高等数学物理方程
数学物理方程(谷超豪)-第三、四章 课后习题答案
第三章调和方程§1建立方程定解条件1．设)(),,,(21r f x x x u n = )(221n x x r ++=是n 维调和函数（即满足方程022212=∂∂++∂∂nx ux u），试证明221)(-+=n rc c r f )2(≠n rInc c r f 1)(21+=)2(=n 其中21,c c 为常数。
证：)(r f u =,rx r f x rr f x u i i i ⋅=∂∂⋅=∂∂)()(''32''22"22)(1)()(r x r f r r f rx r f x ui i i ⋅-⋅+⋅=∂∂312''212"122)()()(rx r f r nr f rx r f x uni i ni i ni i∑∑∑===⋅-⋅+⋅=∂∂)(1)('"r f rn r f -+=即方程0=∆u 化为0)(1)('"=-+r f rn r f rn r f r f 1)()('"--=所以)1(1')(--=n r A r f 若2≠n ，积分得1212)(c r n A r f n ++-=+-即2≠n ，则221)(-+=n r c c r f 若2=n ，则rA r f 1')(=故Inr A c r f 11)(+=即2=n ，则rInc c r f 1)(21+=2．证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(ϕθr 下，可以写成sin 1)(sin sin 1(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u 证：球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =，θcos r z =（1）222222z u yu xu u ∂∂+∂∂+∂∂=∆为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行ϕρcos =x ，ϕρsin =y （2）θρsin r =，θcos r z =（3）由（2）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂)cos ()sin (sin cos ϕρϕρϕϕϕρy ux u u y u x u u 由此解出⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂-∂∂=∂∂ρϕϕϕρρϕϕϕρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）再微分一次，并利用以上关系，得)sin cos (22ρϕϕϕρ⋅∂∂-∂∂∂∂=∂∂u u x xu)sin cos (sin )sin cos (cos ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂-∂∂∂∂⋅-⋅∂∂-∂∂∂∂=u u u u +∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂=22222222sin cos sin 2cos ϕρϕϕρρϕϕρϕuu u ρρϕϕρϕϕ∂∂⋅+∂∂⋅+u u 22sin cos sin 2cos sin (22ρϕϕϕρ⋅∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y yu)cos sin (cos )cos sin (sin ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂+∂∂∂∂++⋅∂∂+∂∂∂∂=u u u u ρρϕϕρϕϕϕρϕϕρρϕϕρ∂∂⋅+∂∂⋅--∂∂⋅+∂∂∂+∂∂=u u uu u2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin 所以ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂uu u yu xu 11222222222（5）ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂uuz uu z u y u x u112222222222222再用（3）式，变换2222zu u ∂∂+∂∂ρ。
高等数学中的数学物理方程与应用
数学物理方程是高等数学中的重要内容之一，它是用数学语言描述自然现象和物理问题的数学模型。
数学物理方程涉及的具体内容包括微分方程、偏微分方程、积分方程等。
这些方程不仅仅是数学的应用，更是物理学的基础之一。
微分方程是数学的重要内容，也是数学物理方程中最常见的一类方程。
它描述的是变量之间的关系，其中包含了导数和微分。
微分方程可以用来研究物理学中的一些现象，如振动、波动、电磁场等。
通过对微分方程的求解，可以得到物理量随时间、空间变化的规律，进而预测和解释实际的物理现象。
偏微分方程是微分方程的一种特殊形式，它涉及的变量不仅包括自变量，还包括多个因变量。
偏微分方程被广泛应用于物理学中，如热传导方程、波动方程、电子传输方程等。
通过对偏微分方程的求解，可以研究物理领域中更加复杂的问题，如电磁波传播、量子力学等。
积分方程是另一种重要的数学物理方程，它常常出现在物理学中的变分原理中。
变分原理是一种用来求解极值问题的方法，它包括能量最小原理、作用量最小原理等。
通过将物理问题转化为求解积分方程的问题，可以得到系统的平衡态和稳定性分析。
数学物理方程在物理学中的应用十分广泛。
例如，微分方程被应用于描述光的传播、电磁波的传播、粒子运动等。
偏微分方程被应用于描述热传导、波动现象、量子力学等。
积分方程被应用于计算电场、磁场、电流等。
数学物理方程的应用不仅帮助我们更好地理解物理学中的现象和问题，还为我们提供了解决实际问题的数学工具和方法。
此外，数学物理方程的研究也在数学学科中起着重要作用。
通过对数学物理方程的研究，数学家们可以在理论层面上深入理解方程的性质，为方程的求解提供更加有效的方法和技巧。
数学物理方程的研究还可以推动数学学科的发展，并在数学与物理学之间建立起紧密的联系。
总之，高等数学中的数学物理方程与应用是物理学和数学学科中不可或缺的一部分。
它通过数学语言描述物理学中的现象和问题，提供了解决实际问题的数学工具和方法。
