第七章 随机区组设计

3、随机单位组试验结果的统计分析 随机单位组试验结果的统计分析采用方差 分析法。分析时将单位组也看成一个因素， 分析法。分析时将单位组也看成一个因素，连 同试验因素一起， 同试验因素一起，按两因素单独观测值的方差 分析法进行。这里需要说明的是， 分析法进行。这里需要说明的是，假定单位组 因素与试验因素不存在交互作用。 因素与试验因素不存在交互作用。 若记试验处理因素为A 若记试验处理因素为 A ， 处理因素水平数 单位组因素为B 单位组数为b 为 a ； 单位组因素为 B ， 单位组数为 b ， 对试验 结果进行方差分析的数学模型为： 结果进行方差分析的数学模型为：
第一步 统计假设
• 1）处理水平的总体平均数相等 ） • H0： µ1•= µ2• = µ3• = µ4• ： • 2）各区组的总体平均数相等 2） • H0： µ•1= µ•2 = µ•3 = µ•4 ：
第二步 计算各项平方和与自由度、 计算各项平方和与自由度、 离差平方和
1、计算各项平方和与自由度 矫正数 C=x2../pn=8172/4×4=47718.063 ../pn= /4× 总平方和 SST=∑y2ij-C=（52+102+…+1302） - 47718.063=34400.937 处理间平方和 SSA=∑y 2i./n- C =(1652+1802+2502+2222)/4 -47718.063=1134.187
相应均方为
MS A = SSA / df A , MSB = SSB / df B , MSe = SSe / df e
本例方差分析
表7-2 四种大小不同报纸版面处理对销售量的影响
单位kg 单位 处理平 均Xi.
处理A 处理
小型 中型 大型 特大型
单位（ ） 单位（B） B1 B2 B3 5 10 10 12 10 10 25 20 40 60 65 60
第二节 单因素随机实验设计 与计算举例
（一）研究问题与实验设计： 研究问题与实验设计： 1.问题 问题
北京创意市场调研公司研究在报纸上登广告对其 产品销售量的影响，公司研究人员的假设是产品销售 产品销售量的影响， 量随着报纸上登广告篇幅的大小不同而明显不同，这 量随着报纸上登广告篇幅的大小不同而明显不同， 个实验只有报纸广告一个自变量，且是篇幅不同的报 个实验只有报纸广告一个自变量， 纸广告。研究人员考虑到城市大小可能对产品销售量 纸广告。 产生影响，但又不是该实验中感兴趣的因素，于是决 产生影响，但又不是该实验中感兴趣的因素， 定将城市大小作为无关变量通过实验设计将它的效应 分离出去，以更好地探讨报纸上登广告篇幅大小对产 分离出去， 品销售量的影响，因变量是四种不同大小篇幅的报纸 品销售量的影响， 广告的反应变量即销售量。 广告的反应变量即销售量。
2.实验设计 实验设计 该公司选择单因素随机区组实验设计安排 实验，实验处理有四种， 实验，实验处理有四种，按照在市场上的报纸 刊登广告的篇幅大小分为： 刊登广告的篇幅大小分为： 小型广告 中型广告 大型广告 特大型广告 实验16个城市即 个实验单元 然后将16 实验 个城市即16个实验单元，然后将 个城市即 个实验单元， 个城市按其人口规模分为四个组，每组4个城市 个城市按其人口规模分为四个组，每组 个城市 每一组处理进行10天 共进行4次 每一组处理进行 天，共进行 次
平方和与自由度的划分式为： 平方和与自由度的划分式为： SST = SSA+SSB+Sse df T = dfA+dfB+dfe
对平方和分解与计算的解释: 对平方和分解与计算的解释 SS总变异——在随机区组实验中总平方和应首先分 在随机区组实验中总平方和应首先分 解为处理间平方和与处理内平方和。 解为处理间平方和与处理内平方和。 SS处理间——指所有由实验处理引起的变异，在单 指所有由实验处理引起的变异， 指所有由实验处理引起的变异 因素处理中仅指A因素处理效应 因素处理效应。 因素处理中仅指 因素处理效应。 SS处理内——在随机区组实验中处理内平方和可进 在随机区组实验中处理内平方和可进 一步分解为区组平方和与误差平方和 两部分 SS区组 ——指区组效应，在该实验中指总变异中 指区组效应， 指区组效应 由实验单元人口数量引起的变异 SS残差 ——指总变异中不能被实验处理和区组效 指总变异中不能被实验处理和区组效 应解释的变异。 应解释的变异。
2
i=1 j =1 a
i=1 j =1 p
1 n 2 SSB = p∑(x. j − x.. )2 = ∑y. j −C p j=1 j =1
b
误差平方和 总自由度 A因素自由度 B因素自由度 误差自由度
SSe=SST-SSA-SSB dfT=pn-1 =pndfA=p-1 =pdfB=n-1 =ndfe= dfT - dfA – dfB =(p-1)(n=(p-1)(n-1)
B4 110 100 150 130
处理合 计Xi.
