相似三角形培优试题(五)
北师大版九年级数学上册 相似三角形解答题培优专题(含答案)
2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式；〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC；〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如下图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假设能，求出AP的长；假设不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔s〕表示移动的时间〔0＜t＜6〕。
湘教版九年级数学上《相似三角形判定与性质》综合培优题
ABCP 九年级上培优五1、如图RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB与D，AC=6，BC=8，则AB= ，CD= ，AD= ，BD=第1题图第2题图2、如图□ABCD中，EF∥AB，DE:DA=2:5,EF=4，则CD的长为。
3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD ,AB∥CD,AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是米。
第3题图第4题图4、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC//DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，则A、B两村间的距离为。
5、如图，AC⊥AB，BE⊥AB，AB=10，AC=2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE相交于点D，若BD=8，则AP的长为第5题图第6题图6、如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是7、如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有对。
8、如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AC、BD交于点O，若SSOAB256=∆梯形ABCD则△AOD与△BOC的周长之比为第7题图第8题图9、如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=∠A，已知BC=2，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是第9题图第10题图10、如图，已知AD∥BC，连结CD交AB于E，且AE∶EB=1∶3EF∥BC交AC于F，S△ADE=2cm2，则S△BCE= ，S△AEF= .11、如图，已知ΔABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，且CE=CD,∠EAC=∠B,求证：ΔAEC∽ΔBDA, DC2=AD•AE12、如图、在等边⊿ABC中，P为BC边的一点，D为AC上的一点，且∠APD= ︒06，BP=1，CD=32，求⊿ABC的边长.13、如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．14、如图，在⊿ABC中，∠ACB = ︒06，点P是⊿ABC内的一点，使得∠APB =∠BPC=∠CPA ，且PA=6，PB=8，求PC.15、如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
北师大版九年级数学上册 第四章 相似三角形培优专题 (含答案)
北师大版九年级上册 第四章 相似三角形培优专题 （含答案）一、单选题1．如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:3l y x =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ∆，234A A A ∆，4564A A ∆，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （ ）A ．1002⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．100C ．1994D ．39522．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2A D B D=，6BC =，则线段CD 的长为（ ）A．B ．C ．D ．53．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ︒∠=，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③1412DEC S ∆=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．45．如图，在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ∆的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（ ）A ．2B ．3C ．2D ．327．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，BD ，AE 交于点O ，若随机向平行四边形ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．116B ．112C ．18D ．168．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值是（ ）A ．78-B ．34-C ．1-D ．09．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，P 是对角线BD 上任意一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F .设BP ＝x ，EF ＝y ，则能大致表示y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上的一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则下列结论中:①4ABM FDM S S =；②PN =；③tan ∠EAF=34；④.PMN DPE ∽正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④11．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF V V ①≌;OGE FGC V V ②∽C ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④12．如图，在ABC ∆中，D 在AC 边上，12AD DC ：＝：，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE EC ：＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：313．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①OA BC ==②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8二、填空题 15．如图，在等腰Rt ABC ∆中， 90C =∠，15AC =，点E 在边CB 上， 2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为_____．16．如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为___.17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(8,6)-，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE ∆∽CBO ∆，当APC ∆是等腰三角形时，P 点坐标为_____．18．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是_____．19．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．①AM BN =；②ABF DNF ∆∆≌；③180FMC FNC ︒∠+∠=；④111A C N C EM =+20．如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q R 、分别与图2中的点E G 、重合，点P 在边EH 上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是_____.22．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60,2ABC AB BC ∠=︒=，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S =；③:7AC BD =；④2•FB OF DF =．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）23．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点ADE ，则GE的长落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5为__________．参考答案1．D【解析】【分析】本题需先求出OA 1和OA 2的长，再根据题意得出OA n =2n ，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S 100．【详解】∵点0A 的坐标是(0,1)，∴01OA =，∵点1A 在直线3y x =上， ∴12OA =，013A A = ∴24OA =，∴38OA =，∴416OA =，得出2n n OA =， ∴12·3n n n A A +=∴1981982OA =，19819819923A A = ∵113(41)3322S =-⋅= ∵21200199A A A A ∥，∴012198199200∆∆∽A A A A A A ， ∴2198100133S S ⎛=， ∴396395332332S == 故选D ．【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．2．C【解析】【分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADEABC ∆∆，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度. 【详解】解：设2AD x =，BD x =，∴3AB x =，∵//DE BC ，∴ADEABC ∆∆， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ADEACD ∆∆， ∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=， ∴6AD =，4CD=，∴26CD=故选：C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型. 3．A【解析】【分析】①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得13412DECS∆=-；④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得31DH DEHC CG==．【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB AD=，90ABC ADC︒∠=∠=，45BAC DAC ACB ACD︒∠=∠=∠=∠=．在ABE∆和ADE∆中，AB ADBAC DACAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS∆≅∆，∴BE DE=，故①正确；②在EF上取一点G，使EG EC=，连结CG，∵ABE ADE∆≅∆，∴ABE ADE∠=∠．∴CBE CDE∠=∠，∵BC CF =，∴CBE F ∠=∠，∴CBE CDE F ∠=∠=∠．∵15CDE ︒∠=，∴15CBE ︒∠=，∴60CEG ︒∠=．∵CE GE =，∴CEG ∆是等边三角形．∴60CGE ︒∠=，CE GC =，∴45GCF ︒∠=，∴ECD GCF ∠=．在DEC ∆和FGC ∆中，CE GC ECD GCF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEC EGC SAS ∆≅∆，∴DE GF =．∵EF EG GF =+，∴EF CE ED =+，故②正确；③过D 作DM AC ⊥交于M ，根据勾股定理求出2AC =， 由面积公式得：1122AD DC AC DM ⨯=⨯， ∴22DM =，∵45DCA ︒∠=，60AED ︒∠=， ∴22CM =，66EM =， ∴2626CE CM EM =-=- ∴1132412DEC S CE DM ∆=⨯=-，故③正确； ④在Rt DEM ∆中，623DE ME ==∵ECG ∆是等边三角形， ∴262CG CE ==- ∵60DEF EGC ︒∠=∠=，∴DE CG ∥，∴DEH CGH ∆∆∽， ∴633126DH DE HC CG ===+，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，故选A ．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 4．C【解析】【分析】如图，延长FH 交AB 于点M ，由BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，证明EG//BC ，FH//AD ，进而证明△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CAD ，进而证明四边形EHFG 为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.