高等数学(上)期中考试试卷
大学期中考试高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，属于奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^42. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列极限中，属于无穷小的是（）A. lim x→0 (sinx/x)B. lim x→0 (1/x)C. lim x→0 (x^2)D. lim x→0 (x^3)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1在区间[-2, 1]上的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（）A. dy/dx = y^2B. dy/dx = 2xyC. dy/dx = x^2yD. dy/dx = 2y/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为______。
7. lim x→0 (1 - cosx)/x^2 = ______。
8. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1的极值点为______。
9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1的导数在x=1处的值是______。
10. 分离变量后，微分方程dy/dx = 2xy的解为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
13. （10分）求极限lim x→0 (sinx/x)。
14. （10分）解微分方程dy/dx = 2xy。
15. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0，f(b) > 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
注意：本试卷共75分，考试时间为120分钟。
高数(一)期中考试试题
高等数学（上）期中考试试题一、填空题（5×5=25分）1．()的连续区间为x x x f 1arctan 3+-= 。
2．()()()=--+='→h h x f h x f ,x f h 0000lim 2则已知 。
3．(),y x cos x sin y 0=--已知.y =d 则4．()()()==02cos 102f ,x x x f 则若 . 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 2在点(0,1)处的法线方程为 .二、选择题（5×5=25分）1．的极限是函数时当12120x 1x 1+-→,x （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）不存在2．()()()的是则设x f x ,x ,x ,x x x f 000011=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=（A ）可去间断点 （B ）无穷间断点 （C ）连续点 （D ）跳跃间断点3.().n x e e x n x x tan 为是同阶无穷小，则与时，设-→0（A ）1 （B ）2 （C ）3 （C ）44． 下列结论一定正确的是（ ）（A ）驻点一定是极值点（B ）极值点一定是驻点（C ）()为极小值点则若000x x ,x f =>''（D ）()()()()()内不取得极值在则内可导，在若b ,a x f ,x f b ,a x f 0>' 5． x xe y -=曲线的拐点是（ ）（A ）()222-e , （B ）()00, （C ）()11-e , （D ）()e ,1-三、计算题（6×3=18分）()()().a x f ,x ,x x x ,ax x f .x x 存在，求若设0lim 02sin 0111→⎪⎩⎪⎨⎧><+= ().x x .x 2tan 1lim 221π-→求()()().x f x x x f .x '++=，求1ln 32cos四、证明题（6×2=12分）.x x .x -≤<11e 11时，证明：当 ()[]()()()()()()().f b ,a ,c f ,b ,a c ,b f a f b ,a ,b a x f .0002<''∈>∈==ξξ内，使得证明：至少存在一点使得且存在点内二阶可导，且在上连续，在设五、综合题（10×2=20分）1． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为5m 2，洞底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？2． 讨论方程()0>=a ax x ln 其中有几个实根？。
高数上期中试卷及答案
2015-2016学年第一学期高数期中试卷一、（每小题6分，共12分） 1、求函数()f x =的定义域和值域。
解：由02sin ≥x 得: 12(21)()2k x k k x k ππππ≤≤+⇒≤≤+所以定义域为1{|();}2D x k x k k Z ππ=≤≤+∈ 由12sin 0≤≤x 得：12sin 0≤≤x ，所以值域为]1,0[2、判断函数21,0()0x x f x x +≤⎧=>在分段点0x =处的左右极限，并据此判断函数在这点的极限是否存在。
解：00/21lim ()lim lim 2x x x x f x x +++→→→=== 00lim ()lim(21)1x x f x x --→→=+= 因为0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，所以函数在0x =处的极限不存在。
二、（每小题6分，共12分）1、3113lim()11x x x →--- 2、01cos lim sin x xx x→-解：1、233211113221lim()lim lim 11113x x x x x x x x x x →→→+-+-===--- 2、22001cos /21limlim sin 2x x x x x x x →→-== 三、（10分）求2(1)sin x x y e x=-的间断点，并判断间断点的类型。
解：由(1)sin 0()xe x x k k Z π-=⇒=∈,所以函数的间断点为()x k k Z π=∈因为22200lim lim 1(1)sin xx x x x e x x→→==-，所以0x =是可去间断点 因为2(0)lim (1)sin xx k k x e x π→≠=∞-，所以(,0)x k k Z k π=∈≠是无穷间断点。
四、（每小题6分，共12分）求解下列各题 1、设2sin (12)x y e -=，求dy解：因为2sin (12)2sin(12)cos(12)(2)x y x x e -'=--⋅-2sin (12)4sin(12)cos(12)x x x e -=--- 2sin (12)2sin2(12)x x e -=--所以2sin(12)2sin2(12)x dy x e dx -=--2、设函数()y y x =是由方程53230y y x x +--=所确定的隐函数，求(0)y '解：方程两边同时对x 求导有：4252190y y x '+--=，所以241925x y y +'=+当0x =时，0y =，所以20,04191(0)|252x y x y y ==+'==+五、（6分）设由参数方程(1sin )cos x y θθθθ=-⎧⎨=⎩所确定的曲线()y y x =在点0θ=处的切线和法线方程。
高数上期中试卷及答案
2013-2014学年高数1期中试卷答案2013—2014学年第一学期期中考试一、（每小题5分，共10分）求解或证明下列各题1、写出函数y =的定义域。
解 函数是由基本初等函数arcsin y u v ==和简单的初等函数11x v x +=-复合而成的。
2分 由 11arcsin00111x x x x ++≥⇒≤≤--， 3分 于是当10x ->时，得011x x ≤+≤-，无解；当10x -<时，得011x x ≥+≥-，解得1x ≤-，即函数的定义域为(,1]D =-∞-。
5分2、用定义证明：21231lim11x x x x →-+=-。
证明 任给0ε>，要2231|1||(21)1|2|1|1x x x x x ε-+-=--=-<-，即要|1|/2x ε-<， 2分 3分取/2δε=，则当0|1|x δ<-<时，恒有2231|1|1x x x ε-+-<-， 故 21231lim11x x x x →-+=- 5分 二、（每小题5分，共10分）求下列极限1、21sin(1)lim ln x x x→-； 2、1lim (123)x x xx →+∞++。
解 1、原式21sin(1)limln[1(1)]x x x →-=+- 2分 2、原式1ln(123)ln(123)limlim x x x x x xx x ee→+∞++++→+∞== 2分211lim1x x x →-=- 4分 2ln 23ln3lim123x x x xx e →+∞+++=(2/3)ln 2ln3lim1(1/3)(2/3)x x xx e→+∞+++= 4分1lim(1)2x x →=+= 5分 ln 30ln31003ee+++=== 5分三、（8分）求函数||tan x y x=的间断点，并判断间断点的类型；若为可去间断点，补充定义使2013-2014学年高数1期中试卷答案函数连续。
高等数学上册期中考试试卷
1
1
1
1
1
1
2 1
1
1 48
f ( 1 )
'''
'''
1 48
f ( 2 )
'''
'''
f ( 1 ) f ( 2 ) 48
''' ''' ''' ''' '''
2 | f ( ) | | f ( 1 ) | | f ( 2 ) | | f ( 1 ) f ( 2 ) | 48
dy dx
3
y( x )
由方程
y
2
2 ln y x
4
所确定，则
2x y y 1
2
8．设函数
f ( 2 x ) ln x
，则
f ( x )
1 x
9．曲线
y x e
x
在 x 0 处的切线方程是 y 2 x 1
10．若函数 f ( x ) x 1 在区间[ 1 , 4 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ຫໍສະໝຸດ e e 2x
e
x
lim
x
2 2
1 a rc ta n x
1 x
2
2 所以 lim a rc ta n n e n
n
4．设函数
所确定，求
x 1 t y y ( x ) 由参数方程 y cos t 2 d y
高数期中练习题