同时，它也在数学学科中起着重要作用，推动数学的发展。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案第一章．颠簸方程§ 1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔嫩逐条而平均的弦线有一端固定，在它自己重力作用下，此线处于铅垂均衡地点，试导出此线的细小横振动方程。
解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力 T ( x) 为T ( x)g(lx)且 T( x) 的方向老是沿着弦在 x 点处的切线方向。
仍以 u( x, t) 表示弦上各点在时辰 t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段 ( x, xx), 则弦段两头张力在 u 轴方向的投影分别为g(l x) sin ( x); g (l( xx)) sin (xx)此中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴的夹角又sintgux.于是得运动方程x2u[l( xx)]u∣xxg [lx]u∣x gt 2xx利用微分中值定理，消去x ，再令 x0 得2ug[( l x) ut 2] 。
x x5. 考证u( x, y,t )t 21在锥 t 2 x 2 y 2 >0 中都知足颠簸方程x 2 y 22u2u2u证：函数 u( x, y,t )1在锥 t 2x 2 2内对变量 t 2x 2 y 2t 2 x 2y >0y 2x, y, t 有u3二阶连续偏导数。
且(t2x 2 y 2) 2 tt2u35(t2x2y 2) 23(t2x2y2) 2 t2t23(t 2x 2y 2) 2 (2t 2x2y 2)u3x2 y 2)2 x(t2x2u35t2x2y223 t2x2y22 x 2x25 t2x2y22 t22 x2y22 u5同理t2x2y22 t2x22y2y22 u 2u52u .所以t 2 x 2y 2 2 22x 2 y 2x2y2tt2即得所证。
§2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用流传波法，求解颠簸方程的特点问题（又称古尔沙问题）2ua 22ut 2x 2u x at 0(x) (0)(0)u x at( x).解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得 ( x) =F （ 0） +G （ 2x ）令 x+at=0得( x) =F （2x ） +G(0)所以F(x)=( x) -G(0).2G （ x ） = ( x) -F(0).2且F （ 0） +G(0)= (0) (0).所以u(x,t)=(xat) + ( x at ) - (0).22即为古尔沙问题的解。
数学物理方程(很好的学习教材)
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二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
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四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
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u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
吴小庆-数学物理方程习题解答案全
数学物理方程习题解习题一1，验证下面两个函数：(,)(,)sin x u x y u x y e y ==都是方程0xx yy u u +=的解。
证明：（1）(,)lnu x y =因为32222222222222223222222222222222222222222211()22()2()()11()22()2()()0()()x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y yu y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =−⋅⋅=−+++−⋅−=−=++=−⋅⋅=−+++−⋅−=−=++−−+=+=++所以(,)u x y =0xx yy u u +=的解。
（2）(,)sin xu x y e y = 因为sin ,sin cos ,sin x x x xx xxy yy u y e u y e u e y u e y=⋅=⋅=⋅=−⋅所以sin sin 0xxxx yy u u e y e y +=−=(,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。
2，证明：()()u f x g y =满足方程0xy x y uu u u −=其中f 和g 都是任意的二次可微函数。
证明：因为()()u f x g y =所以()(),()()()()()()()()()()()()0x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=⋅=⋅''=⋅''''−=⋅−⋅⋅=得证。
3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u −+= 的通解。
数学物理方程(谷超豪) 第三章 调和方程习题解答
4. 证明下列函数都是调和函数 （1） ax + by + c
证：令 u = ax + by + c , 显然
∂ 2u ∂x 2
故
= 0,
∂ 2u ∂y 2
= 0.
∆u = 0 ，所以 u 为调和函数
(2) x 2 − y 2 和2 xy
∂ 2u ∂ 2u = 2 , = 2, 。所以 ∆u = 0 。u 为调和函数 ∂x 2 ∂y 2
2
⋅
∂ 2u ∂θ
2
+
r sin θ ∂ϕ
⋅
∂ 2u
2
+
2 ∂u 1 ∂u ⋅ + 2 ctgθ r ∂r r ∂θ
即
∆u =
1 r2
⋅
∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r )+ 2 ⋅ (sin θ )+ 2 ⋅ =0 ∂r ∂r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ ∂ϕ 2
