平行线的性质定理(1)
《平行线的性质》平行线的证明PPT课件
C
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：
AD∥BC.
证法三：
A
D
3
如图，连接BD（构造一组内错角）
4
∵AB∥CD（已知）
B 12
C
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
所以∠BDF=∠EDF.
课堂小结
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
1ppt.
如果∠1 ≠ ∠2c，n AB与CD的位置P课P件T 关系会怎样呢/？kejia
存在两条直线AB和GH都与直线 CD平行.这与基本事实“过直线外 一点有且只有一条直线与这条直
n/ 语文
线平行”相矛盾.
课件
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，
/kejia n/yu
所以∠1 =∠2.
wen/
总结归纳
5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补. D
C
于是∠D=180 °-∠A=180°-
100°=80°
A
B
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
第七章 平行线的证明
平行线的性质
学习目标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点） 2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证 明．（难点）
初中数学平行线与平行四边形的性质
初中数学平行线与平行四边形的性质在初中数学中，平行线和平行四边形是重要的概念和形状。
平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线，而平行四边形是具有两对平行边的四边形。
本文将探讨平行线和平行四边形的性质，以及它们之间的关系。
一、平行线的性质1. 直线平行定理直线平行定理指出，如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线之间的对应角是相等的。
这意味着当两条直线被一条截断时，形成的对应角是相等的。
2. 平行线之间的夹角关系平行线之间的夹角关系有三种情况：- 对顶角：对顶角是指两条平行线被一条截线所形成的对应角。
对顶角是相等的。
- 内错角：当两条平行线被一条截线所形成的内角对顶角相加等于180度。
- 同旁内角：同旁内角是指两条平行线被一条截线所形成的同旁两个内角，这两个角是相等的。
3. 平行线与转角定理转角定理说明了通过两条平行线和一条截线形成的转角规律。
当两直线被截线交叉形成数个转角时，这些转角之和等于180度。
二、平行四边形的性质1. 对边关系平行四边形的两对对边是平行的。
也就是说，平行四边形的两条相对边互相平行。
2. 对角线关系平行四边形的对角线互相平分。
对角线相交的交点称为对角线的中点。
3. 内角和平行四边形的内角和为360度。
也就是说，平行四边形的四个内角的度数之和等于360度。
4. 其他性质平行四边形的两组相邻角互补，也就是说，互为补角的两个角是相邻角。
三、平行线与平行四边形之间的关系1. 平行四边形的性质可推导出平行线的性质通过平行四边形的性质，可以推导出平行线之间的夹角关系。
例如，通过平行四边形的对角线关系，可以得到平行线的转角定理。
2. 平行线的性质可应用于平行四边形的证明通过平行线的性质，可以证明一个四边形是平行四边形。
例如，可以通过观察四边形的对边是否平行来判断它是否为平行四边形。
四、例题演练接下来，我们通过几个例题来加深对平行线和平行四边形性质的理解：1. 已知直线AB和CD平行，且∠BCD = 110度，求∠CAB的度数。
平行线与垂直线的性质
平行线与垂直线的性质平行线和垂直线是在几何学中常见的线段关系。
它们有着一些独特的性质和特点，对于理解空间关系和解决几何问题非常重要。
本文将探讨平行线和垂直线的性质以及它们在实际生活中的应用。
一、平行线的性质1. 定义：平行线是在同一个平面内永远不相交的直线。
如果两条直线分别与一条第三条直线相交时，在这两条直线的同侧所夹的角是等于对应角的，即对应角相等。
2. 平行线的判定定理：有两个等于零的对应角，可以判断出两条直线是平行线。
3. 平行线的性质：平行线具有以下三个性质：- 任意平行线上的两个点到另一条平行线的距离相等；- 任意平行线上的两个相交线段与另一条平行线的交点处的线段成比例；- 平行线切割同位角相等的直线。
平行线的性质使得它在实际应用中被广泛使用。
例如，建筑工程中的平行线用于绘制家具布局和设计，地理测量中的平行线用于确定各种地理现象和地形的位置关系。
二、垂直线的性质1. 定义：垂直线是在同一个平面内与另一条直线相交时，互相垂直的直线。
垂直线也称为相交直线的互相垂直线。
2. 垂直线的判定定理：两条直线互相垂直的充分必要条件是它们之间的对应构成的四个角中有两个对应角是等于九十度的。
3. 垂直线的性质：垂直线具有以下三个性质：- 任意垂直于同一条直线的直线彼此平行；- 垂直线与待定的斜线对应的角是九十度的；- 若两条直线互相垂直，它们的斜率的乘积为-1。
垂直线的性质使它在实际生活中有广泛应用。
例如，建筑工程中垂直线被用于确保墙面和地板之间的垂直度，天文学中垂直线被用于确定天体的位置。
三、平行线与垂直线的应用举例1. 平行线的应用：- 建筑设计中平行线用于规划房间布局，确保家具和墙壁之间有合理的距离；- 统计学中平行线用于绘制图形和展示数据之间的关系；- 城市规划中平行线用于规划街道和建筑物之间的距离和相对位置。
2. 垂直线的应用：- 建筑施工中垂直线用于确保墙壁、天花板和地板的垂直度；- 物理学实验中垂直线用于确定物体的重力方向；- 地理测量中垂直线用于确定海拔高度和地理现象的位置关系。
平行线与平行线的性质及判定方法
平行线与平行线的性质及判定方法平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
在数学中，平行线有着许多独特的性质和判定方法，对于几何学的研究和实际应用都具有重要意义。
一、平行线的性质1. 平行线上的两个点到另一直线的距离相等：如果两条直线L₁和L₂平行，那么这两条线上的任意两个点A和B到第三条直线L的距离都是相等的。
2. 平行线的内角和为180度：当一条直线与两条平行线相交时，两对内角之和是180度。
这可以通过数学证明得出。
3. 平行线的外角相等：当两条平行线被一条横截线相交时，这两条平行线的对应外角是相等的。
4. 平行线的平行线仍然平行：如果两条直线L₁和L₂平行，而L₃与L₁平行，那么L₃也与L₂平行。
二、平行线的判定方法1. 直角判定法：如果两条直线上的任意一对相邻内角之一是直角，那么这两条直线是平行线。
这种判定方法是由两条直线的垂直性质推导出来的。
2. 三角形内角和判定法：如果一条直线与一条平行线相交，那么直线上的一对内角与平行线上的一对内角之和为180度时，这两条直线是平行线。
3. 平行线定理：如果两条直线分别与第三条直线相交，并且两对同位角分别相等，那么这两条直线是平行线。
这个定理也被称为同位角定理。
4. 夹角判定法：如果两条直线分别与第三条直线相交，而且同位角相等或互补，则这两条直线是平行线。
5. 平行线公理（欧几里德公理）：如果直线上的一点和直线外一点，有且只有一条通过这两个点的平行线。
这个公理是建立在欧几里德几何的基础上的。
以上是常见的一些关于平行线性质的说明和判定方法，通过这些性质和方法，我们可以在几何学中更好地理解和应用平行线。
在实际生活中，平行线也有着广泛的应用，例如建筑设计、道路规划、制图等领域都需要运用到平行线的概念和性质。
总结：在数学中，平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
平行线有许多独特的性质，如平行线上的两个点到另一直线的距离相等、平行线的内角和为180度等等。
