由多边形内角和公式谈“转化”思想

1、由多边形内角和公式谈“转化”思想2、开放的特殊四边形3、巧构平行四边形妙解题4、多边形内外角问题的解法多多5、利用等腰梯形的特征解题6、添好辅助线解梯形问题7、梯形中的三“思想”赏析8、巧构平行四边形来解题1、由多边形内角和公式谈“转化”思想我们学习了多边形内角和公式：︒⋅-=180)2(n S n ，它是如何推导来的呢？ 如图①，在n 边形的内部取一点M ，用线段把它和各顶点连结起来，则这个n 边形被分割成了n 个三角形，这n 个三角形的内角和为：n ·180°，而这n 个三角形除去顶点M 处的周角，其余的角都拼起来的和正好为这n 边形的n 个内角，所以可得n 边形的内角和为n 个三角形的内角和减去中间点M 处的一个周角，即：︒-︒⋅=360180n S n ＝︒⋅-180)2(n ． 由以上可以看出，推导过程的指导思想是把求多边形的内角和问题“转化”．．．．为三角形的内角和问题，“转化”．．．．的办法是将多边形分割为若干个三角形。

其实“转化”．．．．分割的方法不止这一种。

许多同学还想到用下面的两种分割方法。

（1）如图②，由n 边形的某个顶点作对角线，这样的对角线可作（n －2）条，由此就把n 边形分割成了（n －2）个三角形，而每个三角形的内角和为180°，故可得多边形的内角和：︒⋅-=180)2(n S n ．（2）如图③，在n 边形的一边上取一点M ，把M 点和不相邻的各个顶点用线段连结起来，则n 边形被分割成了（n －1）个三角形，这样，n 边形的内角和等于这（n －1）个三角形的内角和再减去一个平角（∠AMA 2），故︒-︒⋅-=180180)1(n S n ＝︒⋅-180)2(n ．至此，在多边形内部或多边形顶点处或多边形一边上任取一点，都可以使多边形内角和公式得证，但它们都是将多边形分割成三角形后，把求多边形内角和“转化”为三角形内角和问题来处理的。

“转化”．．．．的思想是初中数学常用的一种思想，请同学们细细体会。

当然，你还会继续想，能不能在多边形外取一点？来证这个公式呢？这就请大家自己思考一下吧。

自主练习：（广东省改编）阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多333边形分割成若干个小三角形。

图（一）给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形。

图（一）②①请你按照上述方法（1）将图（二）中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数。

试把这一结论推广至n 边形。

（2）你能试用这些分割方法得出多边形的内角和公式吗？参考答案： 解：（1）①连结六边形一个顶点和其它各顶点，进行正确分割，可割出4个三角形； ②连结六边形边上一点（顶点除外）和各顶点，可分割出5个三角形； ③连结六边形内部一点和各顶点，可分割出6个三角形。

推广结论至n 边形，得出分割后得到的小三角形个数分别为：n －2；n －1；n ． （2）略。

2、开放的特殊四边形四边形的开放性试常常一因多果，或一果多因，一题多解，可以很好地考察、培养我们的发散思维能力或创新思维能力．本文就特殊四边形的开放型题为例归类剖析．一、条件开放型这类问题条件不完备或满足结论的条件不唯一，要求解答时发现内部联系，补充使结论成立的某些条件，便以培养我们逆向思维的能力．例1．如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是。

图1【析解】根据三角形的中位线的性质及菱形判定条件：可添AD ＝BC ，或四边形ABCD 为等腰梯形等．注意添加一个条件即可． 二、结论开放型这类问题是在给定条件下，从不同角度观察、分析得出不同的结论，便以考查学生发散思维能力．例2．如图2，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称 ．图（二）③②①图2答案：平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种均给满分）【分析】本题是一道结论开放探索型试题，涉及三角形中位线及特殊四边形的有关特征，以及培养学生动手操作的能力．解：平行四边形、矩形、等腰梯形（如图3、4、5三种中任选一种均可）．图3 图4 图5三、综合开放型这类问题的条件、结论、策略中至少有两项是开放的，试题只给出一定情景，表现为条件、方法、结论开放的若干组合，要求在情景中自行设计相应条件、方法和结论．便于考查学生的应用能力和创新能力．例3．已知矩形ABCD 的点P ，当点P 在图6中的位置时，则有结论：PBC S ∆＝PAC S ∆＋PCD S ∆．理由:过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．PE AD PF BC S S PAD PBC ⋅+⋅=+∆∆2121 ()111222ABCD BC PF PE BC EF S =+=⋅=矩形 又,PAD PCD PAC S S S ∆∆∆++∴.PAD PCD PAC PAD PBC S S S S S ∆∆∆∆∆++=+ ∴PCD PAC PBC S S S ∆∆∆+=请你参考上述信息，当点P 分别在图7、图8中的位置时，PCDPACPBC 、S、SS ∆∆∆又有怎样的数量关系?请你写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．【分析】构造几乎相同的辅助线和采用“底边与高乘积的一半表示三角形面积”的解题思路． 解：猜想结果:图7结论PCD PAC PBC S S S ∆∆∆+=;图8PCD PAC PBC S S S ∆∆∆-=．证明:如图7点P 作EF 垂直AD ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．EF BC PE BC PF BC S PBC ⋅=⋅+⋅=∆212121图6图7ABCD PAD S S EF BC PE AD 矩形212121+=⋅+⋅=∆ ABCD PAD ADC PAD PCD PAC S S S S S S 矩形21+=+=+∆∆∆∆∆∴PCD PAC PBC S S S ∆∆∆+=．点评：本题先给出了在一种特殊情况下的命题与求解过程，要求学生探索在新的变化情况下命题是否成立并给出证明，重在考查我们的理解、迁移能力，逻辑推理能力.3、巧构平行四边形妙解题平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质．解某些几何题时，若能巧妙地构造出平行四边形，往往会化难为易、化繁为简．现举例说明． 例1．例1 已知：如图，AB ∥EF ∥GH ，BE ＝GC ．求证：AB ＝EF ＋GH ．分析：要证AB ＝EF ＋GH ，一般应想到利用截长补短的方法去证。

