机器人正逆运动学 课件
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第三章机器人运动学PPT课件
（2）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。
（3）矩阵与矩阵相乘： （4） 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列，记为
7. 矩阵的逆（逆矩阵） 8. 分块矩阵：分块后的矩阵与普通矩阵的运算相同。
9. 正交矩阵：如果
，则A为正交矩阵。它满足：
如果
是正交矩阵，则
行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是 一个数。
三、矢量的点积（内乘积或标量积）
其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图3-2所示。 令b=i （i为b方向上的单位矢量），则
图3-2标量积
换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量 方向上单位矢量的点积。
再令a=j （j 为a方向上的单位矢量），则
即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。
二、坐标旋转
图3-6 坐标旋转
如图3-6，{B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。令
和
分别是{A}和{B}中的单位主矢量，点P 在两
坐标系中各坐标轴上的坐标分量分别为：
和
所以有 利用点乘的性质和上式共同求解得
将
代入上面三式中并写成矩阵形式得
上式简写为： 此式称为坐标旋转方程。其中旋转矩阵 表示了坐标系{B}相 对于{A}的方位，正好与刚体姿态的描述相同。同理也可得
和 APCO APBO
进而有
例3.2 已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先{B}相对{A}的zA轴
转30°，再沿{A}的xA轴移动10个单位，并沿{A}的
,求 。
解：
zB zA
OB OA
xA30oxB
yB 30o
yA
zA zB
OA
(10,5,0)
xA
（3）矩阵与矩阵相乘： （4） 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列，记为
7. 矩阵的逆（逆矩阵） 8. 分块矩阵：分块后的矩阵与普通矩阵的运算相同。
9. 正交矩阵：如果
，则A为正交矩阵。它满足：
如果
是正交矩阵，则
行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是 一个数。
三、矢量的点积（内乘积或标量积）
其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图3-2所示。 令b=i （i为b方向上的单位矢量），则
图3-2标量积
换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量 方向上单位矢量的点积。
再令a=j （j 为a方向上的单位矢量），则
即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。
二、坐标旋转
图3-6 坐标旋转
如图3-6，{B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。令
和
分别是{A}和{B}中的单位主矢量，点P 在两
坐标系中各坐标轴上的坐标分量分别为：
和
所以有 利用点乘的性质和上式共同求解得
将
代入上面三式中并写成矩阵形式得
上式简写为： 此式称为坐标旋转方程。其中旋转矩阵 表示了坐标系{B}相 对于{A}的方位，正好与刚体姿态的描述相同。同理也可得
和 APCO APBO
进而有
例3.2 已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先{B}相对{A}的zA轴
转30°，再沿{A}的xA轴移动10个单位，并沿{A}的
,求 。
解：
zB zA
OB OA
xA30oxB
yB 30o
yA
zA zB
OA
(10,5,0)
xA
ppt机器人正逆运动学解析
将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到
S2 S23 C2C23 cos3
于是有：
C3
(
pxC1
py S1
C234a4 )2 ( pz 2a2a3
S234a4 )2
a22
a32
已知 S3 1 C32
于是可得到：
3
arctan
S3 C3
依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1~A4的逆，可得到
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
连杆0
z0 y0
d1 x0
O0
解：
例2、PUMA560运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节） 关节变量都是θ