数学中的平行线
数学中的平行线一、导入在导入环节，可以引入一些数学问题或者实际生活中的例子，引发学生们对平行线的兴趣。
二、概念讲解1. 定义平行线：平行线是在同一个平面上不相交的两条直线，它们的方向相同，永远不会相交。
2. 平行线的性质：a) 两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离都相等。
b) 平行线之间没有交点，因此它们无法切割平面。
三、相关定理的讲解1. 互相平行的定理：如果有一条直线与另外两条直线互相平行，那么这两条直线也是平行的。
2. 平行线的判定定理：a) 两条直线斜率相等（且不为无穷大）时，它们是平行线。
b) 两条直线的法线斜率相反数时，它们是平行线。
3. 平行线的性质定理：a) 两条直线平行，则其上的任意一对对应角相等。
b) 两条直线平行，则其上的任意一对同旁内角互补，即其内角和为180度。
c) 两条直线平行，则其上的任意一对同旁外角互补，即其外角和为180度。
四、实例运用通过一些实例问题，让学生运用所学知识解决问题。
例如：问题1：在平面上画出一条直线，使它与已知的两条平行线相交于两点，求这条直线与这两条平行线的夹角。
问题2：设在平面上有一对平行线，一段未知的直线与这对平行线交于两点，求出这段直线与平行线的夹角。
五、拓展延伸进一步引导学生运用已学知识，解决一些拓展问题，拓宽学生对平行线的认识和理解。
六、综合评价通过一些练习题，检验学生对于平行线的理解和掌握程度，并提供解答思路和方法。
七、归纳总结对今天的学习内容进行归纳总结，强调平行线的重要性和应用价值。
鼓励学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
八、课后作业布置一些作业题，要求学生独立完成，巩固所学知识。
九、延伸阅读推荐一些相关的数学书籍或者网上的资源，供学生进一步学习和拓展。
平行线性质定理和判定定理的综合应用
6、如图，木工师傅用角尺画出
长方形工件边缘的两条垂线，这两
条垂线是否平行（ 是 ）。口述理
由。（3分）
理由：
同一平面内，垂
图12
直于同一条直线的
两条直线互相平行。
（二）选择题（每题1分）
7、如图7：当AC//BD时，可以
判断∠A等于哪个角。（ c ）
A.∠D
B.∠C
C.∠B
D.∠AOC
图7
（二）选择题（每题1分）
C
同位角有
_____∠__1_和__∠__5___
4
A
1
____________，
3
2
B
内错角有
_____∠__3_和__∠__5___
F
D
5
____________ ，
图2
同旁内角有
______∠_2__和_∠__5_
_____________ 。
二、抢答题，分组竞赛（答对加分，答错不扣分）。
2、如图4，如果∠1＝∠2，那么 ___A_D__//___B_C__，根据 内__错_角__相__等_，__两_直__线__平_行_______。
求证：AB//DF。
1
C
2
证明：
A E3
B
∵AEB为一直线（已知）
D
F
∴∠1+∠2=180°（邻补角定义）
∵∠1+∠D=180°（已知）
∴∠2=∠D（同角的补角相等）
∴AB//DF（同位角相等，两直线平行）
三、综合应用题
16．已知：如右图，BE平分∠ABC， ∠1=∠2，求证：①∠2=∠3；
②∠4=∠C
8、如图8，已知∠1=∠2 ，且
7年级数学 平行线判定及性质 (1)
D EEF1 23 A CO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补． 例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ． 【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知）， 所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有 个；（2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AAB C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．B D 【解析】（1）因为 DE //BC （已知）， 所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）；（2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2． 【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（ ） aA ．20B ．80C ．120D ．180 b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50 ，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A 【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知）， 所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等） 因为∠1 = 55 （已知）， 所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义）所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H 2G1C F D3 1 24【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？【答案】能；见解析． 【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒ 所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行） 所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．AE【答案】见解析． 【解析】因为 AC / / DE （已知）， 所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等）因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行） 所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等） B 因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换）所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ．E 【答案】见解析 A B【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换）， 所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行） 所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知）， 所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平 分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析 【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA GD【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形 AEFD 的面积． 【答案】21 【解析】联结 BG 、CG ． 