高等数学（上）期中练习题一、单项选择题1.下列函数中，是奇函数.A.32xx y += B.xx y sin =C.x x y cos =D.xx y -+=ee 2.当0→x 时，下列说法正确的是.A.1e 2-x 是比x sin 高阶的无穷小B.32x x +是比2x 高阶的无穷小C.)1ln(2x -与2x 是等价无穷小D.x cos 1-与1sec -x 是等价无穷小3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，则0=x 是函数)(x f 的.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点4.设1)(='a f ，则=∆-∆-→∆xa f x a f x )()2(lim.A.1B.-1C.2D.-25.下列说法正确的是.A.函数3x y =在点0=x 处可导B.曲线3x y =在点)0,0(处有切线C.函数||x y =在点0=x 处可导D.曲线||x y =在点)0,0(处有切线二、填空题6.=--+→132lim 221x x x x .7.=∞→xx 1e lim .8.曲线13222-++=x x x y 的水平渐近线是.9.设)2023()3)(2)(1()(++++++=x x x x x x f ，则=')0(f .10.设函数)(x f 可导，则函数)e (xf y =的导数=xy d d .11.函数3x y =当1=x ，01.0=∆x 时的微分=y d .12.设函数x y 2sin =，则=y d x d .13.设函数)cos (sin e x x y x+=，则==0d d x xy .三、判断题（）14.若n n x ∞→lim 存在，则该极限唯一.（）15.若)(lim x f ax →与)(lim x g ax →都不存在，则)]()([lim x g x f ax +→一定不存在.（）16.两个无穷小的商一定是无穷小.（）17.单调递增且有上界的数列必有极限.（）18.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.（）19.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.（）20.函数)(x f 在点x 处可微，那么函数在该点处一定连续.（）21.函数)(x f 在点x 处可导是函数在该点处连续的必要不充分条件.（）22.)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→与)(lim x f x -∞→都存在且相等.四、计算题23.求)1)(cos 121(sin tan lim0----→x x xx x .24.求145lim1---→x xx x .25.求)1ln(1)211(lim 3220x x x x +--→.26.求2163lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x .27.求由方程yx xy +=e所确定隐函数的导数.28.设)(1ln 2x y +=，求y ''.29.求曲线⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 4y x 在3π=θ相应点处的切线方程及法线方程.五、综合题30.证明方程0155=+-x x 在)1,0(内至少存在一个根.31.讨论⎩⎨⎧≥+<=0),1ln(,0,sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性.32.讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1cos )(2x x xx x f 在0=x 处的连续性与可导性.。
山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．命题“x ∃∈R ，320x x +->”的否定是（）A ．x ∃∉R ，320x x +-≤B ．x ∃∈R ，320x x +-≤C ．x ∀∈R ，320x x +-≤D ．x ∀∉R ，320x x +-≤2．若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数2|1|()2x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数21,1(),12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<≤⎩，集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则()f a =（）A ．1B ．0C ．4D ．495．“3a ≤”是函数“()f x =[2,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知函整()f x 的定义域为(4,28)-，则函数28()f xg x -=）A ．(4,28)B ．(6,3)(3,6)--⋃C ．(3,6)D ．(3,3)(2,3)--⋃7．已知函数21()x x f x x++=，函数()1y g x =-是定义在R 上的奇函数，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为11(,)x y ，…，88(,)x y ，则1818(())x x y y ++-++= （）A ．8-B ．4-C ．0D ．28．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)2f =，且对于任意120x x >>，有()()21122122x f x x f x x x ->-，若函数()2()f x g x x-=，则下列说法正确的是（）A ．()g x 在(0,)+∞上单调递减B ．()g x 为偶函数C ．(4)(3)g g <-D ．()f x 在(2,)+∞上单调递增二、多选题9．已知0a b <<，c d >，下列说法正确的是（）A ．a c b d -<-B ．a b c d<C ．11a b>D ．552332a b a b a b +<+10．定义在实数集上的函数1,Q()0,Q x D x x ∈⎧=⎨∉⎩称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数()D x 的说法中正确的是（）A ．()D x 的值域为[]0,1B ．对任意x ∈R ，都有()()D x D x =-C ．存在无理数0t ，对任意x ∈R ，都有()0()D x t D x +=D ．若0a <，1b >，则有{|()}{|()}x D x a x D x b >=<11．已知20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则下列说法正确的是（）A ．30b c +>B ．不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12334a cb +++的最小值是4D ．当2c =时，若2()36f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[3,1]-，则21[2,4]n n -∈三、填空题12．已知幂函数24()(Z)n n f x x n -=∈的图象关于y 轴对称，且(1)(3)f f -<，则n =.13．已知函数()1f x x =-，2()g x x =，记{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，若y m =与max{(),()}y f x g x =(0)x ≠的图象恰有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是.14．已知函数()f x 满足：对任意非零实数x ，均有(2)()(1)2f f x f x x=⋅+-，则()f x 在(0,)+∞上的最小值为．四、解答题15．已知函数()f x =A ，集合{}|321B x x =->.(1)求A B ；(2)集合{|1}C x a x a =-<<，若R C B ⊆ð，求实数a 的取值范围.16．已知函数22()23f x x ax a =--，R a ∈.(1)若0a =，且2(3)()()g x g x f x --=，求出()g x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()0f x <.17．已知函数2()4x af x x +=-是定义在[1,1]-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用单调性定义证明；(3)设()|()|g x f x =，解不等式(21)(1)g t g t ->-.18．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0123,,,d d d d ，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]1,2k ∈）．阶段0．准备1．人的反应2．系统反应3．制动时间t 10.8t =秒20.2t =秒3t 距离010d =米1d 2d 2320v d k=⋅米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当2k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？19．对于区间[,]()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①在[],a b 上是单调函数，②函数()y f x =在[],a b 的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数的“保值”区间.(1)求函数2()f x x =的所有“保值”区间；(2)判断函数1()1g x x=-是否存在“保值”区间，并说明理由；(3)已知函数22()1(),0)a a x h x a a a x+-=∈≠R 有“保值”区间[],m n ，当n m -取得最大值时求a 的值.。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(新课标)