θ2
θ1
θ3
θ5
θ4 θ6
PUMA560机器人的连杆及关节编号
A1
O1 O0
A2
为右手坐标系，Yi轴：按右手定则
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
工业机器人技术基础4.5.1工业机器人的正运动学计算ppt课件
杆4
X5 Y6
杆5
X6
根据D-H表示法，确定了相邻 连杆坐标系{i}与{i-1}的齐次变 换矩阵，最后根据正向运动学 方程，写出机器人的总变换矩
阵
60T 01T •21T •32T •43T •54T •65T 01T (q1)•21T (q2 )•32T (q3 )•43T (q4 )•54T (q5 )•65T (q6 )
2 50 ( 2
6 4
2 ) 25 4
6 75 2
2 2
8
解法2
T Rot(zA,1)Trans(l1,0,0)Rot(zB ,2 )Trans(l2,0,0)
cos 45 sin 45 0 01 0 0 100cos(30 ) sin(30 ) 0 01 0 0 50
sin
45
cos 45
0 00 1 0
0
sin(30
)
cos(30 )
0 00 1 0
0
0
0 1 00 0 1 0 0
0
1 00 0 1 0
0
0
0 10 0 0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
6 4
2 4
6 4
2 4
0
0
2 6 44 2 6 44
0
0
0
25
6 125 2
2
2
0
25
6 75 2
2 2
1
0
0
6 0
R
6 0
P
0
0
0
1
6
正向运动学计算-例题
• 某机器人有2个关节，分OA别OB位 于 ， 点，O机C 械手中心为 点。这三个点分别为三个坐 标系的原点，调整机器人各 关节l1 使100得,l2 末50端,1 操 45作,2器 最30终到 达指定位置（未沿Z轴发生平 移），其中
机器人技术基础课件第三章-机器人运动学精选全文完整版
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
第四章机器人学逆运动学方程ppt课件
这里 其中
f11 = C1 x＋S1 y
f12 = - z f13 = - S1 x＋C1 y
(4.10) (4.11) (4.12)
x =[ nx ox ax px ]T， y =[ ny oy ay py ]T， z =[ nz oz az pz ]T 由第三章得到的斯坦福机械手运动学方程式（3.48）为
同样比较式（4.48）等号两边矩阵的第2行第1列和第2行第2列元素可知
sin f12 (n)
（4.64）
cos f12 (o)
（4.65）
或
由此可得
sin sin nx cos ny cos sin ox cos oy
tan
1
sin sin
n o
x x
cos ny cos oy
d3 S2 C1 px S1 py C2 pz
（4.24） （4.25）
4
tan 1
C2
S1ax C1ay C1ax S1ay S2az
（4.26）
5
tan 1
C4
C2
C1ax
S1ay S2az S2 C1ax S1ay
S4 S1ax C2az
C1ay
由式（4.36）和式（4.43）可解出Ψ角
cos1 nz
sin
（4.43） （4.44） （4.45）
这里需要指出的是，在我们采用式（4.43）~式（4.45） 来计算θ、φ、Ψ时都是采用反余弦函数，而且式（4.43）和 式（4.45）的分母为sinθ，这会带来如下问题：
1）由于绝对值相同的正负角度的余弦相等，如cosθ＝ cos（-θ），因此不能确定反余弦的结果是在那个象限；
由于机械手各关节变量的相互耦合，后面计算的关节变量与前 面的关节变量有关，因此当前面关节变量的计算结果发生变化 时，后面关节变量计算的结果也会发生变化，所以逆运动方程 的解不是唯一的，我们应该根据机械手的组合形态和各关节的 运动范围，经过多次反覆计算，从中选择一组合理解。由此可 见，求解机械手的逆运动方程是一个十分复杂的过程。
电机拖动技术基础第三章机器人的运动学PPT课件
第三章 机器人的运动学
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
机器人学导论--ppt课件可编辑全文
关节变量
ppt课件
2
1.2 描述：位置、姿态和坐标系
位置描述
一旦建立坐标系，就能用一
个3*1的位置矢量对世界坐标 系中的任何点进行定位。因 为在世界坐标系中经常还要 定义许多坐标系，因此在位 置矢量上附加一信息，标明 是在哪一坐标系中被定义的。
例如：AP表示矢量P在A坐标系中的表示。
BP 表示矢量P在B坐标系中的表示。
c os90
c os120 c os30 c os90
XB XA
X
B
YA
X B Z A
c os90 c os90 cos0
]
YB X A YB YA YB Z A
ZB XA
ZB
YA
ZB Z A
ppt课件
5
坐标系的变换
完整描述上图中操作手位姿所需的信息为位置和姿态。机器人学中