【详解】如图，延长FH 交AB 于点M ，∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，AB=AE+BE ，CD=CF+DF ，∴AE ：AB=1：3，CF ：CD=1：3，又∵G 、H 分别是AC 的三等分点，∴AG ：AC=CH ：AC=1：3，∴AE ：AB=AG ：AC ，CF ：CD=CH ：CA ，∴EG//BC ，FH//AD ，∴△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CDA ，BM ：AB=CF ：CD=1：3，∠EMH=∠B ，∴EG ：BC=AE ：AB=1：3，HF ：AD=CF ：CD=1：3，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=6，∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，∴EM=3-1-1=1，EG=FH ，∴EG //FH ，∴四边形EHFG 为平行四边形，∴S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用AFH ADE ∆~∆得到2916AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以9,16,AFH ADE S x S x ∆∆==则1697x x -=，解得1x =，从而得到16ADE S ∆=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【详解】如图，根据题意得AFH ADE ∆~∆， ∴2239416AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设9AFH S x ∆=，则16ADE S x ∆=，∴1697x x -=，解得1x =，∴16ADE S ∆=，∴四边形DBCE 的面积421626=-=．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．6．B【解析】【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，根据矩形的性质可得△ABE 、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，3．解直角△BGM ，求出BM ，再表示DM ，由△ADM ∽△GBM ，求出3，再证明3B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，3B′（3，3E （03B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出23BH CF ==233． 【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，tan∠ABD=3 ADAB=∴22AB AD+，∠ABD=60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，3，在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，∴GM=12BG=1，33，∴3∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴AD DMBG BM=3233a a-=，∴3∴3，AD=BC=6，3易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小． 如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，3B′（3，3E （03），易求直线B′E 的解析式为33∴H （1，0），∴22(31)(230)-+-， ∴23BH CF =23 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据E 为BC 的中点，可得12BO OE BE OD AO AD ===，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC//AD ，BC=AD ，∴△BOE ∽△DOA ，∴BO OE BE OD AO AD== 又∵E 为BC 的中点， ∴12BO OE BE OD AO AD ===， ∴13BO BD =， ∴BOE AOB 1S S 2=，AOB ABD 1S S 3=， ∴BOE ABD ABCD 11S S S 612==，∴米粒落在图中阴影部分的概率为112， 故选B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．A【解析】【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】解：连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，90A ABO ︒∴∠=∠=，又MN MC ⊥，90CMN ︒∴∠=，AMC MNB ∴∠=∠，~AMC NBM ∴∆∆，AC AM MB BN∴=， 设,BN y AM x ==．则3,2MB x ON y =-=-， 23x x y∴=-， 即：21322y x x =+ ∴当33212222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，21333922228y ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭最大 直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b当BN 最大，此时ON 最小，点()0,N b 越往上，b 的值最大，97288ON OB BN ∴=-=-=， 此时， 70,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ b 的最大值为78-． 故选：A ．【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．9．A【解析】【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得出x 的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当0≤x ≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴BP EFBO AC=，即46x y=，解得32y x=y，同理可得，当4＜x≤8时，3(8)2y x =-.故选：A.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似10．A【解析】【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE5得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝24585453HN==，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，CAD CDCDE⎧⎪=⎨⎪⎩∠ADF=∠∠DAF=∠，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴24S ABM ABS FDM DF∆⎛⎫==⎪∆⎝⎭，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；根据题意可知：AF ＝DE ＝AE ∵12 ×AD ×DF ＝12×AF ×DN ， ∴DN 25 ， ∴EN ＝355，AN ＝455， ∴tan ∠EAF ＝34EN AN =，故③正确， 作PH ⊥AN 于H ．∵BE ∥AD ， ∴2PA AD PE BE==， ∴P A 25 ∵PH ∥EN ， ∴23AH PA AN AE ==， ∴AH ＝24585453HN ==， ∴2265PA AH -= ∴PN 22265PH HN +②正确， ∵PN ≠DN ，∴∠DPN ≠∠PDE ，∴△PMN 与△DPE 不相似，故④错误．故选：A ．【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质11．B【解析】【分析】根据全等三角形的判定（ASA ）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.【详解】解：Q ①四边形ABCD 是正方形，,OC OD AC BD ∴⊥＝，45ODF OCE ∠∠︒＝＝，90MON ∠︒Q ＝，COM DOF ∴∠∠＝，COE DOF ASA ∴V V ≌（）， 故①正确；90EOF ECF ∠∠︒Q ②＝＝，∴点,,,O E C F 四点共圆，∴,EOG CFG OEG FCG ∠∠∠∠＝＝，∴OGE FGC V ∽，故②正确；③COE DOF QV V ≌，COE DOF S S ∴V V ＝，14OCD ABCDCEOF S S S ∴==V 正方形四边形， 故③正确； COE DOF QV V ④≌，OE OF ∴＝，又90EOF ∠︒Q ＝，EOF ∴V 是等腰直角三角形，45OEG OCE ∴∠∠︒＝＝，EOG COE ∠∠Q ＝，OEG OCE ∴V V ∽，::OE OC OG OE ∴＝，2•OG OC OE ∴＝，122OC AC OE EF Q ＝，＝， 2•OG AC EF ∴＝，,CE DF BC CD Q ＝＝，BE CF ∴＝，又Rt CEF Q V 中，222CF CE EF +＝，222BE DF EF ∴+＝，22•OG AC BE DF ∴+＝，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定.12．B【解析】【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出12AD DC ：＝：，根据已知和平行线分线段成比例得出2121AD DG GC AG GC AO OF ＝＝，：＝：，：＝：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF FC ：的比．【详解】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，∵O 是BD 的中点，∴G 是DC 的中点．又12AD DC ：＝：，AD DG GC ∴＝＝，2121AG GC AO OE ∴：＝：，：＝：，2AOB BOE S S ∆∆∴：＝设2BOE AOB S S S S ∆∆＝，＝，又BO OD ＝，24AOD ABD S S S S ∆∆∴＝，＝，12AD DC ：＝：，287BDC ABD CDOE S S S S S ∆∆∴四边形＝＝，＝，93AEC ABE S S S S ∆∆∴＝，＝，3193ABE AEC S BE S EC S S ∆∆∴=== 故选：B ．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．13．D【解析】【分析】①根据矩形的性质即可得到23OA BC ==①正确；②由点D 为OA 的中点，得到132OD OA ==2222272(3)PC PD CD OC OD +==+=+=，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE a =，则2P F E F P E a=-=-，根据三角函数的定义得到33BE PE a ==，求得2333(2)CE BC BE a a =-==-，根据相似三角形的性质得到3FD =，根据三角函数的定义得到60PDC ︒∠=，故③正确； ④当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD =，解直角三角形得到3333OD OC ==， Ⅱ、OP ＝OD ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD =，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；于是得到当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故④正确．【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形，(23,2)B ，23OA BC ∴==①正确；②∵点D 为OA 的中点，132OD OA ∴==， 2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥ A 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE BC ∴⊥，四边形OFEC 是矩形，2EF OC ∴＝＝，设PE a ＝，则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣，在Rt BEP ∆中，PE OC 3BE BC 3tan CBO ∠===， 33BE PE a ∴==，2333(2)CE BC BE a a ∴=-==-，PD PC ⊥，90CPE FPD ︒∴∠∠=，90CPE PCE ︒∠+∠=，,FPD ECP ∴∠=∠，90CEP PFD ︒∠=∠=，CEP PFD ∴∆∆∽，PE CP FD PD∴=， 3(2)a a FD -∴=FD ∴=， tan 33PC a PDC a PD∴∠===， 60PDC ︒∴∠=，故③正确； ④(23,2)B ，四边形OABC 是矩形，3,2OA AB ∴==，3tan AB AOB OA ∠== 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD ＝，30DOP DPO ∴∠∠＝＝， 60ODP ∴∠＝， 60ODC ∴∠＝， 3333OD ∴== Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠＝＝，90COD CPD ∠∠＝＝，10590OCP ∴∠＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠＝＝， 15090OCP ∴∠＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．故④正确，故选：D ．【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和PD 是解本题的关键．14．B【解析】【分析】先证CDE CBA V :V ，利用相似三角形性质得到12DC DE BC BA ==，即12DC BD DC =+，在直角三角形ABD 中易得22BD =，从而解出DC ，得到△ABC 的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】AB AD DE AD ∴⊥⊥，90BAD ADE ∴∠=∠=o//AB DE ∴易证CDE CBA V :V12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+ 由题得22BD =∴解得22DC =ABC △2112422422ABC S BC ∴=⨯=⨯=V 故选B【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC 的长度15．【解析】【分析】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得15AC BC ==，45CAD ∠=，进而可得AH DH =，由此得CH=15-DH ，再证明~ACE DHC ∆∆，由相似三角形的对应边成比例可得DH CH AC CE=，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD 长.