费马原理
费马原理证明反射定律和折射定律
费马原理证明反射定律和折射定律1. 引言嘿，大家好！今天我们聊聊光的旅行，这可是个让人兴奋的话题，尤其是当我们谈到反射和折射的时候。
你有没有想过，光线是怎么“选择”最短的路走到目的地的？别急，咱们要通过费马原理来揭开这个谜底。
费马可是个大牛，他告诉我们光总是选择“最省事”的方式，简直就像我们在公交车上总是找最近的站一样。
接下来，让我们一起看看这个原理是怎么工作的吧！2. 费马原理的基础2.1 什么是费马原理？好吧，先来聊聊费马原理是什么。
简单来说，费马原理就是光线在不同介质中传播时，总是选择“最短时间”的路径。
就像你去超市，总是选择离家最近的那条路，不会绕远路。
光线也是一样，它不会自找麻烦，偏偏走一条冤屈的路去达到目的地。
想象一下，光线在空气中飞快地穿行，突然遇到水面，它的速度会改变，就像你在路上踩油门，突然遇到红灯，不得不停下。
2.2 光的反射和折射光的反射就像是你在镜子前照镜子时，那光线碰到镜子就会反弹回来。
折射呢，就是光线从一种介质（比如空气）进入另一种介质（比如水）时，速度变化导致光线改变方向。
这个变化就像你在沙滩上走，突然踩到了水中，脚下的感觉完全不同。
光线在这两种情况下都在遵循费马的“最短时间”原则。
3. 反射定律的证明3.1 反射定律的来临现在我们来聊聊反射定律。
反射定律说的是入射角等于反射角。
换句话说，就是你往镜子里看，光线的反射角和入射角完全一致。
我们可以想象一下，光线以一个角度“飞”到镜子上，然后同样的角度“飞”回来。
根据费马原理，光线为了最短的时间，必然选择了这个“合适”的角度，才能够高效反弹。
就像你抛一个球，它总会以同样的角度反弹回来，不会乱七八糟的。
3.2 从几何角度理解如果用几何的眼光看待这个问题，假设光线从A点出发，经过镜子反射到B点。
根据费马原理，光线在A到镜子再到B的路程中，要是能保持入射角和反射角相等，那就能确保这个路径是最短的。
这样一来，反射定律就不攻自破，简单明了。
费马原理ppt课件
由光程取极值:
(n1l1 n2l2 ) 0 (n1l1 n2l2 ) 0
y
x
(n1l1 n2l2 ) n1 y n2 y 0
y
l1 l2
(n1l1 n2l2 ) x
n1
x
x1 l1
n2
x2 l2
x
0
x
x1 l1
sin i1
x2 l2
x
sin i2
n1 sin i1 n2 sin i2
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4. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
11
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
M
A1 N
12
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F N
分析：
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
抛物线性质
P1F P1Q1 P2F P2Q2 则 A1P1 P1F A2P2 P2F
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
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例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z sC
P A M
Q Q
n1 O O
n2 N N
14
z
P A M
费马原理的内容
费马原理的内容
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理。
费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）
光程 s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和
l=vt 所以得到 s=ct. 由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程。
费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的。
费马原理为几何光学中的基本原理，费马原理也被称为最短时间原理。
通过费马原理可以推导斯涅尔定律、反射定律和光线传播定律。
以及有关各种光学器件的定理也可以从费马原理或上述定律中推导出来。
费马原理的精确表示：在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播。