+
+
=
+
∂ 2u ∂z
2
+
ρ
2
+
1 ∂u ⋅ ρ ∂ρ
再用（3）式，变换
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
=
∂ 2u ∂r 2
+
1
r 2 ∂θ 2
⋅
∂ 2u
1 ∂u + ⋅ r ∂r
再利用（4）式，得
∂u ∂u ∂u cosθ = sin θ + ⋅ ∂ρ ∂r ∂θ r
数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]
![数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/0fa571d09fc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d6e6.png)
第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
高等学校“数学物理方程”课程教学中的一些体会和认识
摘 要 数 学 物理 方 程 是 数 学 联 系实 际 的 一 个 重 要桥 梁 ．
同 时也 是 高 等 学 校理 工科 的 一 门 重 要 的 必修 课 本 文 结 合 笔者 在 实 际 教 学 中 的经 验 ． 浅谈 一 些关 于这 门课 程教 学 的
一
要 性 ， 发 学 生 学 习 的兴 趣 。然 后 在 教材 建 设 和 具体 授 课 上 激
ｓ ｉｎ ｅ ｎｄ ｅ ｇ ｎ ｅ ｎｇ ｉ ｃｅ ｃ ｓａ ｎ ｉ ｅ ｒ ｎ Ｕｎｉｅ ｓｔ ．Ｉ ｈｓ ｐ ｐｅ ，ｂ ｓ ｄ ｏ ｉ ｖ ｒｉｙ ｎ ｔ ｉ ａ ｒ ａ ｅ ｎ
ｏ ｒ ｐ ａ ｔ ａ ｘ ｅ ｅ ｃ ， ｌ ｐ ｅ ｅ ｔｓ ｍｅ ｅ ｐ ｒｅ ｃ ｎ ｕ ｒ ｃｉ ｌｅ ｐ ｒ ｎ ｅ ｗｅ ｗｉ ｒ ｓ ｎ ｏ ｘ ｅ ｎ ｅ ａ ｄ ｃ ｉ ｌ ｉ ｒ ａｉａｉ ｎ ｏ ｅ ｔａ ｈ ｎ ｆ ｈ ｓｃ ｕ ｓ ． ｅ ｚ ｔ ｎ ｔ ｅ ｃ ｉ ｇ ｏ ｉ ｏ ｒｅ ｌ ｏ ｈ ｔ
ｔ ｅ Ｃｏ ｒ ｅ ” ｆｅ ｅ ｔ ｌ Ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｉ Ｍ ａ ｈ ｍａ ｉａ ｈ ｕｓ Ｄｉ ｒ ｎ ｉ ｑ ａ ｉ ｎ ｎ ａ ｔｅ ｔ ｌ ｃ
Ｐｈｙ ｉｓ ｉ Ｕｎｉ ｅ ｓｔ ／ Ｈｕ ｎｇ ｓｃ ” ｎ ｖ ｒ ｉｙ ／ ａ Ｒｕ ｉ Ａ ｂｓｒ ｃ ” ｆｅ ｅ ｔａ ｕａｉｎｓ ｎ Ｍ ａｈｅ ｔｃ ｌＰｈ ｓｃ ” ｉ ｔ ａ ｔ Ｄｉ ｒ ｎ ｉｌＥｑ ｔｏ ｉ ｔ ｍａｉ ａ ｙ ｉ ｓ ｓ ｎ ｔｏ ｌ ｎ ｍｐ ｒａｎ ｒｄｇ ｅｗｅ ｎ ｍａｈｅ ｔｃ ｎｄ ｒ ａ ｉ ， ｏ ｎｙ ａ ｉ ｏ ｔ ｔｂ ｉ ｅ ｂ ｔ ｅ ｔ ｍａｉ ｓ中 尽 可 能 详 细 地 介 绍 Ｆ ｕｉ 变 换 的性 ｏｒ ｒ ｅ
2024年考研高等数学二数学物理方程的分析历年真题
2024年考研高等数学二数学物理方程的分析历年真题2024年考研高等数学二数学物理方程的分析历年真题是考研数学二考试中的一部分，本文将对这一部分的内容进行详细分析，帮助考生了解历年真题的特点和解题技巧。
一、真题概述高等数学二数学物理方程部分是数学二考试的一部分，涵盖内容广泛，考察的知识点较多。
历年真题中，数学物理方程的题目形式各异，有选择题、填空题、计算题等，难度也不一。
因此，考生需要熟悉各类题型，全面复习相关知识点，才能在考试中取得好成绩。
二、选择题分析选择题在数学物理方程部分占据较大比重，因此考生需要掌握解题技巧。
解答选择题需要注意以下几点：1. 仔细阅读题目：理解题目的要求和条件是解答选择题的第一步，避免出现误解导致答案错误的情况。
2. 分析选项：在解答选择题时，可以根据选项的特点进行分析。
有些选项可能是常见错误答案，考生要善于辨别并排除。
3. 运用知识点：选择题涉及的知识点较多，考生需要熟悉相关的公式和定理，并能够灵活运用。
三、填空题分析填空题是数学物理方程部分的另一种题型，需要考生准确计算并填写答案。
解答填空题需注意以下几点：1. 搞清题目要求：填空题通常要求计算某个函数的值或解相应的方程，考生应该明确理解题目的要求。
2. 注意计算过程：填写答案时，要注意计算的准确性和完整性，确保每一步计算都正确无误。
3. 存在多个答案时的处理：有些填空题可能存在多个答案，考生需要通过合理的推理或计算，找到所有可能的答案。
四、计算题分析计算题是数学物理方程部分的较为复杂的一种题型，考察考生综合运用知识进行计算和推导。
解答计算题需要注意以下几点：1. 熟练运用公式：计算题通常需要考生利用相关公式进行计算，考生需要熟练掌握并能够正确运用这些公式。
2. 注意数据处理：计算题中给出的数据可能是冗余的或者有限的，考生需要根据实际情况进行数据简化和运算。
3. 写清思路和步骤：在解答计算题时，写清思路和计算步骤是非常重要的。
数学物理方法--数学物理方程
9.1 数学建模 数学建模----波动方程类型的建立 波动方程类型的建立
弦的横振动 波动方 程的数理方 程的建立 讨 论 定解
的
振动
9.1.1波动方程的建立 9.1.1波动方程的建立 1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题． 确定弦的运动方程，需要明确： 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 要研究的物理量是什么？ 要研究的物理量是什么 弦沿垂直方向的位移 u(x,t) 确定 弦的 运动 方程 （2）被研究的物理量遵循哪些 ） 物理定理？牛顿第二定律. 物理定理？牛顿第二定律 （3）按物理定理写出数学物 ） 理方程（即建立泛定方程） 理方程（即建立泛定方程）
热传导（或扩散） 9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件
1 初始条件 热传导方程的初始条件一般为
u ( x, y , z , 0) = ϕ ( x, y , z )
2 边界条件
（9.2.6）
第一类: 第一类 已知任意时刻 t (t ≥ 0) 边界面 Σ 上的温度分布
u ( x, y, z , t ) |Σ = f (Σ, t )
