苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter 1 Foundation of Quantum Mechanics

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量子力学讲义1

量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。

量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。

综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。

它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。

⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。

量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。

因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。

三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。

1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。

2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。

但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。

四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。

2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。

五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。

⼒学量可以不连续地取值，且不确定。

2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。

它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。

六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。

2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。

3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。

苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter3 Relat汇总

E p ,1 c 2 p 2 m2c 4
E p ,1 c 2 p 2 m 2c 4
§3.3 solutions of the free particle

Oved
§3.3 solutions of the free particle
1) They must follow the relation
E 2 c2 p2 m2c4
2) Operator H must be Hermitian 3) Lorentz invariance
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
3 † † i i c k k mc 2 t x i 1
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
§3.2 Dirac equation

4 anti-commute matrices α and β 4×4 matrices
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation

Conservation law of the probability flux
§3.2 Dirac equation
i ' imc imc * ' [ ' ( ') ' ( ')] 2 2mc t t '* ' *
2 2
§3.1 Klein – Gordon equation

苏汝铿高量1234

• 3D Schrodinger equation • Central potential
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
• Central potential
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
§1.1 State vector, wave function and superposition of states
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
• Harmonic oscillator
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
• Harmonic oscillator
§1.2 Schrödinger equation and its solutions
• Non -degenerate
§1.4 Approximation method
• Non -degenerate
§1.4 Approximation method
• Degenerate
§1.4 Approximation method
• Degenerate
§1.4 Approximation method
amplitude
§1.4 Approximation method

量子力学答案(第二版)苏汝铿第一章课后答案1.3-1#02

h2 d 2 ( x) 1 m 2 x 2 ( x) E ( x) 8 2 m dx 2 2
批注 [JL1]: 不合题意！
1 h 2 2
（2）设均匀磁场的大小为 B，电子的运动半径为 a,质量为 m，电量为 q，电子运动速率为 v, v a 则a
d 。 dt
mv ，取电子角位移为广义坐标，相应的的广义动量 p mav 。 qB
根据推广的玻尔量子化条件，有
pdq nh ，则 (mav)d nh
nh ， 2
该广义动量大小在同一轨道中不变，故 mav ＝
再结合 a
nh mv ，得 a 2 qB qB
Hale Waihona Puke 1.3求下列各粒子的德布罗意波的波长：（１）能量为１００ｅＶ的自由电子（２）能量为０．１ｅＶ的自由中子（３）能量为０．１ｅＶ，质量为１ｇ的质点３（４）温度为１Ｋ时，具有动能ｋＴ的氦原子 2
ｈｈ－９解（１）＝＝＝１．２３１０ｍｐ２ｍＥ
ｈｈ－１１（２）＝＝＝９．０７１０ｍｐ２ｍＥ
ｈｈ－２２（３）＝＝＝１．１７１０ｍｐ２ｍＥ
ｈｈｈ－９（４）＝＝＝＝１．２６１０ｍｐ２ｍＥ３ｍｋＴ
1.4 利用玻尔量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径。解：（1）一维谐振子的能量可以表示为 E p 2 / 2m kx 2 / 2 其对应的薛定谔方程为计算结果为 En (n )

量子力学答案(第二版)苏汝铿第一章课后答案1.5-1#07

1 m 2 x 2 2

所以， a
2
g g l
m g h 0 2
1 V ( x) 可取为 m 2 x 2 ，则可令 2 x a sin t
p mx ma cos t
由
（ii）
由德布罗意关系 p h
，知
1030 m
p 5 103 10 102
a
又
nh m
1 m 2 a 2 2
子弹的德布罗意波长的线度远小于刚性障碍物的尺寸，所以该子弹不能发生衍射，即穿透的概率趋于 0 （iii）由德布罗意关系 p h
E
，知
1032 m
E En n
对于零点震荡， n 1 ，能量为