这种表述较最短时间原理相比更为准确，在反射定律的例子中，光沿着入射角等于出射角的路径传播。
可是依据最短时间，光线并没有沿着最短的路径传播，毕竟两点之间线段最短。
因此在存在约束的条件下，“在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播”此表述更为精确。
通过费马原理可以推导出光沿着直线传播，因为相同的一束光在同一种介质内的传播速度相同，所以若这一束光要从点A传播至点B，则根据两点之间线段最短得到光线将沿着此先短传播。
十大著名物理定理
十大著名物理定理物理学是自然科学的重要分支，研究物质、能量以及它们之间的相互作用。
在物理学的发展过程中，许多重要的定理被提出并被广泛应用。
以下是十大著名物理定理的介绍。
1. 费马原理费马原理是光学中的基本原理之一，它阐述了光线在两点之间传播时所遵循的最短时间路径。
根据费马原理，光线在两点之间的传播路径是使得光程取极值的路径，这一路径被称为光线的轨迹。
费马原理在光学设计和成像中有广泛的应用。
2. 等效原理等效原理是爱因斯坦提出的一项重要物理定理，它描述了引力和加速度之间的等效关系。
根据等效原理，质量产生的引力效应与物体的加速度效应等效，即质量决定了物体对引力的响应。
这一原理是广义相对论的基础，对解释引力以及宇宙的演化具有重要意义。
3. 热力学第一定律热力学第一定律，也称为能量守恒定律，阐述了能量在物理系统中的转化和守恒关系。
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于吸收的热量与做功的和。
这一定律在能量转化和热力学循环等方面有重要应用。
4. 电磁感应定律电磁感应定律是描述磁场和电场相互作用的重要定理。
法拉第定律和楞次定律是电磁感应定律的两个主要方面。
根据法拉第定律，当一个闭合线圈中的磁通量发生变化时，将在线圈中产生感应电动势。
根据楞次定律，感应电动势的方向使得感应电流产生的磁场抵消磁通量的变化。
5. 熵增定律熵增定律是热力学中的重要定理，描述了在孤立系统中熵的增加趋势。
根据熵增定律，封闭系统的熵总是趋向于增加，而不会减少。
这一定律对解释自然界中的不可逆过程和热力学平衡有重要意义。
6. 相对论狭义和广义相对论是爱因斯坦提出的一套重要物理理论，包括狭义相对论和广义相对论。
狭义相对论描述了高速运动物体的相对性原理，推翻了牛顿力学的观念。
广义相对论则是更一般的相对论理论，描述了引力的几何性质和时空的弯曲。
7. 不确定性原理不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，提出了测量精度的限制。
根据不确定性原理，无法同时准确测量粒子的位置和动量，以及能量和时间。
费马定理
费马原理定义：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
应用学科：费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
地震学中的费马原理地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理详解光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。
设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。
光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。
实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。
光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。
上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。
故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。
光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理的应用例子
费马原理的应用例子1. 费马原理简介费马原理是由17世纪法国数学家费马提出的一条关于光的传播规律的基本原理。
该原理指出光在两点间传播时，会沿着路径所需时间最短的方向传播。
费马原理在光的传播、折射、反射等现象的解释和应用方面有重要作用。
以下是几个具体的应用例子。
2. 光的折射光在从一种介质到另一种介质传播时，会发生折射现象。
费马原理可以用来解释光的折射规律。