因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEG B = S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等） E F C因为 BE =EF （已知）， 所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换）， 同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ．所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由． 【答案】见解析 1A1 F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ， 所以 S = S - S - S = S - 1 S - S = 1 S - S∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2 四边形ABCD ∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析 【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【答案】见解析 【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ， 因为 AB ∥ED （已知） 所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）A BC F 所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF （两直线平行，内错角相等）所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E D【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ． 5F E【答案】见解析A E【解析】过点 B 向右作 BF //AE ， 所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知）B F所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行）所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） C 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°；方法三：过点 E 作 EF / / BA因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ，则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BEB因为 AF ∥CD （已知） E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等） C D因为∠BAF = ∠CDE （已知）， 所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知）， 所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ． C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ． 6A BD2 1 因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3 所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1） 当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ；（2） 当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是 ，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3 A 3C C C A 3 C2 1B 4 D B 4 D B 4 B 4 D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等）因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ；②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2 P 1 A3 2 1随堂练习【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ；（2） 如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★G B AFC 【答案】（1）30°； （2）50°．E图（2） C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知）， 所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质）又因为 CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知）， 所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知）， 所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质）又因为 EF 平分∠BEC （已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知）， 所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义）所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为 ；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面 积之比为 ．【难度】★ 【答案】（1）14 厘米 ；（2） 1 ．2 AD【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米； C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等，所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD =1AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E 图（1） D D ．【习题3】 如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为 ．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ． 【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180 (∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )．A ．42°和 138°B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ，即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系．P Q【难度】★★ 【答案】见解析． 