九年级数学上册212 二次函数yax2的图像特点和性质第2课时课件 新版沪科版
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沪科版九年级上册21.2.1二次函数的图象和性质课件
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大 而增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：列表
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
?
-3
-6
-9
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
3．观察y＝
1 2
x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称
轴和顶点坐标．
1
4．根据函数y＝ 2 x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大 而增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：列表
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
?
-3
-6
-9
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
3．观察y＝
1 2
x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称
轴和顶点坐标．
1
4．根据函数y＝ 2 x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的
新沪科版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象和性质》精品课件
14．二次函数y＝mxm2一2有最大值，则m＝_－__2_，当x_>__0_时，y随 x的增大而减小．
15．如图，⊙O 的半径为 3，C1 是函数 y＝21x2 的图象，C2 是函数 y＝ －12x2 的图象，则阴影部分的面积是__92_π_．
16．如图，请把图中图象的序号填在它的解析式后面． y＝2x2 的图象为__④__． y＝12x2 的图象为__③__． y＝－x2 的图象为_①___． y＝－23x2 的图象为_②___．
▪1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ▪2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8)．
(1)求直线AB和抛物线y＝ax2的解析式；
(2)若抛物线在第一象限内有一点D，使得S△AOD＝S△BOC，求点D的坐标．
解：(1)y＝－x＋2；y＝x2
(2)假设存在点 D，使 S△AOD＝S△BOC，作 DE⊥OA 于点 E，
y＝x2，
x1＝－2，x2＝1，
则 DE＝|yD|＝yD，解方程组y＝－x＋2，得y1＝4， y2＝1. ∴
12．如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称 中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD的各 边平行或垂直，若小正方形的边长为x，且0<x≤10，阴影部分的面积为y， 则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( ) D
15．如图，⊙O 的半径为 3，C1 是函数 y＝21x2 的图象，C2 是函数 y＝ －12x2 的图象，则阴影部分的面积是__92_π_．
16．如图，请把图中图象的序号填在它的解析式后面． y＝2x2 的图象为__④__． y＝12x2 的图象为__③__． y＝－x2 的图象为_①___． y＝－23x2 的图象为_②___．
▪1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ▪2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8)．
(1)求直线AB和抛物线y＝ax2的解析式；
(2)若抛物线在第一象限内有一点D，使得S△AOD＝S△BOC，求点D的坐标．
解：(1)y＝－x＋2；y＝x2
(2)假设存在点 D，使 S△AOD＝S△BOC，作 DE⊥OA 于点 E，
y＝x2，
x1＝－2，x2＝1，
则 DE＝|yD|＝yD，解方程组y＝－x＋2，得y1＝4， y2＝1. ∴
12．如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称 中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD的各 边平行或垂直，若小正方形的边长为x，且0<x≤10，阴影部分的面积为y， 则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( ) D
二次函数yax2k的图象和性质公开课ppt课件
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象
a>0
k＞0 k＜0
a<0
k＞0 k＜0
开口 对称性 顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
• 1、今天我学会了顶点在y轴上的抛物
线
，它的开口方向由 所决
定，它的对称轴是 ，它得顶点
是。
•
决定了平移的方向，平移的规律
归纳为四个字是
。
• 2、请你模仿y=ax2的知识结构图总结 今天的函数y=ax2+k的知识结构图。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
已知抛物线y=3x2+1上有两点 （x1,y1）、（x2,y2）,且x1＜x2＜0,则 y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2, • y=x2＋1，y＝x2－1的图象．（要求：每组2、
4、6号完成）
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-x2, • y=-x2＋1，y＝-x2－1的图象． （要求：每组1、
3、5号完成）
y＝ax2+k 图象
a>0
k＞0 k＜0
a<0
k＞0 k＜0
开口 对称性 顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
• 1、今天我学会了顶点在y轴上的抛物
线
，它的开口方向由 所决
定，它的对称轴是 ，它得顶点
是。
•
决定了平移的方向，平移的规律
归纳为四个字是
。
