朱慈勉结构力学 静定结构-三铰拱-桁架
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x x2
4f 2 (l 2 x2 ) 0.5 l
M2 80kN m 24kN 3m 8kN m FQ 2 ( FyA qx2 )cos 2 FH sin2 0kN FN 2 (FyA qx2 )sin2 FH cos2
26.8kN
FN 54 0
FN 23 80kN FN 67 80kN
结点2、6符合情况(c), 所以：
撤除零杆97、98后，桁架属 于对称受力状态，这就要求 杆43与47的轴力大小相等、 性质相同。但因杆45是零杆， 而结点4为K形结点，它要求 两斜杆的轴力性质相反。由 于上述两种结论是茅盾的， 因而可以判定：
三铰拱的内力计算：
0 MK MK FH yK
相当梁
注：作拱结构的内力图时，为方便起见，可以取拱的水平投影 线为基线进行绘制。
0 MK MK FH yK
0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y x( l x ) 拱轴线方程： 2 l 解：求支座反力。
结点2、6符合情况(c), 所以：
(a ) (b)
(d )
(c )
FN 1 FN 2 0
FN 1 FN 2 FN 3 0
FN 1 FN 2 FN 3 FN 4
FN 1 FN 2
结点9符合情况(a), 所以：
FN 97 0, FN 98 0
结点5符合情况(b), 所以：
最后得合理拱轴线： qC 确定常数： y x 1 cosh qC FH 当x 0时, y 0, 得: A 0 dy M y 当x 0时, 0, 得: B 0 FH dx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
第 4章
三、拱的种类：
三铰拱
两铰拱
无铰拱
吊杆 拉杆
花篮螺丝
带拉杆的三铰拱
带吊杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
第 4章
五、拱与曲梁的区别
3-3-1三铰拱的内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。
二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
注意
*合理轴线对应的是 一组固
定荷载（M0与荷载有关）； *合理轴线是一组具有不同高
所以拱的合理轴线方程为：
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
跨比的抛物线(拱高 f 未定)。
纯受压状态的合力拱轴是一种理想状态，这一
状态只可能对应一种确定不变化的荷载（恒载
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y x( l x ) 拱轴线方程： 2 l 解：求支座反力。
0 FyA FyA 28k源自文库 , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m M图(kN m) 0 M C 96 FH 24kN f 4
对称情况
解：⑴求支座反力。 ⑵分解为对称和反对称两种情况。
反对称情况
对称情况下： ①由铰B知： FNBD FNBF 0 ②取结点D： FP Fx 0, FNDG cos 45 2 2 FNDG FP 2 FP Fy 0, FNDA FNDG sin 45 2 ③取结点A： FP 0 Fy 0, FNAE sin 45 2 2 FNAB FP FNAE FP 2 FP 0 Fx 0, FNAB FNAE cos 45 2 ④取结点G： 2 FNGE 2 FP cos 45 FP 2
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
qR 2 sin 2 M K qR R R cos 2 q( R R cos )2 0 （说明圆弧线是合理拱轴线） 2
§3-4 静定平面桁架
民用房屋屋架
Fy 0
求出两杆的轴力：
FN 43 FN 47 50kN
如果将作用于结点6上的荷载 改为竖直向上，且大小不变。 则桁架处于反对称的受力状态 ，这时应有：
FN 35 FN 57
结合结点平衡的特殊情况(2), 可以判定：
FN 35 FN 57 0
例3-10 求图示桁架各杆的轴力。
K
压力线的概念在砖石和混凝土拱的设计中有重要意义。由于 这些材料的抗拉强度较抗压强度低得多，通常要求截面上不出现 拉应力。因此，压力线不应超出截面的核心区。若拱的截面为矩 形，由材料力学算得核心区高度为截面高度的1/3, 故压力线不应 超出截面三等分的中段范围。 借助于压力线的概念，可以用图解的方法求出拱任一截面上 的内力。
绘制内力图：
FQ图(kN )
FN图(kN )
3-3-2 三铰拱的压力线
1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、FQK、 FNK。这三个内力分量可用它的合力FR代替。将三铰拱每一截面上合力 作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。
3-3-2 三铰拱的压力线
第 4章
3-3 三铰拱
第 4章
3-3 三铰拱 一、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构，拱式结构也常称为推力结构。