【详解】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90° 在等腰Rt ABC ∆中，90C =∠，15AC =， 15AC BC ∴==，45CAD ∠=，∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD ，AH DH ∴=，∴CH=AC-AH=15-DH ，CF AE ⊥，90DHA DFA ∴∠=∠=，又∵∠ANH=∠DNF ，HAF HDF ∴∠=∠，~ACE DHC ∴∆∆，DH CH AC CE∴=， 2CE EB =，CE+BE=BC=15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， 9DH ∴=，2292AD AH DH ∴=+=， 故答案为：92．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．2.【解析】【分析】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，由此可得PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，此时即PM —PN 的值最大，由正方形的性质求出AC 的长，继而可得22ON ON '==62AN '=，再证明13CM CN BM AN '='=，可得PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，判断出△N CM '为等腰直角三角形，求得N M '长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，∴PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴282∵O 为AC 中点，∴AO=OC=2∵N 为OA 中点，∴ON=22 ∴22ON ON '== ∴62AN '=∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴13CM CN BM AN '='=， ∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，∵∠N CM '=45°，∴△N CM '为等腰直角三角形，∴CM=N M '=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．326()55-，或(43)-， 【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，根据PBE ∆∽CBO ∆求出PE ，②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，根据PBE ∆∽CBO ∆，求出PE ，BE ，则可得到OE ，故而求出点P 点坐标.【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC ∆是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示：∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(8,6)-，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示：∵CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(-8,6)，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴222208610BC BO C +=+=，∴2BP =，∵PBE ∆∽CBO ∆， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，； 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.13218【解析】【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【详解】如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝2∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF2∵CE＝4AE，∴EC＝2，AE2，∴EH＝2在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（2）2+2）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°，∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°，∵∠CEF ＝∠FEP ，∴△CEF ∽△FEP ， ∴EF EC EP EF=， ∴EF 2＝EC•EP ，∴EP 132242= 故答案为：1322． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．①③④【解析】【分析】①根据等边三角形性质得出AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据60ABC BCD ︒∠==∠，求出//AB CD ，可推出ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得60AFB ︒∠=，可求得120MFN ︒=，根据60BCD ︒∠=可解题； ④根据CM CN =，60MCN ︒∠=，可求得60CNM ︒∠=，可判定//MN AE ，可求得N DN CD CN AC CD CDM -==，可解题． 【详解】明：①∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE ACD SAS ∆∆≌，∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=，CAD CBE ∠=∠，在DMC ∆和ENC ∆中，60MDC NEC DC BCMCD NCE ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()DMC ENC ASA ∆∆≌，∴DM EN =，CM CN =，∴AD DM BE EN -=-，即AM BN =；②∵60ABC BCD ︒∠==∠，∴//AB CD ，∴BAF CDF ∠=∠，∵AFB DFN ∠=∠，∴ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件；③∵180AFB ABF BAF ︒∠+∠+∠=，FBC CAF ∠=∠，∴180AFB ABC BAC ︒∠+∠+∠=，∴60AFB ︒∠=，∴120MFN ︒∠=，∵60MCN ︒∠=，∴180FMC FNC ︒∠+∠=；④∵CM CN =，60MCN ︒∠=，∴MCN ∆是等边三角形，∴60MNC ︒∠=，∵60DCE ︒∠=，∴//MN AE ，∴MN DN CD CN AC CD CD-==， ∵CD CE =，MN CN =， ∴MN CE MN AC CE-=， ∴MN MN 1AC CE =-， 两边同时除MN 得111AC MN CE=-， ∴111MN AC CE=+． 故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．20．4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴= 设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--， 整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．21．5【解析】【分析】如图3中，连接CE 交MN 于O ，先利用相似求出OM 、ON 的长，再利用勾股定理解决问题即可．【详解】如图3， 连结CE 交MN 于O .观察图1、图2可知， 4,8EN MN CM ===，90ENM CMN ∠=∠=︒.图3∴EON COM ∆∆∽， ∴12EN ON CN OM ==， ∴1428,3333ON MN OM MN ====. 在Rt ENO ∆中，224103OE ON EN =+= ，同理可求得103OG =， ∴2)2GF OE OG =+=，即“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是5故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．①③④【解析】【分析】①根据已知的条件首先证明ECB 是等边三角形，因此可得EA EB EC ==，所以可得90ACB ∠=︒，再根据O 、E 均为AC 和AB 的中点，故可得90AOE ACB ∠=∠=︒，便可证明EO AC ⊥；②首先证明OEF BCF ∽，因此可得12OE OF BC FB ==，故可得AOD S 和OCF S 的比. ③根据勾股定理可计算的AC ：BD ；④根据③分别表示FB 、OF 、DF ，代入证明即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,CD AB OD OB OA OC ==∥，∴180DCB ABC ∠+∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴120DCB ∠=︒，∵EC 平分DCB ∠， ∴1602ECB DCB ∠=∠=︒， ∴60EBC BCE CEB ∠=∠=∠=︒，∴ECB 是等边三角形，∴EB BC =，∵2AB BC =，∴EA EB EC ==，∴90ACB ∠=︒，∵,OA OC EA EB ==，∴OE BC ∥，∴90AOE ACB ∠=∠=︒，∴EO AC ⊥，故①正确，∵OE BC ∥，∴OEF BCF ∽， ∴12OE OF BC FB ==， ∴13OF OB =， ∴3AOD BOC OCF S S S ==，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，22372OD OB a a ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴7BD a =， ∴:37217AC BD a a ==，故③正确， ∵1736OF OB a ==， ∴73BF a =， ∴22277777,99BF a OF DF a ⎫=⋅=⋅+=⎪⎪⎝⎭， ∴2BF OF DF =⋅，故④正确，故答案为①③④．【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握. 23．4913【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE 的长，然后根据折叠的性质可得BF 垂直平分AG ，再根据ABM ~ADE ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE 的长【详解】解：在正方形ABCD 中，∠BAD=∠D =090，∴∠BAM+∠FAM=090在Rt ADE中，2222+1DE2315=+=A ADE∵由折叠的性质可得ABF GBF≅∴AB=BG，∠FBA=∠FBG∴BF垂直平分AG，∴AM=MG，∠AMB=090∴∠BAM+∠ABM=090∴∠ABM=∠FAM∴ABM~ADE∴AM ABDE AE=，∴12513AM=∴AM=6013, ∴AG=12013∴GE=5-12049 1313=【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键。
相似三角形的判定培优训练题
PCBAM FDCBEAF E GDCBA相似三角形的判定培优训练题例1. 如图，ABC 中，60ABC ∠=︒,点P 是ABC 内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，且8,6PA PC ==，则PB =________________.例2. 如图，四边形ABCD 的各边相等，且60ABC ∠=︒，直线l 过D 点，但与四边形ABCD 不相交，（D 点除外），l 与,BA BC 的延长线分别交于,E F ，点M 是CE 与AF 的交点，求证：2CA CM CE =∙例3. 如图，在ABC 中，AB AC =,AD BC ⊥于D . E G 、分别为,AD AC 的中点，DF BE ⊥于F ，求证：FG DG =.例4.已知ABC 中，BC AC >，CH 是AB 边上的高，且满足22AC AHBC BH=，试探讨 A ∠与B ∠的关系，并加以证明。
C BA DPCBA FED CBA例5. 设ABC 的三边为a b c 、、，求证： （1）若2A B ∠=∠，则()2a b b c =+（2）若3A B ∠=∠，则 ()()2221c a b a b b=--练习1. 如图，ABC 中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7,8AB AC ==，则________BC =练习2. 如图，若PA PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 交于点D ，且4,3PB PD ==，则_______AD CD =练习3. 如图，设AD BE CF 、、为ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为_________DCBAFE DCBAPE DCBANM CBA练习4. 如图，在ABC 中，D 是边AC 上一点，下面四种情况中①AD BC AB BD = ,②2AB AD AC = , ③ABD ACB ∠=∠, ④AD BC AC BD = ，ABD ACB 不一定成立的情况是练习5. 如图，D 为等腰ABC 底边BC 的中点，E F 、分别为AC 及 其延长线的点,又90EDF ∠=︒,1,5,ED FD AD === 求线段BC 的长练习 6. 如图，在ABC 中，D E 、分别是,BC AC 的中点，,AD BE 相较于P ，若BPD ACB ∠=∠，求证：以ABC 三中线为边构成的三角形与ABC 相似练习7. 如图，在Rt ABC 中，90,C ∠=︒,AM AN 分别为BC 边上的中线和BAC ∠的角平分线，求证：()214MN MC AB AC =-ODCBA FEDCBA练习8. 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，BD BC =，AB AC =，AB AC ⊥。
竞赛辅导：相似三角形培优
相似形三角形及应用例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EF＝FG，FD＝DG。
求△ECG的面积。
【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。
例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。
求AP：PQ：QC的值。
【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。
若a、b、c正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。