• 2、请你模仿y=ax2的知识结构图总结 今天的函数y=ax2+k的知识结构图。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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已知抛物线y=3x2+1上有两点 （x1,y1）、（x2,y2）,且x1＜x2＜0,则 y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2, • y=x2＋1，y＝x2－1的图象．（要求：每组2、
4、6号完成）
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-x2, • y=-x2＋1，y＝-x2－1的图象． （要求：每组1、
3、5号完成）
沪科版九年级上21.2.1二次函数的图象和性质(共21张PPT)
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？
y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出猜想
吗？
描点,连线
y 2
驶向胜利 的彼岸
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
观察图象,回答问题
描点,连线
驶向胜利 的彼岸
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/272021/8/27August 27, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/27
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 二次函数y=ax2的图象和性质
(2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，
求该产品的质量档次．
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝12 (舍去)，x2＝6．
所以，该产品的质量档次为第 6 档．
【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型．
想一想: 二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有什么联系和区别？ 联系：(1) 等式一边都是 ax2＋bx＋c，且 a ≠ 0；
(2) 方程 ax2＋bx＋c＝0 可以看成是二次函数 y = ax2＋bx＋c 中当 y＝0 时的情况. 区别：前者是函数，后者是方程；
温馨提示： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； （2）a，b，c 为常数，且 a ≠ 0； （3）等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次 项和常数项，但不能没有二次项.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量)
① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x²； ③ y = x2；
九年级数学上（HK） 教学课件
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？
数学九年级上册第2课时二次函数y=a(xh)2的图象和性质(共18张PPT)
直线x=2
知识梳理
（一）抛物线y=a(x-h)2特点：
1.当a>0时，开口 向上 ；当a<0时，开口 向下； 2. 顶点坐标是（h,0）； 3. 对称轴是直线 直线x=h。 4、当a>0时,在对称轴的左侧,即x <h 时，y随x的增大而 减小 ;
在对称轴的右侧,即x >h 时，y随x的增大而 增大 . 当a<0时, 在对称轴的左侧,即x <h 时，y随x的增大而 增大 ;
y＝(x-1)2
（1） y＝(x-1)2的开口向 上 ， 对称轴是直线 x=1 ，
顶点坐标是（1,0）。 图象有最 低 点， 即x= 1 时，y有最小值是 0 ；
在对称轴的左侧，
即x <1 时，y随x的增大而 减小 ；
在对称轴的右侧，
即x >1 时，y随x的增大而 增大 。 y＝(x-1)2 可以看作由y=x2
抛物线 y 1 (x 1)、2 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 x2
2
2
2
有什么关系？
y
即:
1
y
1 2
向左平移 x2 1个单位
y
1 2
(x 1)2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 2
y
1 2
x2向右平移 1个单位
2
2
2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它
们的开口方向、对称轴及顶点．
（思考）按下列要求求出二次函数的解析 式：形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但 开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物 线解析式
顶点坐标是（-1,0）。
21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
用 绘制图象时的“四点注意”
(1)利用“对称性”取自变量的值;
(2)画出合适的平面直角坐标系;
(3)无限制条件时,图象是向两端无限延伸的;
(4)用平滑的曲线连接各点,而不是用线段连接.
探 究 与 比较二次函数值大小的方法 应 (1)直接代入比较法:如果点的横坐标和抛物线所对应的函数表达式已知, 用
数学 九年级 上册 沪科版
第 21
二次函数与反比例函数
章
21.2 二次函数的图像和性质
-
21.2.1 二次函数y=ax 2的图象和性质
探究与应用
课堂小结与检测
探 活动1 会画二次函数y=ax2的图象,并熟悉图象特征
究
与 例1 (教材典题)画出二次函数y=x2的图象.
应
用 解:列表:由于自变量x可以取任意实数,因此 以0为中心选x的一些值列表.
开口向 上 ,有最低点是 (0,0)(或原点) .
(5)对于函数y=12x2的图象,在y轴左侧是 下降 的,在y轴右侧 是 上升 的;对于函数y=2x2的图象,在y轴左侧是 下降 的,
在y轴右侧是 上升 的.
探 究
变式 如图21-2-2,观察函数y=-x2,y=-12x2和y=-2x2的图象,归纳
探 究
(2)在如图21-2-1所示的平面直角坐标系中描出表格中的各
与 点,并用平滑的曲线顺次连接各点:
应
用
解:如图:
图21-2-1
探 (3)观察上述函数的图象,可知这两个二次函数图象的形状都
究
与 是 抛物线 ,且是 轴对称 图形,对称轴为 y轴(直线x=0) .
应
用 (4)观察上述函数的图象,可知二次函数y=12x2的图象开口向 上 ,有最低点是 (0,0)(或原点) ;二次函数y=2x2的图象
(1)利用“对称性”取自变量的值;
(2)画出合适的平面直角坐标系;
(3)无限制条件时,图象是向两端无限延伸的;
(4)用平滑的曲线连接各点,而不是用线段连接.