二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
0 FyA FyA 28kN , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m 0 MC FH 96 24kN f 4
①求截面2的内力：
dy tan 2 dx
2 2634 x2 4m 4f y2 2 x 2 ( l x 2 ) 3 m l
FN 43 FN 47 0
如果结点4上也作用有竖向荷 载，则可以利用两斜杆内力 相等的特点，由结点4的平衡 条件：
Fy 0
求出两杆的轴力：
FN 43 FN 47 50kN
如果将作用于结点6上的荷载 改为竖直向上，且大小不变。
FN 43 FN 47 0
如果结点4上也作用有竖向荷 载，则可以利用两斜杆内力 相等的特点，由结点4的平衡 条件：
0 MK MK FH yK
0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y x( l x ) 拱轴线方程： 2 l 解：求支座反力。
0 FyA FyA 28kN , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m 0 MC FH 96 24kN f 4
3-3-1 三铰拱的内力计算
Fx 0, FxA FxB FH
0 FyA FyA 0 FyB FyB
0 MC 0, MC FH f 0
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
②求截面6的内力：
dy tan 6 dx
6 2634 x6 12m 4f y6 2 x 6 ( l x 6 ) 3 m l
x x6
4f 2 (l 2 x6 ) 0.5 l
0 M6 M6 FH y6 8kN m L FQ 6 ( FP FyB )cos 6 FH sin 6 7.15kN R FQ 6 FyB cos 6 FH sin 6 7.15kN L FN 6 ( FP FyB )sin 6 FH cos 6 23.24kN R FN 6 FyB sin6 FH cos 6 30.40kN
或静力荷载）才做得到。实际设计中，合理拱
轴是针对主要荷载，并使在各类荷载的不利组
合下拱的弯矩最小。
例3-8 求图示三铰拱的合理拱轴线。 填土的容重为：γ 。 竖向分布荷载：q( x ) qC y 2 0 d M 解： q 2 dx d2 y q( x ) 1 d 2M0 2 2 FH dx FH dx d 2 y q( x ) d2 y 1 本例y轴向下，所以： qC y 2 2 F F dx dx H H qC d2 y qC y 即： 2 解得： y A cosh x B sinh x F F FH FH dx H H
(a ) (b)
(d )
(c )
FN 1 FN 2 0
FN 1 FN 2 FN 3 0
FN 1 FN 2 FN 3 FN 4
FN 1 FN 2
结点9符合情况(a), 所以：
FN 97 0, FN 98 0
结点5符合情况(b), 所以：
FN 54 0
FN 23 80kN FN 67 80kN
⑶ 复杂桁架：不是按上述两种方式组成的其他桁架。
按桁架外形划分：
平行弦桁架
折弦桁架
三角形桁架
梯形桁架
3-4-1 结点法
由平衡条件可求得：
FN 34 0 FN 35 60kN
Fy 0, FN 13 100kN
Fx 0, FN 12 60kN
Fx 0, FN 24 60kN
工业房屋屋架
起重机塔架
铁路的桁桥
理想桁架的三项假设： ⑴ 各杆在两端用理想铰（光滑而无摩擦）相互联结。 ⑵ 各杆的轴线均为直线，并通过铰的几何中心。 ⑶ 荷载和支座反力均作用在结点上。
静定平面桁架的分类(按几何构造特征划分)：
⑴ 简单桁架：由基础或一个基本铰结三角形 开始，依次增加二元体构成的 桁架。 ⑵ 联合桁架：由几个简单桁架，按照几何不 变体系的基本组成规则联成的桁架。
从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对三铰拱而言，在竖向荷载作用下，任意截面上弯矩计算式为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项 M M Hy 0 与拱轴形状有关。令
M x yx H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
Fy 0, FN 23 80kN
结点的几种特殊情况： ⑴ 两杆结点上无外力作用时，则两杆均为零杆。 ⑵ 两杆在一直线上的三杆结点上无外力作用时，则侧杆为 零杆，而在同一直线上的两杆的轴力必相等，并且其轴 力的性质（指受拉或受压）相同。 ⑶ 直线交叉形四杆结点上无外力作用时，则在同一直线上 的两杆的轴力相等，且性质相同。 ⑷ 侧杆倾角相等的K形结点上无外力作用时，则两侧杆的 轴力相等，但性质相反。
例3-7
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q y C q B l/2 B x A
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H
ql 2
x
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