在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前 提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多 移动小关节，少移动大关节”的原则。
ppt课件
23
4 PUMA560机器人运动学反解-反变换法
❖ 由于z4 , z5, z6 交于一点W,点W在基础坐标系中的位置仅与 1,2,3
有关。据此，可先解出 1,2,3 ，再分离出 4 ,5,6 ，并逐
PUMA560变换矩阵
ppt课件
21
将各个连杆变换矩阵相乘便得到PUMA560手臂变换矩阵
06T 01T (1)21T (2 )23T (3 )34T (4 )45T (5 )56T (6 )
什么是机器人运动学正解？ 什么是机器人运动学反解？
ppt课件
22
操作臂运动学反解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、 在进行反解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度 快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。 操作臂的运动学反解封闭解可通过两种途径得到：代数解和 几何解。 一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多， 即运动学反解的数目也越多。
机器人运动学正解逆解课件
机器人力控制
在机器人力控制中，需要知道每个关节的角度变化来调整 机器人的姿态和力矩。逆解可以用于求解每个关节的角度 变化，从而调整机器人的姿态和力矩。
机器人定位
在机器人定位中，需要知道每个关节的角度变化来调整机 器人的位置和姿态。逆解可以用于求解每个关节的角度变 化，从而调整机器人的位置和姿态。
04
实现复杂运动轨迹
利用运动学正解与逆解，可以规划出 复杂的运动轨迹，满足各种应用需求 。
02
机器人运动学正解
正解的基本概念
正解是指机器人末端执行器从某一初 始位置和姿态到达目标位置和姿态所 需经过的关节角度值。
正解是机器人运动学中的基本问题， 是实现机器人精确控制和自主导航的 基础。
正解的求解方法
逆解的求解方法
01
代数法
通过建立机器人关节角度与目标点坐标之间的方程组，利用数学软件求
解方程组得到关节角度。这种方法适用于简单的机器人结构，但对于复
杂机器人结构求解过程可能较为繁琐。
02
数值法
通过迭代或搜索的方法，不断逼近目标点坐标，最终得到满足要求的关
节角度。这种方法适用于复杂机器人结构，但求解时间较长且可能存在
机器人运动学正解逆解课件
目 录
• 机器人运动学概述 • 机器人运动学正解 • 机器人运动学逆解 • 机器人运动学正逆解的对比与联系 • 机器人运动学正逆解的实例分析
01
机器人运动学概述
定义与分类
定义
机器人运动学是研究机器人末端 执行器位姿与关节变量之间的关 系的学科。
分类
根据机器人的结构和运动特性， 可以分为串联机器人和并联机器 人。
局部最优解。
03
解析法
通过几何学和代数学的方法，直接求解关节角度与目标点坐标之间的关
在机器人力控制中，需要知道每个关节的角度变化来调整 机器人的姿态和力矩。逆解可以用于求解每个关节的角度 变化，从而调整机器人的姿态和力矩。
机器人定位
在机器人定位中，需要知道每个关节的角度变化来调整机 器人的位置和姿态。逆解可以用于求解每个关节的角度变 化，从而调整机器人的位置和姿态。
04
实现复杂运动轨迹
利用运动学正解与逆解，可以规划出 复杂的运动轨迹，满足各种应用需求 。
02
机器人运动学正解
正解的基本概念
正解是指机器人末端执行器从某一初 始位置和姿态到达目标位置和姿态所 需经过的关节角度值。
正解是机器人运动学中的基本问题， 是实现机器人精确控制和自主导航的 基础。
正解的求解方法
逆解的求解方法
01
代数法
通过建立机器人关节角度与目标点坐标之间的方程组，利用数学软件求
解方程组得到关节角度。这种方法适用于简单的机器人结构，但对于复
杂机器人结构求解过程可能较为繁琐。
02
数值法
通过迭代或搜索的方法，不断逼近目标点坐标，最终得到满足要求的关
节角度。这种方法适用于复杂机器人结构，但求解时间较长且可能存在
机器人运动学正解逆解课件
目 录
• 机器人运动学概述 • 机器人运动学正解 • 机器人运动学逆解 • 机器人运动学正逆解的对比与联系 • 机器人运动学正逆解的实例分析
01
机器人运动学概述
定义与分类
定义
机器人运动学是研究机器人末端 执行器位姿与关节变量之间的关 系的学科。
分类
根据机器人的结构和运动特性， 可以分为串联机器人和并联机器 人。
局部最优解。
03
解析法
通过几何学和代数学的方法，直接求解关节角度与目标点坐标之间的关
机器人运动学正解逆解-精PPT课件
A3
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi
di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离
θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
A5
A4 A6
.