探 究 与 比较二次函数值大小的方法 应 (1)直接代入比较法:如果点的横坐标和抛物线所对应的函数表达式已知, 用
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二次函数与反比例函数
章
21.2 二次函数的图像和性质
-
21.2.1 二次函数y=ax 2的图象和性质
探究与应用
课堂小结与检测
探 活动1 会画二次函数y=ax2的图象,并熟悉图象特征
究
与 例1 (教材典题)画出二次函数y=x2的图象.
应
用 解:列表:由于自变量x可以取任意实数,因此 以0为中心选x的一些值列表.
开口向 上 ,有最低点是 (0,0)(或原点) .
(5)对于函数y=12x2的图象,在y轴左侧是 下降 的,在y轴右侧 是 上升 的;对于函数y=2x2的图象,在y轴左侧是 下降 的,
在y轴右侧是 上升 的.
探 究
变式 如图21-2-2,观察函数y=-x2,y=-12x2和y=-2x2的图象,归纳
探 究
(2)在如图21-2-1所示的平面直角坐标系中描出表格中的各
与 点,并用平滑的曲线顺次连接各点:
应
用
解:如图:
图21-2-1
探 (3)观察上述函数的图象,可知这两个二次函数图象的形状都
究
与 是 抛物线 ,且是 轴对称 图形,对称轴为 y轴(直线x=0) .
应
用 (4)观察上述函数的图象,可知二次函数y=12x2的图象开口向 上 ,有最低点是 (0,0)(或原点) ;二次函数y=2x2的图象
初三数学上册二次函数y=ax2的图象和性质课件(新版)沪科版
初三数学上册二次函数y＝ ax2的图象和性质课件（新
版）沪科版
• 1．函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条关于__•_y_轴对称的抛物线，它具有如下性 质：当a＞0时，抛物线的开口向___•_上，顶点是抛物线的最____•低点，当x＞0 时，y随x的增大而____•增__大__；当x＜0时，y随x的增大而___•_减；小当x＝____时•0 ，y最小值＝____•．0 • 2．对于函数y＝ax2(a≠0)当a＜0时，抛物线的开口向____•下，顶点是抛物线 的最___•_高点．当x＞0时，y随x的增大而____•_减__小_；当x＜0时，y随x的增大而 _____•_增__大__；当x＝____•0时，y最大值＝___•_0．
•A •C
•8．(4分)在函数y＝－x2中，当－3<x<1时，则y的取值范围是____•－__9_<__y_≤_0．
• 9．(8分)函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数． • (1)若其图象开口向上，求函数的关系式； • (2)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式． • 解：∵函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数，∴m2－3m－2＝2，解 得m＝－1或m＝4 (1)∵函数图象开口向上，∴m－3＞0，∴m＝4，此时 函数关系式为y＝x2 (2)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m－3＜0， ∴m＝－1，此时函数关系式为y＝－4x2
•④ •③ •①
•②
• 17．(12分)已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)． • (1)求抛物线的解析式； • (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？ • (3)当x为何值时，它有最大(小)值，是多少？ • 解：(1)y＝－2x2 • (2)x>0 (3)x＝0，y最大值＝0
版）沪科版
• 1．函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条关于__•_y_轴对称的抛物线，它具有如下性 质：当a＞0时，抛物线的开口向___•_上，顶点是抛物线的最____•低点，当x＞0 时，y随x的增大而____•增__大__；当x＜0时，y随x的增大而___•_减；小当x＝____时•0 ，y最小值＝____•．0 • 2．对于函数y＝ax2(a≠0)当a＜0时，抛物线的开口向____•下，顶点是抛物线 的最___•_高点．当x＞0时，y随x的增大而____•_减__小_；当x＜0时，y随x的增大而 _____•_增__大__；当x＝____•0时，y最大值＝___•_0．
•A •C
•8．(4分)在函数y＝－x2中，当－3<x<1时，则y的取值范围是____•－__9_<__y_≤_0．
• 9．(8分)函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数． • (1)若其图象开口向上，求函数的关系式； • (2)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式． • 解：∵函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数，∴m2－3m－2＝2，解 得m＝－1或m＝4 (1)∵函数图象开口向上，∴m－3＞0，∴m＝4，此时 函数关系式为y＝x2 (2)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m－3＜0， ∴m＝－1，此时函数关系式为y＝－4x2
•④ •③ •①
•②
• 17．(12分)已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)． • (1)求抛物线的解析式； • (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？ • (3)当x为何值时，它有最大(小)值，是多少？ • 解：(1)y＝－2x2 • (2)x>0 (3)x＝0，y最大值＝0
沪科版九年级数学上册2二次函数y=a(x-h)2k图象和性质课件
例3.画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图像.指出它的开口方向、 2
顶点与对称轴、
解: 列表 描点 连线
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
直线x= o 1 2 3 4 5 x
因此可设这段抛物线对应的函数是
3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) A
2
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得: a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
O
y= －43 (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
B(1，3) C(3,0)
123 x
5
x
平移方法2:
-6
y
1 2
x
2向1个左单平位移y
1 2
(
x
1)2
向下平移 1个单位