证明：过E 作EN ∥AC 交AB 于N ，则四边形ANEF 为平得四边形，∠NEB ＝∠C ，∴ AN ＝EF （平行四边形对边相等）． ∵ AB ∥GH ， ∴ ∠B ＝∠HGC ． 又∵ ∠NEB ＝∠C ， BE ＝GC ， ∴ △NBE ≌△HGC ，∴ GH ＝NB ． ∵ AB ＝AN ＋BN ，∴AB ＝EF ＋GH ．点评：当已知中有平行关系且又要处理线段或角相等问题时，常引平行线构造平行四边形，再利用平行四边形对边相等选，对角相等来转移边、角，从而把分散条件集中。

例2． 如图2，△ADE 和△BCF 是分别以□ABCD 的边AD 、BC 为斜边的等腰直角三角形， 求证：AC 与EF 互相平分．图2证明：连结EC 、AF ．∵□ABCD 中，AD ＝BC ，且△ADE 和△BCF 是分别以AD 、BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴AE ＝CF （由勾股定理或三角形全等可知） ∵□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠ADC ＝∠ACB又∵∠EAD ＝∠FCB ＝45° ∴∠EAC ＝∠FCA ， ∴ AE ∥CF∴四边形BEDF为平行四边形，∴AC与EF互相平分．点评：要证两线段互相平分，一般可连结它们的端点构成四边形，再证其为平行四边形．例3．如图3，△ABC中，AB＝9，AC＝5，那么BC上的中线AD的取值范围是．图3解：延长AD至E，使ED＝AD，连结BE、CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴BE＝AC，在△ABE中，∵A B－BE＜AE＜AB＋BE，即9－5＜2AD＜9＋5,∴ 2＜AD＜7．点评：本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质得出等于AD的2倍的线段AE，同时更重要的是将AB、AC的代换线段BE及AE放在同一三角形中，再利用三角形三边之间的不等关系巧妙的得出AD的取值范围．4、多边形内外角问题的解法多多大家都知道多边形内角和公式为（n－2）×180°．但部分同学在运用这个公式解涉及求已知多边形除一个内角（或加一个外角）的度数等问题时，往往不知所措，下面举两例给大家赏析．例１．一个多边形，除一个内角外，其余各内角和等于2008°，求这个内角度数及多边形的边数．解法一：因为多边形内角和为180°的整数倍，可设其内角和为2008°＋α（0°＜α＜180°＝．所以2008°＋α为180°的整数倍．所以α＝152°．所以n＝14．说明：本解法是利用多边形内角和为180°的整数倍，求出一个最接近2008°且大于2008°的180°的倍数，它即是这个多边形的内角和．解法二：因为2008︒180︒＝71145，取71145的整数部分11，而任意一个内角都小于180°，所以n－2＝11＋1，所以n＝14．所以(n－2)×180°＝(14－2)×180°＝2160°，2160°－2008°＝152°．所以这个内角是152°，这个多边形的边数为14．说明：此法可称为“取整进一法”．解法三：由于少了一个角.则该多边形的内角和自然比2008°大，又由内外角间的关系发现，内角和比2008°+180°小，从而构造不等式组.2008°＜(n －2)×180°＜2008°+180°，所以71145＜n －2＜71245，即71345＜n ＜71445，所以n ＝14．例2．若一多边形的所有内角与某一外角和为1350︒，则这个外角是多少度？这个多边形的边数是多少？解法一：因为多边形内角和为180︒的整数倍，可设其内角和为1350(0180)αα︒-︒<<︒，边数为n ．所以1350α︒-必为180°的整数倍． 所以90α=︒． 所以9n =．解法二：因为1350171802︒=︒，取172的整数部分7，而任意一个外角都小于180°，所以279n n -==，．说明：此法可称为“去尾法”．5、利用等腰梯形的特征解题在学习等腰梯形后，我们认识了等腰梯形的特征： ① 等腰梯形同一底边上的两个角相等； ② 等腰梯形的两条对角线相等； ③ 等腰梯形是轴对称图形．根据等腰梯形的这些特性，我们可解决有关梯形的计算或说理问题． 一、求梯形中角的度数例1 如图1，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AD ＝DC ＝BC ，且对角线AC 垂直于腰BC ，求这个梯形的各个内角的度数． 【分析】由AB//CD ，可得∠1＝∠2，再由AD ＝DC 可得∠1＝∠3，从而得出∠1＝∠2＝∠3，再利用等腰梯形的性质及四边形的内角和可解。