16
连杆 n θn
dn
anαn1 θ1 源自900) 0S5S6 0C234S5 S234S5
C5 0
C234a4 C23a3 C2a2
S234a4
S23a3
S2a2
0
1
根据第3行第4列元素对应相等可得到
1a rc tp paxy)n和 (111 8 0
.
29
根据1，4元素和2，4元素，可得到：
pxC 1pyS1C23 a4 4C2a 33C2a2 pzS23 a4 4S2a 33S2a2
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
再 根 据 对 应 项 元 素 相 ， 等 可 以 得 到
S5 C23（4 C1ax S1ay ) S234az
C5 C1ay S1ax
5
arctanC234(C1ax S1ax
S1ay ) C1ay
S234az
.
32
§1.4 机器人正向运动学
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
.
1
机器人运动学精品PPT课件
D-H变换矩阵
cosi
i1 Ai
sin
i
0
0
sini cosi cosi cosi
sin i
0
sini sin i cosi sin i
cosi
0
ai cosi
ai
sin
i
di 1
机器人的运动学方程
0Ti
0 A1 1A2
A i1 i
运动学逆问题
▪ 多解性，剔除多余解原则
❖根据关节运动空间合适的解 ❖选择一个与前一采样时间最接近的解 ❖根据避障要求得选择合适的解 ❖逐级剔除多余解
0 1 0 1
T1
1 0
0 0
0 -1
10 9
0 0 0
1
1 0 0 -10
T2
0 0
-1 0
0 -1
20
10
0 0 0
1
x yz
• 试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置
• 该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向， 那么，求手爪相对于∑0的姿态是什么？
解1：
已知 摄T物 T1 ， 摄T机 T2 ， 求机T物
▪ 可解性
❖所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中 总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般 是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原 理求解，它的计算量要比解析解大
❖如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90° 的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解
例题：
在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联 着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作 物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则 摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄 像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。
机器人正运动学和逆运动学
i
αi-1
ai-1
di
θi
•
•
3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程 12..确确定定各D-连H杆坐D标-H系参数和关1234节αadiii-=-1变1沿==量绕沿ααZ0023iXX轴ii--1,1从轴轴--9900X,,从00从° °i°°-1ZZ到ii--11X到到i的ZZdd00i24距i的的离角距;度离θθθθ31(；24；(-((990000°°°°))
3. 机器人正逆运动学
本章主要内容
机器人运动学研究的问题： 机器人末端在空间的运动与各个关节的运动之间
的关系。
3.1 机器人正运动学方程 3.2 机器人逆运动学方程
3.1 机器人正运动学方程
• 定义：
– 描述机器人末端相对于绝对坐标系或基座坐标 系的位置姿态的数学表达式
• 运动学方程的模型：
•
M f (qi )
3 L2 0
0
θ3 i 绕Zi轴, 从Xi1旋转到Xi的角度;
3.1.4操作臂运动学方程
目的：求出相邻连杆间的坐标
变换的形式，进一步求出连杆
T i 1 i
{R}
{P}
（n相1）对推于导连过杆0程的：位置和姿态。
{Q}
1.坐标系{i-1}相对于坐标系{i}的变换是由连杆四个参数构成
的函数，其中只有一个变量。
坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
0 N
T(q1
,
q2
,
, qN
)
01T(q1)12T(q2 )
N
1 N
T(qN
)
0N00R0
0
PN 1
0
《机器人运动学》课件
机器人正向运动学建模
正向运动学
根据机器人关节参数，计算机器人末端执行器在笛卡尔坐标 系中的位置和姿态的过程。
正向运动学模型