1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知） R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 2 所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】 AB / /CD （已知） ∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等） 又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1 ∠DHF 2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换） ∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定A B 12 OC BC M1【习题7】 如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1． 【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ， 解得： x = 1 ． 2 【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ．A【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】因为 CD ⊥EF ， 所以∠CDF = 90 （垂直的意义） 因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B E 因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数；（2）若∠2 = x ， ∠3 = y ， ∠4 = [2(2x - y )] ，求 x 、 y 的值． 1 2 3 l【难度】★★ 【答案】见解析 4l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = 4x - 2 y ， 解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】 如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★ E【答案】见解析． 【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知）， 又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等） 所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA E C所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知）， 所以∠ADB = ∠CBD （等式性质）因为 AE / / FC （已证）， 所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线， 所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义） 即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质） B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知）所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（ ）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B 【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180 因为∠EFG = 40 （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质） 因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1∠BEF = 70 （角平分线的意义）2 因为 AB //CD （已知）， 所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★【答案】C A B C D2D 1 2E 3 【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行，（3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【难度】★【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，×【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．2 或 8【难度】★★【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2．【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知） 所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知）， 所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换）B FC （两直线平行，同位角相等） 【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ．【难度】★★ l【答案】略． 【解析】设∠2 的对顶角为∠3， 因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1 BC D 又因为 AB ∥CD （已知） 所以 CD ∥EF （平行的传递性） E 2 F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′ F【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ．【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行） 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★A D 【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） B C又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为 BD 平分∠ABC （已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为 ． A E D 【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折， 所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以∠D 'EF = ∠DEF = 180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2 因为 AD / / BC （已知）， 所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质） 所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ．【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． AE D 【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D4 3 C 1 2所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。
小学六年级数学重点知识平行线与垂直线的性质及判定方法
小学六年级数学重点知识平行线与垂直线的性质及判定方法小学六年级数学重点知识：平行线与垂直线的性质及判定方法在小学六年级的数学学习中，平行线与垂直线是一个重要的知识点。