y
1 2
(x
1)2
1
-7 -8 -9
-1x0=－1
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相
同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,
可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
画出函数
y
1 2
x
2；y
1 2
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
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17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
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在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
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函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
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13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
二次函数y=ax2的图像和性质课件沪科版九年级数学上册
y x
O
情境引入 新知探索 例题辨析 练练习巩固固 总结归纳 作业布置
当练习堂
3.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B
两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所
围成的三角形的面积．
y 3x 4,
解：由题意得
y
x2
,
解得
x
y
4, 或 16,
x
y
1, 1,
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
12 14
3… 9…
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
探究归纳： 问题1：画出二次函数y=x2的图象.
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面内描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
思考：问题1、2中的三个二次函数图像有什么特点?
y=x2 , y 1 x2 , y 2x2 2
它们有最低点 吗？
y x2
y 2x2
8
它们是左右 对称的吗？
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
导入新课 新新知探索索 例题辨析 练习巩固 总结归纳 作业布置
归纳总结： 对于抛物线 y = ax2 （a≠0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；(递增)
沪科版九年级数学上册《二次函数y=a(x+h)2的图象和性质》课件
1．(4 分)抛物线 y＝21(x＋2)2 的开口向_上___， 对称轴是___x_＝__－__2___，顶点坐标是_(4 分)将抛物线 y＝2(x－1)2 向左平移 1 个单位后得到的新抛物线 的关系式为_y__＝__2_x_2 __．
3．(4 分)把抛物线 y＝x2 向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表
8．(4 分)在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－32(x－ 1)2 的图象大致是( D )
9．(8 分)已知抛物线 y＝a(x－h)2 的对称轴为 x＝－2，且过点(1，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象； (3)从图象上观察，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时， 函数有最大值(或最小值)? 解：(1)y＝－13(x＋2)2 (2)略 (3)当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x＝－2 时函数有最大值 0
x___＜__－__h___ 时，y随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最___小__值___＝__0__；当a＜0时，抛物
线的开口向__下__，当x___＜__－__h__时，y随x的增大而增大，当x__＞__－__h__时，y 随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最_大__值___＝__0__．
21.2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质
1．抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是__x_＝__－__h__，顶点坐标是__(－__h_，__0_)_，当a ＞0时，抛物线的开口向上____，当x___＞__－__h___时，y随x的增大而增大；当
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上海沪科版初中数学九年级上册21.2 1.二次函数y=ax2 的图象2
上海沪科版初中数学
重点知识精选
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1 二次函数y =ax
2 的图象和性质
第1课时 二次函数y =ax 2 的图象
1、函数y=与y=ax 2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、观察函数y ＝x 2的图像，则下列判断中正确的是( )
A.若a 、b 互为相反数，则x ＝a 和x ＝b 时函数值相同
B.对于同一个自变量x ，有两个函数值和它对应
C.对任一个实数y ，有两个x 和它对应
D.对任意实数x ，都有y ＞0
3、圆面积公式S ＝πR 2，S 与R 之间的关系是( )
A.正比例函数
; B.一次函数;
C.二次函数;
D.以上答案都不对
4、若
y ＝(m 2-3m)的图像是抛物线，则m ＝ . 221m m x --
5、y ＝ax 2(a ≠0)的图像必经过
点，待定系数是
6、已知正方形的周长为ccm ，面积为Scm 2.(1)求S 与c 之间函数关系式；(2)画
出图像；(3)根据图像，求出S＝1cm2时，正方形的边长；(4)根据图像，求出c
取何值时，S≥4cm2
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。