当光从一种介质进入另一种介质时，光线在两种介质的交界面上会发生折射，折射角和入射角之间遵循斯涅尔定律。
应用举例：水中的游泳池底部的边缘会出现一种“抬高”的幻觉。
这是因为光在水和空气之间折射的结果。
根据费马原理，光线会选择经过所需时间最短的路路径传播，所以我们看到的位置略高于实际位置。
3. 光的反射光在遇到光滑的表面时，会发生反射现象。
费马原理可以用来解释光的反射规律。
根据费马原理，光线在反射时会选择经过所需时间最短的路径。
光线的入射角等于反射角，根据这个原理可以推导出光的反射规律。
应用举例：我们常见的镜子就是利用光的反射原理制作的。
镜子表面光滑致使光线在入射时发生反射。
通过调整镜子的形状，我们可以改变反射光线的方向，实现镜面成像。
4. 光的路径优化费马原理可以应用于光的路径优化问题。
根据费马原理，光在传播过程中会选择所需时间最短的路径。
因此，当需要设计光学系统时，可以利用费马原理来优化光路径，使得光能够以最短的时间到达目标位置。
应用举例：激光切割机是一种利用激光束进行切割的设备。
设计激光切割机的时候，可以利用费马原理来优化激光束的路径，使得激光能够以最短的路径到达需要切割的位置，提高切割精度和效率。
5. 光学薄膜设计光学薄膜设计是利用光的干涉和反射原理来制备具有特定光学性质的薄膜材料。
费马原理是光学薄膜设计中的一个基本原理，可以用来优化光的传播过程，从而实现特定的光学效果。
应用举例：太阳能电池板上常用的反射膜就是利用光学薄膜设计制备的。
通过控制反射膜的厚度和折射率，可以达到减少反射和提高光吸收效率的目的。
费马原理推导折射公式
费马原理推导折射公式费马原理，这个名字听起来很高大上，其实说白了就是光线在传播的时候，总是选择一条“最省时间”的路线。
想象一下，你和朋友约好一起去吃饭，你肯定不会绕远路吧？光线也是这个道理，哪条路最快，它就走哪条。
真是个聪明的家伙，对吧？所以，费马原理就像一个聪明的导航系统，帮助光线在各种介质中穿梭。
好，我们先来个简单的比喻。
你在海滩上玩耍，突然想要去对面的小岛。
海水、沙滩都让你左右为难，嘿，你知道吗？光线也是如此！当它从空气跳进水里，速度就得慢下来，就像你在沙滩上走路变得有点别扭。
此时，光线就会找一条“捷径”，那就是它在不同介质中折射的过程。
这时，咱们就得用到一个数学工具，叫做折射率。
这玩意儿就像是介质的“身份证”，告诉你在每个介质中光速的变化。
我们来看看折射公式，挺有意思的。
它的样子就是：n₁*sin(θ₁) = n₂*sin(θ₂)。
这意味着，入射光线和折射光线之间的关系就像是一场舞会，大家都得遵守规矩，才能跳得欢快。
n₁和n₂就代表着两种不同介质的折射率，而θ₁和θ₂则是光线与法线之间的夹角。
你看，这不就像是大家在聚会时，尽量保持一定的距离，避免撞到一起吗？在实际生活中，这个公式真的是用得上，像是你在水边看一个物体时，它看起来总是“歪歪扭扭”的。
物体的真实位置和你看到的地方并不一致。
费马原理告诉我们，光线在水中折射时，像是调皮的小孩，总是要选择那些最有趣的路线。
说实话，这也反映了生活的真谛：总要选那条最方便的路走。
再聊聊这折射现象。
想想在夏天，阳光透过水面，波光粼粼，就像无数小精灵在水中舞蹈。
可是当你试图去抓住这些光线的时候，嘿，光线就玩起了捉迷藏，跑到了另一个地方。
这时，你就得明白，光线在水中是怎么“变换身份”的。
它就像是一个变色龙，随时准备转换状态，绝对让你眼前一亮。
所以，每当你看到彩虹，或者是那水中的倒影，别忘了，这背后可是有费马原理在默默支持。
光线的折射现象让我们看到了自然的美好，生活的奇妙。
费马定理
三.费马原理的应用
光程最小即为路程最短,根据直线是两点间最短距 离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理 可直接得到光线的直线传播定律. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向.若路径AB的光程取极值,则其逆路径BA
的光程也取极值——包含了光的可逆性.
11
光程为极值的例子
6
1.均匀介质中光程
l nl
2.如果光从A点出发,经过 k 种不同的均匀介质
而到达B点,则总光程为：
l1
A v1
l2 v 2
l3 v 3
li v i
lk v k
B
l ni li
i 1
k
7
3.若由A到B充满着折射律连续变化的介质, 则光由A到B的总光程为
[ L]
B
A
实像和虚像
1.单心光束：凡具有单个顶点的光束.
发散单 心光束
会聚单 心光束
16
光线经反射或折射后,如果光束的单心性没有 2.像：
被破坏,即虽然光线的方向改变了,但光束中仍
能找到一个顶点,这个顶点就叫做发光点的像.