T = T2 = T 故有 1
x
而变， 而变， 可记为
T(ux x+dx −ux x ) − λgdx = λutt dx
变化量
(9.1.5)
dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
∂ux ux x+dx − ux x = dx = uxxdx ∂x
这样， 这样，
ABC
段的运动方程(9.1.5)就成为 段的运动方程(9.1.5)就成为 (9.1.5)
数学物理方程(谷超豪)课后答案
第一章．波动方程§1方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(t x u ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。
ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。
现在计算这段杆在时x +x x ∆刻的相对伸长。
在时刻这段杆两端的坐标分别为：t t ),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令，取极限得在点的相对伸长为。
由虎克定律，张力等于0→∆x x x u ),(t x ),(t x T ),()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。
)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu ()若常量，则得=)(x s =22)(tu x ∂∂ρ)((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为l x x ==,0.0),(,0),0(==t l u t u (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边l x =l x =xux E t l T ∂∂=)(),(l x =界条件为|=0xu∂∂l x =同理，若为自由端，则相应的边界条件为∣0=x xu∂∂00==x (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移l x =由函数给出，则在端支承的伸长为。
“数学物理方程”课程教学大纲
“数学物理方程”课程教学大纲英文名称：Mathematical and physical equation课程编号：math2029学时：32 学分: 2适用对象：全校二年级本科生先修课程：高等数学，线性代数，复变函数，积分变换。
使用教材及参考书：申建中刘峰编，《数学物理方程》，2010年，西安交通大学出版社一、课程性质、目的和任务“数学物理方程”是高等学校工科本科有关专业的一门基础课。
本课程旨在使学生初步掌握数学物理方程的基本理论和基本方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。
本课程的内容包括：弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等定解问题的提出，达朗贝尔法、分离变量法、贝塞尔函数与勒让德多项式的基本性质和应用。
二、教学基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。
文中用黑体字排印的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。
其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。
非黑体字排印的，也是教学中必不可少的，只是在要求是低于前者。
其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。
也是教学中必不可少的，属基本要求。
第一章数学建模与基本原理介绍了解三个典型方程(弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)的建立,了解定解条件的物理意义及三种定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法,了解偏微分方程的一些基本概念(解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐交),理解线性问题的叠加定理。
第二章分离变量法掌握有界弦自由振动问题和有限长杆上热传导问题的分离变量解法,掌握圆域内拉普拉斯方程的狄利克雷问题的分离变量解法,会用固有函数法解非齐次方程的定解问题,会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题。
第三章贝塞尔函数了解贝塞尔(Bessel)方程的幂级数解法,掌握整数阶贝塞尔函数的一些性质(递推公式、零点、正交性),了解傅里叶——贝塞尔展开式,会用贝塞尔函数解有关的定解问题。
数学物理方程学习指导书第3章经典方程建立及定解条件
第3章经典方程的成立和定解条件在议论数学物理方程的解法从前，我们第一要弄清楚数学物理方程所研究的问题应当如何提，为此，我们从双方面来议论，一方面要将一个详细的物理、力学等自然科学识题化为数学识题，即成立描绘某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程；另一方面要把一个特定的物理现象自己所拥有的详细条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和界限条件，二者合称为定解条件.定解条件提出详细的物理问题，泛定方程提供解决问题的依照，作为一个整体称之为定解问题.3．1 经典方程的成立在本节，我们将经过几个不一样的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程组成我们的主要研究对象.经典方程的导出步骤：（1）确立出所要研究的是哪一个物理量u；（2）用数学的“微元法”从所研究的系统中切割出一小部分，再依据相应的物理（力学）规律剖析周边部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次要要素，即高等数学中的抓主部，略去高阶无量小），这类互相作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量u3）把这类关系用数学算式（方程）表达出来，经化简整理就是所需求的数学物理方程.