示例等方面进行论述。
一、基本原理数学归纳法是一种证明方法，可以用来证明某种性质对于一切自然数都成立。
它的基本原理可以概括为以下两个步骤：1. 基础步骤：首先证明该性质在最小的自然数上成立，通常是证明当自然数n等于一个特定的值时，该性质成立。
2. 归纳步骤：接着假设该性质在某一自然数n上成立，然后证明在自然数n+1上该性质也成立。
通过这种递推的方式，可以证明该性质对于所有自然数都成立。
理解数学归纳法的关键在于理解“数列递推”的思想，通过证明某一特定情况成立，再通过递推关系证明所有情况都成立。
这种思想在解决问题时非常有用，可以帮助我们简化证明过程和求解步骤。
二、应用方法理解了数学归纳法的基本原理后，我们可以通过以下几个步骤来应用数学归纳法解决问题：1. 确定性质：首先需要明确问题中所涉及的性质或规律是什么，这个性质通常是与自然数相关的，比如等差数列、等比数列等。
2. 基础步骤：证明该性质在最小的自然数上成立，这通常是一个简单的证明过程，可以通过代入数值或特殊情况验证。
3. 归纳步骤：假设该性质在某一自然数n上成立，然后证明在自然数n+1上该性质也成立。
在这一步骤中，需要运用递推关系式来推导。
4. 综合证明：通过基础步骤和归纳步骤的证明，可以得出结论，即该性质对于所有自然数都成立。
在应用数学归纳法时，我们需要注意清晰地阐述每一步骤的推理过程，确保逻辑严密和正确性。
同时，我们还可以通过举例来进一步说明性质的成立和问题的解决过程。
三、示例分析为了更好地理解数学归纳法的应用，我们可以以一个经典的示例来进行分析。
问题：证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2 对于所有自然数n成立。
解析：首先，我们验证基础步骤，当n等于1时，等式左边变为：1 = 1(1+1)/2，成立。
数学归纳法原理的拓展和应用
数学归纳法原理的拓展和应用数学归纳法是一种重要的数学方法，它被广泛应用于证明各种数学命题。
这种方法可以用来证明无穷序列的性质，只需要检查这个序列的前n项是否满足某种性质，就可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
数学归纳法的原理是，如果一个序列的前n项都满足某种性质，那么我们可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
这个原理可以通过一个简单的例子来说明：考虑一个序列{an}，如果a1=1，a2=2，a3=3，那么我们可以推断出这个序列的每一项都是正整数。
因为当n=3时，序列的项都是正整数，那么我们可以推断出当n为任意正整数时，序列的项都是正整数。
数学归纳法可以用来证明各种数学命题，下面列举几个常见的应用：证明无穷序列的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明调和级数的和是有限的。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，1/1=1是一个有限的数。
然后，我们假设当n=k时，1/1+1/2+...+1/k是一个有限的数。
那么当n=k+1时，1/1+1/2+...+1/k+1/(k+1)也是一个有限的数。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，调和级数的和都是有限的。
证明等差数列的求和公式：例如，我们可以用数学归纳法证明等差数列的求和公式：S_n=na_1+(n(n-1))/2d。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，S_1=a_1是一个成立的等式。
然后，我们假设当n=k时，S_k=ka_1+(k(k-1))/2d是一个成立的等式。
那么当n=k+1时，S_(k+1)=S_k+(a_1+...+a_k)+a_(k+1)=[ka_1+(k(k-1))/2d]+(a_1+. ..+a_k)+a_(k+1)=(k+1)a_1+[(k+1)k]/2d，也是一个成立的等式。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，等差数列的求和公式都是成立的。
证明几何级数的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明几何级数的和是有限的。
数学归纳法原理
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例如： 有两堆棋子，数目相等。两人玩耍， 每人每次可以从其中一堆中取任意多 颗棋子，但不能同时从两堆中提取， 规定取得最后一颗棋子者为胜。求证 ：后取者可以必胜。
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【数学归纳法原理变形3】
设Pn是与自然数相关的一种命题，如果 1) 当n = 1，2，…, k0时命题Pn是成立的； 2) 假设当n = k时命题Pk是成立的，可以证
皮亚诺自然数公理： 自然数集N是指满足以下条件的集合 ： (1) N中有一个元素，记作1； (2) N中每一个元素n都能在N中找到一 个元素作为它的后继者n+，1不是任何元 素的后继者； (3) 不同元素有不同的后继者；
（4）归纳公理：N的任一子集M，如 果1∈M，并且只要n在M中就能推出n 的后继者n+也在M中，那么M = N.
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例如: 假设数列{an}满足： a2n = 3n2, a2n-1=3n(n-1)+1, n=1,2,3, … 。 Sm=a1+a2+…+am. 求证：
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【数学归纳法原理变形5——逆向归纳法 】
设Pn是与自然数相关的一种命题，如果 1) 存在一个递增的无限自然数序列{nk},使
可以证明当n=k+1时命题Pk+1也是成立的。 那么命题Pn对所有自然数n ≥ k0都是成立的。 例如：n 边形内角和问题。
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【数学归纳法原理变形2】 设Pn是与自然数相关的一种命题，如果 1)当n =1时命题P1是成立的； 2)假设当1 ≤ n ≤ k时命题Pn是成立的，
可 以 证 明 当 n=k+1 时 命 题 Pk+1 也 是 成 立的。 那么命题Pn对所有自然数n都是成立的
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第□讲
数学归纳法原理
[知识要点]:
1.归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做。
2.数学归纳法
对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性，先证明当 取第1个值
时，命题成立，然后假设当
）时命题成立，证明当 时，命题也成立。在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 开始的所有自然数都正确。这种证明方法叫做数学归纳法。
运用数学归纳法证明命题要分为两步。第一步是递推的，第二步是递推的，这两步是缺一不可的。
[激活思维]:
例1用数学归纳法证明
。
变式引申:求证:
。
例2求证:
例3是否存在常数 使等式
，依次计算 后，猜想 的表达式是
5.某个命题与自然数 有关，如果当
时该命题成立，那么可推得当 时该命题也成立，现已知 时，该命题不成立，那么可以推得
6.用数学归纳法证明“
”的过程中，第二步假设 时等式成立，则当 时应得到
7.观察下式：
则得出的结论：。
C.综合提高
8.数列 满足 ，
（1）计算 ，并由此猜想通项公式 ；
对一切正整数 成立？证明你的结论。
[分级训练]:
A.基础训练
1.用数学归纳法证明:“
”在验证 时，左端计算所得的项为
2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证
3.在数列 中， ，前 项和
，先算出数列的前4项的值，根据这些值时，
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
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☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
数学归纳法原理
9.设 是否存在 的整式 ，使得等式
对于大于1的一切自然数 都成立？证明你的结论。
10.已知数列 ，其中 且
（1）求
（2）求数列 的通项公式；
（3）设数列 为等差数列，其中 且 为不等于零的常数，若 。
求 。
[备选练习]:
1.（2002.北京春季高考题）已知点的序列
，其中 是线段 的中点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，
（1）写出 与 之间的关系式 ；
（2）设 ，计算 ，由此推测数列 的通项公式，并加以证明。
2.（2003.高考新课程。文）已知数列 满足
。
（1）求 ；（2）证明 。
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