一次函数图象与行程问题综合题

一次函数图象与行程问题综合题

1（期末考试题）：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开

往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为(Km)，出租车离甲

地的距离为(Km)，客车行驶的时间为x (h)，与的函数关系如

图1所示．

（ 1）根据图象直接写出，与x的函数关系式；

（2）若设两车之间的距离为s (Km)，请写出s关于x的函数关系式；

（3）甲乙两地间有M、N两个加油站，相距200 Km，若客车进入M站加油时，出租车恰好进入N站加油，求M加油站到甲地的距离．

解：（1）由图1知，客车离甲地的距离与时间x成正比例函数关系（直线AB过原点），出租车离甲地的距离与时间x成一次函数关系（直线CD不过原点）．

故设＝x （0≤x≤10），＝x＋（0≤x≤6），将点（10，600）代入＝x，点（6，0）和（0，600）代入＝x＋，易求得，与x

的函数关系式为：＝60x（0≤x≤10）①，＝－100x＋600（0

≤x≤6）②；

（2）由图象知，点E的实际意义是：点E表示客车与出租车到甲地的距离相等（＝），即它们在此时相遇．联立①与②，解得，，所以点E的坐标为（，225），即两车同时出发后（＝3．75）小时相遇．借助行程图知：两车相遇前，s关于x的函数关系式为s＝－＝－160x＋600（0≤x≤）；两车相遇后，s关于x的函数关系式为s＝－＝160x－600（≤x≤6）；（注：当x＝时，－＝0，即相遇时s

＝0．）出租车到达甲地后，s关于x的函数关系式为s＝＝60x（6≤x≤10）．

（注：在此时间段，出租车到达甲地后没有再行驶．）

（3）由题意，知s＝200，

当0≤x≤时，－160x＋600＝200，∴x＝，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x＝60×＝150(Km)；当≤x≤6时，s＝160x－600＝200，∴x＝5，此时，A加油站

到甲地的距离为＝60x＝60×5＝300(Km)；

当6＜x≤10时，s＝60x＝200，∵60x＞360，不合题意．

点评：本题以行程为背景的一次函数应用题，用图象给出了相关信息，要解决此类问题，第一，必须读懂图象：1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么（如本题的y轴上的点表示两车在该时刻与甲地的距离）？2．图象的每一段的实际意义是什么（如：本题的CE段表示

出租车在相遇前离甲地的距离随时间x变化的函数图象，此段内每个点表示在该时刻出租车与甲地的距离）？3．图象的交点或拐点的实际意义是什么（如：本题的点E表示两车

在此时相遇，此时两车与甲地的距离相等，即x＝时＝）？4．图象与两坐标轴的

交点的实际意义是什么（如：本题的C点表示出租车在乙地刚要出发驶往甲地的时刻，此时出租车离甲地600 Km）？第二，借助行程图，是解决此类问题的关键．只有这样，才能弄清每一过程中y与x的函数关系（如：本题中“相遇前”、“相遇后”等过程中的函数关系），从而各个击破．第三，应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围（如：

本题的ED段对应的函数解析式为＝－100x＋600，其自变量的取值范围是≤x≤6）；第四，本题第（3）问M、N两个

加油站的位置是不确定的，但它们的距离恒为200 Km（如下图所示）．因此存在两种情形，即相遇前，客车进入M站时，出租车恰好进入N站；相遇后，客车进入M站时，出租车恰在此时好进入N站．

2. A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．

（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写

出自变量x的取值范围；

（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．

【答案】

（1）①当0≤≤6时，

②当6＜≤14时，设，

∵图象过（6，600），（14，0）两点，

∴解得∴．∴

（2）当时，，

（千米/小时）．

3.在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B 港的距离分别为、（km），、与x的函数关系如

图所示．

1）填空：A、C两港口间的距离为 km，；

2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙

两船可以相互望见时x的取值范围．

【答案】解：（1）120，；

（2）由点（3，90）求得，．

当＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，．

当时，，解得，．

此时．所以点P的坐标为（1，30）

该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30 km．

求点P的坐标的另一种方法：

由图可得，甲的速度为（km/h），乙的速度为（km/h）．

则甲追上乙所用的时间为（h）．此时乙船行驶的路程为（km）．所以点P的坐标为（1，30）．

（3）①当≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，．

依题意，≤10．解得，≥．不合题意．

②当0.5＜≤1时，依题意，≤10．

解得，≥．所以≤≤1．

③当＞1时，依题意，≤10．

解得，≤．所以1＜≤．

综上所述，当≤≤时，甲、乙两船可以相互望见．

4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．

（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；

（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停

止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y

关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对

应的图上)（1.5，70）、（2，0），然后利用待定系数法，

确定直线解析式即可．

【答案】（1）线段AB所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，

将（1.5，70）、（2，0）代入得：，解得：，

所以线段AB所在直线的函数解析式为：y＝－140x＋280，当x＝0时，

y＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米．

（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，由题意得：

，解得：，所以快车的速度为80千米/时，