2022-2023学年广东高一上学期数学期中考试试题一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．()U MPB ．M PC ．()U M PD ．()()U U M P2．（5分）函数1()x f x -=的定义域为( ) A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．[1，2)D ．[1，2)(2⋃，)+∞3．（5分）已知集合{2A =-，1}，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为( )A ．{1}-B ．{2}C ．{1-，2}D ．{1-，0，2}4．（5分）函数()f x 为R 上奇函数，且()1(0)f x x x =>，则当0x <时，()(f x = ) A ．1xB ．1x --C 1x -D 1x -5．（5分）下列命题中为假命题的是( ) A ．x R ∃∈，21x <B ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合2{(,)|}x y y x =与集合2{|}y y x =表示同一集合D ．设全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆ 6．（5分）函数2y x x =+-( ) A ．[0，)+∞B ．[2，)+∞C ．[4，)+∞D ．[2)+∞7．（5分）已知()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数，则满足(1)f a f ->（2）的实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3] B ．(1,3)-C ．(1,)-+∞D ．(1,3)8．（5分）已知函数2(1)2,0()2,0a x a x f x x x x -+<⎧=⎨-⎩有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1[2-，1)B ．1(2-，1)C ．1[2-，1]D ．1(2-，1]二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）若110a b<<，则下列不等式中，错误的有( ) A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b < D ．2b a a b+ 10．（5分）下列说法正确的有( ) A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数11．（5分）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( ) A ．1abB ．2a b+ C ．222a b + D ．112a b+ 12．（5分）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中m ，0n >，则11m n+的最小值为 ． 14．（5分）已知2(2)f x x x =+，则f （1）= ；()f x 的解析式为 ．15．（5分）定义在[1-，1]上的函数()y f x =是增函数，且是奇函数，若(1)(45)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围是 ．16．（5分）已知函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+，对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围为 ． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）已知函数()f x =的定义域是集合A ，集合{|1B x x =或3}x ．（1）求AB ，AB ；（2）若全集U R =，求()U A B ．18．（12分）已知命题:P x R ∃∈，使240x x m -+=为假命题． （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{|34}A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知0a >，0b >，31a b +=． （1）求13a b+的最小值； （2）若2297m a b ab >++恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12分）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 时，2()2f x x x =-（如图）． （1）请补充完整函数()f x 的图象； （2）求出函数()f x 的解析式； （3）求不等式()3f x 的解集；（4）若函数()y f x =与y m =有两个交点，直接写出实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数2()1x af x x +=+． （1）若1a =时，判断并证明函数()f x 在[2，3]上的单调性，并求函数()f x 在[2，3]上的最大值和最小值； （2）探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．答案及解析2022-2023学年广东高一上学期数学期中检测仿真卷（1）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．()U MPB ．M PC ．()U M PD ．()()U U M P【答案】A【详解】由已知中阴影部分在集合M 中，而不在集合P 中， 故阴影部分所表示的元素属于M ，不属于P （属于P 的补集）， 即()U C P M ，故选：A ．2．（5分）函数1()x f x -=的定义域为( ) A ．(1,)+∞ B ．[1，)+∞ C ．[1，2)D ．[1，2)(2⋃，)+∞【答案】D 【详解】由题意得：1020x x -⎧⎨-≠⎩，解得：1x 且2x ≠， 故函数的定义域是[1，2)(2⋃，)+∞， 故选：D ．3．（5分）已知集合{2A =-，1}，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为( )A ．{1}-B ．{2}C ．{1-，2}D ．{1-，0，2}【答案】D 【详解】AB B B A =⇒⊆，{2A =-，1}的子集有φ，{2}-，{1}，{2-，1}，当B φ=时，显然有0a =；当{2}B =-时，221a a -=⇒=-；当{1}B =时，122a a ⋅=⇒=；当{2B =-，1}，不存在a ，符合题意，∴实数a 值集合为{1-，0，2}，故选：D ．4．（5分）函数()f x 为R 上奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <时，()(f x = )A ．1B ．1C 1D 1【答案】B【详解】函数()f x 为R 上奇函数，可得()()f x f x -=-，又()1(0)f x x >， 则当0x <时，0x ->，()()1)1f x f x =--=-=．即0x <时，()1f x =． 故选：B ．5．（5分）下列命题中为假命题的是( ) A ．x R ∃∈，21x <B ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合2{(,)|}x y y x =与集合2{|}y y x =表示同一集合D ．设全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆ 【答案】C【详解】A ．x R ∃∈，取12x =，则2114x =<，因此是真命题； B ．由22a b a b =⇒=，反之不成立，例如取1a =，1b =-，满足22a b =，但是a b ≠，因此22a b =是a b=的必要不充分条件，因此是真命题；C ．集合2{(,)|}x y y x =表示点的集合，而集合2{|}y y x =表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；D ．全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆，是真命题．故选：C ．6．（5分）函数y x =+( )A ．[0，)+∞B ．[2，)+∞C ．[4，)+∞D ．)+∞【答案】B【详解】函数的定义域为[2，)+∞， 又函数为单调增函数， 当2x =时，取得最小值为2．∴值域是[2，)+∞．故选：B ．7．（5分）已知()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数，则满足(1)f a f ->（2）的实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3] B ．(1,3)- C ．(1,)-+∞ D ．(1,3)【答案】B【详解】根据题意，()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数， 则(1)f a f ->（2）(|1|)f a f ⇒->（2）|1|2a ⇒-<， 解可得：13a -<<，即a 的取值范围为(1,3)-， 故选：B ．8．（5分）已知函数2(1)2,0()2,0a x a x f x x x x -+<⎧=⎨-⎩有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1[2-，1)B ．1(2-，1)C ．1[2-，1]D ．1(2-，1]【答案】C【详解】当0x 时，2()(1)1f x x =--， 此时()min f x f =（1）1=-， 而当0x <时，①1a =时，()2f x =为常函数，此时在R 上满足函数()f x 有最小值为1-， ②1a ≠时，函数()f x 此时为单调的一次函数，要满足在R 上有最小值， 只需10(1)021a a a -<⎧⎨-⨯+-⎩，解得112a -<，综上，满足题意的实数a 的取值范围为：112a -， 故选：C ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）若110a b<<，则下列不等式中，错误的有( ) A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b < D ．2b a a b+ 【答案】BCD 【详解】由110a b<<，得0b a <<，则0a b ab +<<，选项A 正确，选项C 错误； 根据0b a <<可得||||b a >，所以选项B 错误； 由0b a <<，得0b a >，0a b >，则22b a b a a b a b +⋅=，当且仅当b aa b=时等号成立，又a b ≠， 所以b aa b+不能取得最小值2，选项D 错误． 故选：BCD ．10．（5分）下列说法正确的有( ) A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数 【答案】BD【详解】对于A ：函数1()f x x=的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，所以函数在(0,)+∞和(,0)-∞上都为单调递减函数，故A 错误；对于B ：命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++”故B 正确；对于C ：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：若()y f x =为奇函数，且函数y x =也为奇函数，则函数则()y xf x =为偶函数，故D 正确． 故选：BD ．11．（5分）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( )A ．1abB 2bC ．222a b +D ．