实像
反射和折射后实际光线的汇聚点.
虚像
反射和折射后实际光线的反向延长线的汇聚点.
17
复 习
几何光学的基本实验定律
1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光在两种介质分解面的反射定律和折射定律 3.光的独立传播定律和光路可逆原理
1
§1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理.
光
程
费马原理的表述 费马原理的应用
2
一. 光 程
定义：
l nl
费马原理证明
费马原理证明
费马原理是数学中的一条重要原理，用来证明某些问题的解不存在。
这条原理被称为"费马原理"是因为它是由法国数学家费马首先提出的。
费马原理的基本思想是对某个问题的假设进行推导，然后通过推导的过程来证明问题的解不存在。
费马原理的具体内容如下：
假设存在一个问题的解，并设这个解为S；
利用这个解S来推导出一系列的逻辑关系和性质；
通过分析这些逻辑关系和性质，发现其中的矛盾和不可能的情况；
由于存在矛盾和不可能的情况，推出假设的解S不存在。
费马原理的应用范围非常广泛，在数学和其他学科中都有所应用。
它可以用来证明质数的存在性，也可以用来证明某些几何问题的解不存在。
费马原理的证明过程需要严格的逻辑推理和数学推导，在证明过程中需要排除其他因素的干扰，确保证明的正确性。
总之，费马原理是一条重要的数学原理，可以用来证明某些问题的解不存在。
通过对问题的假设进行推导，发现其中的矛盾和不可能的情况，从而推出问题的解不存在。
在使用费马原理证明问题时，应保证证明的逻辑严谨性和正确性。
光的费马原理 -回复
光的费马原理-回复光的费马原理是描述光线传播的一种基本原理，其本质是一种极小时间取值原理。
它由法国科学家皮埃尔·达·费尔马于17世纪提出，并成为几何光学的重要定律之一。
费马原理被广泛运用于光学设计、光的路径计算和物体成像等领域。
本文将逐步回答关于光的费马原理的相关问题，让我们一起来深入了解它的原理和应用。
一、光的费马原理是什么？光的费马原理是指光在传播过程中，遵循的是光的传播路径使得传播时间达到极小值的原理。
也就是说，光线在传播过程中，会选择一条路径，使得从光源到达观察者的时间最短。
二、费马原理的基本假设是什么？费马原理的基本假设是光线传播的路径是在光速不变的介质中实现的。
这个假设是基于光的传播速度在同种材料中是恒定的，因此光线会选择一个路径，使得传播时间最短。
三、费马原理如何应用于光学设计？在光学设计中，费马原理被广泛应用于光线的路径计算和光学系统的优化。
通过费马原理，可以确定光线在光学系统中的传播路径，从而设计出满足特定要求的光学元件。
具体应用步骤如下：1. 确定系统中的光源和观察者的位置，以及光学系统中的各个光学元件的属性。
2. 将光源发出的光线从光源出发，根据光路的物理初始条件，计算出各个光线在各个光学元件上的传播路径。
3. 对每条光线，根据费马原理，在每个光学元件的表面上构造出传播时间最短的路径。
这个路径主要是通过计算光线传播的路径，使得传播时间达到极小值。
4. 在整个光学系统中，通过对所有光线进行路径计算，可以得到光线从光源到观察者的传播路径。
5. 根据光线的传播路径，可以进一步进行光学系统的优化设计，以满足特定的要求，如成像质量、光能损失等。
四、费马原理在物体成像中的应用费马原理在物体成像中的应用是其中的重要部分。
在成像中，人们常常希望光学系统能够将物体的信息准确地投射到成像平面上，从而形成清晰的图像。
费马原理在物体成像中的应用步骤如下：1. 确定物体和成像平面的位置，以及光学系统中的光学元件属性。
费马原理及其在物理学中的应用研究
费马原理及其在物理学中的应用研究引言：费马原理是物理学中一项重要的原理，它涉及光学、力学、电磁学等多个领域。
费马原理的提出和应用研究对于我们深入理解自然现象和推动科学技术的发展具有重要意义。
本文将从费马原理的基本概念出发，探讨其在物理学中的应用研究。
一、费马原理的基本概念费马原理是由法国科学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的。
该原理的核心思想是：光在传播过程中会选择经过光程最短的路径。
换言之，光在传播过程中会遵循最短时间原理。
这个原理的提出对于光的传播规律的研究和光学器件的设计起到了重要的指导作用。
二、费马原理在光学中的应用研究1. 光的折射定律费马原理对于解释光的折射现象提供了重要的理论依据。
根据费马原理，光在从一种介质射向另一种介质时，会选择经过光程最短的路径。
这就是我们熟知的光的折射定律。
通过费马原理，我们可以解释为什么光从光疏介质射向光密介质时会向法线弯曲。