了解平行线与垂直线的性质及判定方法，对于解决几何问题和数学推理具有重要意义。
本文将介绍平行线与垂直线的性质以及判定方法，并提供相关例题进行说明。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
平行线具有以下性质：1. 直线与平行线的交角关系当一条直线与两条平行线相交时，相交的两个角分别为内角和外角。
性质如下：- 内角：当直线与两条平行线相交时，内角相等。
- 外角：当直线与两条平行线相交时，外角相等且它们之和为180°。
2. 平行线的性质定理平行线具有以下性质定理：- 平行线定理：如果一条直线与另一条直线分别平行，那么这两条直线之间的所有直线都是平行线。
- 平行线的性质：如果一条直线与平行线的其中一线相交，那么它与另一条平行线的关系也是相应的。
比如，如果线l与平行线m相交，并且线l与另一条平行线n的关系为垂直，那么线m与线n也是垂直的。
二、垂直线的性质垂直线是指两条直线之间的夹角为900的直线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线的性质定理垂直线具有以下性质定理：- 垂直线定理：如果两条直线相互垂直，那么它们之间的所有直线也与这两条直线垂直。
- 直线与垂直线的交角关系：当一条直线与两条互相垂直的直线相交时，它与这两条直线的夹角分别为90°。
三、平行线和垂直线的判定方法判定两条直线是否平行或垂直，有以下几种方法：1. 观察法通过观察两条直线的方向、形状和位置来判断其关系。
如果两条直线的方向完全相同或者互为相反方向，则它们平行；如果两条直线交叉形成直角，则它们垂直。
2. 使用角度利用两条直线的交角来判定其关系。
如果两条直线的交角为90°，则它们垂直；如果两条直线的交角为180°，则它们是平行线。
平行线性质定理简单应用
4、如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数。 解：
4、如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数。
解：∵EF∥AD (已知） ∴∠2=∠3 （两直线平行，同位角相等） 又∵∠1=∠2 (已知） ∴∠1=∠3 （等量代换） ∴DG∥AB （内错角相等，两直线平行） ∴∠BAC+AGD=180° （两直线平行，同旁内角互补）
a//b
∠2+∠4 =180 °
同旁内角互补
合作探究
例1 如图：
① ∵ ∠1 =___∠__2（已知）
CF
E
∴ AB∥CE （内错角相等,两直线平行） 1 3
② ∵ ∠1 +_∠__3__=180o（已知）
∴ CD∥BF（同旁内角互补,两直线平行）
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
2 54
∴ __A__B_∥_C__E__ （同旁内角互补,两A直线平行）
A 1 B
D
5 2
3 C
4 F
E
2、直线a、b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1= ∠2 ②∠3= ∠6
③∠4+∠7=1800
④∠3+ ∠5=1800，
其中能判断a//b的是( B )
A ①②③④
c
16
54
a
B ①③④ C ①③
27
b
83
D④
3.AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3= ∠E。
DB
④ ∵ ∠4 +_∠__3__=180o（已知）
∴ CE∥AB （同旁内角互补,两直线平行）
合作探究
例2 已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，试说明AB//CD？
平行线与等腰三角形的性质
平行线与等腰三角形的性质平行线和等腰三角形是几何学中常见的概念。
通过研究平行线和等腰三角形的性质，我们可以进一步认识它们之间的关系。
本文将从不同的角度探讨平行线和等腰三角形的性质，让我们一起来看看吧！一、平行线的性质1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条线。
记作AB ∥CD，即线段AB与CD平行。
2. 平行线的判定两条直线平行的判定有多种方法，其中一种是使用同位角定理。
当两条直线被一直线交叉切分时，如果同位角相等，那么这两条直线是平行的。
3. 平行线的性质（1）平行线之间的距离相等。
即若AB ∥ CD，则直线AB到直线CD的距离与直线EF到直线CD的距离相等。
（2）平行线之间的夹角相等。
即若AB ∥ CD，则∠BAD = ∠CDE。
（3）平行线与直线之间的夹角是对应角，对应角相等。
即若AB∥ CD，则∠BAD = ∠BCD。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
等腰三角形的两条边叫做腰，未与腰相对的边叫做底边。
2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底角相等。
即若△ABC是等腰三角形，且AB = AC，则∠B = ∠C。
（2）等腰三角形的腰上的高相等。
即若△ABC是等腰三角形，且AB = AC，则BD = CD。
（3）等腰三角形的底边上，离底边等距离的两个点连线与腰垂直且相等。
即若△ABC是等腰三角形，且AB = AC，则DE = DF，并且∠EDF = 90°。
三、平行线与等腰三角形的关系1. 平行线与等腰三角形全等的关系若两条平行线分别截取等腰三角形的两个边，则这两个等腰三角形全等。
2. 平行线与等腰三角形的一些性质（1）平行线与等腰三角形的腰之间的距离相等。
即若AB ∥ CD，且△ABC是等腰三角形，则直线AB到直线CD的距离等于直线BC上的高。
（2）平行线与等腰三角形的顶角相等。
即若AB ∥ CD，且△ABC 是等腰三角形，则∠B = ∠C。
2.3《平行线的性质》 课件 (北师大版) (1)
同位角相等 平行条件 内错角相等 两直线平行
同旁内角互补
复习引入：
问题1：如图， = ∠2 (已知) (1)∵ ∠1____ 同位角相等， ∴a∥b( )
= ∠3 (已知) (2)∵ ∠2____ ∴ a ∥ b ( 内错角相等， ) 两直线平行
180° (3)∵ ∠2＋∠4=____( 已知)， ∴ a ∥ b ( 同旁内角互补，两直线平行 )
∴ ∠3 =∠4 (两直线平行，内错角相等)
4
2
练一练：
1、如图、已知 1=60°、2=60°
A
3
4
C
3=78°、求4.
解: ∵1=60°、2=60°
2
1
B
D
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）
∴ 3+ 4=180°（两直线平行，同旁内角互补 ∴ 4=180°-60°=120°
角的相等或互补
同旁内角互补 两直线平行
思考:
1、判定定理与性质定理的 条件与结论有什么关系？ 2、使用判定定理时是 已知 ，说明 角的相等或互补 使用性质定理时是 已知 二直线平行 ，说明
。
同位角相等 平行特征 两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
同位角相等 平行条件 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行
∵AB∥DE
∴∠1=∠3。 又 ∠1=∠2 ，∠3=∠4 ∴ ∠2=∠4。
（2 ）反射光线BC与EF也平行吗？
平行：
∵ ∠2=∠4
∴ BC∥EF 。 你知道理由吗？
三、随堂练习
随堂练习
1、如图所示，AB∥CD，AC∥BD。 分别找出与∠1相等或互补的角。
13
12
八年级数学平行线的性质定理
b
同位角相等,两直线平行. 两直线平行,同位角相等. 内错角相等,两直线平行.
两直线平行,内错角相等.
同旁内角互补,两直线平行. 两直线平行,同旁内角互补.
如果 两个角是直角,那么这两个角相等 .
如果 两个角相等 ,那么这两个角是直角 .