165 180 250 222
41.25 45 62.5 55.5
单位组 37 65 225 490 817 合计X 合计 .j 单位组 9.25 16.25 56.25 122.5 平均X 平均 .j A表示报纸版面，B表示城市规模，其中 1为小型 2为 表示报纸版面， 表示城市规模 其中B 为小型,B 表示城市规模， 表示报纸版面 中型， 为大型， 中型，B3为大型，B4为特大型
10787.229
F 3.759
107.269
2.处理内 处理内
33266.75
12 2772.229
100.562
32361.687 区组 905.063 残差 总 变 异 34400.937
取α= 0.05 , 0.01 ; 则F0.05(3 , 9)=3.86 , F0.01（3，9） =6.99 ， ）
五、设计方法
前提：该实验是为了比较 种处理或因素 种处理或因素A的 个 前提：该实验是为了比较P种处理或因素 的p个 水平引入的区组因素B， 有 个水平 个水平。 水平引入的区组因素 ，B有n个水平。
将全部pn个实验单元按区组因素 个实验单元按区组因素n个 第一步 ：将全部 个实验单元按区组因素 个 水平，分成 组 个区组。 水平，分成n组，即n个区组。 个区组
第二步： 第二步： 将每个区组的实验单元按随机化安排 实验，使每个实验单元接受一个处理水平。 实验，使每个实验单元接受一个处理水平。
六、设计所适合的假设： 设计所适合的假设： 1）处理水平的总体平均数相等 ） H0： μ•1= μ•2 = •••••• = μ•p 1 2 p 处理效应为0） 或H0：αj =0 （处理效应为 ） 2）各组的总体平均数相等 ） H0： μ1•= μ2• = •••••• = μn• 各区组因素的效应等于0） 或H0： Πi =0 （各区组因素的效应等于 ）
（二）实验数据 表7-1
广告 小型 5 10 40 110 165 41.25
单位：万件
合计 37 65 225 490 817 平均 9.25 16.25 56.25 122.5 204.25
城 市 规 模 合 平
小城市
中等城市
大城市
特大城市
计 均
水 平 （处 理） 中型 大型 特大型 10 10 12 10 25 20 60 65 60 100 150 130 180 250 222 45 62.5 55.5
三、 设计的目的
隔离或消除误差
四、适用条件： 用条件
①当研究中有一个自变量（或因素A）的水平数 当研究中有一个自变量（或因素A 当研究中有一个自变量 p≥2； ； ②研究中还有一个无关变量B，其水平数n≥2， 研究中还有一个无关变量B 其水平数n 同时自变量与无关变量的水平之间不存在交互 作用； 作用；
第七章
单因素随机区组实验设计与分析
第一节 随机区组设计基本理论
一、概念 依据逐步控制的原理使实验对象在 一个区组出现一次，区组数等于重复数， 一个区组出现一次，区组数等于重复数， 但各实验对象在同一区组的排列是完全 相同的，这种设计叫随机区组设计。 相同的，这种设计叫随机区组设计。
二、区组因素
指对实验分析产生影响的实验条件， 指对实验分析产生影响的实验条件，在实 际中，实验材料、实验环境、日期、地区、 际中，实验材料、实验环境、日期、地区、 操作装备、操作者、原材料、 操作装备、操作者、原材料、顺序等因素 都可作为区组因素，被称作无关变量。 都可作为区组因素，被称作无关变量。同 一区组内各对象具有较强的同质性， 一区组内各对象具有较强的同质性，区组 间各实验对象具有较大的异质性。 间各实验对象具有较大的异质性。