描述机器人末端执行器位置和姿态与关节参数之间关系的数 学模型。
机器人逆向运动学建模
逆向运动学
已知机器人末端执行器在笛卡尔坐标系中的位置和姿态，求解机器人关节参数 的过程。
逆向运动学模型
02
它主要关注机器人在三维空间中 的位置和姿态，以及如何通过关 节运动来实现这些位置和姿态的 变化。
机器人运动学的研究内容
机器人位姿表示
研究如何用数学表达式表示机 器人在三维空间中的位置和姿
态。
运动学方程
建立机器人末端执行器位姿与 关节状态之间的数学关系，即 运动学方程。
运动学逆解与正解
研究如何通过给定的位姿求解 关节状态（逆解），以及如何 通过给定的关节状态求解位姿 （正解）。
关节坐标系
基于机器人关节建立的坐标系，常用于描述机器 人的关节运动状态。
工作坐标系
基于机器人工作需求建立的坐标系，常用于描述 机器人末端执行器的位置和姿态。
CHAPTER 03
机器人运动学建模
齐次变换与坐标变换
齐次变换
描述空间中物体位置和方向变化的数 学工具，包括平移和旋转。
坐标变换
将一个坐标系中的位置和方向信息转 换到另一个坐标系中的过程，涉及到 齐次变换的应用。
关节空间的轨迹规划
定义
关节空间是指机器人的各个关节角度 构成的坐标系，关节空间的轨迹规划 是指通过控制机器人的关节角度来实 现机器人的运动。
方法
常用的方法包括多项式插值、样条曲 线插值等，通过设定起始和目标位置 的关节角度，计算出一条平滑的关节 角度路径。
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§1.4 机器人正向运动学
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
D-H表示法
学习目标：1. 理解D-H法原理 2. 学会用D-H法对机器人建模
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
再 根 据 对 应 项 元 素 相 等， 可 以 得 到
S5 C23（4 C1ax S1a y ) S234az
C5 C1a y S1ax
5
arctan C234 (C1ax S1a x
#
d
a
1
1
0
0
90
2
2
0
a2
0
3
3
0
a3
0
4
4
0
a4
-90
5
5
0
0
90
6
6
0
0
0
nTn1 An1 Rot(z,n1 ) Trans (0,0, dn1 ) Trans (an1 ,0,0) Rot ( x,n1 )
C n1
An1
1 0
0
0
0
1
C3 S3 0 C3a3
A3
S3
0
C3 0
0
S
3a3
1 0
0
0
0
1
C4 0 S4 C4a4
A4
S4
0
0 1
C4 0
S4a4
0
0
0
0
1
C5 0 S5 0
A5
S5
0
0 1
C5 0
S n1
0
0
Sn1C n1 C n1C n1
S n1
0
S n1 S n1 Cn1S n1
C n1
0
an1C n1
a
n1
S
n1
dn1
1
#
d
a
1
1
0
0
90
2
2
0
a2
0
3
3
0
a3
0
4
4
0
a4
-90
5
5
0
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
0
90
C1 0 S1 0
A1
S1
0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
6
6
0
0
0
第四步：将参数代入A矩阵，可得到
C1 0 S1 0
A1
S1
0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
C2 S2 0 C2a2
A2
S2
0
C2 0
0
S
2a2
• 为右手坐标系 • 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点
A6
y6
z6
A5
连杆5
• zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意
x6
O6
关节6
关节5 坐标系4
• xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线 • yi轴：按右手定则
坐标系5
d6 z4
A4 z3
关节4 坐标系3
x3
连杆4
y3
O3
连杆3
A3
d3 A2
C234 (C1nx S1ny ) S234nz
C1ny S1nx S234 (C1nx S1ny )
C
234nz
0
C234 (C1ox S1oy )
S234oz C1oy S1ox
S234 (C1ox S1oy )
C 234oz 0
坐标系的确定
1.第一个关节指定为关节 n,第二个关节为n+1,其余 关节以此类推。
2.Z轴确定规则：如果关 节是旋转的，Z轴位于按 右手规则旋转的方向， 转角 为关节变量。如 果关节是滑动的，Z轴为 沿直线运动的方向，连 杆长度d为关节变量。关 节n处Z轴下标为n-1。
3.X轴确定规则 情况1：两关节Z轴既不平行也不相交 取两Z轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同Z轴。
S1a y
)
接下来再一次利用式
pxC1 p y S1 C234a4 C23a3 C2a2
pz S234a4 S23a3 S2a2