h 6.6 10 p 0.1 0.5
pi
ni h , ai
i 1, 2,3
所以，此即在箱内运动粒子的能量
1 2
1 2
E
i 1
3
2 pi2 1 nx h n 2m 2m a b ...
有 Ek ( x 0) E p ( x a) 又， E p
批注 [JL2]: （i）设单摆的振幅为 a ，势能
1.5 设箱的长度分别为 a,b,c，用玻尔量子化条件求箱内运动粒子的能量。解：对一维束缚粒子，
批注 [JL1]:
nh
即， Ex
pdq
2
a
0
2mEdx 2mEa
1 nx h Ex 2m a
2
1 nx h 2m a
？？？？能量是矢量？？？？对于限制在矩形箱内内运动的三维
2

量子力学第1章量子力学的诞生.ppt

定态的轨道如何确定？
23
Bohr的角动量量子化条件
为了确定电子的轨道，即分立能量相应的定态，玻尔根据对
应原理，提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的
J n
n 1,2.......
(7)
其中 h / 2 1.0545*1034 J S 。
后来，索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度体系的周
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，对辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。
10
黑体辐射理论描述：
1. Wein公式
E d c1 3e c2 / T d
低频与实验有明显偏离
2.Rayleigh-Jeans公式
E d

时，发射或吸收的电磁辐射的频率υ 由下式给出：
h En Em （频率条件）
(6)
简言之，Bohr 量子论的核心思想有两条：原子的具有分立能量的定态概念，两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件。
22
Bohr的量子论
原子中的电子具有确定的分立轨道. “确定”:经典； ”分立”:量子。
h nm En Em
电子在镍单晶上的衍射实验 •汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）
电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理
30
•约恩逊(Jonsson)实验（1961）电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
基本 a 0.3μ m d 1μ m
数据 V 50kV
o
0.05 A
质子、中子、原子、分子…也有波动性
教材：《量子力学导论》(第二版)，曾谨言著
参考书： 1 .《量子力学》，苏汝铿著 2.《量子力学教程》，周世勋著 3. Quantum Mechanics，L.I.Schiff, 中译本 4.《量子力学习题与解剖》，曾谨言，钱伯初著

高等量子力学第一章希尔伯特空间 PPT课件

完全集一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完
全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
i ai
i
的形式，其中ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1, 2 ,...n ，
但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量
命名为 n1，加入这个矢量集。这时 1, 2 ,...n , n1，肯定是
证明：设在空间中有1和2 ，对所有矢量都满足 1 , 2
取第一式的为2 ，第二式中的为1，分别得 2 1 2,1 2 1
于是，根据条件（1），
2 2 1 1 2 1 即1 2 ，只有唯一的零矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明：若 1,2 都是的逆元，即
1 , 2
如果少多，即 m n ，则把全部用完后，仍有未
被顶掉。这就是说，要加上一些才是完全集，与是
完全集相矛盾。所以 m n 是不可能的。
如果多少，即 m n，那么把全部顶掉后，还有一些没
有用到，这就是说，中的一部分就是完全集，也与是完全集
相矛盾。所以 m n也是不可能的。
这是一个复数域上的内积空间。
如果内积定义为：
(l,
m)
l1*
m12
l2*
m
23l
* 3
m34
l 4*
m4
空间是否仍然是一个内积空间？
第四个例子数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可
积的。所谓“行为较好”是指满足一定数学要求，如单值性、连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法

量子力学讲义1(最新版-010)