MC ql 2 H f 8f
4f 2 (l 2 x2 ) 0.5 l
M2 80kN m 24kN 3m 8kN m FQ 2 ( FyA qx2 )cos 2 FH sin2 0kN FN 2 (FyA qx2 )sin2 FH cos2
26.8kN
FN 54 0
FN 23 80kN FN 67 80kN
结点2、6符合情况(c), 所以：
撤除零杆97、98后，桁架属 于对称受力状态，这就要求 杆43与47的轴力大小相等、 性质相同。但因杆45是零杆， 而结点4为K形结点，它要求 两斜杆的轴力性质相反。由 于上述两种结论是茅盾的， 因而可以判定：
三铰拱的内力计算：
0 MK MK FH yK
相当梁
注：作拱结构的内力图时，为方便起见，可以取拱的水平投影 线为基线进行绘制。
0 MK MK FH yK
0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y x( l x ) 拱轴线方程： 2 l 解：求支座反力。
结点2、6符合情况(c), 所以：
(a ) (b)
(d )
(c )
FN 1 FN 2 0
FN 1 FN 2 FN 3 0
FN 1 FN 2 FN 3 FN 4
FN 1 FN 2
结点9符合情况(a), 所以：
FN 97 0, FN 98 0
结点5符合情况(b), 所以：
最后得合理拱轴线： qC 确定常数： y x 1 cosh qC FH 当x 0时, y 0, 得: A 0 dy M y 当x 0时, 0, 得: B 0 FH dx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
第 4章
三、拱的种类：
三铰拱
两铰拱
无铰拱
吊杆 拉杆
花篮螺丝
带拉杆的三铰拱
带吊杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
第 4章
五、拱与曲梁的区别
3-3-1三铰拱的内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。
二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
注意
*合理轴线对应的是 一组固
定荷载（M0与荷载有关）； *合理轴线是一组具有不同高
所以拱的合理轴线方程为：
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
跨比的抛物线(拱高 f 未定)。
纯受压状态的合力拱轴是一种理想状态，这一
状态只可能对应一种确定不变化的荷载（恒载
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y x( l x ) 拱轴线方程： 2 l 解：求支座反力。
0 FyA FyA 28k源自文库 , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m M图(kN m) 0 M C 96 FH 24kN f 4
对称情况
解：⑴求支座反力。 ⑵分解为对称和反对称两种情况。
反对称情况
对称情况下： ①由铰B知： FNBD FNBF 0 ②取结点D： FP Fx 0, FNDG cos 45 2 2 FNDG FP 2 FP Fy 0, FNDA FNDG sin 45 2 ③取结点A： FP 0 Fy 0, FNAE sin 45 2 2 FNAB FP FNAE FP 2 FP 0 Fx 0, FNAB FNAE cos 45 2 ④取结点G： 2 FNGE 2 FP cos 45 FP 2
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
qR 2 sin 2 M K qR R R cos 2 q( R R cos )2 0 （说明圆弧线是合理拱轴线） 2
§3-4 静定平面桁架
民用房屋屋架
Fy 0
求出两杆的轴力：
FN 43 FN 47 50kN
如果将作用于结点6上的荷载 改为竖直向上，且大小不变。 则桁架处于反对称的受力状态 ，这时应有：
FN 35 FN 57
结合结点平衡的特殊情况(2), 可以判定：
FN 35 FN 57 0
例3-10 求图示桁架各杆的轴力。
K
压力线的概念在砖石和混凝土拱的设计中有重要意义。由于 这些材料的抗拉强度较抗压强度低得多，通常要求截面上不出现 拉应力。因此，压力线不应超出截面的核心区。若拱的截面为矩 形，由材料力学算得核心区高度为截面高度的1/3, 故压力线不应 超出截面三等分的中段范围。 借助于压力线的概念，可以用图解的方法求出拱任一截面上 的内力。
绘制内力图：
FQ图(kN )
FN图(kN )
3-3-2 三铰拱的压力线
1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、FQK、 FNK。这三个内力分量可用它的合力FR代替。将三铰拱每一截面上合力 作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。
3-3-2 三铰拱的压力线
第 4章
3-3 三铰拱
第 4章
3-3 三铰拱 一、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构，拱式结构也常称为推力结构。