由于C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：
2
arctan (C3a3 (C3a3
a2 )( pz S234a4 ) S3a3 ( pxC1 py S1 a2 )( pxC1 py S1 C234a4 ) S3a3 ( pz
axC1 a y S1 az
ax S1 a yC1 0
C234C5C6 S234 S6
S234C5C
6Hale Waihona Puke C234 S6
S5C6
0
C234C5C6 S234C6 S234C5C6 C234C6
S5 S6 0
PxC1 Py S1
pz
Px
S1
an α n 0 -900
a2
0
a3 -900
0 900
0 -900
00
例3
对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐标系及 参数表。
第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系
第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式
第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写 入D-H参数表
将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到
S2 S23 C2C23 cos3
于是有：
C3
(
pxC1
py S1
C234a4 )2 ( pz 2a2a3
S234a4 )2
a22
a32
已知 S3 1 C32
于是可得到：
3
arctan
S3 C3
依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1~A4的逆，可得到
C234 (C1ax
S1a y ) S234ax C1a y S1a x S234 (C 1ax S1a y )
C 234a z 0
C234 (C1 px S1 py ) S234 pz
C34a2 C4a3 a4
0
S234 (C1Px
S1 Py
S1(C234a4
C23a3 C2a2 S234a4 S23a3
) S2a2
1
求逆运动学方程的解
依次用 A1左1 乘上面两个矩阵，得到：
nxC1 ny S1
nz
nx
S1
nyC1
0
oxC1 oy S1 oZ
ox S1 oyC1 0
情况2：两关节Z轴平行 此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的 一条公垂线。 情况3：两关节Z轴相交
取两条Z轴的叉积方向作为X轴。 4.Y轴确定原则
取X轴、Z轴叉积方向作为Y轴方向。（右手）
5.变量选择原则
用θn+1角表示Xn到Xn+1绕Zn轴的旋转角;dn+1表示从Xn到Xn+1沿Zn测量
0 0
0
0
0
1
C6 S6 0 0
A6
S
6
0
C6 0
0 0 1 0
0
0 0 1
第5步 求出总变化矩阵
RTH A1 A2 A3 A4 A5 A6
C1(C234C5C6 S234 S6 ) S1S5C6
S1(C234C5C6 C1S5 S6
)
C 234
pz
S34a2 S4a3 1
C5C6 C5S6 S5 0
S5C
6
S5S6
C5
0
S6
C6
0 0
0
0
0 1
234
arctan(
az C1ax
S1a y
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
D-H表示法
学习目标：1. 理解D-H法原理 2. 学会用D-H法对机器人建模
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
再 根 据 对 应 项 元 素 相 等， 可 以 得 到
S5 C23（4 C1ax S1a y ) S234az
C5 C1a y S1ax
5
arctan C234 (C1ax S1a x
#
d
a
1
1
0
0
90
2
2
0
a2
0
3
3
0
a3
0
4
4
0
a4
-90
5
5
0
0
90
6
6
0
0
0
nTn1 An1 Rot(z,n1 ) Trans (0,0, dn1 ) Trans (an1 ,0,0) Rot ( x,n1 )
C n1
An1
1 0
0
0
0
1
C3 S3 0 C3a3
A3
S3
0
C3 0
0
S
3a3
1 0
0
0
0
1
C4 0 S4 C4a4
A4
S4
0
0 1
C4 0
S4a4
0
0
0
0
1
C5 0 S5 0
A5
S5
0
0 1
C5 0
S n1
0
0
Sn1C n1 C n1C n1
S n1
0
S n1 S n1 Cn1S n1
C n1
0
an1C n1
a
n1
S
n1
dn1
1
#
d
a
1
1
0
0
90
2
2
0
a2
0
3
3
0
a3
0
4
4
0
a4
-90
5
5
0
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
0
90
C1 0 S1 0
A1
S1
0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
6
6
0
0
0
第四步：将参数代入A矩阵，可得到