xij = µ +αi + β j + εij
（i=1,2,…,a;j=1,2,…b） =1,2,… =1,2,…
式中
µ 为总体均数， 为总体均数， 为第i处理的效应， αi 为第i处理的效应，
β j 为第j单位组效应。 为第j单位组效应。
为随机误差，相互独立， ε ij 为随机误差，相互独立，且都 服从正态分布
பைடு நூலகம்
第三节
随机单位组设计的评价
一、随机区组设计的主要优点
1、设计与分析方法简单易行，可使用于含任 设计与分析方法简单易行， 何处理水平数的实验中并且区组数量也不受限 制因而有较好的灵活性。 制因而有较好的灵活性。 2、由于随机单位组设计体现了试验设计三原 在对试验结果进行分析时， 则，在对试验结果进行分析时，能将单位组间 的变异从试验误差中分离出来， 的变异从试验误差中分离出来，有效地降低了 试验误差，因而试验的精确性较高。 试验误差，因而试验的精确性较高。 3、把条件一致的供试单位分在同一单位组， 把条件一致的供试单位分在同一单位组， 再将同一区组的供试单位随机分配到不同处理 组内，加大了处理组之间的可比性。 组内，加大了处理组之间的可比性。
各项平方和与自由度的计算公式为: 各项平方和与自由度的计算公式为: 矫正数 总平方和 A因素平方和 B因素平方和
C = x /pn
2 ..
2 SST = ∑∑(yij − y.. )2 = ∑∑yij −C p n p n
1 SSA = n∑(xi. − x.. ) = ∑yi2. − C n i=1 i=1
单位组间平方和 SSB=∑y 2.j/p- C =(372+652+2252+4902)/4 -47718.063=32361.687 误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB=905.063
总自由度 处理间自由度
dfT=pn-1=4×4-1=15 pn-1=4× dfA=p-1=4-1=3 1=4-
单位组间自由度 dfB=n-1=4-1=3 1=4误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB =(p-1)(n-1) =(p 1)(n =（4-1）(4-1)=9 (4-
列出方差分析表，进行F检验 检验， 第三步 列出方差分析表，进行 检验，并做出 统计推断
变异来源 1.处理间 处理间 平方和 1134.187 自由度 3 3 9 15 均 方 378.062
二、随机区组设计的主要缺点 当处理数目过多时， 当处理数目过多时，各区组内的供试单位 数数目也过多， 数数目也过多 ， 要使各区组内供试单位的初始 条件一致将有一定难度， 条件一致将有一定难度 ， 因而在随机区组设计 中，处理数以不超过20为宜。 处理数以不超过20为宜 为宜。
因为 FA＜ F0.01(3,9) , 表明处理间不存在 显著差异， 显著差异，即广告版面的大小对销售量没有影 响。单位组间的变异，虽然F值已达到0.01 单位组间的变异，虽然F值已达到0.01 显著水平，由于我们采取的是随机单位组设计， 显著水平，由于我们采取的是随机单位组设计， 已将它从误差中分离出来，达到了局部控制的 已将它从误差中分离出来， 目的。单位组间的变异即使显著，一般也不作 目的。单位组间的变异即使显著， 单位组间的多重比较。 单位组间的多重比较。