2. 光的反射定律费马原理也可以解释光的反射现象。
当光从一种介质射向另一种介质的边界时，会选择经过光程最短的路径。
在光的反射定律中，我们可以看到光的入射角等于反射角。
这一现象可以通过费马原理的推导得出。
3. 光的干涉现象费马原理还可以用来解释光的干涉现象。
干涉是指两束或多束光相互叠加产生的现象。
根据费马原理，光在传播过程中会选择经过光程最短的路径。
在干涉实验中，我们可以通过调整光程差来控制干涉条纹的位置和形状。
三、费马原理在力学中的应用研究费马原理不仅在光学中有重要应用，还在力学中发挥着重要作用。
1. 费马原理与最速降线问题费马原理与最速降线问题是力学中的一项研究。
最速降线问题是指在给定两点之间，求解一条曲线，使得质点在重力作用下从起点到终点所经过的时间最短。
根据费马原理，最速降线问题可以通过求解光程最短路径的微积分问题来解决。
2. 费马原理在机械优化设计中的应用费马原理在机械优化设计中也有广泛应用。
例如，在设计机械零件时，我们可以利用费马原理来优化零件的结构，使得零件在受力下具有最优的性能。
费马原理生活中的应用
费马原理生活中的应用1. 什么是费马原理？费马原理是数学中的一个重要原理，也被称为费马永恒性原理或费马最小时间原理。
它由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出，并且应用广泛于光学、力学、电磁学等领域。
费马原理的核心思想是：光线、力线、电磁波等在两点之间传播时，沿着路径所花时间最短。
在生活中，费马原理有着许多应用，下面我们来看看其中几个常见的应用。
2. 光的折射和反射当光线从一种介质射入另一种介质时，会发生折射现象。
费马原理可以用来解释光线在不同介质中的传播路径。
根据费马原理，光线在两种介质之间传播时，所经过的路径是满足时间最短的路径。
具体而言，光线在从光疏介质（如空气）进入光密介质（如水）时会向法线方向偏折，而在从光密介质进入光疏介质时会离开法线方向。
这一现象被称为光的折射。
费马原理还可以解释光线在反射时的路径。
光线在反射时，沿着使得入射角等于反射角的路径传播。
这一现象被称为光的反射。
光的折射和反射现象广泛应用于光学器件的设计和制造，例如透镜、棱镜和反射镜等。
通过合理设计和利用光的折射和反射，我们可以实现光的聚焦、分离、反射和投射等功能。
3. 波的传播费马原理也适用于其他波的传播，如声波、地震波和电磁波等。
波的传播路径通常遵循费马原理所描述的最短时间路径。
例如，声波在传播时，会选择经过时间最短的路径。
根据费马原理，声波在井口进入地下时，会沿着射线路径向下传播，直到达到地下界面时发生折射。
这种现象可以用来研究地下的地质结构和探测地下资源。
电磁波也遵循费马原理。
在无线电通信中，天线会将电磁波沿着最短路径发送出去。
当接收端收到电磁波时，也会沿着最短路径进行接收和解码。
这样可以提高通信的效率和可靠性。
4. 能量最小原理费马原理还有一种应用是能量最小原理。
根据能量最小原理，自然界中的物体和系统都倾向于能量最小的状态。
例如，水流会沿着能量最小的路径流动，电荷会沿着能量最小的路径移动，物体在受到力的作用下倾向于能量最小的平衡位置。
1.2 费马原理
光程[l]取极小值
z0 有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y12 x x1 ( x x1 ) 2 y12 i i
13
n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y 2 2 x x2 ( x x2 ) 2 y2 2 sin i
(n1 L1 n2 L2 ) 0 y
物理科学与信息工程学院 15
分别将L1和L2代入上式可得：
n1 y n2 y n1 (n1 L1 n2 L2 ) 0 (1) y L1 L2 P (n1 L1 n2 L2 ) x x x x1 x x2 n2 B n1 n2 0 (2) L1 L2
i ,
物理科学与信息工程学院 2
一、光程 光程定义: 光在介质中的光程 L 为介质的折射率与 光在介质中所走的几何路程之积. L ns 因此,光在介质中走过的光程，等于以相同的时间 在真空中走过的距离.
若由A到B充满着折射率连 续变化的介质，则光由A到B B 的总光程为
B
L nds
A
（分母大于零）
n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2 n1 z ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2
0 0
入射线和反射线应 在xoy平面内.
12
