费马原理

即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
t [l] nl [l] ct cc
2. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
◆ 分区均匀介质:
k
[l] 1 k
[l] nili
i 1
,
t
c
c i1 nili
◆ 连续介质:
[l] ndl (l)
二.费马原理的表述及讨论
空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，
会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
分析：
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
F
抛物线性质
N
P1F P1Q1 P2F P2Q2
则 A1P1 P1F A2P2 P2F
三.费马原理的应用
1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
2. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
3. 由费马原理导出光的反射定律
AB的光程为
(x x2 )2 y22 z2
z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M (x,0, z) M (x,0,0)
AM MB AM M B 光程[l]取极小值
z0
有
n1(x x1) n1(x2 x)
(x x1)2 y12
(x x2 )2 y22
x x1
sin i
(x x1)2 y12
平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。
换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
B
[l] A ndl 0
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
(x n2d )2 n1 n2
d 2n12 /(n1 n2 )2
(n1
z2 n2 )d 2 /(n1 n2 )
1
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
椭圆的几何参量：
中心 [n2d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
CH 1-2
费马原理
principle of Fermat
1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理 一.光程
在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l
与该介质的折射率 n 的乘积： [l] nl
n c [l] l
c
l t [l]
c
1. 直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一 定几何路程所需要的时间。
x x2
sin i
(x x2 )2 y22
i i
4. 由费马原理导出折射定律
P(x, y, z) A(x1, y, z1) B(x2 , y, z2 )
[ APB] n1l1 n2l2 l1 z12 (x x1)2 y2 l2 z22 (x x2 )2 y2
由光程取极值:
波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
解：S 发出的球面波经 面折射后 成平面波，各折射光线路径是等 光程。
P(x, y)
n1SP n2PQ n1SO
上式化为 n1(x2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d
2c 2 a2 b2 2n2d /(n1 n2 ) 偏心率e n2 1
n1
பைடு நூலகம்
(n1l1 n2l2 ) 0 (n1l1 n2l2 ) 0
y
x
(n1l1 n2l2 ) n1 y n2 y 0
y
l1 l2
(n1l1 n2l2 ) x
n1
x x1 l1
n2
x2 l2
x
0
x
x1 l1
sin
i1
x2 l2
x
sin
i2
n1 sin i1 n2 sin i2
四.梯度折射率介质中光线的弯曲 即为折射率随不同位置呈连续变化的介质
[l] n1AM n2M B n1 (x x1)2 y12 z2 n1 (x x2 )2 y22 z2
光程取极值
[l] x
1
n1(x x1)
(x x1)2 y12 z2
n1(x x2 )
0
(x x2 )2 y22 z2
[l]
n1z
n1z
0
z
(x x1)2 y12 z 2
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点
变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。