112a b+ 【答案】ACD【详解】对于命题1ab ：由221a b ab ab =+⇒，A 正确；对于命题2a b +：令1a =，1b =时候不成立，B 错误；对于命题222222:()2422a b a b a b ab ab ++=+-=-，C 正确； 对于命题111122:2a b a b a b ab ab+++==，D 正确． 故选：ACD ．12．（5分）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：对于任意一个圆，任意的一条直径均可以平分周长和面积，故圆的“优美函数”有无数个，A 正确；对于B ：由于3()f x x =的图象关于原点对称，而单位圆也关于原点对称，故3()f x x =可以是单位圆的“优美函数”， B 正确；对于C ，,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩为奇函数，且经过原点，若圆的圆心在坐标原点，则()f x 是这个圆的“优美函数”， C 正确，对于D ：函数图象是中心对称图形的函数一定是“优美函数”，但反之“优美函数”不一定是中心对称的函数，如图，故D 错误；故选：ABC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中m ，0n >，则11m n+的最小值为 ． 【答案】4【详解】函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ， 可得(1,1)A ，点A 在一次函数y mx n =+的图象上， 1m n ∴+=，m ，0n >，12m n ∴+=mn ，14mn ∴， 111()4m n m n mn mn +∴+==（当且仅当12n =，12m =时等号成立）， 故答案为：4．14．（5分）已知2(2)f x x x =+，则f （1）= ；()f x 的解析式为 ． 【答案】34；211()42f x x x =+ 【详解】由21x =，得12x =，f ∴（1）2113()224=+=； 令2x t =，得2t x =，2211()()2242t t f t t t ∴=+=+， 211()42f x x x ∴=+． 故答案为：34；211()42f x x x =+． 15．（5分）定义在[1-，1]上的函数()y f x =是增函数，且是奇函数，若(1)(45)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围是 ．【答案】6(5，3]2【详解】由题意，(1)(45)0f a f a -+->，即(1)(45)f a f a ->--， 而又函数()y f x =为奇函数，所以(1)(54)f a f a ->-． 又函数()y f x =在[1-，1]上是增函数， 有1111451154a a a a --⎧⎪--⎨⎪->-⎩⇒0231265a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪>⎪⎩⇒6352a < 所以，a 的取值范围是6(5，3]2．故答案为：6(5，3]2．16．（5分）已知函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+，对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1[,3]3【详解】函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+， 因为44()411x g x x x ==-++在(1,)a -上单调递增， 所以()g x g <（a ）41aa =+， 又222,0()(||2)2,0x x x f x x x x x x ⎧-=-=⎨--<⎩，因为(1)1f -=，由221x x -=，1x =±①当11a -<<+()f x f <（1）1=，因为对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立， 所以411aa +，解得13a ，故1123a <+ ②当12a +时，()f x f <（a ）22a a =-，因为对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立， 所以2421aa aa -+，可得260a a --，解得23a -， 故123a ．综上所述，实数a 的取值范围为1[,3]3．故答案为：1[,3]3．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）已知函数()f x =的定义域是集合A ，集合{|1B x x =或3}x ．（1）求AB ，AB ；（2）若全集U R =，求()U A B ．【答案】（1）{|41AB x x =-<或34}x <；AB R =；（2）(){|4U A B x x =-或4}x【详解】（1）因为函数()f x =的定义域是2{|160}{|44}A x x x x =->=-<<，集合{|1B x x =或3}x ， 所以{|41AB x x =-<或34}x <；A B R =；（2）因为全集U R =，所以{|4UA x x =-或4}x ，所以(){|4U A B x x =-或4}x ．18．（12分）已知命题:P x R ∃∈，使240x x m -+=为假命题． （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{|34}A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(4,)B =+∞；（2）4[3，2)【详解】（1）由题意，得关于x 的方程240x x m -+=无实数根， 所以△1640m =-<，解得4m >， 即(4,)B =+∞；（2）因为{|34}A x a x a =<<+为非空集合， 所以34a a <+，即2a <，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则2a <且34a ， 即423a <， 综上所述，实数a 的取值范围为4[3，2)．19．（12分）已知0a >，0b >，31a b +=． （1）求13a b+的最小值； （2）若2297m a b ab >++恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）16；（2）13(12，)+∞【详解】（1）0a >，0b >，且31a b +=，∴1313333(3)()1010216a b a b a b a b b a b +=++=+++=，当且仅当33a b b a =，即14a b ==时，等号成立， ∴13a b+的最小值为16． （2）2297m a b ab >++恒成立，22(97)max m a b ab ∴>++，222197(3)133a b ab a b ab a b ++=++=+⨯⋅，2(3)1344a b a b +⋅=，当且仅当3a b =，即12a =，16b =时，等号成立，2211139713412a b ab ∴+++⨯=，1312m ∴>， 即实数m 的取值范围为13(12，)+∞．20．（12分）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 时，2()2f x x x =-（如图）． （1）请补充完整函数()f x 的图象； （2）求出函数()f x 的解析式； （3）求不等式()3f x 的解集；（4）若函数()y f x =与y m =有两个交点，直接写出实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）2220()20x xx f x x xx ⎧-=⎨+<⎩（3）(x ∈-∞，3][3-，)+∞；（4）0m >或1m =-【详解】（1）完整图：（2）0x <，顶点(1,1)--，过点(0,0)，(2,0)- 顶点式：2()(1)1f x a x =+-代入(0,0)，(2,0)-， 得1a =，2()2f x x x ∴=+， ∴2220()20x xx f x x xx ⎧-=⎨+<⎩， （3）()3f x ，当0x 时，2233x x x -⇒， 当0x <时，由对称性3x ⇒-， (x ∴∈-∞，3][3-，)+∞，（4）由图可知，0m >或1m =-． 21．（12分）已知函数2()1x af x x +=+． （1）若1a =时，判断并证明函数()f x 在[2，3]上的单调性，并求函数()f x 在[2，3]上的最大值和最小值； （2）探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）最大值为f （2）35=，最小值为f （3）25=；（2）见解析【详解】（1）21()1x f x x +=+在[2，3]上单调递减．证明：令12121212221211,[2,3],,()()11x x x x x x f x f x x x ++∀∈<-=-++ 2112212212()(1)(1)(1)x x x x x x x x -++-=++，因为1223x x <，所以210x x ->，124x x >，124x x +>，121210x x x x ++->， 所以12()()f x f x >，所以()f x 在[2，3]上单调递减；()f x 在[2，3]的最大值为f （2）35=，最小值为f （3）25=；（2）若()f x 为奇函数，且x R ∈，则(0)00f a =⇒=． 下面证明：因为2()1x f x x =+，所以2()()1xf x f x x --==-+， 所以存在0a =．22．（12分）已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1k ；（2）0k > 【详解】（1）()211222201222x x x xx k k =+--⋅⇒-+原式， 11,222x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦令，则221k t t -+， 令2()21g t t t =-+，()[0g t ∈，1]，()k g t 有解，()max k g t ∴，1k ∴．（2）12212302121x x x kk -+-+-=--原式可化为，令|21|(0)x t t =->，12230kt k t t+-+-=原式可化为2(32)210t k t k ⇒-+++=，若原方程有三个不同的实数解，等价于方程2(32)210t k t k -+++=的两根分别位于(0,1)和(1,)+∞之间， 令2()(32)21g t t k t k =-+++， 只需1(0)02(1)00g k g k ⎧>>-⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪>⎩，0k ∴>．。
大一高等数学期中试卷
高等数学期中试卷班级 姓名 计分 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．函数（ ）2．已知，2lim (2)0,2x x x →-=-则称函数当( )时为无穷小。