例1弦的振动弦的振动问题，固然是一个古典问题，但对于初学者仍旧拥有必定的启迪性.设有一根平均柔嫩的细弦，均衡时沿直线拉紧，并且除受不随时间而变的张力作用及弦自己的重力外，不受外力影响，下边研究弦的细小横向振动，即假定所有运动出此刻一个平面上，并且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动（图3-1）.图3-1设弦上拥有横坐标为x的点，在时辰t时的地点为M，位移NM记作u.明显，在振动过程中位移u是变量x与t的函数u(x,t).此刻来成立位移u知足的方程.我们把弦上点的运动先看作小弧段的运动，而后再考虑小弧段趋于零的极限状况.在弦上任取一弧段MM，其长为ds，设是弦的线密度，弧段MM两头所受的张力记作T，T，此刻考虑孤段MM在t 时辰的受力状况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的质量乘以该方向上的加快度.在x 轴方向弧段受力的总和为TcosTcos ，因为弦只作横向振动，所以TcosTcos0.（）假如弦的振动很小，并且在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即0,0，则由24cos14!2!可知，当为无量小量时，cos 与1的差量是的高阶无量小量，能够略去不计，所以当0, 0时cos1,cos 1代入(3.1)式，即可近似获得TT .在u 方向弧段受力的总和为Tsin Tsingds ，此中是单位弧段的质量，gds 是弧段MM 的重力.又因当0， 0时 sin1 tg tgu(x,t)，tg 2xsin ' tg 'u(xdx,t)，x2ds 1u(x,t)dxdx,x2且小弧段在时辰 t 沿u 方向运动的加快度为u(x,t)，小弧段的质量为t 2TsinTsin2u(x,t)gdsds2t或gds ，所以（）Tu(xdx,t)u(x,t)gds2u(x,t)dx, x xt 2上式左侧方括号内的部分是因为x 产生dx 的变化而惹起的u(x,t)的改变量，可用微x分取代，即u(xdx,t)u(x,t)xu(x,t)dx2u(x,t)dx, xxxx 2于是T2u(x,t) gdx2u(x,t)dxx 2x 2或T2u(x,t) 2u(x,t) g.x2t22一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即u要比g 大得多，所以又能够把g 略去.t 2经过这样逐渐略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出 u(x,t)应近似地知足方程2ua 22u（）t 2x 2这里的a2T.式(3.3)称为一维颠簸方程.假如在振动过程中，弦上此外还遇到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长 度所受外力的 F(x,t)，明显，在这里(3.1)及(3.2)分别为TcosTcos 0,FdsTsinTsin2u gdsds2.t利用上边的推导方法并略去弦自己的重量，可得弦的逼迫振动方程为2u22uf(x,t),（）’t2x2此中f(x,t)1F(x,t).方程(3.3)与(3.3)’的差异在于(3.3)’的右端多了一个与未知函数u 没关的项f(x,t)，这个项称为自由项，包括有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程.(3.3)为齐次一维颠簸方程， (3.3)’为非齐次一维颠簸方程 .例2 传输线方程对于直流电或低频的沟通电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流相等 .但对于较高频次的电流（指频次还没有高到能明显地幅射电磁波的状况） ，电路中导线的自感和电容的效应不行忽视，因此同一支路中电流未必相等.现考虑一来一往的高频传输线，它被看作拥有散布参数的导体（图3-2）.在拥有散布参数的导体中，电流经过的状况，能够用电流强度与电压v来描绘，此处i与v都是x,t的函数，记作i(x,t)与v(x,t)，以R，L，C，G分别表示以下参数：R——每一回路单位的趾串连电阻，L——每一回路单位的串连电感，C——每单位长度的分路电容，G——每单位长度的分路电导.依据基尔霍夫第二定律，在长度为x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即v(v v)R xii Lx.t而vx, vx故上式可写成v Ri L i.x T此外，由基尔霍夫第必定律，流入节点x的电流应等于流出该节点的电流，即i(i i)C x iGxv, t或i C vGv.x t将方程(3.4)与(3.5)归并，即得i与v应近似地知足以下方程组i C v Gv0,x tv iRi0.Ltx （）（（（（（（（（）为了确立函数i与v，将方程(3.5)对x微分，同时在方程(3.4)两头乘以C后再对t微分，并把两个结果相减，即得2i G v LC2i RC i x2x t20,t将(3.4)中的v代入上式，得x2i2i(RC i（）x2LG2GL)GRi,t t这就是电流i近似知足的微分方程，采纳近似的方法从（）与（）中消去i可得电压v近似知足的方程2v LG2v(RC GL)v GRv,（）x2t2t方程(3.6)或(3.7)称为传输线方程.依据不一样的详细状况，对参数R,L,C,G作不一样的假定，就能够获得传输线方程的各种特别形式.比如，在高频传输的状况下，电导与电阻所产生的效应能够忽视不计，也就是说可令G R0，此时方程(3.6)与(3.7)可简化为2i12ix2LC t2,2v12vt2LC t2.这两个方程称为高频传输线方程.若令a21这两个方程与(3.3)完整同样.因而可知，同一个方程能够用来描绘不一样的LC物理现象，一维颠簸方程不过颠簸方程中最简单的状况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的颠簸方程.例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特征能够用电场强度E与磁场强度H以及电感觉强度D 与磁感觉强度B来描绘，联系这些量的麦克斯韦(Maxwell)方程组为rotH J D（）,trotE B,(3.9) tdivB 0,（）divD.