例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE＝2EC，FB＝2AF。
求∠EDF的度数。
例5 如图所示．△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AB ∶AC=BD ∶DC．【说明】这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．例6、正方形ABCD 中，M 、N 分别在AB 、BC 边上，且BM ＝BN ，又BP ⊥MC于P。
求证：PD ⊥PN 。
【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角相等。
此种方法是证角相等的常用方法。
例7如图，ABC中，AD BC 于D ，BE AC 于E ， DF AB 于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH .GHB AFE DC练习：1、（2013年河北）如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =A．3 B．4C．5 D．62、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：23、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）A．a B．C．D．4、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）A． 11 B． 10 C． 9D． 86、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）A ． 2：5B ． 2：3C ． 3：5D ． 3：27．（2012四川内江，21，9分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是BD 上的一点，∠BAE =∠BCE ，∠AED =∠CED ，点G 是BC 、AE 延长线的交点，AG 与CD 相交于点F．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)当AE =2EF 时，判断FG 与EF 有何数量关系？并证明你的结论．8. （2012福建莆田，24,12分）（1）（3分）如图①，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点D.求证：AC AD AB 2;D A BG C F E(2) (4分)如图②，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E，延长BE 交AC于点F．1AB BD BC DC，求AF FC 的值； (3)(5分)在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，点D 为直线BC 上的动点．．(点D 不与B、C 重合)，直线BE ⊥ＡD 于点E，交直线AC 于点F.若AB BD n BC DC，请探究并直接写出AF FC 的所有可能的值(用含n 的式子表示)，不必证明．D BA C E F CBA D9.（2012湖北黄石，24， 9分）如图（10）所示：等边△ABC中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1.⑴请你探究：AC CD AB DB ，1111AC C D AB DB 错误！未找到引用源。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练(含答案)
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 632. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．B ．C ．D ．3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CDEF ECAE = B ．ABEG CDEF = C ．GCBG FDAF = D ．AD AF BCCG =4. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 205. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN 的长为（）A．15 B．20 C．25 D．307. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（）A EA．3 5B．23C．45D．329. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个ABC10. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. （2020·吉林）如图，////AB CD EF．若12=ACCE，5BD=，则DF=______．12. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF13. （2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为．14. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O 为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．15.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．FDBE A C17. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.18. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．三、解答题（本大题共4道小题）19. （2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CEEBλλ=>． FCGEBDA（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF ⊥AB.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式； (2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．22.（2020·泰州）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为BC 边上的动点（与B 、C 不重合），//PD AB ，交AC 于点D ，连接AP ，设CP x =，ADP ∆的面积为S ．（1）用含x 的代数式表示AD 的长；（2）求S 与x 的函数表达式，并求当S 随x 增大而减小时x 的取值范围．人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．2. 【答案】B ．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为△DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE ∥BC ，OE ＝BC ，进而可得出△DOE ∽△DBC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO 与△BCD 的面积的比为1：4．3. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC ，∴EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．4. 【答案】D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD 的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．8. 【答案】 A【解析】利用平行截割定理求CECA的值．∵DE∥AB，∴CEAE=CDBD=32，∵CE+AE=AC，∴CECA=35．9. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：ABC因此本题选A．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH ＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝1 2x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD22DF BF+221()2x x+5x，所以AD5x，所以CE＝AB＝2AD5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE5x．在R t △ADE 中，由勾股定理得DE ＝22AD AE +＝225()(5)2x x +＝52x ．因△DEF 的面积为1，所以12DE ·DF ＝1，即12×52x ·x ＝1，解得x ＝255，所以DE ＝52×255＝5，因为AD ＝BD ，AE ＝CE ，所以BC ＝2DE ＝25，因此本题选D ．二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．12. 【答案】22【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2．故答案为：2．13. 【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC ==，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为2 ．14. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．15. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.16. 【答案】2 5－1 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.18. 【答案】326()55-，或(43)-， 【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC +=+=，∴2BP =，∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，． 三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝5，∴CF＝EF－EC＝5－1．（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴EC CG＝CG CF＝12，∴EC＝12，∴BE＝32，∴λ＝13．20. 【答案】(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，则AD＝7a，解图如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝（7a）2－1＝7a2－1，在Rt△DCE中，tan30°＝CEDC＝1－a7a2－1＝33，解得a＝－2(舍去)或a＝12，(5分)∴AF＝1 2，在△CAF和△BAC中，CA AF＝BAAC＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA ＝∠ACB ＝90°，即CF ⊥AB.(6分)21. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12， 解图∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分)(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2，∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3， ∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)，①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ， ∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1， 解得：y ＝52，∴E 1(3，52)．(6分)②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. ∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°，∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°，∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F ， 即E 2F 2＝CF·BF ，(12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，∴E 2(2，2)；(9分)③当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E 的坐标为E 1(3，52)或E 2(2，2)．(10分)22. 【答案】解： （1）∵DP ∥AB∴△DCP ∽△ACB ∴CD CP AC CB= ∴34CD x = ∴34CD x =∴AD ＝3－34x （2）∵△DCP ∽△ACB,且相似比为x ：4． ∴S △DCP ：S △ACB ＝x 2：16∴S △ABC ＝13462⨯⨯=∴S △DCP ＝238x ∴S △APB ＝13(4)22PB AC x ⨯⨯=- ∴S ＝S △ABC －S △ABP －S △CDP22336(6)283382x x x x =---=-+ 当2x ≥ 时，S 随x 增大而减少．。
2023年九年级数学中考综合培优测试卷《相似三角形综合》压轴题【含答案】