M ( x,0, z) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
B
所用时间为 t 1
nds c
A
A
物理科学与信息工程学院 3
二、费马原理
1658年法国数学家、物 理学家费马（P. Fermat
1601-1665) 概括了光线传
费马原理解释
费马原理解释
费马原理(Fermat"s Last Theorem)是指数学家费马在1637年提出的一个猜想,即对于任何大于2的正整数n,方程a^n + b^n = c^n没有正整数解。
这个猜想在当时引起了广泛的讨论和猜测,直到1994年,数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)通过长期的努力,最终证明了费马原理。
怀尔斯的证明使用了现代数学中的多项式逼近论和证明技巧,这是数学中一个重要的分支。
费马原理本身是一个具有挑战性的问题,涉及到了代数几何、数论、分析等多个数学领域。
费马原理的提出是数学史上的一个里程碑,它推动了数学领域的发展,并为其他领域提供了新的思路和工具。
今天,费马原理仍然是数学中一个著名的问题,吸引着大量的数学家和学者进行探究和研究。
除了怀尔斯的证明外,还有许多其他数学家对费马原理进行了研究和探究。
例如,欧拉、拉格朗日、布洛赫等人都曾经提出过相关的猜想和理论,但都没有最终证明费马原理。
今天,费马原理仍然是数学中一个开放性的问题,吸引着众多的数学家和研究学者进行探究和研究。
拓展:
费马原理的提出是数学史上的一个里程碑,它推动了数学领域的发展,并为其他领域提供了新的思路和工具。
今天,费马原理仍然是数学中一个开放性的问题,吸引着众多的数学家和研究学者进行探究和研究。
除了怀尔斯的证明外,还有许多其他数学家对费马原理进行了研究和探究。
例如,欧拉、拉格朗日、布洛赫等人都曾经提出过相关的猜想和理论,但都没有最终证明费马原理。
今天,费马原理仍然是数学中一个开放性的问题,吸引着众多的数学家和研究学者进行探究和
研究。
费马定理介绍
费马定理费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。
它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。
通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。
可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。
费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。
或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。
光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：⎰∑∑=∆=∆===ndl ct l n c v l t PQ i i i i i i 1111费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。
⎰==01ndl ct P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。
⎰==0ndl L P Qδδ① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=222221x a H x H n OBn AO n L +=的面法线，且两线段长度之和相等。
用费马原理导出反射定律如下图， PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。
假设光线所处的介质为均匀介质。
光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。
那么点A 到点B 的光程为：很明显，光程L 是关于变量x 的函数，由费马原理分析，真实的光程是固定的，在均匀介质中的一阶导数是0，即()()0222221=-+--+=x a H x a n xH nx dxdL即有()I n I n -sin sin =即I I -=反射定律由上面推导出来了。
费马原理证明反射定律
费马原理证明反射定律费马原理是光学中的一个重要原理，它可以用来证明光的反射定律。
费马原理的核心思想是光线在传播过程中所需时间取极小值。
反射定律则是指入射角等于反射角，是光学中最基本的规律之一。
本文将通过费马原理来证明反射定律。
首先，我们来看一下费马原理的内容。