C1 0 S1 0
A1
S1
0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
C2 S2 0 C2a2
A2
S2
0
C2 0
0
S
2a2
• 为右手坐标系 • 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点
A6
y6
z6
A5
连杆5
• zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意
x6
O6
关节6
关节5 坐标系4
• xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线 • yi轴：按右手定则
坐标系5
d6 z4
A4 z3
关节4 坐标系3
x3
连杆4
y3
O3
连杆3
A3
d3 A2
C234 (C1nx S1ny ) S234nz
C1ny S1nx S234 (C1nx S1ny )
C
234nz
0
C234 (C1ox S1oy )
S234oz C1oy S1ox
S234 (C1ox S1oy )
C 234oz 0
坐标系的确定
1.第一个关节指定为关节 n,第二个关节为n+1,其余 关节以此类推。
2.Z轴确定规则：如果关 节是旋转的，Z轴位于按 右手规则旋转的方向， 转角 为关节变量。如 果关节是滑动的，Z轴为 沿直线运动的方向，连 杆长度d为关节变量。关 节n处Z轴下标为n-1。
3.X轴确定规则 情况1：两关节Z轴既不平行也不相交 取两Z轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同Z轴。
S1a y
)
接下来再一次利用式
pxC1 p y S1 C234a4 C23a3 C2a2
pz S234a4 S23a3 S2a2
由于C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：
2
arctan (C3a3 (C3a3
a2 )( pz S234a4 ) S3a3 ( pxC1 py S1 a2 )( pxC1 py S1 C234a4 ) S3a3 ( pz
axC1 a y S1 az
ax S1 a yC1 0
C234C5C6 S234 S6
S234C5C
6Hale Waihona Puke C234 S6
S5C6
0
C234C5C6 S234C6 S234C5C6 C234C6
S5 S6 0
PxC1 Py S1
pz
Px
S1
an α n 0 -900
a2
0
a3 -900
0 900
0 -900
00
例3
对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐标系及 参数表。
第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系
第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式
第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写 入D-H参数表
将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到
S2 S23 C2C23 cos3
于是有：
C3
(
pxC1
py S1
C234a4 )2 ( pz 2a2a3
S234a4 )2
a22
a32
已知 S3 1 C32
于是可得到：
3
arctan
S3 C3
依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1~A4的逆，可得到
C234 (C1ax
S1a y ) S234ax C1a y S1a x S234 (C 1ax S1a y )
C 234a z 0
C234 (C1 px S1 py ) S234 pz
C34a2 C4a3 a4
0
S234 (C1Px
S1 Py
S1(C234a4
C23a3 C2a2 S234a4 S23a3
) S2a2
1
求逆运动学方程的解
依次用 A1左1 乘上面两个矩阵，得到：
nxC1 ny S1
nz
nx
S1
nyC1
0
oxC1 oy S1 oZ
ox S1 oyC1 0
情况2：两关节Z轴平行 此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的 一条公垂线。 情况3：两关节Z轴相交
取两条Z轴的叉积方向作为X轴。 4.Y轴确定原则
取X轴、Z轴叉积方向作为Y轴方向。（右手）
5.变量选择原则
用θn+1角表示Xn到Xn+1绕Zn轴的旋转角;dn+1表示从Xn到Xn+1沿Zn测量
0 0
0
0
0
1
C6 S6 0 0
A6
S
6
0
C6 0
0 0 1 0
0
0 0 1
第5步 求出总变化矩阵
RTH A1 A2 A3 A4 A5 A6
C1(C234C5C6 S234 S6 ) S1S5C6
S1(C234C5C6 C1S5 S6
)
C 234
pz
S34a2 S4a3 1
C5C6 C5S6 S5 0
S5C
6
S5S6
C5
0
S6
C6
0 0
0
0
0 1
234
arctan(
az C1ax
S1a y