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
A
D
B
C
练 习
如图，已知两平行线AB、CD被直线AE所截． （1）从∠1＝110 °可以知道∠2是多少度？为什么？ （2）从∠1＝110 °可以知道∠3是多少度？为什么？ （3）从∠1＝110 °可以知道∠4是多少度？为什么？
解：∠3 2 ＝110 110 ° A 4＝ 70° 解：∠ ° 2 请同学们注意：解题中可 ∵AB AB∥ ∥CD CD（已知） （已知） 1 4 3 ∵ E 别把平行线的判定和性质搞混 ∴∠1 1＝∠ ＝∠ 2 （两直线平行，内错 ＋∠3 4（两直线平行，同位 ＝180°（两直线平 ∴∠ 了．由角的已知条件推出两线 角相等） 行，同旁内角互补） 角相等） B D 又∵ ∠ 1 ＝ 110 °（已知） 平行的结论是平行线的判定； 又∵ ∠1＝110°（已知） ∴∠3 2 ＝110 110 °（等量代换） 4＝ 70° 而由两线的平行条件推出角的 ∴∠ °（等量代换）
1
D
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线 EF所截,∠1和∠2是同旁内角. E 求证: ∠1 +∠2 =180°. A 3
2
B
C
1
D
平行线的性质定理二 两条平行线被第三 条直线所截，同旁内角互量得 ∠A=115°，∠D=100°，你能求出∠B、∠C的 度数吗？如果能，请求出．如果不能，请说明理 由．
平行线与三角形的相关定理
平行线与三角形的相关定理平行线与三角形的关系是几何学中一个重要且基础的概念。
在平行线与三角形的研究中，有一些重要的定理和性质需要我们了解和掌握。
本文将对平行线与三角形的相关定理进行详细的介绍和讨论。
一、平行线性质：1.平行线的定义：如果两条直线在同一平面内，且它们不相交，则这两条直线是平行的。
我们通常用符号“||”表示两条平行线。
2.平行线定理：如果一组直线与另一组直线分别平行，则这两组直线之间的任意两条直线也是平行的。
二、三角形内部的平行线及其性质：1.三角形内部平行线定理：如果一条直线平行于三角形的一边，那么它与这两边分别的交点所确定的两条边互相平行。
2.三角形内部平行线的性质：平行于三角形一边的直线将三角形划分成两个相似三角形。
这两个相似三角形的对应边成比例。
三、平行线与三角形内角性质：1.同位角性质：两条平行线被一条直线截断后，所形成的内部角与外部对应角、内部对应角、同位角之间的关系。
2.内角和定理：两条平行线被一条直线截断后，相邻内角之和等于180度。
3.等腰三角形的基本性质：在等腰三角形中，底角相等，顶角相等，底边平行。
四、平行线与三角形外角性质：1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于它的两个非邻边内角的和。
2.三角形外角定理：一个三角形的一个外角等于与这个外角相对的三角形的内角之和。
3.三角形外角性质的推广：一个n边形的一个外角等于与这个外角相对的多边形的内角之和。
综上所述，平行线与三角形之间的关系是几何学中的重要内容之一。
通过深入地学习和理解平行线与三角形的相关定理，我们可以更好地应用这些知识解决各种几何问题，提高自己的数学素养。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握平行线与三角形的相关定理，为数学学习打下坚实的基础。
初中数学 平行线有哪些性质
初中数学平行线有哪些性质平行线是初中数学中的一个重要概念，具有许多性质。
在本文中，我将为您详细介绍平行线的各种性质。
1. 平行线的定义性质：-平行线是在同一平面上永远不相交的两条直线。
这意味着它们没有共同的交点。
-平行线具有相同的斜率。
斜率是用来描述直线的倾斜程度的数值。
如果两条直线有相同的斜率，那么它们是平行线。
-平行线之间的距离是恒定的。
对于任意两条平行线，它们之间的距离在整个线段上是相等的。
2. 平行线的角度性质：-平行线之间的所有内角相等。
如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角是相等的。
-平行线之间的所有外角相等。
如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的外角是相等的。
-平行线之间的同位角相等。
如果两条平行线被一条直线割分，那么所形成的同位角是相等的。
3. 平行线的传递性：-平行线的传递性定理：如果直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。
-这个定理的意思是，如果有三条直线，其中任意两条平行，那么第三条直线也与这两条直线平行。