※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.0
开始时，人们在经典理论的基础上加进一些假设来说明新的实验结果，旧量子论就是这样产生的。由于这种过渡性的理论未能从本质上揭露微观世界的客观规律，因而不可避免地在理论体系上带有明显的矛盾。并且在阐明微观世界规律上有很大的局限性。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
在数学上，这样处理的是一个非常复杂的问题。事实上，在这里，宏观物理量是作为一个具有巨大数目自由度系统的动力学变量的统计平均值而出现的。准确求解一个具有巨大数目自由度系统的演化方程几乎是毫无希望的，为此，人们发展了统计的研究方法。于是，一门新的学科，统计力学，便应运而生。
※
• 经典物理的成就的确眩惑了人们的眼睛。原本对立的粒子和波这两种概念，被普适化了、绝对化了。与此同时，牛顿力学和波动力学的描述方法也被普适化和绝对化了。仿佛物理学所研究的全部对象必定非此即彼。与此相应，Laplace决定论也被普适化和绝对化起来,成了因果论的唯一正确形式，用Einstein的话来说就是：“上帝是不玩掷骰子的”。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
2.关于物质的微粒说
起初，这种理论只用来处理天体和具有宏观尺度的固体的力学，随后，越来越显示出，它也是制约微观尺度物质的演变的基本理论，乃至化学家们提出的原子假说也为它所证实。由于不可能把分子孤立出来单独研究它们之间的相互作用而直接验证原子的假说，人们便通过由组成物体的分子的运动规律可以导出物体的宏观性质这件事来间接证实它。

苏汝铿量子力学讲义波函数和Schroinger方程课件

§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
▪ 在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高位垒
§2.7 势垒贯穿
▪ 如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
▪ 共振透射的条件和共振能量
➢ 对称性: 若U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称
➢ 正交归一性
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 上述结论均可用的性质证明
• 一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的 Wronskian行列式有关
§2.7 势垒贯穿
➢ 经典图象:眼前无路好回头量子图象:眼前无路穿着走
➢ 势阱有无穿透? ➢ 什么条件下全透射无反射? ➢ 势垒高度和宽度的影响?
具有不同的深度但是宽度相同的方势阱(2)
具有相同的深度但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
➢ 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator

苏汝铿高等量子力学讲义

§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter ”

p , T ,
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?

§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory

苏汝铿量子力学课后习题及答案

Exercises for the Course of Quantum Mechanics, 2007
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to ﬁnd: (i) The expectation value of r.

苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter4 Path Integral

§4.2 Path integral
§4.2 Path integral
§4.2 Path integral

Normalization factor
§4.2 Path integral
§4.2 Path integral
§4.3 Gauss integration

A type of functional integration which can easily be calculated
Chapter 4 Path Integral
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics

Introduction: how to quantize? Wave mechanics h Schrödinger equ. Matrix mechanics h commutator Classical Poisson bracket Q. P. B. Path integral h wave function
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral

Lecture1

3）量子性质 ●存在自旋角动量，是内禀物理量（与时空无关）； ●自旋角动量的取值不连续。
4）级联 Stern－Gerlach 实验
S Sz+
S Sz+
N
Sz-
N
S
Sz+
S
Sx＋
N
Sz-
N
Sx-
S
Sz+
N
Sz-
S N
Sx+ S Sz+
Sx-
N Sz-
图1 先让入射原子束经过两个 Z 方向的磁场，见图 1 上部。在第二个磁场之前
Tˆa b ，
仍然是 3 维空间中的一个矢量。以上我们引入了矢量、表示、表象、算符等概念。
2）Hilbert 空间将 3 维实常矢量空间扩展到任意维数的复变矢量空间： 3 维任意有限维，无限维，连续维实常矢量复变函数矢量
用 Dirac 符号（右矢）表示任意矢量： a
5
由于矢量 a 是一个复矢量，引入左矢 a 表示 a 的复共轭矢量。左矢与
《高等量子力学》第 1 讲第一章：基本概念
1. Stern－Gerlach 实验 ●自旋容易体现与经典力学的根本差别； ●容易体现量子力学的核心－测量问题； ●二能级系统是最量子的体系。
z
S
Sz+
y
Ag N
Sz-
x
1）实验结果加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。
2）物理分析
● 原子与磁场的相互作用导致分裂，必是原子的磁矩 M 引起的，相互作用
右矢并不互相独立，而是互为复共轭：
a a。
一个矢量既可以用右矢 a ，也可以用左矢 a 表示。
在复变函数矢量空间，常数一般也是复数，矢量 a 的复共轭为