3．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．4．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dx dy _______________．5.设 = _________．6.函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 7.3201sin limsin 2x x x x →=8.设()231ln e x y ++=，则='y 9.设⎩⎨⎧==t y t x ln 2 则=dxdy10.曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则，a= . b=二选择题（请选择一个正确答案序号填在括号中，共8小题，每小题3分共24分）1、指出下列哪些是基本初等函数（ ）（1）2y x =；(2) y =； 3；(sin y x = 4；)32ln(x y +=2、设在[0,1]上函数f(x)的图像是连续的，且()f x '>0,则下列关系一定成立的是( ) 1；f(0)<0 2；f(1)>0 3；f(1)>f(0) 4；f(1)<f(0)3、函数y=1+3x-x3有（ ）（A ）极小值-1,极大值1 （B ）极小值-2,极大值3 （C ）极小值-2,极大值2 （D ）极小值-1,极大值34、曲线1704,4y P x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭上一点处的切线方程是( )（A ）5x+16y+8=0 （B ）5x-16y+8=0 （C ）5x+16y-8=0 （D ）5x-16y-8=0351lim 232+--→x x x x5、31xy +=的反函数是（ ）A ；3ln 1y x =+（）B ；1y =C ；13-=x yD ；31x y e +=（）6、函数f(x)=xsinx+2x 2是（ ）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有界函数7、设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（ ）A.不一定存在B.有有限个存在C.有唯一的一个存在D.有无穷多个存在8.函数y=ex-x-1单调增加的区间是（ ） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞- D.[)+∞,0 三、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →（10分）四、求函数 y=e -x ×conx 的二阶及三阶导数（8分）五、判断曲线21y x x =- 的凹 凸性和拐点（10分）六、某质点的运动方程是S=t 3-(2t-1)2,则在t=1s 时的瞬时速度为 。
高等数学考试试卷集锦
高等数学（上）期中考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一.选择题（每小题 4 分）1.以下条件中（x →x +0（C ） f ′(x 0 ) 存在2.以下条件中（）不是函数 f (x ) 在 x 0 处连续的充分条件. （A ） lim f (x ) = lim f (x)x →x 0 -0（B ） lim f (x ) = f (x 0 )x →x 0（D ） f (x ) 在 x 0 可微）是函数 f (x ) 在 x 0 处有导数的必要且充分条件.（A ） f (x ) 在 x 0 处连续（C ） lim ∆x →0f ( 0x +∆ x ) - f ( 0x -∆ x )存在∆x 3. x = 1是函数 f (x ) =（A ）可去x -1sin πx 的（（B ） f (x ) 在 x 0 处可微分 （D ） lim f ′(x ) 存在x →x 0）间断点.（C ）无穷（D ）振荡（B ）跳跃4.设函数 f (x ) 在闭区间 [a ,b ] 上连续并在开区间 (a ,b ) 内可导，如果在 ( a , b ) 内f ′(x ) > 0 ，那么必有（ ）.（A ）在[ a , b ] 上 f (x ) > 0 （C ）在[ a , b ] 上 f (x ) 单调减少 5.设函数（B ）在[ a , b ]上 f (x ) 单调增加 （D ）在[ a , b ] 上 f (x ) 是凸的f (x ) = (x 2 - 3x + 2)sin x ，则方程 f ′(x ) = 0 在 ( 0 , π ) 内根的个数为（（A ）0 个（B ）至多 1 个（C ） 2 个）.（D ） 至少 3个二.求下列极限（每题 5 分） ln b (1+ ax )1. lim x →0 （ a > 0 ）.sin axa2. limx →∞ ax + b sin xcx + d cos x1（ c ≠ 0 ）. 3. lim ⎜⎜ε x -1 ⎟x （ a ≠ 0 ）.⎝ ⎠ 三.求下列函数的导数（每题 6 分）x →∞ ⎟1. y = ln ⎜ tan ⎛ ⎝x ⎞⎟ - cos x ln(tan x ) ,求 y ′ .2 ⎠⎛ ⎞ 4. lim ⎜x →0 ⎝ ⎛ sin x ⎞ x ⎟ ⎠x 2. 2.设 F (x ) 是可导的单调函数，满足 F ′(x ) ≠ 0 ， F (0) = 0 .方程F (xy ) = F (x ) + F ( y )确定了隐函数 y = y (x ) ，求dy dx x0=⎧ .⎪x = ln 1+ t ⎩⎪ψ = arctan t2 3.设 y = y (x ) 是参数方程 ⎨ ⎧ln(x + e )4.设函数 f (x ) = ⎨d 2 y dx 2确定的函数，求 . （ a > 0 ），问 a 取何值时 f ′(0) 存在？.⎩ax x > 0 x ≤ 0四.（8 分）证明：当 x > 0 时有 e x ≥ x e ，且仅当 x = e 时成立等式.五.（8 分）假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？4 6θ x六.（10 分）设函数 f (x ) 在区间 [a ,b ] 上连续，在区间 (a ,b ) 内有二阶导数.如果f (a ) = f (b ) 且存在 c ∈ (a ,b ) 使得 f (c ) > f (a ) ，证明在 (a ,b ) 内至少有一点 ξ ，使得 f ′′(ξ ) < 0 .七.（10 分）已知函数 y = f (x ) 为一指数函数与一幂函数之积，满足： （1） lim f (x ) = 0 ， lim f (x ) = +∞ ；x →+∞ x →-∞（2） y = f (x ) 在 (-∞ ,+∞ ) 内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出 f (x ) 的表达式.高等数学（上）期中考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）⎧ 11.已知函数 f (x ) = ⎪ 1( - sin x ) ⎨ ⎪a⎩ x x ≠ 0x = 0 在 x = 0 连续，则 a =.2. x = 0 是函数 f (x ) = 11e x +1的 间断点.（可去.跳跃.无穷.振荡） 3.若 f ′(x ) = 1 ，则 lim 0ε →0 =f (x 0 - 3ε ) - f (x 0 )2ε. 24.函数 f (x ) = (x - 3x + 2)sin x 在 ( 0 , π ) 内的驻点的个数为（（A ）0 个 （B ）至多 1 个 （C ） 2 个 5.设 a > 0 ，若 lim x →+∞ ）. （D ） 至少 3 个 2 ax + bx + c + dx = e ，则 a 与 d 的关系是.二.计算题（每题 6 分） ⎡1 ⎤⎥ x ⎦ 1.求 limx → ⎣⎢01ln(1+ x ) - .2.求 lim (cos x ) x →03. y = ln ⎜ tan ⎛ ⎝1x 2x ⎞⎟ - cos x ln(tan x ) ,求 y ′ .2 ⎠4.设 y = y (x ) 是参数方程 ⎨ ⎩ ⎧x = e t cos t ⎪ ⎪y = e t sin td 2 ydx 2确定的函数，求 ⎰ 1 +sin 4 x dx⎰ x x 2-1sin x cos x5.求6.求dx . π三.（8 分）证明：当 0 < x < 时有 sin x + tan x > 2x .2四 .（8 分）设函数 f (x ) 有二阶导数，且 f (0) = 0 ，又满足方程 f ′(x ) + f (x ) = x ，证 明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值？五.（8 分）设 a 和 b 是任意两个满足 ab = 1的正数，试求 a +b 的最小值（其中常数 m n > 0 ）使得 f (ξ ) = ξ ；又若 f ′(x ) ≠ 1（ x ∈ ( 0 , 1 ) ），证明这样的ξ 是唯一的.mn ` 六.（10 分）设函数 f (x ) 在区间[ 0 , 1 ]上可导，且 0 < f (x ) < 1，证明 ∃ξ ∈ ( 0 , 1 ) ， 七.（10 分）（1）设 (a n ) n 1= （2）对上述数列 (a n )n 1=∞∞是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限 lim a n ？n →∞，令 x n = (a + a +" + a)lim x n = lim a. n n 12 nn n →∞ n →∞n1n ，试用夹逼准则证明高等数学（上）期末考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一 .填空题（每题 4 分）1.函数 f (x ) 在[ a , b ] 上有界是 f (x ) 在[ a , b ] 上可积的 在[ a , b ] 上连续是 f (x ) 在[ a , b ] 上可积的2.函数 y =11 + tan x的间断点为 x =条件.，它是条件，函数 f (x )间断点.3.当 x → 0 时，把以下的无穷小：（A ） a -1 (a > 0, a ≠ 1 ；)（C ）1- cos 4x ； 按 x 的低阶至高阶重新排列是x4. limn →∞1 ⎡ π sin n ⎢⎣ n+ sin 2π n （B ） x - sin x ； （D ） ln(1+ x )， .（以字母表示）⎰ 1 0 dx = . ，，(n -1)π ⎤n ⎥ ⎦ +" + sin = 1 5.设函数 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，且 ⎰ f (x )dx = 0 ，则存在 x ∈ (0,1) ，使f (x 0 ) + f (1- x 0 ) = 0 .证法如下：0 x1令 F (x ) = ⎰f (t )dt +⎰, ) 内 ，且F (0) = 0 1- xf (t )dt ，x ∈[0,1] ，则 F (x ) 在闭区间[0,1]上连续，在开区间， F (1) = ，故根据微分学中的 定理知，(0 1 x 0 ∈ (0,1) 使得 F ′(x 0 ) = f (x 0 ) + f (1- x 0 ) = 0 ，证毕.