费马原理又称费马最短时间原理，它表述为，光线从一个点到另一个点传播所需时间的路径是使光程取极小值的路径。
这意味着光线在传播过程中会选择一条路径，使得传播时间最短。
在一定介质中，光线传播的速度是已知的，因此光程最短也就意味着传播时间最短。
接下来，我们将费马原理应用到光的反射过程中。
假设有一束光线从点A射向镜面上的点B，然后被反射到点C。
我们要证明，光线从A点到B点再到C点的传播时间是最短的路径。
首先，我们假设光线从A点到B点再到C点的路径不是传播时间最短的路径，那么就存在另一条路径使得传播时间更短。
然而，根据费马原理，光线的传播路径是使光程取极小值的路径，因此这与假设相矛盾。
所以，光线从A点到B点再到C点的路径必然是传播时间最短的路径。
根据费马原理，我们可以得出结论：光线在反射过程中所需时间取极小值。
而反射定律则是指入射角等于反射角。
现在我们来证明反射定律。
假设入射角为θ，反射角为θ'，光线从A点到B点再到C点的传播时间最短。
根据光学中的路径相等原理，可以得出光线从A点到B点再到C点的光程等于光线从A点到C点再到B点的光程。
根据光程公式，光程等于光速乘以时间，因此可以得出：AB + BC = AC。
AB/cosθ + BC/cosθ' = AC。
AB/cosθ + BC/cosθ' = 2AB。
1/cosθ + 1/cosθ' = 2。
根据三角函数的定义，可以得出入射角等于反射角，即θ=θ'。
这就是反射定律的数学证明。
综上所述，费马原理可以用来证明光的反射定律。
费马原理指出光线在传播过程中所需时间取极小值的路径，而反射定律则是指入射角等于反射角。
费马原理公式
费马原理公式
费马原理公式，是由法国数学家费马提出的一种求解极值问题的方法。
该公式的核心思想是，在一定条件下，如果一条曲线上的两个点都是极值点，那么这条曲线必然与这两个点的切线垂直。
具体地说，设函数 f(x) 在点 x0 处取得极小值或极大值，则有 f'(x0) = 0，同时还有 f''(x0) > 0 或 f''(x0) < 0。
根据这个条件，可以得到费马公式：当 f(x) 有极值时，曲线 y = f(x) 在该点的切线方程为y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)。
这个公式具有广泛的应用，可以解决许多实际问题中的极值问题，如求解最小曲面、最短路径等问题。
- 1 -。
费马原理导出反射定律
费马原理导出反射定律费马原理是光学中非常基本的一个原理，而它所导出的反射定律更是光学中最基本的原理之一。
本文将从费马原理的定义、导出反射定律的过程以及实际应用方面详细介绍费马原理与反射定律。
一、费马原理的定义费马原理指出，在从一点发出的光线在空间中所有路径中，只有光线的传播时间取极小值时，才表示该光线实际上是被真实的光路所遵循。
即光线传播的总时间是取极小值的。
这个原理是光学中非常基本的一个原理。
二、费马原理导出反射定律的过程在理解了费马原理后，我们可以通过这个原理推导出反射定律。
具体过程如下：假设有一束光线从点A出发，到达点B，并通过反射从点B到达C点。
现在我们要证明的是，光线的入射角与反射角相等。
我们首先可以得到，从点A到点B的时间t1，与从点B到点C的时间t2的总和为：t = t1 + t2 = $\frac{L_1}{v_1}$ + $\frac{L_2}{v_2}$其中，L1和L2分别为AB和BC两段路程的长度，v1和v2表示光在线路上的速度。
根据费马原理，我们可以得到，这条光线遵循的路线是在时间t取极小值的情况下得到的。
也就是说，在t取极小值的条件下，这个光路是唯一的。
现在假设角度θ为入射角（注意，这里的入射角是相对于法线的，即使角度为θ也是相对于法线的），角度φ为反射角，此时角度α为BC与法线的夹角。
那么，我们可以得到：L1 = L2 = Lv1 = v / sinθv2 = v / sinφ对上式求t的极值，即对t求导数为0，我们可以得到：$$$$接下来，我们做进一步的近似。
因为入射角很小，可以认为α也很小，所以tanα可以大致近似为α，sinθ和sinφ也可以近似为θ和φ。
因此，我们可以得到：$$\frac{cosθ}{v} = \frac{cosφ}{v} $$即：sinθ = sinφ不难发现，上面这个式子就是反射定律，也就是入射角等于反射角的结论。
三、费马原理与反射定律的应用费马原理和反射定律在实际应用中有着广泛的应用。
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t [l] nl [l] ct cc
2. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