量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答

解：矩阵
的本征多项式
.
即矩阵的本征值为
.
当时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
当
时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
当时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
即矩阵
的本征值为
，归一化的本征矢量是
,
和
.
这些本征矢量不正交，因为只有对称矩阵的本征矢量才正交，而矩阵只是一般矩阵，不是对称矩阵.
*限于水平，错误或不妥之处在所难免，诚恳地希望读者批评指正。E-mail：ifreestudy@
量和可能得到的值.
解：设体系处在状态，与有共同的本征函数
，满足本征方程
，
由
，即
. ．
又也是
的本征态，同时
在
表象中，的本征值为
在
表象中，的本)
,
;(2)
,
;
故测量和可能得到的值是
.
计算概率，以为例
设出现
的概率分别为
由归一化解：
.
由对称性：
12
和
.
(v)由表象到表象的幺正变换矩阵满足
其中
，
，于是使对角化的幺正变换
. ，
故
9
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
4.3 如果体系的哈密顿量不显含时间，证明下列求和规则
式中是坐标， , 是相应于态和态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量与态字母一样，故将质量改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.

量子力学答案(第二版)苏汝铿第一章课后答案1.7-1#04

a2 ( k k0 ) 2 4
2
解：
（ⅰ）
由于已知德布罗意波在 k 空间的表示 C (k )
a (2 )
1 4
e

因此对该一维波包有
( x, t ) ຫໍສະໝຸດ 1 (2 )1 2
C ( k )e
i ( kx t )
dk
（1）
将 (k ) 在 k0 附近展开并略去高阶项有
2 (k ) (k0 ) v (k 0k ) (k 0k ) （2） g
1.7 一个德布罗意波在 k 空间的表示 C (k )
2
a (2 )
1 4
e

a2 ( k k0 ) 2 4
求：
（ⅰ） ( x, t ) 和 ( x, t ) ，在时刻 t 这是否是个高斯波包？（ⅱ）波包的宽度 x(t ) ；（ⅲ）

( x, t ) dx 是否依赖于 t ?
积分上式可得
( x, t ) e
i ( k0 ) t

1 4
1 i 2t
exp[
( x vg t ) 2 2 2(1 i 2t )
批注 [JL1]: 应按
]e
ik0 x
则
( x, t )
2

1 2
1 2 4t 2
1
exp[
( x vg t ) 2 2 1 2 4t 2
exp[
( x vg t ) 2 2 1 2 4t 2
]
批注 [JL2]: 波函数应归一化：
易知

依赖于 t (x , t ) d x

第一章量子论基础(苏汝铿量子力学课件打印版)

2015/5/1
第一章量子论基础量子力学
复旦大学苏汝铿
普朗克 MAX PLANCK (1858-1947)
德布罗意 LOUIS DE BROGLIE (1892-1987)
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
海森堡 WERNER HEISENBERG (1901-1976)
例如：一个由绝热壁围成的开有一个小孔的空腔可近似视为黑体
§1.1 经典物理学的困难
§1.1 经典物理学的困难
• Stefan-Boltzmann定律 u = σT4
2015/5/1
§1.1 经典物理学的困难
物理解释 • Wien公式 • Rayleigh-Jeans公式 • 紫外灾难
§1.1 经典物理学的困难
§1.3 Bohr量子论
仍有许多困难存在 • • • • 不能给出谱线强度不能解释精细结构只能讨论束缚态，不能讨论散射态 E不连续原因来自角动量量子化，不能揭露量子化的本质
§1.4 波粒两相性和de Broglie波
光的波粒二象性 • 杨氏双缝实验 I <> I1 + I2 ＋下图波粒二象性
§1.1 经典物理学的困难
§1.1 经典物理学的困难
• 满足Wien位移
2015/5/1
§1.1 经典物理学的困难
§1.1 经典物理学的困难
§1.1 经典物理学的困难
• 可解释Stefan-Boltzmann定律
§1.1 经典物理学的困难
§1.1 经典物理学的困难
§1.1 经典物理学的困难
• 两种特殊情况 (a)高温区 kT>>hν Planck R-J Formulae