(3.11)此中J为传导电流的体密度，为电荷的体密度.这组方程还一定与下述场的物质方程D eE,（）B H,（）J E,（）相联立，此中是介质的介电常数，是导磁率，为导电率，我们假定介质是平均并且是各向同性的，此时，，均为常数.方程(3.8)与(3.9)都同时包括有E与H，从中消去一个变量，就能够获得对于另一个变量的微分方程，比如先消去H，在(3,8)式两头求旋度并利用(3.12)与（）得rotrotH rotE rotE,t将(3.9)与(3.13)代入得rot rotH2H Ht2,t而rotrotH grad div2H,且divH1divB0,所以最后获得H所知足的方程为2H2HH t2t;同理，若消去H即得E所知足的方程2E2E E.t2t假如介质不导电(0)，则上边两个方程简化为2H12H,（）t22E12E,（）2t(3.15)与(3.16)称为三维颠簸方程.若将三维颠簸方程以标量函数的形式表示出来，则可写成2ua 2ua22u2u2u（t2x2y2z2,）此中a21,u是E或H的随意一个重量.从方程(3.11)与(3.12)还能够推导出静电场的电位所知足的微分方程.事实上，以(3.12)代入(3.11)得divD div E divE,而电场强度E与电位u之间存在关系E gradu,所以可得div(gradu)或2u,（）这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程.假如静电场是无源的，即0,则(3.18)变为2u 0，（）这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程.例4热传导方程一块热的物体，假如体内每一点的温度不全同样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这类现象就是热传导.在工程技术上有很多传热问题都要归纳为求物体内温度的散布，此刻我们来推导传热过程中温度所知足的微分方程，与上例近似，我们不是先议论一点处的温度，而应当先考虑一个地区的温度.为此，在物体中任取一闭曲面S，它所包围的地区记作V（图3-3）.假定在时辰t，地区V内点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t)，n为曲面元素S的外法向（从V内指向V外）.图3-3由传热学可知，在t,t t时间内，从S流入地区V的热量与时间t，面积S，以及沿曲面的法线方向的温度变化率三者的乘积成正比，即Q kuk(gradu)n St Stnk(gradu)S t.此中k称为物体的热传导系数，当物体为平均导热体时，k为常数.于是，从时辰t1到时辰t2，经过曲面S流入地区V的所有热量为Q1t2dSdt.kgradut1S流入的热量使V内温度发生了变化，在△t时间内地区V内各点温度从u(x,y,z,t)变化到u(x,y,z,t+△t)，则在△t内V内温度高升所需要的热量为c[u(x,y,z,t t)u(x,y,z,t)]dVVu(x,y,z,t)ct tdV.V进而从时辰t1到时辰t2，因为温度高升所汲取的热量为t2uQ2cdV dt,t1tV此中c为物体的比热，为物体的密度，对平均物体来说，它们都是常数.因为热量守恒，流入的热量应等于物体温度高升所需汲取的热量，即t2t2ukgradudSdt c dVdt.t1t1tS V此式左端的由面积分中S是关闭曲面，能够利用奥-高公式将它化为三重积分，即kgradudS kdiv(gradu)dV k2udV,S V V 所以有t22udVdt t2udVdt.（）k ct1t1tV V因为时间间隔t,tt及地区V都是随意取的，并且被积函数是连续的，所以(3.20)式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即u a22ua22u2u2u ,（）tx 2y 2z 2此中a 2k .方程(3.21)称为三维热传导方程.c若物体内有热源，其强度为F(x,y,z)，则相应的热传导方程为ua 22u2u2uf(x,y,z,t),tx 2y 2z 2此中fF .c作为特例，假如所考虑的物体是一根细杆 （或一块薄板），或许即便不是细杆（或薄板）而此中的温度u 只与x,t （或x,y,t ）相关，则方程(3.21)就变为一维热传导方程2u a 2u2;tx或二维热传导方程u a 22u2utx 22.y假如我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种均衡状态，这时温度u 已与时间t 没关，所以u 0,此时方程(3.21)就变为拉普拉斯方程(3.19).因而可知稳恒t温度场内的温度 u 也知足拉普拉斯方程 .在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方程完整同样.3．2 初始条件与界限条件上边所议论的是如何将过程的物理规律用数学式子表达出来.除此之外，我们还需要把 详细条件也用数学形式表达出来， 这是因为任何一个详细的物理现象都是处在特定条件之下 的.比如弦振动问题，上节所推导出来的方程是全部柔嫩平均的弦作细小横向振动的共同规 律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时辰物状态以及弦所受的拘束状况.假如我们不 是平常地研究弦的振动，必然就要考虑到弦所拥有的特定条件.因为任何一个详细振动现象 老是在某时辰的振动状态和此时辰从前的状态相关，进而就与初始时辰的状态相关.此外， 弦的两头所受的拘束也会影响弦的振动，端点所处的物理条件不一样会产生不一样的影响，因此弦的振动也不一样 .所以对弦振动问题来说，除了成立振动方程之外，还需列出它的详细条件对热传导方程，拉普拉斯方程也是这样.提出的条件应当恰好能够说明某一详细物理现象的初始状态以及界限上的拘束状况，.用以说明系统的初始状态的条件称为初始条件.用以说明界限上的拘束状况的条件称为界限条件.下边详细说明初始条件和界限条件的表达形式，先谈初始条件，对于弦振动问题来说，初始条件就是弦在开始时辰的位移及速度，若以(x),(x)分别表示初位移和初速度，则初始条件能够表达为u t0(x)u（）t(x) t0而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时辰物体温度的散布状况，若以(M)表示t 0时物体内任一点M处的温度，则热传导方程的初始条件就是u(M,t)t0(M).