2023年九年级数学中考综合培优测试卷《相似三角形综合》压轴题1．如图，CD是等腰直角△ABC斜边AB的中线，以点D为顶点的∠EDF绕点D旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE 与BC交于点N，且∠EDF＝45°．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，若CE≠CF，求证：CD2＝CE•CF；（3）如图2，过D作DG⊥BC于点G，若CD＝2，CF＝，求DN的长．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，动点P从点A开始以每秒4个单位长度的速度匀速沿A﹣C﹣A运动，回到A点时停止运动，动点Q同时从点C开始以每秒1个单位长度的速度匀速沿C﹣B运动，到达B点时停止运动，点D为AB的中点，连接PQ，DP，DQ．设运动时间为t秒．（1）当点P沿A﹣C运动时，①BQ＝ ，PC＝ （用含t的式子表示）；②当DP⊥AB时，求t的值；（2）当△CPQ与△ABC相似时，直接写出t的值．3．如图，在平面直角坐标系中，已知▱ABCD，AD＝6，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）AB＝ ；（直接写出结果）（2）若点E在x轴上，且S△AOE＝．①E点坐标为 ；（直接写出结果）②求证：△AOE∽△DAO．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，动点E从点A出发沿AC方向运动，动点F从点C出发沿CB方向运动，点E，F同时出发，且速度均为1cm/s，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．过E作线段EP∥BC，且EP＝BC，连接EF，PF，解答下列问题：（1）当点F运动到BC中点时，求EC的长；（2）连接PC，当△PFC的面积为1cm2时，求t的值；（3）是否存在某一时刻t，使△EFP为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．5．已知矩形ABCD，点E为线段BC上的一点，连接AE，过点B作线段AE的垂线分别交线段AE，CD交于点G，F，延长CG交边AB于点M．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且点M为边AB的中点，①求证：BE＝CF；②若正方形ABCD的边长为2，求证：；（2）如图2，若GC平分∠FGE，若，求的值．6．在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E为AC上一点，将线段DE绕点D逆时针方向旋转60°得线段DF，（1）如图1，当DF与AB交于点G时，求证：BD2＝BG•EC；（2）如图2，在（1）的条件下，连接FE交AB于点H，当时，求AH：HG：GB；（3）若AB＝4，当点E在线段AC上运动时，△BDF能否成为直角三角形，若能，请求出此时DF的值，若不能，请说明理由．7．【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；【模型应用】（2）如图2，在ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为 ；【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC 边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．8．已知△ABC为直角三角形，点D在直线CB上，以AD为直角边做直角三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当时，请直接写出线段BD与线段CE的数量关系与位置关系；（2）如图2，当时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在射线CB上，且时，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，CM，CN，若，请直接写出△CMN 的面积．9．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是AB，AD边上的动点，EF∥BD．将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G，连结DG．（1）如图2，当点G落在对角线BD上时，求DG的长；（2）如图3，当∠DGF＝Rt∠时，求AF的长；（3）若直线FG交BD于点H，在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．10．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D 在BC上，连接CE．（1）如图1，当＝1时，则线段BD与线段CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，当＝3时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，MC，NC，若AB＝，∠ADB＝60°，求出△MNC的面积．11．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE满足的数量关系为 ．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为 ．12．[基础巩固]（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，求证：＝．[尝试应用]（2）如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足BD＝2DE＝4CE，一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N，求的值．[拓展提高]（3）如图3，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB＝3，延长CD至点F，使DF＝2DE，连接AE，BF，AE与BF相交于点G，连接CG，求CG的最小值．13．（1）例题再现：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 ．（2）类比探究：如图2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°，DE＝2．求AD的长．（3）拓展延伸：如图3，△ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延长DE，BC交于点F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，求BD的长．14．如图，已知在菱形ABCD中，AB＝5，cos B＝，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长线交BC的延长线于点G，且∠EAF＝∠BAD．（1）求证：AE2＝EC•EG；（2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值．（3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE 的长．15．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（点D不与点B重合），连接AD，以AD为一边构造Rt△ADE，使∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，当＝＝1时，直接写出线段BD与线段CE的数量关系与位置关系：①数量关系： ；②位置关系： ；（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，CM，CN，若AB＝2，∠ADB＝45°，请直接写出△CMN的面积．16．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．点P在AB上，点Q 在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．17．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图1，在△ABC与△AED中，BA＝BC，EA＝ED，且△ABC～AED，所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接EB，DC，则称为“关联比”．下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：（1）当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝90°时，①如图2，若点E落在AB上，则“关联比”＝ ；②如图3，探究△ABE与△ACD的关系，并求出“关联比”的值．（2）如图4，当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝120°时，“关联比”＝ ．[迁移运用]（3）如图5，△ABC与△AED为“关联等腰三角形”．若∠ABC＝∠AED＝90°，AC＝4，点P为AC边上一点，且PA＝1，点E为PB上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．18．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．（2）如图2，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点．（3）如图3，将矩形ABCD沿着CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．19．如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝6．把三角板ABC固定不动，三角板DEF由图1所示的位置绕点E沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°．设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于点Q（当三角板旋转到图3所示位置时，线段EP交线段CA于点M）．（1）如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证△BPE∽△CEQ．此时，BP•CQ＝ ；（2）当三角板DEF转到如图2的位置时，BP•CQ的值是否改变？说明你的理由；（3）在三角板DEF旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为？若可能，直接写出此时CQ的长；若不可能，请说明理由．20．如图①，已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，以BE为斜边构造等腰直角△BEF，将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转．（1）如图②，当∠EBC＝30°时，若CG＝，则BG＝ ；AG＝ ；（2）如图③，延长BE，与AC、DC分别相交于点G、N，延长BF，与AC、AD分别相交于点H、M，求证：△AMH∽△CGN；（3）如图④，连接CE、DE，请直接写出当DE+4CE取得最小值时，∠ECB的正切值．参考答案1．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，∴∠DCE＝∠DCF＝135°，在△DCE与△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF；（2）证明：∵∠DCE＝∠DCF＝135°，∴∠CDF+∠F＝180°﹣135°＝45°，∵∠CDF+∠CDE＝45°，∴∠F＝∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴＝，即CD2＝CE•CF；（3）解：如图，∵DG⊥BF，∴∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，CF＝时，由CD2＝CE•CF可得，CE＝，在Rt△DCG中，CG＝DG＝CD•sin∠DCG＝2×sin45°＝，∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴＝＝＝2，∴GN＝CG＝，∴DN＝＝＝．2．解：（1）∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝12，①BQ＝BC﹣CQ＝5﹣t，PC＝AC﹣AP＝12﹣4t，故答案为：5﹣t，12﹣4t；②如图1，∵∠C＝∠ADP＝90°，∴cos A＝，∴，∴t＝，∴当t＝时，PD⊥AB；（2）∵∠C＝∠C，∴△CPQ∽△CAB或△CPD∽△CBA，∴或，当0＜t≤3时，＝或，∴t＝或t＝，当3＜t≤6时，或，∴t＝（舍去）或t＝，综上所述：t＝或或．3．解：（1）解x2﹣7x+12＝0，得x1＝4，x2＝3，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理有AB＝＝＝5．故答案为：5．（2）①∵点E在x轴上，S△AOE＝，∴AO×OE＝，∴OE＝，∴E（，0）或E（﹣，0）．故答案为：（，0）或（﹣，0）．②在△AOE中，∠AOE＝90°，OA＝4，OE＝，在△AOD中，∠OAD＝90°，＝4，AD＝6，∵＝，∠AOE＝∠DAO，∴△AOE∽△DAO．（3）存在，理由如下：由题意，OB＝OC＝3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0）．②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．③AC是对角线时，AC解析式为y＝﹣x+4，AC的垂直平分线经过点（，2），解析式为y＝x+，由题意直线AB的解析式为y＝x+4，由，解得，联立直线L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣）．④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝＝＝．作点A关于N的对称点即为F，AF＝，过F作y轴垂线，垂足为G，FG＝×＝，∴F（﹣，）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8），F2（﹣3，0），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．4．解：（1）∵AB＝3cm，AC＝4cm，∴BC＝＝＝5（cm），∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝cm，∴AE＝cm，∵AC＝4cm，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝（cm）；（2）过点E作EM⊥CB于M，∵∠EMC＝∠A＝90°，∠ECM＝∠ACB，∴△EMC∽△BAC，∴，∴，∴EM＝，过点P作PG⊥CF，交BC的延长线于G，∵EP∥BC，EM⊥BC，四边形EMGP是矩形，∴EM＝PG＝（cm），∵S△PFC＝CF•PG＝1，∴＝1，解得t＝，∴当t＝时，△PFC的面积为1cm2；（3）存在．分两种情况：①若∠FEP＝90°时，∵EP∥BC，∴EF⊥BC，∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，∴△EFC∽△BAC，∴，∴，解得t＝；②当∠EFP＝90°时，过点E作EM⊥BC，过点P作PG⊥BC，交BC的延长线于G，由（2）可知EM＝（cm），，∴CM＝（cm），∴MF＝CM﹣CF＝﹣t＝（cm），∵EP＝MG＝5cm，∴FG＝5﹣MF＝5﹣＝（cm），∵∠EFM+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，∴∠EFM＝∠FPG，又∵∠EMF＝∠PGF，∴△EMF＝∽△FGP，∴，∴EM2＝FG•MF，∴，∴2t2﹣3t＝0，解得t＝或t＝0（舍去），综上所述，t＝或t＝时，△EFP为直角三角形．5．