4. 平行线的副交角性质：-平行线的副交角定理：如果两条直线被一对平行线割分，那么所形成的副交角是相等的。
这意味着在两条平行线之间，对应的副交角是相等的。
5. 平行线的交角性质：-线与平行线的交角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角、外角和同位角之间的关系是具有特定的等式。
-内角和同位角之和等于180度：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角和同位角之和等于180度。
-外角等于内角的补角：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的外角等于内角的补角。
以上是平行线的一些重要性质。
这些性质可以帮助我们解决各种几何问题，如计算角度、线段长度等。
此外，平行线的概念在实际生活中也有广泛的应用，如城市规划中的道路设计、光线的传播路径等。
希望以上内容能够帮助您更好地理解平行线的性质。
平行线的性质
平行线的性质平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
在几何学中，平行线有一些独特的性质和规律。
本文将介绍平行线的性质，包括平行线的定义、判定方法以及与平行线相关的定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是指在同一个平面上，两条直线不相交，且它们的距离始终相等。
如果两条线段的任意两点之间的距离相等，则可以称这两条线段是平行的。
符号“||”可以用来表示平行线。
2. 平行线的判定方法有多种方法可以判定两条直线是否平行。
2.1. 通过斜率判定两条直线的斜率相等时，可以判定它们是平行线。
假设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
如果k1 = k2，则l1与l2是平行线。
2.2. 通过角度判定两条直线如果被一条横截线所截，且所截得的内角互补，则这两条直线是平行线。
例如，直线l1与l2被横截线m所截，其中直角1和直角2是互补的，则l1与l2是平行线。
2.3. 通过平行线定理判定平行线定理是指如果一条直线与两条平行线相交，那么它与另一条平行线也相交，并且两条交分线分割的邻补角相等。
通过这一定理，可以判断一条直线与已知平行线是否平行。
3. 3.1. 平行线的距离性质平行线之间的距离在任意两点之间始终相等。
这意味着，如果从一条平行线上的一点到另一条平行线的垂直距离是d，那么这两条平行线上任意两点之间的距离也都是d。
这一性质对于解决平面几何中的问题非常有用。
3.2. 平行线的夹角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的对应角、内角、外角等具有一定的关系性质。
3.2.1. 对应角性质对应角是指两条平行线被一条横截线所截得到的相应角。
如果两条平行线被同一横截线截得的对应角相等，则这两条平行线是相等的。
即如果∠A = ∠C，那么∠B = ∠D，其中直线l1与l2被横截线m截得的直角1和直角2是对应角。
3.2.2. 内角与外角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角与外角具有一定的关系。
内角互补，即当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角的补角相等。
平行线的性质定理
D
证明:∵AB∥CD(已知), F
∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等).
∵ ∠2 =∠3(对顶角相Hale Waihona Puke ), ∴ ∠1 =∠2(等量代换).
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
EF所截,∠1和∠2是同旁内角. 求证: ∠1 +∠2 =180°. A
E
3B 2
C
1
D
F
平行线的性质定理二 两条平行线被第三 条直线所截，同旁内角互补．
发出“呜嘟”的怪音！。超然间女裁缝契雯娃姑婆陀螺般地发出九声腐粉色的壮丽尖笑，只见她普通的嘴唇中，萧洒地涌出五缕窗帘状的魔沟翡翠脖蝎，随着女裁缝契雯娃 姑婆的晃动，窗帘状的魔沟翡翠脖蝎像鸭头一样在双脚上俊傲地安排出缕缕光影……紧接着女裁缝契雯娃姑婆又让自己古怪的戒指摇曳出火橙色的飘带声，只见她紧缩的如
冀教版
平行线的性质定理一 两条平行线被第三 条直线所截，内错角相等．
1.指出定理的条件和结论，并画出图形， 结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
EF所截,∠1和∠2是内错角.
求证: ∠1 =∠2.