◆ 分区均匀介质:
k
[l] 1 k
[l] nili
i 1 nili
◆ 连续介质:
[l] ndl (l)
二.费马原理的表述及讨论
空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，
会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
分析：
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
F
抛物线性质
N
P1F P1Q1 P2F P2Q2
则 A1P1 P1F A2P2 P2F
三.费马原理的应用
1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
2. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
3. 由费马原理导出光的反射定律
AB的光程为
(x n2d )2 n1 n2
d 2n12 /(n1 n2 )2
(n1
z2 n2 )d 2 /(n1 n2 )
1
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
椭圆的几何参量：
中心 [n2d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
解：S 发出的球面波经 面折射后 成平面波，各折射光线路径是等 光程。
P(x, y)
n1SP n2PQ n1SO
上式化为 n1(x2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d
平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。
换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
B
[l] A ndl 0
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
2c 2 a2 b2 2n2d /(n1 n2 ) 偏心率e n2 1
n1
[l] n1AM n2M B n1 (x x1)2 y12 z2 n1 (x x2 )2 y22 z2
光程取极值
[l] x
1
n1(x x1)
(x x1)2 y12 z2
n1(x x2 )
0
(x x2 )2 y22 z2
[l]
n1z
n1z
0
z
(x x1)2 y12 z 2
(n1l1 n2l2 ) 0 (n1l1 n2l2 ) 0
y
x
(n1l1 n2l2 ) n1 y n2 y 0
y
l1 l2
(n1l1 n2l2 ) x
n1
x x1 l1
n2
x2 l2
x
0
x
x1 l1
sin
i1
x2 l2
x
sin
i2
n1 sin i1 n2 sin i2
四.梯度折射率介质中光线的弯曲 即为折射率随不同位置呈连续变化的介质
CH 1-2
费马原理
principle of Fermat
1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理 一.光程
在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l
与该介质的折射率 n 的乘积： [l] nl
n c [l] l
c
l t [l]
c
1. 直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一 定几何路程所需要的时间。
x x2
sin i
(x x2 )2 y22
i i
4. 由费马原理导出折射定律
P(x, y, z) A(x1, y, z1) B(x2 , y, z2 )
[ APB] n1l1 n2l2 l1 z12 (x x1)2 y2 l2 z22 (x x2 )2 y2
由光程取极值:
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点
变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。
(x x2 )2 y22 z2
z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M (x,0, z) M (x,0,0)
AM MB AM M B 光程[l]取极小值
z0
有
n1(x x1) n1(x2 x)
(x x1)2 y12
(x x2 )2 y22
x x1
sin i
(x x1)2 y12