(3.23)泊松方程与拉普拉斯方程都是描绘稳恒状态的，与初始状态无头，所以不提初始条件.再谈界限条件.假如界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在界限S上的值，以s表示界限S上的动点，则这样的界限条件可表为u(M,t)MS(s,t),或简写成u S.（）这类界限条件称为第一类界限条件，此中(s,t)表示在界限S上给定的已知函数.比如，在杆的导热问题中，若在端点x a处温度保持为常数u0，这时在端点x a的界限条件为u xa u0.若在端点x a处温度随时间的变化规律f(t)为已知，在这点的界限条件为uxaf(t).又如在弦振动问题中，若弦的某端点x a是固定的，则在该点的位移为零，即uxa0.以上都是第一类界限条件的例子.总之，第一类界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在边界S上的值但在很多状况下，界限上的物理条件其实不可以用第一类界限条件来描绘.比如，在杆的导热问题中，若杆的一端xa绝热，那么绝热这个条件就不可以直接给出杆的端点处的温度变化.因为从杆外经过杆端流入杆内的热量为kuSt(此中t为时间间隔，S为杆nxa的截面积，n为杆在端点x a处的外法向，若x a是杆的左端点，n的正向与x轴正向相反，则u u,若x a是杆的右端点，则n的正向与x轴正向同样，则uu), n x n x所以绝热这个条件能够表达为k uSt0, nxa即u0.nxa若在单位时间内经过x a端单位面积流入杆内的热量是t的已知函数f(t)，则这个条件可表示为k u f(t).nxa弦在对于弦振动问题来说，假如弦在x a处沿位移方向的张力（参照x a处是自由的，即沿着位移方向不受外力，中例1的推导）为则此时Tu0,nx a即u0.xx a总之，有时界限条件一定表达为u（）(s,t).n S的形式，此中u.表示函数沿界限外法向的变化率，这类界限条件称为第二类界限条件n除了上述两类界限条件外，有时还会碰到其余形式的界限条件.比如在杆的导热热问题中，若杆在某个端点x a自由冷却，那么自由冷却这个条件就是K uH(u1u xa), nxa(此中u1为四周介质的温度)即uu1h kuh.n xa H这是因为在单位时间内从四周介质传到杆的x a端单位面积上的热量与介质和杆端的温度差成正比，而在单位时间内经过u xa端单位面积传向杆内的热量与n考取例4）.成正比（参xa对于有界杆(0 x l)，若两头都是自由冷却，则在x l处，上述条件可表为uu h u1;nx i在x0处，这个条件可表为uu h u1.nx 0一般地，这类界限条件的形式为u(s,t).（）uhn s这样的界限条件称为第三类界限条件.无论哪一种界限条件，假如它的数学表达式中的右端自由项恒为零，则这类界限条件称为齐次的.定解问题的提法前方两节我们推导了三种不一样种类的偏微分方程并议论了与它们相应的初始条件与边界条件的表达方式.因为这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，并且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，所以这类方程称为二阶线性偏微分方程*）1 .在工程技术上二介线性偏微分方程碰到最多.假如一个函数拥有所需要的各阶连续编导数，并且代入某偏微方程中能使该方程变为恒等式，则此函数称为该方程的解.因为每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们的任务是要求出合适初始条件和界限条件的解.初始条件和界限条件都称为定解条件.求一个偏微方程知足定解条件的解的问题称为定解问题.只有初始条件，没有界限条件的定解问题称为始值问题（或柯西问题）；而没有初始条件，只有界限条件的定解问题称为边值问题；既有初始条件也有界限条件的定解问题称为混合问题.一个定解问题提得能否切合实质状况，自然一定靠实质来证明，但是从数学角度来看，能够从三方面加以查验. 1）解的存在性，即看所结出来的定解问题能否有解；2）解的独一性，即看能否只有一个解；3）解的稳固性，即看当定解条件有细小改动时，解能否相应地只有细小的改动，假如*）二阶线性编微分方程能够按它们的二阶导数的系数的代数性质进行分类，在§中所推导的颠簸方程属于双曲型,拉普拉斯（或泊松）方程属于椭圆型，热传导方程属于抛物型，对于二阶线性偏微分方程的分类方法,读者可参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》（第二版，上海科学技术第一版社第一版）第一章§5.确立这样，此解便称定的，否所得的解就无用价 .因定解条件往常是利用方法得的，因此所获得的果， 有必定的差，假如所以而解的很大， 那么种解然不可以切合客的要求 .假如一个定解存在独一且定的解，此称适定的，在此后中我把着眼点放在定解的解法上， 而极少它的适定性， 是因定解的适定 性常常十分困，而本所的定解都是古典的，它的适定性都是了然的 .习题一1. l 的平均杆，面，一端温度零，另一端有恒定流 q 入（即位内通位截面流入的量q ），杆的初始温度散布是x(ix)，写出相的定解.22. l 的弦两头固定，开始在xc 遇到冲量的作用，写出相的定解.有一平均杆，只需杆中任一小段有向位移或速度，必致段的或伸，种仲开去，就有波沿着杆播，推杆的振方程 .4.一平均杆原l ，一端固定，另一端沿杆的方向被拉e 而静止，忽然松手任其振，成立振方程与定解条件.若F(z),G(z)是随意二可微函数，uF(xat)G(xat)足方程2ua2 2ut 2x 26.若函数u 1(x,t),u 2(x,t), ,u n (x,t),⋯均性次方程2up2uq u r ux 2t 2xt的解，此中p,q,r 不过x,t 的函数，并且数uu k (x,t)收，并x,t 能够行两次k 1逐微分，求数uuk(x,t)足原方程（个叫做性次方程的叠加原理）.k1。
数学物理方程第四章 格林函数法
为边界的有界连通区域，u(x, y, z)在 上有连续
的一阶偏导数，在 内调和，定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点M 0到变点 M (x, y, z) 距离： 则有
u(M0 )
1
4
1 [ r
u n
u
(1)]ds n r
(2.9)
故不提初始条件!只给出边界条件就可以. 下面看边界条件的提法.