（1）证明：①∵BG⊥AE，∴∠BGA＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF；②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴GM＝BM＝1，∴∠MGB＝∠MBG，∵∠CGF＝∠MGB，∠CFB＝∠ABG，∴∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG，在Rt△CBM中，由勾股定理得，CM＝，∴CF＝CG＝CM﹣MG＝，∴；（2）解：由（1）同理可得△∽△BCF，∴，延长DC和AE交于点N，作CK⊥CG，交AN于K，∵DC∥AB，∴∠N＝∠BAE＝∠CBG，∵CG平分∠EGF，∴∠CGE＝45°，∵CK⊥CG，∴CK＝CG，∠BCG＝∠KCN，∴△BCG≌△NCK（AAS），∴CN＝CB，∵，∴，∵CN∥AB，∴，设CE＝2m，BE＝3m，则FC＝2m，CN＝5m，AB＝，∴，∴，∴，∴AM＝m，∴＝．6．（1）证明：∵点D是BC的中点，故BD＝CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵∠CED+∠CDE＝180°﹣∠C＝120°，∠CDE+∠FDB＝180°﹣∠EDF＝120°，∴∠CED＝∠FDB，∵∠B＝∠C＝60°，∴△CED∽△BDG，∴，∵BD＝CD，∴BD2＝BG•EC；（2）解：当时，设AE＝3x，则EC＝5x，∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△EFD为等边三角形，则∠FED＝60°，∵∠AEH+∠CED＝120°，而∠AHE+∠AEH＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠CED＝∠AHE且∠HAC＝∠C＝60°，∴△AHE∽△CED，∴，∴AH＝，∵BD2＝BG•EC，即（4x）2＝BG×5x，∴BG＝x，∴GH＝AB﹣AH﹣BG＝8x﹣﹣＝，∴AH：HG：GB＝75：21：64；（3）解：能，理由：①如图3，当∠FDB为直角时，由（1）知，△CED∽△BDF，∴∠DEC＝∠BDF＝90°，在Rt△CDE中，DE＝CD sin C＝2×＝＝DF，∴DF＝；②当∠FBD为直角时，如图4，过点D作DM⊥AC，由（1）知，∠DEC＝∠FDB，∵∠EMD＝∠FBD＝90°，DE＝DF，∴△EMD≌△DBF（AAS），∴DM＝BF，由①得：DM＝＝BF，在Rt△BDF中，DF＝＝＝；③当∠BFD为直角时，如图5，过点D作DM⊥AC，由（1）知，∠DEC＝∠FDB，∵∠EMD＝∠BFD＝90°，DF＝DE，∴△EMD≌△DFB（ASA），∴BD＝ED＝DF，即BD＝DF，这与∠BFD为直角矛盾，故该情况不存在，综上，DF＝或．7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形；，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴，∴AB•CE＝BD•DC；（2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝30°．∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠DAE＝60°．∵AE＝AD，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°．∵∠AED＝∠C+∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠C＝30°，∴DE＝EC．∵∠EFD＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDC＝90°，∴DF＝2EF．∵∠DFE＝∠C+∠FEC＝60°，∴∠FEC＝∠C＝30°，∴EF＝FC，∴DF＝2FC，即＝2，故答案为：2；（3）解：在DC上截取DF＝EF，如图，∵∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE．∵∠ABC＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∠ADB+∠EDF＝120°，∴∠BAD＝∠EDF，在△BAD和△FDE中，，∴△BAD≌△FDE（SAS），∴∠B＝∠EFD＝60°，∴∠EFC＝120°．∵∠AED＝60°，∴∠DEC＝120°，∴∠EFC＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△EFC∽△DEC，∴，∴，∴CF2+5CF﹣36＝0，∵CF＞0，∴CF＝4．∴DC＝DF+CF＝5+4＝9．8．解：（1）BD与线段CE的数量关系为：BD＝CE，它们的位置关系为：BD⊥EC，理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝1，∴△BAD∽△CAE，∴＝1，∠ABD＝∠ACE，∴BD＝EC，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；（2）线段BD与线段CE的数量关系为：，位置关系为：BD⊥EC，理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝1，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∠ABD＝∠ACE，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；（3）①当点D在线段CB上时，过点A作AF⊥BD于点F，如图，∵，tan∠ABC＝，∴tan∠ABC＝2，∵tan∠ABC＝，∴＝2，设BF＝k，则AF＝2k，∴AB＝＝k＝2，∴k＝2，∴AF＝4，BF＝2．∵tan∠ADB＝＝，∴DF＝3，∴BD＝DF+BF＝3+2＝5．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∠ABD＝∠ACE，∴EC＝2BD＝10．∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；∵点N为DE的中点，点M为BE的中点，∴CN＝NE＝DN＝DE，CM＝EM＝BM＝BE，在△CMN和△EMN中，，∴△CMN≌△EMN（SSS），∴S△CMN＝S△EMN．∵点N为DE的中点，店M为BE的中点，∴M，N为△EDB的中位线，∴MN∥BD，MN＝BD，∴△EMN∽△EBD，∴．∵BD•EC＝5×10＝25，∴S△EMN＝，∴．②当点D在线段CB的延长线上时，过点A作AF⊥BD于点F，如图，∵，tan∠ABC＝，∴tan∠ABC＝2，∵tan∠ABC＝，∴＝2，设BF＝k，则AF＝2k，∴AB＝＝k＝2，∴k＝2，∴AF＝4，BF＝2．∵tan∠ADB＝＝，∴DF＝3，∴BD＝DF﹣BF＝3﹣2＝1．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∠ABD＝∠ACE，∴EC＝2BD＝2．∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；∵点N为DE的中点，点M为BE的中点，∴CN＝NE＝DN＝DE，CM＝EM＝BM＝BE，在△CMN和△EMN中，，∴△CMN≌△EMN（SSS），∴S△CMN＝S△EMN．∵点N为DE的中点，店M为BE的中点，∴M，N为△EDB的中位线，∴MN∥BD，MN＝BD，∴△EMN∽△EBD，∴．∵BD•EC＝1×2＝1，∴S△EMN＝，∴S．综上，△CMN的面积为或．9．解：（1）连结AG，如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝10，由折叠的性质得：AG⊥EF，∵EF∥BD，∴AG⊥BD，∴∠AGD＝90°，∵∠ADG＝∠BDA，∴△AGD∽△BAD，∴＝，即＝，解得：DG＝，即DG的长为；（2）当∠DGF＝90°时，此时点D，G，E三点共线，由折叠的性质得：FG＝FA，∵EF∥BD，∴△AEF∽△∠ABD，∴＝＝＝，设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，在Rt△DFG中，由勾股定理得：DG2＝DF2﹣FG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，∵∠GDF＝∠ADE，∠DGF＝∠DAE，∴△DGF∽△DAE，∴＝，即，解得：t＝，经检验，t＝是原方程的解，且符合题意，∴AF＝3t＝．（3）①当点E与点B重合时，点H与点D重合，如图4，此时，△EHG与△AEF全等，符合条件．∴AE＝8．②当△GHE∽△AEF时，如图5，则，∴，设AF＝3t，则AE＝4t，∴FG＝3t，DF＝6﹣3t，GE＝4t，，∴，由折叠的性质得：∠AFE＝∠GFE，∵EF∥BD，∴∠AFE＝∠ADB，∠GFE＝∠DHF，∴∠AFE＝∠ADB＝∠DHF，∴DF＝FH，即，解得：，∴AE＝；③当△GHE∽△AFE时，如图6，∴＝＝，∴，由折叠的性质得：FG＝AF，GE＝AE，设AF＝3t，则AE＝4t，∴FG＝3t，DF＝6﹣3t，GE＝4t，GH＝3t，∴FH＝FG+GH＝3t+3t＝6t，同②得：DF＝FH，∴6﹣3t＝6t，解得：，∴AE＝；综上所述，在点E的运动过程中，存在某一位置，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，AE的长为8或或．10．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，又∵＝1，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝1，∠B＝∠ACE，∴BD＝CE，∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）CE＝3BD，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，又∵＝3，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝3，∠B＝∠ACE，∴CE＝3BD，∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B＝90°，∴BD⊥CE；（3）如图3，过点A作AH⊥BC于H，∵，AB＝，∴AC＝3，∴BC＝＝＝10，∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AH，∴AH＝＝3，∴BH＝＝＝1，∵∠ADB＝60°，AH⊥BC，∴∠DAH＝30°，∴AH＝DH，∴DH＝，∴BD＝1+，∵CE＝3BD，∴CE＝3+3，∴S△BDE＝×BD×CE＝6+3，∵点M是BE的中点，点N是DE的中点，∠BCE＝90°，∴CM＝BE，CN＝DE，MN＝BD，∴＝，∴△MNC∽△BDE，∴＝，∴S△MNC＝×（6+3）＝．11．解：【探究问题】如图1，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴AB＝CB＝1，AD＝ED＝，∴AC＝＝＝，AE＝＝＝2，∴＝＝，∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAE＝∠DEA＝45°，∴∠CAE＝∠BAD＝45°﹣∠BAE，∴△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD＝100°，∴∠BCE＝∠ACE﹣∠BCA＝100°﹣45°＝55°，∴∠BCE的度数是55°．【解决问题】如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴AB＝CB，AD＝ED，∴AC＝＝＝AB，AE＝＝＝AD，∴＝＝，∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAE＝∠DEA＝45°，∴∠BAD＝∠CAE＝45°+∠BAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD﹣∠BCE＝∠ACE﹣∠BCE＝45°，故答案为：∠ABD﹣∠BCE＝45°．【拓展应用】如图3，延长BG到点G，使BG＝3，连结AG，∵AB＝4，＝，∴＝＝，∵BM⊥AB，∠ADE＝90°，∴∠ABG＝∠ADE＝90°，∴△ABG∽△ADE，∴＝，∠BAG＝∠DAE，∴＝，∠BAG﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠GAE＝∠BAD，∴△GAE∽△BAD，∴∠AGE＝∠ABD＝90°，∴点E在过点G且垂直于AG作BF⊥EG于点F，则∠GFB＝∠ABG＝90°，∵∠FGB＝∠BAG＝90°﹣∠AGB，∴△FGB∽△BAG，∴＝，∵BG＝3，GA＝＝＝5，∴FB＝＝＝，∵BE≥BF，∴BE≥，∴BE的最小值为，故答案为：．12．（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC，∴，＝，∴，∴；（2）解：如图2，过点M作MG∥BC，交AB于点G，交AD于点H，交AC于点F，∵MG∥BC，∴△AHG∽△ADB，△AMH∽△AED，∴，＝，∴＝，∴＝＝2，∴GH＝2HM，同理可得：HM＝2MF，∴GH＝4MF，GF＝7MF，∵NL∥AB，∴△FMN∽△FAG，∴＝，∴MN＝AG，∵NL∥AB，∴△MHL∽△GHA，∴＝，∴ML＝AG，∴＝；（3）解：如图3，连接DG，并延长DG交AB于Q，∵AB∥CD，∴△ABG∽△EFG，△AQG∽△EDG，∴，，∴，∵DF＝2DE，∴EF＝3DE，∴＝，∴AQ＝1，∴QD＝＝＝，∵点G在QD上运动，∴当CG⊥QD时，CG有最小值，此时，∠CGD＝∠DAQ＝90°，∵AB∥CD，∴∠AQD＝∠CDG，∴△AQD∽△GDC，∴＝，∴CG＝＝．13．解：（1）∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，∴＝，解得：AD＝4，故答案为：4；（2）如图2，在AC上截取CH＝CB，连接BH，∵∠ACB＝60°，∴△BCH为等边三角形，∴CH＝BH＝BC＝6，∠CHB＝60°，∴AH＝AC﹣CH＝8，∠AHB＝120°，∵∠EDB＝60°，∴∠ADE＝120°，∴∠ADE＝∠AHB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AHB，∴＝，即＝，解得：AD＝；（3）过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AB于点N，∴∠BMD＝∠BME＝∠ANE＝90°，∵∠EDN＝60°，∴∠DEN＝30°，∴DN＝DE＝，则EN＝＝，∴AN＝AD+DN＝4+＝，设DM＝a，∵∠BDM＝60°，∠DMB＝30°，∴∠MBD＝30°，∴BD＝2a，∴BM＝＝a，∵DE＝5，EF＝6，∴MF＝DE+EF﹣DM＝11﹣a，∵∠BCA＝∠F+∠FEC，∠BDE＝∠A+∠AED，∠AED＝∠FEC，∠BCA＝∠BDE，∴∠A＝∠F，∴△AEN∽△FMB，∴＝，即＝，解得：a＝，∴BD＝2a＝．14．