二 .计算题（每题 6 分）11.若 lim (1+ x ) x →-0cx2.设 y = y (x ) 是由方程 e + y = sin(xy ) 确定的隐函数，求 y ′ .3.求极限lim ⎰x →0ln xx π4.求⎰ dx x 2( t 2e -1 dt)2= e ，求 c 的值.y .ln(1+ x 6) 5.求⎰ -π x (sin x + cos x )dx .224 +∞6.求⎰2x 4dx2x -1x 三 .（8 分）设 f (x ) = ⎰e dt ，求 ⎰f (x )dx x四.（8 分）设函数 f (x ) 在区间[ 0 , 1 ]上连续，且 f (x ) < 1，证明方程 2x - ⎰f (t )dt = 1 在开区间 (0,1 ) 内有且仅有一个根.1五 .（8 分）求由抛物线 y = 2x 与直线 x = 所围成的图形绕直线 y = -1旋转而成的2立体的体积.-2t10 21六.（8 分）设半圆形材料的方程为 y = R - x ，其线密度为 ρ = k - y ，(k > R ) 求该材料的质量.七 .（12 分）在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果 2 2x 2椭圆方程为4 + y 2 = 1（单位：m ），问：（ 1）液面在 y (-1 ≤ y ≤ 1) 时，容器内液体的体积V y与 y 的函数关系是什么？（ 2）如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m 的速 度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y = 0 时，液面下降的速度是每分钟多少 m ？ 3（ 3）如果液体的比重为 1（ N需作多少功？m 3 ），抽完全部液体Ox高等数学（上）期末考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）1.极限 lim f (x ) 存在是函数 f (x ) 在 x 0 处连续的x → x 0数 f (x ) 在 x 0 处连续的（A ）充分 （C)充分且必要2.若 f ′(0) = 1，则 limε →0 条件；导数 f ′(x 0 ) 存在是函条件. ——填入适当的字母即可：（B)必要（D ）既不充分也不必要f ( 2h ) - f (-h )h =.3.设 f (x ) = x (x -1)(2x -1)(3x -1)"(nx -1) ，则 f ′′(x ) 在 ( 0 , 1 ) 内有π4.设 f (x ) 是[-1 , 1 ]上连续的偶函数，则 ⎰[ 1+ xf (sin x )]dx =-π 个零点. .5.平面过点 ( 1 , 1 ,-1 ) ， (-2 , - 2 , 2 ) 和 ( 1 , -1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 二.基本题（每小题 7 分）（须有计算步骤）2 x ⎰ π0 01.求极限 limx →02.求定积分⎰ln(1+ t )dt1- cos x2..3.设 y = y (x ) 是方程 e + ⎰e dt - x -1 = 0 确定的隐函数，证明 y = y (x ) 是单调增加 t 2函数并求 y ′ x =0 .4.求反常积分⎰1u 31- u 2du .4 x tan xdx .yy三.（10 分）设 a 和 b 是任意两个满足 a + b = 1的正数，试求 a ⋅ b 的最大值（其中 常数 m n > 0 ）四.（10 分）一酒杯的容器部分是由曲线 y = x （ 0 ≤ x ≤ 2 ，单位：cm ）绕 y 轴旋转mn`33而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方 2cm 的嘴中，要做多少功？（饮料的密度为 1g/cm ） 五 .（10 分）教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式⎰ xf (sin x )dx =2 ππ π⎰ f (sin x )dx . 0 如果将上式左端的积分上限换成 (2k -1)π （ k ∈ Z ），则将有怎样的结果？进一步设kTf (x ) 是周期为T 的连续的偶函数， ⎰ xf (x )dx 将有怎样相应的表达式？六.（10 分）设动点 M (x , y , z ) 到 xOy 面的距离与其到定点 (1 ,-1 , 1 ) 的距离相等，M的轨迹为 ∑ .若 L 是 ∑ 和柱面 2z = y 的交线在 xOy 面上的投影曲线，求 L 上对应于1 ≤ x ≤2 的一段弧的长度.x0 2七.（12 分）设 f 0 (x ) 是[ 0 , + ∞) 上的连续的单调增加函数，函数 f 1(x ) =⎰ 0f 0(t )dtx.（ 1）如何补充定义 f 1(x ) 在 x = 0 的值，使得补充定义后的函数（仍记为 f 1(x ) ）在[ 0 , + ∞) 上连续？（ 2）证明 f 1(x ) < f 0 (x ) （ x > 0 ）且 f 1(x ) 也是[ 0 , + ∞) 上的连续的单调增加函数； (t )dt （ 3）若 f 2(x ) =⎰xf (1t )d t x ， f 3 (x ) =⎰xf 2 (t )dt x，⋯， f n (x ) =⎰xf n -1 x，则对任意的x > 0 ，极限 lim f n (x ) 存在. n →∞高等数学（下）期中考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一 .填空题（每小题 6 分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的 关系是怎样的？若用记号" X ⇒ Y "表示由 X 可推得Y ，则（2 ）⇒ （ ） ⇒ ⎨ ⎩( ⎧( ) ).2.函数 f (x , y ) = x - xy + y 在点 ( 1 , 1 ) 处的梯度为大值是 .2 ，该点处各方向导数中的最3.设函数 F (x , y ) 可微，则柱面 F (x , y ) = 0 在点 (x , y , z ) 处的法向为⎧F (x , y ) =0⎨ ⎩z =0 在点 (x , y ) 处的切向量为 .f (x , y )dy =1 π，平面曲线π 4.设函数 f (x , y ) 连续，则二次积分 π dx1⎰ ⎰sin x2.f (x , y )dx ；f (x , y )dx .1 π(A) ⎰ dy ⎰ 0 1f (x , y )dx ；f (x , y )dx ；π+arcsin yπ +arcsin y(B)⎰ dy ⎰1 (D) ⎰ dy ⎰0 π-arcsin yπ -arcsin yπ (C)⎰ dy ⎰ 0π二 .（6 分）试就方程 F (x , y , z ) = 0 可确定有连续偏导的函数 y = y (z , x ) ，正确叙述隐函数存在 定理.三 .计算题（每小题 8 分）1.设 z = z (x , y ) 是由方程 f (x - z , y - z ) = 0 所确定的隐函数，其中 f (u ,v ) 具有连续的偏导数 ∂z 且∂f ∂u + ∂f ∂v ≠ 0 ，求 + ∂x ∂z∂y的值.2. 设 二 元 函 数 f (u , v ) 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 f u (1,0) = f v (1,0) = 1 . 又 函 数 u =u (x , y ) 与v = v (x , y ) 由方程组 ⎨ ⎧x = au + bv ⎩y = au - bv.（ a + b ≠ 0 ）确定，求复合函数 z = f [u (x , y ),v (x , y )]的偏导22 数∂z ∂x ，( x , y )=( a , a )∂z ∂y( x , y )=( a , a )3.已知曲面 z = 1- x - y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2x + 2y + z = 1，求点 P 处的切平面方程.22 4 计算二重积分：sin⎰⎰D角形区域. x y3d σ ，其中 D 是以直线 y = x ， y = 2 和曲线 y = x 为边界的曲边三 5.求曲线积分 ⎰(x + y )dx + (x - y )dy ， L 为曲线 y = 1- | 1- x | 沿 x 从 0 增大到 2 的方向.2 2 2 2L五 .（10 分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为"球冠"；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为 R 高为 h 的球冠的面积与整个球面面积之比为 h : 2R .六.（10 分）设线材 L 的形状为锥面曲线，其方程为：x = t cos t ，y = t sin t ，z = t （ 0 ≤ t ≤ 2π ），其线密度 ρ(x , y , z ) = z ，试求 L 的质量.七 .（10 分）求密度为 ∝ 的均匀柱体 x + y ≤ 1， 0 ≤ z ≤ 1，对位于点 M ( 0 , 0 , 2 ) 的单位质点的引力.2 2高等数学（下）期中考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一 .简答题（每小题 8 分）⎧x = t - cos t⎪ ⎛π ⎞1.求曲线 ⎨y = 3 + sin 2t 在点 ⎜ , 3 , 1 ⎟ 处的切线方程.⎝ 2 ⎠⎩ 1 + cos3t2.方程 xy - z ln y + e = 1在点 (0 , 1 , 1 ) 的某邻域内可否确定导数连续的隐函数 z = z (x , y ) 或 y = y (z , x ) 或 x = x ( y , z ) ？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：⎪z = x zy 2 z 2设椭球面 小距离.x a 2 2 ++ = 1与平面 Ax + By + Cz + D = 0 没有交点，求椭球面与平面之间的最 b 2 c 234.设函数 z = f (x , y ) 具有二阶连续的偏导数， y = x 是 f 的一条等高线，若 f y (1 ,1) = -1，求f x 1 1) .,(二 .（8 分）设函数 f 具有二阶连续的偏导数， u = f (xy , x + y ) 求 2∂ u ∂x ∂y. 三.（8 分）设变量 x , y , z 满足方程 z = f (x , y ) 及 g (x , y , z ) = 0 ，其中 f 与 g 均具有连续的偏导数，求dy dx.⎧xyz = 0,四 .（8 分）求曲线 ⎨ 在点 (0 1 1，，) 处的切线与法平面的方程.⎩x - y -1 = 0 2五.（8 分）计算积分）⎰⎰e dxdy ，其中 D 是顶点分别为 ( 0 , 0 ) . ( 1 , 1 ) . ( 0 , 1 ) 的三角形区域.y 2D六 .