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题）
设方程（1.1）的空间变量(x, y, z) ， 为 R3的开区域。如果
u(x, y, z)满足方程（1.1），且在 边界 上直接给定了u(x, y, z)
的具体函数形式 f (x, y, z)，即
u(x, y, z) f (x, y, z)
（1.2）
则称问题（1.1）~（1.2）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷
（Dirichlet）问题，u(x, y, z) 为此问题的解。
2u 2u 2u
u
x 2
y 2
z 2
0
u( x, y,z) f ( x, y,z),
u, v互 换
v
u v u v u v
( uv )dV
u
n
ds
(
x
x
y
y
z
z
)dV
(2.2)
u
u v u v u v
(vu)dV
v
n
ds
(
x
x
y
y
z
数学物理方程-第3章-2012
对于以密度ρ(x,y,z)分布在区域Ω上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的 总引力位势为
( x, y, z) G ( , , )
ddd ( x ) ( y ) ( z )
2 2 2
(1.3)
通过直接计算可以验证，φ(x,y,z)在Ω外满足调和方程
§3-2 格林公式及其应用
1.格林（Green）公式 高等数学中的高斯公式如下
(
在上式中，令 P u
v v v ，于是有 ,Q u ,R u x y z 2 v 2 v 2 v u v u v u v [u( x 2 y 2 z 2 ) x x y y z z ]d
n
内流问题的求解在边界Г 内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题 需要在边界Г 外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。 从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。 以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远 处施加来流条件(速度大小和迎角等)。 （这个问题课本上也有举例）
*
1 u(M 0 ) 4
1 1 u(M ) (u(M ) n ( rM M ) rM M n )dSM 0 0
(2.6)
0 1 1 u ( M ) (u ( M ) ( ) )dSM 2u ( M 0 ) n rM 0 M rM 0 M n 4u ( M ) 0
对于泊松方程Δu=F ，也有类似公式
M0在Ω外 M0在Г上 M0在Ω内
1 1 1 u(M ) F (M ) u(M 0 ) (u(M ) ( ) )dSM d M 4 n rM 0 M rM 0 M n rM 0 M
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高等数学物理方程
一、课程编码：1800005
课内学时： 64 学分： 4
二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理
三、先修课程：常微分方程、复变函数、数学物理方法
四、教学目标
通过本课程的学习使研究生
1. 了解数学物理方程的物理基础；
2. 了解数学物理方程的基本内容和最新发展概况；
3. 了解数学物理的基本方法和一些必要的技巧；
4. 掌握求解最重要的边值或边值初值问题的关键步骤和方法以及对解的检验。
五、教学方式
课堂讲授。
六、主要内容及学时分配
1. 偏微分方程的分类 10 学时1.1 一般概念
1.2 柯西问题、柯西-柯娃列夫斯卡娅定理
1.3 柯西问题的推广、特征的概念（*）
1.4 含一个未知函数的二阶方程在一点的标准型及其分类
1.5 两个自变量的二阶偏微分方程在一点的邻域内的标准型
2. 双曲型方程 20 学时2.1 （一维）波动方程的导出（物理起源）及定解条件
2.2 其他双曲型方程（*）
2.3 （一维）波动方程的柯西问题及其传播波法
2.4 （一维）波动方程的混合问题及其分离变量法
2.5 高维波动方程的柯西问题
3. 椭圆型方程 21 学时3.1 拉普拉斯方程（包括物理起源、定解条件、曲线坐标系下的拉氏方程等）
3.2 调和函数的一般性质（包括格林公式、极值原理、解的唯一性与稳定性等）
3.3 最简单区域的边界问题的分离变量法
3.4 源函数
3.5 势论与积分方程
3.6 双调和方程（*）
4. 抛物型方程 8 学时4.1 热传导方程的物理起源
4.2 定解问题的提法
4.3 热传导方程的求解
4.4 极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性
5. 特殊函数与正交多项式 5 学时5.1 特殊函数的方程及边界问题的提法
5.2 柱函数（*）
5.3 球函数（*）
5.4 车比雪夫-爱尔密特多项式、车比雪夫-略盖尔多项式（*）
以上打星号（*）内容为选讲，学时分配可灵活机动
七、考核与成绩评定
成绩以百分制衡量。
成绩评定依据：平时成绩占40% 期末笔试成绩占60% 四舍五入取整。
八、参考书及学生必读参考资料
1. 柯朗、希尔伯特，数学物理方法（I、II 卷），科学出版社，1958、1977 年；
2. 彼得罗书斯基，偏微分方程讲义，人民教育出版社，1965 年（第二版）；
3. 谷超豪等人，数学物理方程，人民教育出版社，1979 年；
4. 吉洪诺夫、萨马尔斯基，数学物理方程，人民教育出版社，1961 年（新 1 版）
九、大纲撰写人：韦浩。