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，又∵∠EAF＝∠BDA，∴∠CAD＝∠EAF，∴∠EAC＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，∴∠EAC＝∠G，又∵∠AEC＝∠GAE，∴△AEC∽△GAE，∴，即AE2＝EC•EG；（2）解：过点A作AH⊥BC交CB于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，AD∥BC，∵AD∥BC，点F是CD的中点，，∴CG＝AD＝5，设BE＝x，则EC＝5﹣x，EG＝EC+CG＝5﹣x+5＝10﹣x，则AE2＝EC•EG＝（5﹣x）（10﹣x），在Rt△ABH中，cos B＝，而AB＝5，则HB＝3，AH＝4，则EH ＝3﹣x ，在Rt △AEH 中，AE 2＝AH 2+EH 2，即AE 2＝（3﹣x ）2+42，∴（3﹣x ）2+42＝（5﹣x ）（10﹣x ），解得x ＝＝BE ，则S △ABE ＝BE ×AH ＝××4＝；（3）解：由（1）知，∠EAC ＝∠DAF ，则∠BAE ＝∠CAG ，∴∠BAC ＝∠EAF ，∴当或时，△AGH 与△ABC 相似，当时，∵∠BAC ＝∠BAD ，∠EAF ＝∠BAD ，∴∠BAC ＝∠EAF ，∴∠BAE ＝∠CAG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠AHC ，∴∠CAG ＝∠AHC ，又∵∠EAC ＝∠AGC ，∴△AHC ∽△GAC ，∴，又，∴CH ＝AB ，∵AB ∥CD ，∴，∴BE ＝EC ＝BC ＝；当时，同理可得：△AHC ∽△GAC ，∴，又∵，∴CG＝AB，由（2）知，此时BE＝，综上，BE＝或．15．解：（1）①∵＝＝1，∴AC＝AB，AE＝AD，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；②由①可知△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ECA，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BD，故答案为：CE⊥BD；（2）EC＝2BD，CE⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ECA，∵＝＝2，∴△BAD∽△CAE，∴＝2，∴EC＝2BD，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BD，∴综上所述，EC＝2BD，CE⊥BD；（3）当D点在线段BC上时，如图1，过点A作AF⊥BD交于F点，由（2）知，AC＝2AB，∴tan∠ABC＝2＝，∴AF＝2BF，∵AB＝2，∴AF＝4，BF＝2，∵∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝4，∴BD＝2+4＝6，∵＝2，∴EC＝12，∴S△EBD＝×BD×EC＝×12×6＝36，∵M、N分别是BE、DE的中点，∴MN∥BD，MN＝BD，∴＝，∵∠ECD＝90°，∴CN＝ED，CM＝BE，∴EN＝CN，EM＝CM，∴△CMN≌△EMN（SSS），∴＝，∴S△CMN＝9；当D点在CB的延长线上时，如图2，过A点作AG⊥BD交于点G，同理可得BD＝4﹣2＝2，∵＝2，∴EC＝4，∴S△EBD＝×BD×EC＝×4×2＝4，∵＝，∴S△CMN＝1；综上所述：△CMN的面积为1或9．16．解：（1）如图：（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内，∴当M'点在BC上时，菱形P'Q'M'N'的面积最大，∵四边形PQMN是菱形，四边形P'Q'M'N'是菱形，∴Q'M'∥AB，M'N'∥PQ，∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴△BM'N'是等边三角形，∴M'B＝M'N'＝Q'M'，∵AB＝6cm，∴BC＝3cm，∴CM'＝3﹣BM'，在Rt△CM'Q'中，∠CQ'M'＝30°，∴Q'M'＝2CM'，∴BM'＝2（3﹣BM'），解得BM'＝2，在△BM'N'中，过点M'作M'E⊥BN'交于点E，∵BM'＝2，∠B＝60°，∴M'E＝，∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；（3）延长GF、BC交于O点，连接AO，∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，∴AG＝AB，∠AGF＝∠ABC，∴∠OGB＝∠OBG，∴OG＝BO，∵GF＝BC，∴OF＝OC，∴＝，连接OM，∵∠GFE＝∠BCD，∴∠MFO＝∠MCO，∵∠OFC＝∠FCO，∴CM＝FM，∴△MOF≌△MOC（SAS），∴∠FOM＝∠COM，∵AG＝AB，∠AGO＝∠ABO，GO＝BO，∴△AGO≌△ABO（SAS），∴∠FOA＝∠BOA，∴MO与AO重合，∴A、M、O三点共线，∴GF、BC、AM的延长线交于一点O，∴MF∥AG，∴＝，∵CM∥AB，∴＝，∴＝＝，∴△ABG与△MCF位似．17．解：（1）①∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠EAC，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴，故答案为：；②∵∠AED＝∠CBA＝90°，∴DE∥CB，∴＝＝，故答案为：；（2）如图1，作EF⊥AD于F，∴∠AFE＝90°，∵AE＝DE，∠AED＝120°，∴∠EAD＝∠EDA＝30°，AF＝DF，∴AE＝2EF，AF＝EF，∴AD＝2AF＝2EF，∴，同理可证：△CAD∽△BAE，∴，故答案为：；（3）如图2，同理可得：△CAD∽△BAE，∴∠ACD＝∠ABE，∴点D所经过的路径是线段CD，此时CP＝AC﹣AP＝1，PE＝DE＝1，∠CPD＝90°，∴CD＝＝＝，∴自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为：．18．解：（1）结论：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A＝∠DEC＝50°∴∠ADE+∠AED＝130°，∠BEC+∠AED＝130°，∴∠ADE＝∠BEC，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30°，CE＝AB，在Rt△BCE中，cos∠BCE＝，∴＝，∴＝，∴AB＝BC．19．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，且点E是BC的中点，∴∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，BE＝AE，∴∠BEP＝∠AEP＝∠EAC＝45°，∴△BPE∽△CEQ，∴，∴BP•CQ＝BE•CE＝（BC）2＝（•AB）2＝18；故答案为：18；（2）BP•CQ的值不变，理由如下：由（1）可知：△BPE∽△CEQ，∴，∴BP•CQ＝BE•CE＝BE•BE＝BE2＝18；（3）过E点作EN⊥AC于点N，此时重叠部分为△MEQ，设CQ为x，∵BP•CQ＝18，∴BP＝，∴AP＝，∵EN⊥AC，∴∠ENC＝90°＝∠BAC，∴EN∥AB，∴△ENM∽△PAM，∴，即，解得：AM＝＝，∴MQ＝6﹣AM﹣CQ＝6﹣x﹣，∴y＝＝（6﹣x﹣）×3，当y＝时，代入得：＝（6﹣x﹣）×3，整理可得：2x2﹣7x+6＝0，∵x＝或x＝2，∴存在CQ使面积为．20．（1）解：过点G作GH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴GH＝CH＝1，∵∠EBC＝30°，∴BH＝，BG＝2，∴+1，∴AC＝BC＝+，∴AG＝，故答案为：2，；（2）证明：∵∠EBF＝∠ACB＝45°，∴∠CGN＝45°+∠CBN＝∠MBC，∵AD∥BC，∴∠AMH＝∠MBC，∴∠AMH＝∠CGN，∵∠MAH＝∠GCN＝45°，∴△AMH∽△CGN；（3）解：连接BD，在BD上取点G，使BG＝，连接EG，∵BE＝BC，BD＝BC，∴＝，∵∠EBG＝∠DBE，∴△EBG∽△DBE，∴EG＝DE，∴DE+4CE＝4（DE+CE）＝4（EG+CE），∴点C、E、G三点共线时，EG+CE最小．过点G作GH⊥BC于H，设BG＝x，则BE＝x，BC＝2x，∴BH＝GH＝，∴CH＝，∴tan∠BCE＝＝．。
初三数学相似三角形培优练习题(含答案)(K12教育文档)
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(3题图）EDB ADBCA N M O相似三角形练习题1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3、如图3，等腰ABC ∆中,底边BC=a ，A ∠=036，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设512k =，则DE=( ) A 、2K a B 、3K a C 、2akD 、3a k4、如图4,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是( )A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°,∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ） A ．33()22 B ．33(22 C ．13(22D ．31()22yxP (a ，0) N (a +2，0)A (1，-3)（1题图）B (4，-1)O图 4FE D CBA E FA DCB6、如图小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是( ）7、如图7，梯形ABCD 中,BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ．22 B. 231 C 。
相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。
答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。
答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。
答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。
答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。
已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。
因此，AC = 6.25cm。
8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。
已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。
相似三角形培优专题
第3讲-相似三角形培优专题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第3讲 相似三角形培优专题1.如图1，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，连结AD ，过D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，求证：DE +DF 的长是定值。
2.如图2，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D '在BC 的延长线上，过D '作AB 、AC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：N D M D '-'的长是定值。
3.如图，在△ABC 中，D 为BC 上任意一点，连结AD ，P 为AD 上任意一点，连结PB 、PC ，求证：DC BD S S APC ABP =∆∆。
P D CB A 图2N M D'C B A 图1FE DCB A用面积法证明下述定理：4.在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，求证：AB :AC =BD :DC 。
5.（赛瓦定理）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，连结AD 、BE 、CF 交于点O ，求证：1=⨯⨯FB AF AE CE DC BD 。
6.（梅内劳斯定理）如图，一条直线与三角形ABC 的三边BC ，CA ，BA （或其延长线）分别交于D ，E ，F 。
求证：1=⨯⨯FBAF EA CE DC BD 。
O F E D C B A F E D C B A7.如图，在△ABC 中，D 是BC 边中点，G 是AD （不包括A 、D 两点）上一动点，BG 、CG 的延长线分别交AC 、AB 于点F 、E 。
（1）求证：FC AF EB AE=； （2）设x EB AE =，用含x 的代数式表示ABCCGF BGE S S S ∆∆∆+，并求出它的最大值。
8.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽12CD m =，塔影长18DE m =，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为( )A ．24mB ．22mC ．20mD ．18mG FE D C B A9.在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠CO A＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2E B，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧
相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是 ．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Т=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二 比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为 ．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三 相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四 相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五 相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（ ）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六 重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（ ）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是 ．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为 ；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七 平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为 ．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝ ，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝ ；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是 ，与AD uuu r 相反的向量是 ；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八 相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（ ）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。