（8 分）求函数 z = x + y 在圆 (x - 2) + ( y - 2) ≤ 9 上的最大值和最小值.七 . （ 14 分 ） 设 一 座 山 的 方 程 为 z = 1000 - 2x - y ， M (x , y ) 是 山 脚 z = 0 即 等 量 线 22 22 2 2 2 2x + y = 1000 上的点.（ 1）问： z 在点 M (x , y ) 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（ 2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点 M 使得上述增 长率最大，请写出该点的坐标.八.（14 分） 设曲面∑ 是双曲线 z - 4y = 2（ z > 0 的一支）绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M处的切平面 ∏ 与平面 x + y + z = 0 平行.（ 1）写出曲面∑ 的方程并求出点 M 的坐标；2 2 22 2（2）若Ω是∑. ∏和柱面x + y =1围成的立体，求Ω的体积.高等数学（下）期末考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一.简答题（每小题 5 分，要求：简洁.明确）1.函数 z = y -x 在点 (1 , 1) 处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少？xz2.设函数 F (x , y , z ) = (z +1)ln y + e -1，为什么方程 F (x , y , z ) = 0在点 M (1,1, 0)的某 个邻域内可以确定一个可微的二元函数 z = z (x , y ) ？22 23.曲线 x = t -1 , y = t +1 , z = t4.设平面区域 D : x 2a23在点 P (0 , 2 , 1) 处的切线方程是什么？b 2 ≤1(a > 0,b > 0) ,积分 (ax + by +c )dxdy 是多少？ꐀ_3 5Dy 2 ⎰⎰ ∞n =0 n 5.级数∑2 2 n+1n x 的收敛域是什么？0 ≤ x ≤ π ,6.设函数 f (x ) = ⎨ 数 a 02 2 ⎧e x +1, ⎪ ⎪e ⎩ - x - 1, -π ≤ x < 0 的傅里叶系数为 a 0 , a n ,b n (n = 1,2,3,") ，问级∞+ a 的和是多少？ ∑n =1 n二.计算积分1.（8 分） I = 2π πdy⎰⎽ⵔ π y -π dx sin xx22.（8 分） I = ⎰ (x + y )dx + ( y - x )dy ， L 为上半椭圆 x + =1(y ≥ 0) 取逆时针方La 2b 2三.（12 分）设∑ 是由曲线 ⎨ ⎧z = y 2 ,⎩x = 0( 0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.y 2向.（1）写出∑ 的方程和 ∑ 取外侧（即朝着 z 轴负方向的一侧）的单位法向量；（2）对（1）中的定向曲面∑ ，求积分 I =⎰⎰ 4(1- y )dzdx + (8y +1)zdxdy .∑四.（10 分）求微分方程 (1+ x ) y ′ = xy + x y 的通解 222 2五.（10 分）把函数 f (x ) =六.应用题y 1.（10 分）求曲面 x a 2 2 + b 2 π - x 222 + zc 2( 0 ≤ x ≤ π ) 展成正弦级数. = 1 (a > 0,b > 0,c > 0) 在第一卦限的切平面，使 该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.2.（12 分）设Ω 是由曲面 z = ln x22+ y 与平面 z = 0 , z = 1所围成的立体. 求：（1）Ω 的体积V ；（2）Ω 的表面积 A .高等数学（下）期末考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）1.函数 z = f (x , y ) 的偏导数 与 在区域 D 内连续是 z = f (x , y ) 在 D 内可微的∂z ∂z∂x ∂y条件.（充分，必要，充要）G2.函数 z = f (x , y ) 在点 (x 0 , y 0 ) 处沿 l = {cos α , cos β }的方向导数可以用公式 ∂f∂l = f (x , y ) cos α + f (x , y ) cos β 来计算的充分条件为 z = f (x , y ) 在点 x 0 0 y 0 0 (x 0 , y 0 ) 处 .（连续，偏导数存在，可微分） 为3.若三阶常系数齐次线性微分方程有解 y 1= e . y 2= xe . y 3=e ，则该微分方程.x ⎧x 0 5.< x < 14.周期为 2 的函数 f (x ) 在一个周期内的表达式为 ⎨ ⎩1 级数在 x = -3.5 处的和为 ∞5.幂级数∑n =2x n的收敛域是ln n.，则它的傅里叶 - 1 ≤ x ≤ 0.5-x -x .二 .（8 分）设函数 f (u , v ) 有二阶连续的偏导数，且 f u (0,0) = 1， f v (0,0) = -1. 函数z = f ⎜ xy , ⎜⎝⎛ x ⎞y ⎟⎟ ，求 ⎠ 2∂ z ∂x ∂y . 三 .（8 分）求抛物面 z = x + y 到平面 x + y + z +1 = 0 的最近距离. 四 .计算下列积分：（每题 8 分）21.⎰⎰ D2.⎰⎰ e d σ ，其中 D 为三直线 y = 0 . y = x 与 x = 1所围成的平面区域.xydydz + yzdzdx + zxdxdy ，其中∑ 是平面 x = 0, y = 0, z = 0 及 x + y + z = 1所x 2( x , y )=( 0 , 1 )2 ∑围成的四面体的边界面的外侧.3. ⎰ Γ五 .级数xyz dz ，其中 Γ 是曲线 ⎨ ⎩x ⎧y - z = 02 + y + z = 1 2 2 ，从 z 轴正向看去，沿逆时针方向.∞∑n =11.（8 分）设 a n 是等差数列，公差 d ≠ 0 ，s n = a 1 + a 2 + " + a n .问：级数是绝对收敛还是条件收敛或是发散的？说明理由.∞2.（12 分）求幂级数∑n =1(-1) n -12nx 的收敛域与和函数 s (x ) .2n -1 (-1) s nn -1六 .微分方程1.（8 分）求微分方程 xy ′ + y = x ln x 的通解.2.（12 分）设函数 f (x ) 有二阶连续的导数且 f (0) = 0 ， f ′(0) = 1.如果积分2⎰[x - f (x )]y dx + [ f ′(x ) + y ] dyL与L的路径无关，求f (x) .。
高数上期期中考试和答案
高数上期期中考试和答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的定义是：函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，如果对于任意的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε，则称f(x)在x=a处的极限为L。
根据极限的定义，下列函数中，极限不存在的是（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = 1/xD. f(x) = 1/x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的导数为（）。
A. 0B. 3C. -6D. 6答案：B3. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 函数f(x) = e^x的不定积分为（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. 1/e^x + CD. 1/e^x - C答案：A5. 以下哪个函数是偶函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：D6. 以下哪个函数是周期函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为______。
答案：1/38. 函数f(x) = 2x在区间[1,2]上的定积分为______。
答案：29. 函数f(x) = x^3的不定积分为______。
答案：1/4 * x^4 + C10. 函数f(x) = 1/x的不定积分为______。
答案：ln|x| + C三、计算题（每题10分，共40分）11. 计算极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
答案：-112. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
高一上期数学期中考试试卷
高一上期数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. -1C. √2D. i2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 2, 3, 4, 5}4. 若sinα + cosα = √2/2，则sin2α的值为：A. 1/2B. -1C. 0D. 15. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，第10项a10的值为：A. 23C. 27D. 296. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2的导数是：A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 + 6xC. x^3 - 6xD. x^3 + 6x^27. 已知a > 0，b < 0，且ab < 0，则下列哪个不等式成立？A. a + b > 0B. a - b > 0C. a * b > 0D. a / b < 08. 圆的方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9，该圆的半径是：A. 3B. 6C. 9D. 189. 向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 2)的点积为：A. 1B. 4C. -1D. 710. 已知一个正方体的体积为27，其边长为：A. 3B. 6D. 27二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1) = _______。
12. 函数y = |x - 3|的图像与x轴的交点坐标为 _______。
13. 集合{1, 2, 3}的子集个数为 _______。
14. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，则cosθ = _______。
15. 等差数列的前n项和公式为 _______。
高等数学(A,B)(上册)试卷.