二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
0 FyA FyA 28kN , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m 0 MC FH 96 24kN f 4
①求截面2的内力：
dy tan 2 dx
2 2634 x2 4m 4f y2 2 x 2 ( l x 2 ) 3 m l
FN 43 FN 47 0
如果结点4上也作用有竖向荷 载，则可以利用两斜杆内力 相等的特点，由结点4的平衡 条件：
Fy 0
求出两杆的轴力：
FN 43 FN 47 50kN
如果将作用于结点6上的荷载 改为竖直向上，且大小不变。
FN 43 FN 47 0
如果结点4上也作用有竖向荷 载，则可以利用两斜杆内力 相等的特点，由结点4的平衡 条件：
0 MK MK FH yK
0 MC FH f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。 4f y x( l x ) 拱轴线方程： 2 l 解：求支座反力。
0 FyA FyA 28kN , 0 FyB FyB 20kN 0 MC 20kN 8m 16kN 4m 96kN m 0 MC FH 96 24kN f 4
3-3-1 三铰拱的内力计算
Fx 0, FxA FxB FH
0 FyA FyA 0 FyB FyB
0 MC 0, MC FH f 0
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
②求截面6的内力：
dy tan 6 dx
6 2634 x6 12m 4f y6 2 x 6 ( l x 6 ) 3 m l
x x6
4f 2 (l 2 x6 ) 0.5 l
0 M6 M6 FH y6 8kN m L FQ 6 ( FP FyB )cos 6 FH sin 6 7.15kN R FQ 6 FyB cos 6 FH sin 6 7.15kN L FN 6 ( FP FyB )sin 6 FH cos 6 23.24kN R FN 6 FyB sin6 FH cos 6 30.40kN
或静力荷载）才做得到。实际设计中，合理拱
轴是针对主要荷载，并使在各类荷载的不利组
合下拱的弯矩最小。
例3-8 求图示三铰拱的合理拱轴线。 填土的容重为：γ 。 竖向分布荷载：q( x ) qC y 2 0 d M 解： q 2 dx d2 y q( x ) 1 d 2M0 2 2 FH dx FH dx d 2 y q( x ) d2 y 1 本例y轴向下，所以： qC y 2 2 F F dx dx H H qC d2 y qC y 即： 2 解得： y A cosh x B sinh x F F FH FH dx H H
(a ) (b)
(d )
(c )
FN 1 FN 2 0
FN 1 FN 2 FN 3 0
FN 1 FN 2 FN 3 FN 4
FN 1 FN 2
结点9符合情况(a), 所以：
FN 97 0, FN 98 0
结点5符合情况(b), 所以：
FN 54 0
FN 23 80kN FN 67 80kN
⑶ 复杂桁架：不是按上述两种方式组成的其他桁架。
按桁架外形划分：
平行弦桁架
折弦桁架
三角形桁架
梯形桁架
3-4-1 结点法
由平衡条件可求得：
FN 34 0 FN 35 60kN
Fy 0, FN 13 100kN
Fx 0, FN 12 60kN
Fx 0, FN 24 60kN
工业房屋屋架
起重机塔架
铁路的桁桥
理想桁架的三项假设： ⑴ 各杆在两端用理想铰（光滑而无摩擦）相互联结。 ⑵ 各杆的轴线均为直线，并通过铰的几何中心。 ⑶ 荷载和支座反力均作用在结点上。
静定平面桁架的分类(按几何构造特征划分)：
⑴ 简单桁架：由基础或一个基本铰结三角形 开始，依次增加二元体构成的 桁架。 ⑵ 联合桁架：由几个简单桁架，按照几何不 变体系的基本组成规则联成的桁架。
从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对三铰拱而言，在竖向荷载作用下，任意截面上弯矩计算式为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项 M M Hy 0 与拱轴形状有关。令
M x yx H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
Fy 0, FN 23 80kN
结点的几种特殊情况： ⑴ 两杆结点上无外力作用时，则两杆均为零杆。 ⑵ 两杆在一直线上的三杆结点上无外力作用时，则侧杆为 零杆，而在同一直线上的两杆的轴力必相等，并且其轴 力的性质（指受拉或受压）相同。 ⑶ 直线交叉形四杆结点上无外力作用时，则在同一直线上 的两杆的轴力相等，且性质相同。 ⑷ 侧杆倾角相等的K形结点上无外力作用时，则两侧杆的 轴力相等，但性质相反。
例3-7
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q y C q B l/2 B x A
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H
ql 2
x
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
MC ql 2 H f 8f