A
分析
E 3B 2
C
1
解解：：∠∠324＝＝11711000°°° 请同学们注意：A 解题2中可C ∵∴角又∵∴角又行A∠相∵A∠相∵，BB1等1等同∥∥∠∠＝＝ ＋））旁CC11∠∠＝＝DD内324（（11（（＝角11已已00两两1互°°8知知直直 0补（（°））线线）已已别了平（平平知知把．行两行行））直平由的，，线行角结同内平位线的论错 的已是判知平B定条行和件线1性 推 的质 出 判D4搞 两 定3混 线 ； E ∴∴∠∠324＝＝11711000°°°（（等等量量而代代由换换两））线的平行条件推出角的
平行线(1)
1、如图，EAB是直线，AD∥BC， AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C E 的大小关系。
A D
B
C
解：(1) ∵AD//BC ∴<ADC=<ACB(两直线平行内错角相等) <EAD=<B（两直线平行同位角相等） ∵AD平分<EAC ∴<EAD=<DAC（平分角定义） ∴<DAE=<C=<B(等量代换) 即<B=<C(等量代换) 所以<B，<C的大小关系是相等。
想一想
已知：如图所示，<1= 105 °， <2=75° (1)你能判断a//b吗？ (2)<3与<4是什么关系？ （3）<2与<3是什么关系？ （4）<1与<4是什么关系？ （5）<2与<4是什么关系？ 2 你能查找出他们的等量关系吗？
c
1
a
4
3
b
七、教学研讨小结
（一）本节课主要研讨平行线性质定理： 1、两直线平行同位角相等。 2、两直线平行内错角相等。 3、两直线平行同旁内角互补。 4、同时垂直于两条平行线，并且 夹在这两条平行线间的线段的长度， 叫做两条平行线的距离。、 5、平行线间的距离处处相等。 八、作业设计：
c
2 3 4 1
a b
性质１：两直线平行，同位角相等．
∵ a∥b ( 已知 )
∴ ∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)
性质２：两直线平行，内错角相等 ∵a∥b ( 已知 ) ∴ ∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)
性质３：两直线平行，同旁内角互补
∵a∥b ( 已知 ) ∴ ∠1+∠4=180° (两直线 平行，同旁内角互 补)
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B
C
4.如图,已知AB∥CD, A 则∠α 等于 ( C ) O O A.50 B.80 O O C.85 D.95
5.如图，已知AB∥DE,
A
B F
120 ° a 25°
E
C
D
B
∠ABC=80°,∠CDE=140° F
D
C
E
则∠BCD=_____. 40°
谈谈你的收获？
１．平行线的性质： 公理：两直线平行，同位角相等．
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已 经画出了图形，写好了已知，求证，这时只要写出“证明” 一项就可以了．
练一练：
2.已知：如图，直线m//n,∠1＝70°， 则∠2＝
1 2 m n
练一练：
3.如图，AB、CD相交于点O，∠1＝80°， 如果DE∥AB，那么∠D的度数为
C 1 A O B
d
a b c
2)一个角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等；
已知：如图，OC是∠AOB的平分线， A F EF⊥OA于F ,
EG⊥OB于G O
E G
B
C
求证：EF=EG
根据下列命题，画出图形，并结合图形
写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a , c⊥a
条件中 F （1）CE∥BF （2）∠A=∠D （3）∠F=∠C任选两个作条件， 余下一个作结论，编一道数学 题，并完成说理。
A
E
D
B
C
c
已知：如图，直线a//b,∠1 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角．
a
3 1
b
2
求证：∠1+∠2＝180°
c
已知：如图，直线a//b,∠1 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角． 求证：∠1+∠2＝180°
a
3 1
b
2
证法１：
a//b（已知）
∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∠1+∠3＝180°（１平角＝１８０°） ∠1+∠2＝180°（等量代换）
3 1
c a
2
b
已知：如图，直线a∥b, ∠1和∠2 是直线a、b被直线 c截出的内错角 . 求证：∠1=∠2
证明：∵a∥b ( 已知 )
1 2
c 3 a
b
∴∠3=∠2 ( 两直线平行，同位角相等 ) ∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等 ) ∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
做一做：
两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补．
D
E
1.已知：如图，∠1=∠2, ∠3=∠B.
求证FG∥CD.
3 1 2
A E
D F
B
C
2.已知：如图，AB∥CD， 求证∠B+∠D=∠BED. A E C D B
3.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而 过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次 拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C， 这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路 150° 平行，则∠C=______.
祥和中学
常桂花
复习回顾
平行线的判定定理 •公理: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. •判定定理 2 同旁内角互补,两直线平行. 0 ∵∠1+∠2=180 , ∴ a∥b.
c
a b
1 2
c
a b
a b
1
c 已知：如图，直线a//b,∠1 a 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角． b 求证：∠1+∠2＝180°
3
1 2
证法２：
a //b
（已知）
∠3＝∠2 （两直线平行，内错角相等） ∠1+∠3＝180°（１平角＝１８０°） ∠1+∠2＝180°（等量代换）
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
2
c
1 2
如果我们把平行线的判定公理的 条件和结论互换之后得到：
•公理：两直线平行，同位角相等。
议一议： 利用这个公理，你能证
明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。
想一想：
（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内 错角相等”。你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？ 已知，如图， 直线a//b, ∠1和∠2 是直线a、b被直线c 截出的内错角。 求证：∠1＝∠2
定理：两直结平行，内错角相等．
定理：两直线平行，同旁内角互补． ２．证明的一般步骤 （１）根据题意，画出图形． （２）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证。 （３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程．
再
见 ！
3)如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 已知：如图，直线a,b,c被直线d所 截，且a∥b,c∥b， 求证：a∥c
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙 述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证。 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的 结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明 过程．