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1. 2 ( , ( ='= x f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x , 0→∆（）（A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆；（C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2. 方程内恰有在, (0125∞+-∞=-+x x （）（A ）一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3. 已知函数 , 0 0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 , 1cos 1(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ）不可导；（B ）可导且0 0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1. =⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0. ,, 0, 3cos 2cos (2则当若时，处连续在 0 ( =x x f . 2. 设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim ( 2，则=x x f ( 在 0 处，其类型是 .3. 函数Lagrange x xe x f x 处的带在1 (== 余项的三阶Taylor 公式为4. 设函数所确定由方程 1 sin( (=-=x ye xy x y y ，则=dy .5. 已知 1ln( (x x f -=，则= 0((n f.6. 设22tan (cosx x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则三、（每小题7分，共28分）1. 求极限x x x 2cot 0]4[tan(lim π+→. 2.求极限 sin 1(sinlim x x x -++∞→3. 已知x x ey xsin ln --=，求2(π'y . 4. 设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-.五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
上海电力学院高等数学(上)期中试卷级期末
上海电力学院高等数学(上)期终考试试卷一．填空题（每小题3分，共15分）1．设e x a x x =+→1)sin 1(lim ，则_____=a ．2．设⎩⎨⎧>≤+=11)(2x xx bax x f 在),(∞+-∞上可导，则____=a ，____=b ．3．___________________12=-⎰dx x x ．4．=++⎰-11241arctan 1dx xxx ___________．5．设)(x f 连续，且⎰-=x tx t dt e e f e y 0)(，则_______________=dxdy ．二．选择题（每小题3分，共15分） 1．下列结论正确的是（ ）．Ａ．11sin 1lim=→xxx ； B ．11sinlim =∞→xx x ；C ．11sinlim 0=→xx x ； D ．1sin lim=∞→xx x ．2．设函数22sin 1)(x x x x f ++-=，则点1=x 是导函数)(x f '的（ ）．Ａ．无穷间断点； B ． 连续点；C ．可去间断点；D ． 跳跃间断点．3．设)(x f 有连续的导函数，则⎰='])([dx x f d （ ）．Ａ．dx x f )('；B ．dx C x f ])([+'； C ．dx x f )(；D ．dx C x f ])([+． 4．当0→x 时，下列无穷小量中①12-x ， ②)1ln(2x +， ③⎰1cos 2cos xdt t ， ④⎰xdt t 02sin ，是同阶无穷小量的是（ ）．Ａ．①，②； B ．②，③； C ．③，④； D ．④，①． 5．设)(x f 在定义域内可导，函数)(x f y =图形如下图所示，则导函数)(x f y '=的图形只可能为（ ）．三．计算题（每小题5分，共20分） 1．求曲线1=++yyey x 在点)0,1(处的切线方程；2．讨论函数⎰-=x edt tx f )ln 11()(在区间),1(∞+的单调性和并求极值；3．求])(1)2(1)1(1[lim 222n n n n n n ++++++∞→ ；4．求过直线111-=+=-z y x 和点)0,0,0(O 的平面方程； 四．（每小题6分，共24分）1． )1)(sin ()1ln(212lim 22--+--+→xx e x x x x；2．设函数)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰t du u uu y t x 0221sin 1ln 决定，求dx dy ，22dx y d ；3．证明x x x 3tan 2sin >+，)2,0(π∈x ；4．设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=04011)(2x x x e x f x，求⎰-3)1(dx x f ．五．（8分）（1）求对数螺线θρe =，]2,0[πθ∈的弧长； （2）求θρe =，]2,0[πθ∈和极轴0=θ所围图形的面积．六．（10分）设一容器侧面由曲线2x y =绕y 轴旋转而成，已知初始时刻液面高度为2)(m ，（1）求液面高度为h 时，容器中液体体积；（2）若在容器底部有一个直径为2)(cm 的圆孔，当容器中液面高度为h )(m 时，孔中液体流速为gh c v 2=)/(s m ，求液面高度为h 时，液面高度h 关于时间t 的变化率；（3）容器中液体从小孔中流尽所需的时间．七．（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有连续的二阶导函数，且0)0(=f ，3)(≤''x f])1,1[(-∈x ，（1）写出)(x f 在点0=x 处带拉格朗日余项的一阶麦克劳林展开式； （2）证明1)(11≤⎰-dx x f ．。
高等数学期中试题及答案
高等数学（上）期中试题一、单项选择和填空（共10小题，每题3分）1.f x ()在x 0的左、右极限存在且相等是f x ()在该点连续的( ) A.充分且必要的条件 B.充分非必要的条件C.必要非充分的条件D.既非充分也非必要的条件2.设y x x dx dyy =+=32,则＝( )A.2B.4C.12D.143.函数f x x x ()=-+268单调减少的区间是( )A.(,)-∞+∞B.(,]-∞3C.[,)-+∞3D.[,)3+∞4.设y x x x y =---'=()()(),()1231则( )A.0B.2C.3D.65.过原点作曲线y=e x 的切线，则：切线的方程为( )A.y=e xB.y=e xC.y=xD.y=2e x 6.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则：方程f ′(x)=0,在〔0,3〕内的根的个数为( )A.1B.2C.3D.47.∞→n lim （n n 2n 2-+）=______.8.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-+2x1ax 1 0)(x 0)(x =≠ ,在点x=0处连续，则：a=_____. 9.设y=xcos2x,则:f ′(x)=______. 10.曲线sin 2(0,1)cos 2ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在处切线为二. （10分） 求0x lim →(1e 1sinx 1x--).三（10分）.设x arctgt y t ==+⎧⎨⎩ln()12,求dy dx d ydx ,22四（10分）求函数()(2f x x =-[1,2]-上的最大值和最小值。
五（10分）322()2221设由确定y y x y y xy x =-+-=，()求的驻点，y y x =并判断它是否为极值点。
六（10分）设常数0k >，判断方程ln 0xx k e-+=在(0,)+∞内实根的个数，并说明理由。
七（10分）已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩，（1）讨论L 的凹凸性；（2）过点(1,0)-引L 的切线，求切线的方程。
高等数学(上)期中考试试卷
高等数学（上）期中考试试卷1 高等数学（上）期中考试试卷1一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 3，若f(x)的导函数为f'(x) = 6x^2 + 2ax + b，则a的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -32. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x + k的图像必经过的点为（）A. (-1, -1)B. (1, -1)C. (2, 2)D. (-2, 2)3. 设函数y = e^x + a，若a = 1，求y在x = 0处的切线方程为（）A. y = x + 2B. y = 2x + 1C. y = x + 1D. y = 2x + 24. 函数y = a^x在点(0, b)处的切线方程为y = x + 1，求a和b的值。
A. a = 1, b = 1B. a = e, b = eC. a = 2, b = 2D. a = e, b = 15. 函数y = ln(x)在点(1, 0)处的切线方程为y = 2x - 2，求曲线在x = 1处的切线方程。
A. y = xB. y = x - 1C. y = 2x - 1D. y = 2x6. 函数y = cos(x)在区间[0, π/2]上的最小值为（）A. -1B. -√2/2C. -1/2D. 0二、计算题（共70分）1. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x在区间[0, 2]上的定积分。
2. 求曲线y = x^2 - 2x的长度。
3. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点。
4. 求函数y = ln(x)与y = x的交点坐标。
5. 已知函数y = e^x满足条件∫(1, a) y dx = 5，求a的值。
6. 求函数y = x^2 - 2在区间[-2, 2]上的平均值。
三、证明题（共20分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 4，证明f(x)在区间[-1, 1]上有且仅有一个零点。
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(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点
装
订
线
内
不
要
答
题
自
觉
遵 守
考 试
规 则，诚 信 考 试，绝 不 作
弊
（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>∆x 时，有（ ）
(A )0>>∆dy y (B )0<<∆dy y (C )0>∆>y dy (D )0<∆<y dy
（4）函数q x x x f ++=2)(3的零点的个数为 （ ）
(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 与q 取值有关
（5）若函数)(x f 满足)( )()(+∞<<-∞=-x x f x f ，且在)0,(-∞内，0)(>'x f ，
0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ）
(A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的；
(C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。
（6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ）
(A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点；
(C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。
（7）曲线1
)3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线；
(C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。
三、计算下列极限 (每题5分，共20分)
（1）)|
|sin 12(lim 4
10x x e e x x x +++→
（2）)1ln()cos 1(1
cos
11lim 230x x x x x x -++-+→
（3）)tan 11(lim 20x
x x x -→
(4) x x x )arctan 2
(lim π
+∞→
四、计算下列各题(每题6分，共24分)
（1）设x e x x y -=1sin sin x x +，求y '.
( 2 )设函数)(x y 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，试求0t 22=dx y d
( 3 ) 2
1)(2-+=
x x x f ， 试求)()(x f n
( 4 ) 已知方程)ln()(2y x y x x y --=-确定y 是x 的函数，求dy .
五．（6分）证明：当1<x 时，x
e x ≥-11
六．（5分）设)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x g ，)()(b f a f ==,0)()(==b g a g 证明：（1）在),(b a 内，0)(≠x g ；（2）至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()
()()
(ξξξξg f g f ''''=成立.。