相似三角形培优专题训练
相似三角形培优专题训练1.给定平行四边形ABCD，点G在边DC的延长线上，AG交BC于点E，BG交CD于点F。
证明△AGD∽△EGC∽△EAB。
2.给定△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线。
证明△ABC∽△BCD。
3.给定△ABC，D为内点，ED、AD分别与BC、AB相交，以BC为边在△ABC外作∠XXX∠ABD，∠XXX∠BAD。
证明△DBE∽△ABC。
4.给定矩形ABCD，BC=3AB，E、F是BC边上的三等分点，连结AE、AF、AC。
证明图中不存在非全等的相似三角形。
5.给定△ABC，AC上截取AD，CB延长线上截取BE，使AD=BE。
证明DF•AC=BC•FE。
6.给定△ABC，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
证明（1）MA=MD•ME；（2）2MD²=AD²+4AE²。
7.给定△ABC，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F。
证明AE：ED=2AF：FB。
8.给定正方形ABCD，E、F分别是XXX和AD上的点，且。
证明∠XXX∠XXX。
9.给定平行四边形ABCD，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线。
证明SQ∥AB，RP∥BC。
10.给定四边形XXX和四边形BDFE，其中AB∥ED，BC∥FE。
证明AF∥CD。
11.给定直角三角形ABC，BCDE是正方形，AE交BC于点F，FG∥AC交AB于点G。
证明FC=FG。
12.给定锐角三角形ABC，C的平分线交AB于点E，交斜边上的高AD于点O，过O引BC的平行线交AB于点F。
证明OE=OF。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形培优（含答案）1、如图;等腰△ABC 中，CA=CB, ∠EPF=∠ECB.证明：PBPAPF PE2. △ABC 中，∠ACB=900,CD ⊥AB 于D,CD=2BD,点E 在AC 上，BE 交CD 于点G, EF ⊥BE 交AB 于F.(2) 如图2: AE=3EC,试探究EG 与EF 的数量关系，并证明你的结论。
3、 △ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,F 为ED 的中点。
证明：AF ⊥EC图2G F E DCB A FEDCBA4、 如图1正方形ABCD,E 为CD 的中点，F 在AE 上，CB=CF. (1) 证明：BF ⊥AE(2) 如图2：M 在BF 的延长线上，CM 交AD 于K 。
且KF=KD 证明：AM ⊥CM（相似SAS ）2作CG ⊥BM, △KCF ≌△KCD, 则∠KCF=∠KCD. 证明∠KCM=45度， 证明△CGB ∽△CMA5.如图1已知菱形ABCD 中，∠ADC=1200,N 为DB 延长线上，且DE=BN .(1)证明：∠ENC=600（2）如图2：延长CA 交NE 的延长线于G.过O 作OM ⊥AB 于F 交GN 于M. 证明：EM=MN图2图1ANN图2图2E F B D CA AD B F E6、如图，△ABC 为等边三角形，D 点为BC 边上一动点，DE ⊥BA 于E ，连CE 交AD 于F ，已知BC =nBD（1）若n =3时，则BE AC = （2）若n =4时，求EFFC的值 （3）当n = 时，EF =FC （直接写出答案，不证明）答案；（1）1126n = （2）解：∵△ABC 为等边△ ∠B = 60° DE ⊥ AB ∴EDB = 30°设BD = x AB = AC = BC = nx 过E 作EM ∥BC 交AD 于M 1sin 2EDB ∠=12E B x = 12A E n xx =- EM ∥BD ∠AEM = ∠B ∠AMF = ∠ADB△AEM ∽△CDFAE EM AB BD=1()2n xEM nx x -= (1)三角形CDE 与CBN 全等N图2图1C E F G BD AA EFD 12n EM x n-=EM ∥CD ∴△EMF ∽△CDF112()2(1)(1)n xn EF EM n CF CD n x n n --===-- 把n = 4代入 7724324EF CF ==⨯ （3）22n =7、如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点P 为AB 上一动点，连接DB 、DP ， AE ⊥DP 于E .(1) 如图①，若P 为AB 的中点，则DF BF = ；=ACBF； (2)如图②，若21=BP AP 时，证明AC ＝4BF ；(3)如图③，若P 在BA 的延长线上，当ACBF= 时，31=AB AP .答案；（1）21，31；（2）延长AF 交BC 于M ，证△ABM ≌△DAP 得BM=AP ，又△MBF ∽△ADF 得31===AD AP AD BM FD BF ，∴FD ＝3BF ∴AC ＝BD ＝4BF.（3）21.8、矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，BF ⊥CE 于点F ，过点F 作DF 的垂线交直线BC 于点G ，若AD =n AB .（1）如图1，当n=1时，BGCG= ；（2）如图2，当n=2时，求证：CG =7BG ；②ABCDEFP③ABCDEFP①PFED C BA图3F AD GE C B 图2FEDCBA图1FAB CD E（3）如图3，当G 点落在BC 的延长线上时，当n= 时，C 为BG 的中点.（直接写出结果）9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝k ·AC,CD ⊥AB 于D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F.（1）若k=2时，则=BFCE . （2）若k=3时，连EF 、DF ，求DFEF的值（3）当k= 时，332=DF EF . 10、点D 为Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连结AF (1)如图1，若AC=BC,求证：AF ⊥AB;(2) 如图2，若AC ≠BC ，当点D 在AB 上运动时，求证：AF ⊥AB.答案. (1)∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B=45°∴CD=CF ∴△CDB ≌△CAF ∴∠CAF=45°∴AF ⊥AB(2) ∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B ∴△ACB ∽△FDC ∴BC ACCD CF=∴△BCD ∽△ACF ∴∠B=∠CAF ∴AF ⊥AB;11.如图： 等腰Rt △ABC 中，∠ACB=900,P 在直线AB 上，以CP 为腰作等腰Rt △CPE. （1）证明：BE //AC （2）若AB=5AP,求BEAC的值。
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九年级培优试题(五）
一．选择题：
1.下面四组线段中，不能成比例的是（ ）
A.a=4,b=6,c=5,d=10 B 、a=3,b=9,c=5,d=12
C 、a=2,b=2,c=6,d=3
D 、a=2,b=3,c=4,d=5
2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）
A ．AD BC DF CE =
B ．B
C DF CE AD
= C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是
（ ） （A ）3︰2； （B ）3︰5； （C ）9︰16； （D ）9
︰4．
4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，
（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）
A ．△AOM 和△AON 都是等边三角
B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形
C ．四边形AMON 与四边形ABC
D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形
6.等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）
A 、1:3
B 、2:3
C 、23:21
D 、1：3
7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ）
A.1:4
B.1:3
C.2:3
D.1:2
.
8（2013•牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，
CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，
连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（ ）
A,1个 B.2个 C.3个 D.4
9如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ）
A 、 AE BC AD A
B = B 、AD B
C AE AC = C 、AE BC DE AB =
D 、AD
AB AE AC = 10.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）
D B C A N
M
O B C A D E
二、填空题
11.已知
356
x y z ==，且3y ＝2z ＋6，则x ＝、y ＝。
12.把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和
短边之比为。
13.如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，ΔPEF 、ΔPDC 、 ΔPAB 的面积分别为S 、S 1、S 2。
若S=2，则S 1+S 2=
14.如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△ACB ，（写出一个即可）
15、如图，CD 是直角三角形ABC 斜边上的高，已知AB=25cm ，BC=15cm ，则BD= .
A B D
16.在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC=1：2，则BF ：BE=．
17.在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为．
18.已知线段MN ＝8cm ，又点P 是线段MN 的一个黄金分割点，那么较长线段MP 长是cm ．
19.在△ABC 中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，则点G 到BC 边的距离为．
20.在同一时刻，某人身高1.6米影长1米，一塔的影长25米，则这个塔高米．
21.在平面直角坐标系中，ABC △顶点A 的坐标为(23)，
，若以原点O 为位似中心，画ABC △的位似图形A B C '''△，使ABC △与A B C '''△的相似比等于，则点A '的坐标为 ．
22.如图，OAB △的顶点B 的坐标为（4，0），把OAB △沿x 轴向右平移得到CDE △，如果1,CB =那么OE 的长为．
23.如图，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论： ①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．
24.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C
(1)求证：△ABF∽△EAD;(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，
求AE的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD＝3，求BF长.
(计算结果含根号).
25.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线
DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
26.如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在
AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知
S
△AGF
︰S
△ABC
＝9︰64，EF＝10，求AH的长．
27.已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
28.如图，ABCD是平行四边形，点E在边BA延长线上，连CE交AD于点F，∠ECA＝∠D，
求证：AC·BE＝CE·AD。
29. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.
30.劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形,她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，求这个平行四边形的较短的边长
31.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
C
A
F
B C
A
D E
G F
K
H
（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．
32 .如图，D 是△ABC 的边AC 的中点，过点D 作直线交AB 于点E,交BC 的延长线于点F,求证：BF
CF EB AE 33.已知在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB （如图1）或线段AB 的延长线（如图2）于点P ．
（1）当点P 在线段AB 上时，求证：△APQ ∽△ABC ；
（2）当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．。